Bài toán sản xuất leontief đa mục tiêu và đối ngẫu

ử ỵ tt ố tr t s t ố r ố ố ủ t s t t ố t s t t t ố t s t t tỡ t ố t s t t trữ t ữ tứ tr t s t t trữ t trữ ổ t s t t t ố t s t t t t ố Pữỡ tr ố ỳ t ỵ t ữủ sỷ tr ự t r ổ t t ổ t t ỡ t õ õ t t t ỡ t t t õ tữớ ữủ tọ tr t t tr ổ ự t tữớ õ tố t rở ổ t t s ổ t rt tỹ tt ởt tr s t t q trồ s t t ữủ t r t ữớ ố ổ ss t ữớ t t q s t t t s t t t út ữủ sỹ q t ự ợ t t tữớ t r t ữủ t ỵ tt ố õ trỏ q trồ õ ữủ ỳ t q ự t tr ữợ sỹ ữợ P tổ t t s t t t ố ợ ố tố ự t t ởt tữỡ ố t s t t t ự tố t t t s t t t ố t ủ ợ ự t tố ữ tỡ rở t s t t t t s t t t t ố ự ự t t t s t t t ố ự t t t s t t t t ố ự q t ữủ t t t s t t t s t t t t ố ú ố tữủ ự t s t t s t t t s t t t s t t t t ố ú Pữỡ ự ỷ ữỡ ự t ỗ ỵ tt tố ữ q t ỹ õ õ ợ tố ởt t s t t t t ố ởt số q ố q ỳ ú ữỡ ỵ tt ố tr t s t r ú tổ tr ởt tr ỳ ổ t ỗ õ ỵ tt ố t s t t ỵ tt ỡ s ỵ tt ố ởt ỗ t ố t ởt ỗ õ t ữ ủ tờ ủ ỗ õ ụ õ t ữ ỷ ổ tỹ õ ổ ố ú t õ t tt ữủ sỹ tữỡ ữỡ ỳ t ữủ ởt t ữỡ tr t t q ởt t ữỡ tr t õ ỵ tt ố ú t õ t ữ t tố ữ t ữỡ tr t ữỡ tr t tỹ t ỹ ố ú t õ t ự t t t ỳ ố tữủ t tr ổ s t ợ ố tữủ t tr ổ õ ú ró ỡ ỡ t tố t r ữỡ ú tổ s tr t ố r ố ố ủ ố ợ t s t tờ qt ỹ õ ố ữủ s t r tr ỳ trữợ ố tổ ữủ ổ ố r t ổ t ỡ s R+n x = (x1, x2, , xn) R+n tỡ t ỡ s ợ xi i = 1, 2, , n, ự t tự i pi (pi 0) số st t tự i ỏ tỡ p = (p1, p2, , pn) tỡ số st ợ tỡ t ỡ s x t õ t r s ữủ ữ s px n t pi x i i=1 sỷ t õ m tự j (j = 1, 2, , m) õ ỹ trỳ bj (bj 0) số t tự j ố ợ t tự i aij (aij 0) bj ỹ trỳ j t õ m r tỡ t x R+n ữ s n aij xi bj , j = 1, 2, , m i=1 t n aj = (a1j , a2j , , anj )t R+ , j = 1, 2, , m, õ m r õ t t ữ s t aj x bj , j = 1, 2, , m t ỹ s ợ t tọ r ữủ t ữ s max pt x ợ r t aj x bj , j = 1, 2, , m, x sỷ n bj > 0, i=1 t a j = õ t õ aij > j = 1, 2, , m aj , j = 1, 2, , m, bj m a j > j=1 t ữủ t ữ s max pt x ợ r t aj x 1, j = 1, 2, , m, x r t t õ m r t tự t t n r ổ t t ỹ t t tr t r rộ t tự t t ữ t s t ổ ữủ t tỡ u = (u1, u2, , um)t R+m uj (j = 1, 2, , m) tỷ r r t tự tự j tr õ t õ t max pt x : aj x 1, j = 1, 2, , m, x m t uj (1aj x) t = sup p x + x0 u0 j=1 m u0 x0 j=1 m u0 j=1 t m uj aj uj + sup p = t uj (1aj x) = sup pt x + x0 j=1 x m uj aj p t sup x0 j=1 tứ s r m p t uj a j x = + j=1 t max pt x : aj x 1, j = 1, 2, , m, x m m = uj aj p, u uj : j=1 j=1 t m uj j=1 ợ r m uj aj p, j=1 u ữủ t ố r t t q t t t q ố q tr ỵ tt q t t ỵ tỡ t (1.5) tỡ t (1.7) s t aj x 1, j = 1, 2, , m, x m uj a j p, u j=1 m uj aj p (1 a x)uj = 0, j=1 t m jt x=0 j=1 ữủ r ữủ ỡ s ữủ r ữủ ố ỏ r ữủ r ũ ỵ q t ỵ ũ tr ỵ tt q t t ứ r t õ m m uj = j=1 t uj a j x = pt x j=1 ữủ sỷ m uj = pt x j=1 ứ t õ m t (1 aj x)uj 0, j=1 t m uj a j p x j=1 m m t uj aj x uj j=1 (do (1.12)) j=1 pt x (do (1.13)) ũ ợ s r m m uj = j=1 t uj aj x = pt x j=1 t ữ tữỡ ữỡ ợ ự ỵ sỷ x u tr tố ữ tr tố ữ x tọ u tọ t õ tự x u tọ ữủ sỷ x u tọ tự x u tọ ứ s r pt x tr ữủ ứ s r m uj tr ữủ ợ tr j=1 ữủ ổ ữủt q tr ữủ tứ s r x u ố r õ t t ợ t t t sỷ s t t t ptx tr t ữủ t t tử ó t t ổ n ổ t f (x) tr R+ n n f (x ) f (x) x R+ , x R+ : x x, t t t n f (àx) = àf (x) x R+ , ợ s t f (x) ữ t t s t ữủ t ữ s max f (x) ợ r t aj x 1, j = 1, 2, , m, x t ữủ t r tr rộ õ ỏ t tử r tr ổ t t s t tỷ r ữ s m t n m uj (1 aj x) x R+ , u R+ L(x, u) = f (x) + j=1 t õ t ữủ t ữ s max inf L(x, u) x0 u0 ỵ t ố õ q > õ = max ct p : p P max {f (x) : x X} = qtc ( q > 0) < qtc max pt c : p P = max {f (x) : x X} t õ ữủ sỷ t õ ữ tứ z X i {1, 2, , n} : zi > ci f (z), f (z) = max {f (x) : x X} ứ s r tỗ t > s zi > (ci + )f (z) ỹ tỡ c ữ s t c j = cj j = i, j = 1, 2, , n, c i = ci + c c c = c õ max {f (x) : x X} f (z) = f (z) zn z1 z2 , , , c1 c2 cn (do (2.9)) = max {f (x) : x X} tr ợ t s t t ợ tỡ số ổ t c = (3; 2; 5), tr A ữ s 1 40 20 30 A = 20 30 1 40 30 r X = x R+ : x At u, u1 + u2 + u3 1, u1 0, u2 0, u3 õ s t t f (x) = x1 x2 x3 , , , x = (x1 , x2 , x3 ) R3 t s t t tr trữớ ủ õ t ổ t ữ s max ợ r x1 x2 x3 , , 1 x u + u + u3 1 40 20 40 1 x1 u1 + u3 20 30 x u + u2 1 30 30 u1 + u2 + u3 x1 0, x2 0, x3 u 0, u 0, u õ ố f (x) f(p) = 3p1 + 2p2 + 5p3 , p = (p1 , p2 , p3 ) p R+ ữủ ố 3 P = p R+ : pt x x X = p R+ : p 1, i = 1, 2, t ố t s t t õ t t max(3p1 + 2p2 + 5p3 ) ợ r 1 p1 + p + p3 40 20 40 p1 20 + p3 30 p + p2 30 30 p 0, p 0, p ổ q t t t t ữủ t ố p = (0; 5; 30) õ t ố x = 1 ; ; 160 80 32 c= ct p tr tố ữ t ố f = 160 ố ố ỗ u= 11 ; ;0 64 ữỡ t s t t t ố r tỹ t s t õ ỳ s t s tr s t s õ t sỷ r ổ ú t t ổ s t q tr s t ổ õ ữủ ũ s tr ỡ t ộ s õ số ổ t r s t ộ s ởt s t t õ ự ữỡ t s t t t t t ởt s t k õ i, i = 1, 2, , k, õ số ổ t ci = (ci1, ci2, , cin ) tự s t ởt ỡ s i cij ij , j = 1, 2, , ni ợ xi = (xi1 , xi2 , , xin ) xij ố ữủ ij (xij 0, j = 1, 2, , ni) õ t s t ữủ ởt ố ữủ fi(xi) s i i i i fi (x ) = xij : j = 1, 2, , ni cij , xi = (xi1 , xi2 , , xini ) Rni t k n= k n ni , R ni , R = i=1 x = (x1 , x2 , , xk ) ợ ni xi R+ i=1 ợ tờ số ố ữủ t t r t ữỡ s t ỹ tt s fi(xi) i = 1, 2, , k ợ r x X, tr õ t X ữủ tữỡ tỹ ữ ữỡ t X : m X= x n R+ t : x A u, uj 1, uj 0, j = 1, 2, , m , j=1 t ữủ t s t t t r tỹ t x X s fi(xi) = maxfi(xi) i = 1, 2, , k õ ổ tỗ t ú t tữớ ũ ỳ Prt ỳ Prt t t t fi(x) = fi(xi), i = 1, 2, , k, t t õ t t ữ s fi(x) i = 1, 2, , k ợ r x X tỡ x0 X ữủ ỳ Prt ổ tỗ t x X s fi(x ) fi(x0) ợ i = 1, 2, , k fj (x ) > fj (x0 ) ợ j õ tở {1, 2, , k} tỡ x0 X ữủ ỳ Prt ổ tỗ t x X s fi(x ) > fi(x0) ợ i = 1, 2, , k t s t t ó t t ổ t r X t ỗ õ õ tự tọ t t ọ ữủ t s t t t tữỡ ữỡ ợ t tố ữ tỡ tr t ỗ t ó t t ổ t ố é t t t ố ủ t s t t t t s t t t ợ ộ i = 1, 2, , k fi(.) ủ fi(.) tr R+n ố t P ủ ữợ X õ i t fi (pi ) = ci pi ni pi = (pi1 , pi2 , , pini ) R+ i = 1, 2, , k, P = p : pt x x X , t n P = p R+ : aj p , tr õ p = (p1, p2, , pk ) ợ pi R+n tỡ ữ ữỡ õ t ố t i fi (pi ) max i = 1, 2, , k ợ r p = (p1 , p2 , , pk ) P ỵ tt ố t tố ữ t tữớ ỹ tr ố r t ởt t t ữủ ổ ữợ õ srt ố t tố ữ tỡ ổ t tố ữ tỡ tr ổ ố ợ ố ủ ữ tr t ố t s t t t ởt t tố ữ t ợ t t t Pữỡ tr ố ỳ ợ ộ i = 1, 2, , k ợ ộ xi R+n , t pi xi i tr õ i t fi (xi )fi (pi ) i i ni pi R+ ự i = fi(xi) = t ú i = fi(xi) > t fi (pi ) = 1 = 0, = + sup fi (y i ) : pi t y i 1, y i t õ fi(xi)fi(pi) = i i > t t ui = fi (xi )i (ui ) ỵ fi (xi )fi i p i = i p i t õ t ui xi r fi (xi )fi (pi ) i fi (xi )fi (pi ) i ỵ s õ t ố ỵ ợ ộ x X p P t õ k fi (xi )fi (pi ) i=1 ự x X p P P ủ ữợ X t õ k t pt x = pi xi i=1 t i = pitxi ợ ộ i = 1, 2, , k t õ i 0, i = k 1, 2, , k i i=1 õ fi(xi)fi(pi) i, i = 1, 2, , k ứ t õ ỹ tr t ố t ữỡ tr s k fi (xi )fi (pi ) = i=1 ữỡ tr ố ỵ x X p P ( x, p) tọ ữỡ tr ố (3.6) t x ỳ Prt ố p ỳ Prt ố ự x X p P s (x, p) tọ ữỡ tr ố ứ s r tỗ t i {1, 2, , k} s fi(pi) > ỵ t õ k k fi ( pi )fi ( xi ) = max i=1 fi ( pi )fi (xi ) : x X , i=1 tr õ f1(p1), f2(p2), , fk (pk ) õ t ữủ ữ ởt tỡ t trồ t x ỳ Prt ố ự tữỡ tỹ t ữủ p ỳ Prt ố ỵ x X p P s ( x, p) tọ ữỡ tr ố (3.6) fi(pi) > i = 1, 2, , k t x ỳ Prt ố fi(xi) > i = 1, 2, , k t p ỳ Prt ố ự (x, p) tọ ữỡ tr ố t x ởt tố ữ t ởt t ổ ữợ õ t ợ tỡ t trồ f1(p1), f2(p2), , fk (pk ) õ x ỳ Prt ố fi(pi) > i = 1, 2, , k ự tữỡ tỹ t õ p ỳ Prt ố fi ( xi ) > i = 1, 2, , k t ố t õ ỵ s ỵ x ỳ Prt ố t tỗ t p P s (x, p) tọ ữỡ tr ố (3.6) ữỡ tỹ p ỳ Prt ố t tỗ t x X s (x, p) tọ ữỡ tr ố (3.6) ự sỷ x ỳ Prt ố t X ổ õ ợ t ỗ Fx Fx = z Rn : fi (z i ) > fi ( xi ), i = 1, 2, , k õ trỹ rtt R+n tr õ ũ t ỗ ỵ t tỗ t u Rn R s ut z z X, ut z > z Fx R+n ự tr õ ũ Fx tứ s r u X õ tự tứ s r > t p = u õ tứ t õ pt z > z Fx ứ s r p P ứ s r tỗ t số tỹ ổ à1 , à2 , , àk ổ ỗ tớ s p = à1 q , à2 q , , àk q k , pt z z X, k ài fi ( xi ), i=1 tr õ fi(xi) ữợ fi t xi ợ ộ i = 1, 2, , k ứ s r q i fi ( xi ) i = 1, 2, , k, t fi (0) fi ( xi ) q i xi , t fi (2 xi ) fi ( xi ) + q i xi õ t q i xi fi ( xi ), t fi ( xi ) q i xi qitxi = fi(xi) ỡ ỳ t t fi ( xi ) = max fi (xi ) : q i xi q i xi , xi t = max fi (xi ) : q i xi fi ( xi ), xi I = i {1, 2, , k} : fi ( xi ) > ợ i I t õ t t sup fi (xi ) : q i xi 1, xi = sup fi (xi ) : q i (fi ( xi )xi ) fi ( xi ), xi = sup fi = xi i fi ( x) t : q i xi fi ( xi ), xi i it i sup f (x ) : q x fi ( xi ), xi i i fi ( x) = fi(qi) = i I r fi ( pi ) = fi (ài q i ) = ài fi (q i ) = ài i I ứ s r fi ( pi )fi ( xi ) iI k fi ( pi )fi ( xi ), = i=1 ố s r x, p tọ ữỡ tr ố t sỷ p ỳ Prt ố ứ t ố ự sỡ ỗ ố tữỡ tỹ ữ tr t õ t r r tỗ t x X s (x, p) ú ữỡ tr ố õ x X ỳ Prt ố tỗ t p P s (x; p) tọ ữỡ tr ố (3.6) ỡ ỳ pi > i = 1, 2, , k t x ỳ Prt ố p P ỳ Prt ố tỗ t x X s (x; p) tọ ữỡ tr ố (3.6) ỡ ỳ xi > i = 1, 2, , k t p ỳ Prt ố t t t ố t s t t t ởt t t ổ ỳ t ố ố t ố t ố õ t ố ố ố ủ t õ t ữ r ữủ ữỡ tr ố r ố ỳ ỳ Prt ố ố ởt s t s õ số ổ t c1 = (3; 2) õ s t q x11 x12 ; f1 (x ) = x1 R , õ số ổ t c2 = (2; 5; 1) õ s t 2 f2 (x2 ) = x1 x2 x3 ; ; , x2 R r X ữủ X = x R+ : x At u, u1 + u2 + u3 + u4 1, ui 0, i = 1, 2, 3, , ợ x = x11 ; x12 ; x21 ; x22 ; x23 tr A 1 0 4 1 1 1 t s t t t ổ t õ õ t t ữ s max f1 (x1 ), f2 (x2 ) ợ r x11 3u1 + u2 x12 2u1 + u2 x21 4u1 + u4 + 2u4 + 4u3 + u4 x22 u1 + 3u2 + 2u3 + u4 x23 u1 + u2 + u3 + 2u4 u1 + u2 + u3 + u4 u1 0, u2 0, u3 0, u4 x11 0, x12 0, x21 0, x22 0, x23 õ ố f1(x1) f1 (p1 ) = 3p11 + 2p12 , ố f2(x2) f2 (p2 ) = 2p21 + 5p22 + 1p23 ủ ữợ X P = p R+ : pt x x X t P = p R+ : p 1, i = 1, 2, 3, 4, t ố t tr max 3p11 + 2p12 , 2p21 + 5p22 + 1p23 ợ r 3p11 + 2p12 + 4p21 + p22 + 2p23 p1 + p1 + p22 + 2p23 1 4p21 + p22 + 2p23 p1 + 2p1 + p2 + p2 + 2p2 1 2 (x; p) tọ ữỡ tr min2 x1 R+ x11 x12 , 3p11 + 2p12 + min3 x2 R + x21 x22 x23 , , 2p21 + 5p22 + p23 = t x ỳ Prt ố p ỳ Prt ố t tr t r ổ s t r t tt ợ x = (x1, x2, , xn) R+n t õ ữủ r f (x) R+ f (x) s t ổ tữớ t X x = (x1 , x2 , , xn ) tọ x x X x X ỏ f (x) ởt ó ổ t t õ t s t t max {f (x) : x X} r tỹ t r ởt tỡ f (x) = (f1(x), f2(x), , fm(x)) t õ t s t t max {(f1(x), f2(x), , fm(x)) : x X} t tờ ủ tr õ tố ỵ tt ố ợ t s t t t ự tr ự t t ữủ ỳ s r ữủ ữủ ỗ ố ố r ố ố ủ ố ợ t s t tr trữớ ủ t X ởt ỗ ởt t tự t t r ữủ t t q trồ t s t t ởt t ữủ ỗ ố ủ t t ố t st t s t t t ữủ ỗ ố ủ t t ố t ố ợ ộ ữỡ t t số t ý Pũ t ỗ ũ rớ r ỵ tt tố ữ ổ trỡ ố P trữ t ữ tứ tr t s t t ự t t ố ỵ tt tố ữ P rr t rt r ts ts t r tts P t qt ts trtt r t r tts P r t t r trt rs r tt ss ts