Đối ngẫu của bài toán tối ưu lồi

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỐNG THỊ LIỄU ĐỐI NGẪU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU LỒI Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số:60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đỗ Văn Lưu Thái Nguyên: 08/2013 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Chương LIÊN HỢP CỦA HÀM LỒI 1.1 Chính quy hóa Gamma 1.2 Hm liờn hp 1.3 nh lý Hă ormander 12 1.4 Bổ đề Farkas suy rộng 14 Chương ĐỐI NGẪU CỦA CÁC BÀI TOÁN TỐI ƯU LỒI 19 2.1 Đối ngẫu ngôn ngữ hàm Lagrange 19 2.2 Đối ngẫu Lagrange hàm khả vi Gâteaux 26 2.3 Đối ngẫu toán biên 29 2.4 Đối ngẫu ngôn ngữ hàm liên hợp 35 Kết luận 46 Tài liệu tham khảo 47 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Lý thuyết đối ngẫu phận quan trọng lý thuyết tối ưu hóa có nhiều ứng dụng tối ưu hóa tốn ứng dụng Với toán tối ưu, người ta thường nghiên cứu tốn liên quan chặt chẽ với mà ta gọi toán đối ngẫu Nếu tốn xuất phát tốn cực tiểu toán đối ngẫu toán cực đại Người ta mong muốn toán đối ngẫu dễ xử lý toán xuất phát Các loại toán đối ngẫu thường nghiên cứu đối ngẫu Lagrange, đối ngẫu Wolfe đối ngẫu Mond-Weir với định lý đối ngẫu yếu mạnh Các định lý đối ngẫu mạnh cho ta điều kiện để giá trị hàm mục tiêu toán xuất phát toán đối ngẫu Lý thuyết đối ngẫu cho toán tối ưu lồi nhiều tác giả nước quan tâm nghiên cứu thu nhiều kết đẹp (xem chẳng hạn [5], [2], [4] tài liệu tham khảo cơng trình đó) Chính mà em chọn đề tài "Đối ngẫu tốn tối ưu lồi" Đề tài có tính thời sự, nhiều nhà tốn học quan tâm nghiên cứu Luận văn tập trung trình bày lý thuyết đối ngẫu cho toán tối ưu lồi bao gồm định lý đối ngẫu Lagrange, định lý đối ngẫu tổng quát, định lý đối ngẫu cho toán với hàm khả vi Gâteaux, đối ngẫu toán giá trị biên, đối ngẫu ngôn ngữ hàm giá trị hàm nhiễu Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương Liên hợp hàm lồi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Trình bày số kết liên hợp hàm lồi Kết hàm lồi nửa liên tục bao đóng hàm afine liên tục Khái niệm hàm liên hợp (liên hợp Fenchel) trình bày với định lý song liên hợp, định lý liên hợp tổng hai hàm qua tổng chập infimal hai hàm liên hợp Chương cng trỡnh by nh lý Hăormander mụ t mt E ∗ qua phiếm hàm tuyến tính, nửa liên tục E, định lý song cực, bổ đề Farkas suy rộng Chương Đối ngẫu tốn tối ưu lồi Trình bày lý thuyết đối ngẫu cho toán tối ưu lồi bao gồm định lý đối ngẫu Lagrange cho toán lồi với hữu hạn ràng buộc tập, định lý đối ngẫu tổng quát, định lý đối ngẫu cho toán với hàm khả vi Gâteaux, đối ngẫu tốn giá trị biên, đối ngẫu ngơn ngữ hàm giá trị hàm nhiễu Nhân dịp em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS.TS Đỗ Văn Lưu, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em hoàn thành luận văn Em xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa toán, phòng đào tạo sau đại học trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên thầy cô giáo tham gia giảng dạy khóa học Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp thành viên lớp cao học toán K5 quan tâm, động viên, giúp đỡ suốt thời gian học tập trình làm luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2013 Tác giả Tống thị Liễu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương LIÊN HỢP CỦA HÀM LỒI Chương trình bày số kết liên hợp hàm lồi Kết hàm lồi nửa liên tục bao đóng (upper envelope) hàm afine liên tục Khái niệm hàm liên hợp trình bày với định lý song liên hợp, định lý liên hợp tổng hai hàm qua tổng chập infimal hai hàm liên hợp Chương trình bày nh lý Hăormander v vic mụ t mt E ∗ qua hàm tuyến tính, nửa liên tục E, định lý song cực bổ đề Farkas suy rộng Các kết trình bày chương tham khảo tài liệu [5], [1], [6] 1.1 Chính quy hóa Gamma Trong chương ta kí hiệu (E, E ∗ ) cặp đối ngẫu không gian lồi địa phương Trong phần này, ta hàm lồi nửa liên tục bao hàm affine liên tục Định nghĩa 1.1.1 Với f : E → R = R ∪ {±∞}, ta đặt A(f ) := a : E → R|a hàm affine liên tục, a ≤ f f Γ : E → R định nghĩa f Γ (x) := sup {a(x)|a ∈ A(f )} , x ∈ E gọi quy hóa Gamma hàm f Ta quy ước sup ∅ := −∞ Cho hàm f : M ⊆ E → R Miền hữu hiệu (effective domain) f Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn định nghĩa sau (xem [1]): domf = {x ∈ M |f (x) < +∞} Hàm f gọi thường (proper) domf = ∅ f (x) > −∞(∀x ∈ M ) Mệnh đề 1.1.1 Nếu f : E → R hàm thường, phát biểu tương đương: (a) f = f Γ ; (b) f liên tục nửa lồi Chứng minh (a) ⇒ (b) : Hiển nhiên (b) ⇒ (a): Rõ ràng f Γ ≤ f Bây giời giả sử với x0 thuộc E k thuộc R, ta có f Γ (x0 ) < k < f (x0 ) Ta tồn a ∈ A(f ) thỏa mãn k < a(x0 ) dẫn đến mâu thuẫn f Γ (x0 ) > k Bởi f nửa liên tục dưới, epif đóng Hơn epif lồi (x0 , k) ∈ epif Theo định lý tách mạnh 1.5.9[5], áp dụng với A := epif B := {(x0 , k)}, tồn ω ∈ (E × R)∗ α ∈ R cho ω(x, t) ≤ α, ∀(x, t) ∈ epif ω(x0 , k) > α (1.1) Chúng ta có ω(x, t) = x∗ , x + ct, x∗ , x := ω(x, 0), c := ω(0, 1) (1.2) Rõ ràng x∗ ∈ E ∗ Hơn nữa, (x, t) ∈ epif kéo theo (x, t ) ∈ epif , với t > t, ta có c≤ α − x∗ , x , ∀t > max {0, t} t Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Do đó, cho t → +∞, ta nhận c ≤ Bây phân biệt hai trường hợp Trường hợp Giả sử rằngf (x0 ) < +∞ Khi đó, (1.1) với t := f (x0 ) (1.2) kéo theo x∗ , x0 + cf (x0 ) ≤ α < x∗ , x0 + ck Bởi k < f (x0 ), ta suy c < Hàm số a : E → R xác định a(x) := α ∗ − x ,x ,x ∈ E c c hàm affine liên tục Nếu x ∈ domf , từ (1.1) ta có a(x) := (α − ω(x, f (x))) + f (x) ≤ f (x) c Nếu x ∈ / domf , a(x) < +∞ = f (x) Vì vậy, a ∈ A(f ) Hơn nữa, ta có (α − x∗ , x0 ) > k c Trường hợp 2: Giả sử f (x0 ) = +∞ Nếu c < 0, ta định nghĩa a(x0 ) = hàm số a trường hợp Bây giả sử c = Bởi f hàm thường, tồn y0 ∈ domf Theo trường hợp 1, với y0 thay cho x0 , tồn a0 ∈ A(f ) Định nghĩa a : E → R sau a(x) := a0 (x) + ρ( x∗ , x − α) ρ := |k − a0 (x0 )| + x∗ , x0 − α Khi a hàm affine liên tục Hơn nữa, ta có a(x) ≤ a0 (x) ≤ f (x), với x ∈ domf Như vậy, a ∈ A(f ) Cuối cùng, lưu ý a0 (x0 ) + |k − a0 (x0 )| ≥ k x∗ , x0 > α Khi đó, ta có a(x0 ) = a0 (x0 ) + |k − a0 (x0 )| + x∗ , x0 − α > k Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chứng minh hoàn thành 1.2 Hàm liên hợp Khái niệm hàm liên hợp có nguồn gốc từ phép biến đổi tích phép biến đổi Legendre phép tính biến phân quan trọng cho lý thuyết đối ngẫu tối ưu lồi Định nghĩa 1.2.1 Cho f : E → R Hàm số f ∗ : E ∗ → R định nghĩa f ∗ (x∗ ) := sup( x∗ , x − f (x)), x∗ ∈ E ∗ , x∈E gọi liên hợp Fenchel (hay ngắn gọn liên hợp) hàm f Nếu f hàm thường, định nghĩa kéo theo bất đẳng thức Young x∗ , x ≤ f (x) + f ∗ (x∗ ), ∀x ∈ E, ∀x∗ ∈ E ∗ (1.3) Ví dụ 1.2.1 Cho p ∈ (0, +∞), định nghĩa f : R → R f (x) := |x|p p Ta tính f ∗ Cho E = R, ta có E ∗ = R Với x∗ ∈ R cố định, đặt ϕ(x) := x∗ x − f (x) Hàm ϕ : R → R hàm lõm (nghĩa −ϕ hàm lồi) khả vi Do đó, ϕ có cực đại x0 thỏa mãn ϕ (x0 ) = 0, tức x∗ − sgn(x0 )|x0 |p−1 = Ta suy |x∗ |q 1 f (x ) = ϕ(x0 ) = , + = q q p ∗ ∗ Như vậy, trường hợp này, bất đẳng thức Young(1.3) bất đẳng thức Young cổ điển cho số thực: |x |p |x∗ |p x x≤ + p q ∗ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mệnh đề 1.2.1 Nếu f : E → R, phát biểu : (a) f ∗ hàm lồi nửa liên tục (b) Nếu domf = ∅, f ∗ (x∗ ) > −∞ với x∗ ∈ E ∗ (c) Nếu f hàm thường, lồi nửa liên tục dưới, f ∗ hàm thường, lồi nửa liên tục Chứng minh (a) Dễ dàng thấy f ∗ lồi Để chứng minh khẳng định thứ hai, ý với x ∈ E, hàm số ϕx (x∗ ) := x∗ , x − f (x), x∗ ∈ E ∗ liên tục, f ∗ = supx∈E ϕx nửa liên tục (b) Hiển nhiên (c) Bởi f hàm thường, ta có A(f ) = ∅ Do đó, tồn x∗ ∈ E ∗ c ∈ R cho x∗ , x + c ≤ f (x), với cho x ∈ E Từ suy f ∗ (x∗ ) = sup( x∗ , x − f (x)) ≤ −c < +∞ x∈E ∗ ∗ Do x ∈ domf Cho g : E ∗ → R, hàm liên hợp g ∗ : E → R định nghĩa tương tự g ∗ (x) := sup ( x∗ , x − g(x∗ )), x ∈ E x∗ ∈E ∗ Bây giả sử f : E → R Với g := f ∗ , ta có hàm song liên hợp f ∗∗ : E → R f : f ∗∗ (x) = sup ( x∗ , x − f ∗ (x∗ )) , x ∈ E x∗ ∈E ∗ Định lý 1.2.1 Cho f : E → R Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (a) Ta có f ∗∗ = f Γ ≤ f (b) Nếu f hàm thường, f ∗∗ = f f lồi nửa liên tục Chứng minh (a) Rõ ràng f Γ ≤ f Ta f ∗∗ = f Γ Với x∗ ∈ E ∗ c ∈ R, ta có x∗ , x + c ≤ f (x), ∀x ∈ E ⇔ f ∗ (x∗ ) = sup ( x∗ , x − f (x)) ≤ −c x∈E Như vậy, f Γ (x) = sup { x∗ , x + c|x∗ ∈ E, c ∈ R, c ≤ −f ∗ (x∗ )} (1.4) Nếu f ∗ (x∗ ) > −∞, ∀x∗ ∈ E ∗ , f Γ (x) = sup { x∗ , x − f ∗ (x∗ )|x∗ ∈ E ∗ } = f ∗∗ (x), ∀x ∈ E (2.4) Nếu f ∗ (x∗ ) = −∞ với x∗ thuộc E ∗ , f Γ (x) = +∞ = f ∗∗ (x), ∀x ∈ E (b) Được suy từ (a) mệnh đề 1.1.1 Ví dụ 1.2.2 Cho hàm δA tập hợp khác rỗng A E Ta có δA∗ (x∗ ) = σA (x∗ ), ∀x∗ ∈ E ∗ , Trong δA : E ∗ → R hàm tựa A Nếu E không gian véctơ định chuẩn A = BE (hình cầu đơn vị đóng E), δB∗ E (x∗ ) = σBE (x∗ ) = sup x∗ , x = ||x∗ ||, ∀x∗ ∈ E ∗ ||x||≤1 Ví dụ 1.2.3 Cho E không gian véctơ định chuẩn f (x) = ||x||, x ∈ E Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Do đó, N (−1) aij (x)τ qj (x), với hầu hết x ∈ G, i = 1, 2, , N vi (x) = j=1 Đưa vào tạo độ thứ i (h )−1 (τ q) (2.29), nhận ∗ h (q) =   N N (−1)  qi aij τ qj dx dτ G i,j=1 = G (−1) aij qi qj dx i,j=1 (2.30) Cuối cùng, có K = {q ∈ F ∗ | q, T v F = ω, v E , ∀v ∈ E} = {q ∈ F ∗ |T ∗ q = ω} Bây khẳng định sau suy từ mệnh đề 2.2.1 Nhận xét 2.3.1[Dữ liệu trơn] Nếu biên ∂G hàm aij g đủ trơn, nghiệm u (2.25) (2.26) phần tử C (G), nghiệm cổ điển (2.24) Đặt R1 := u ∈ C (G)|u = ∂G , S := v ∈ C (G)|Av = g G Bởi R1 ⊆ E u ∈ R1 , có N α = inf u∈R1 G ( ai,j (x)Di u(x)Dj u(x) − g(x)u(x))dx, i,j=1 vậy, α = inf (h(T u) − ω, u ) u∈R1 (2.31) Đặt N Q := ∗ (q1 , q2 , , qN ) ∈ F | qi = ai,j Dj v, i = 1, 2, , N, v ∈ S j=1 33 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Nếu q ∈ Q, N − Di qi = Av = g (2.32) i=1 Như vậy, q ∈ K Điều suy cách nhân (2.32) với v ∈ Cc∞ (G) phép lấy tích phân Hơn nữa, có N ai,j Di u ∈ Q q = h (T u) = i,j=1 Ở đẳng thức thứ suy mệnh đề 2.3.1(c) Do (2.27), có β = sup(−h∗ (q)) Từ (2.30), suy với q ∈ Q, ta có q∈Q ∗ h (q) = h(T v) với v thuộc S, β = sup(−h(T v)) = − inf h(T v) v∈S v∈S (2.33) Do đó, với liệu trơn, phát biểu mệnh đề 2.3.1 với α β theo (2.31) (2.33) Chúng ta có đánh giá sai số −h(T v) ≤ α ≤ h(T u) − ω, u , ∀u ∈ R1 , ∀v ∈ S, c ||u − u||21,2,0 ≤ h(T u) − ω, u + h(T v), ∀u ∈ R1 , ∀v ∈ S (2.34) (2.35) Áp dụng phương pháp Ritz cho (2.33), suy tồn dãy (v (n) ) S mà ta sử dụng (2.34) để có α ≥ −h(T v (n) ) Đây phương pháp Trefftz Chú ý phần tử u ∈ R1 v ∈ S cần thỏa mãn điều kiện biên phương trình vi phân Ví dụ 2.3.1 Xét toán tử vi phân A = − =− N i=1 Di Di Khi đó, với u ∈ C (G), ta có tốn giá trị biên − u = g G, u = ∂G 34 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Theo (2.31), toán cực tiểu liên kết   N   (Di v) − gu dx| u = ∂G , α = inf −   i=1 G theo (2.34), toán đối ngẫu  N  β = sup − (Di v)2 dx| −  i=1   u = g G  G 2.4 Đối ngẫu ngôn ngữ hàm liên hợp Trong mục chúng tơi trình bày cách tiếp cận đối ngẫu khác Ví dụ 2.4.1 Như ví dụ 2.1.1 ta xét tốn tối ưu tuyến tính: α := inf { c, x |x ∈ PE , T x − a ∈ PE } Bây nhiễu ràng buộc T x − a ∈ PF tham số tuyến tính b, nghĩa chuyển qua toán nhiễu: S(b) := inf { c, x |x ∈ PE , T x − a − b ∈ PE } Bài toán xuất phát α = S(0) Đặt f (x) = h(b) :=    c, x , x ∈ E,  +∞, x ∈ E\P , E   0, b ∈ PF , b ∈ F \PF ,  +∞, f (x) := f (x) + h(T x − a), x ∈ E, M (x, b) := f (x) + h(T x − a − b), ∀x ∈ E, ∀b ∈ F 35 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ta có S(b) = inf M (x, b), ∀b ∈ F, x∈E f (x) = M (x, 0), ∀x ∈ E, α = S(0) = inf f (x) x∈E Hàm M : E × F → R hiểu nhiễu f Bây xét cách thiết lập tổng quát Xét toán sau đây: α := inf f (x) (2.36) x∈E Ở f : E → R Chọn không gian véctơ định chuẩn F hàm M : E × F → R cho f (x) = M (x, 0) với x ∈ E, xét toán sau đây: S(b) := inf M (x, b), b ∈ E (Bài toán nhiễu) , x∈E (2.37) −S(v) := sup (−M ∗ (v, q)), v ∈ E ∗ (Bài toán đối ngẫu (2.37)), q∈F ∗ (2.38) β := −S(0) = sup (−M ∗ (0, q)) (Bài toán đối ngẫu (2.38) (2.39) q∈F ∗ Nhắc lại [1]: Dưới vi phân hàm lồi thường f : E → R x ∈ domf xác định ∂f (x) := {x∗ ∈ E ∗ | x∗ , x − x ≤ f (x) − f (x), ∀x ∈ E} Định nghĩa 2.4.1 Hàm S : F → R xác định (2.37) gọi hàm giá trị (volue function) hàm biên (marginer function) Bài toán (2.36) (2.39) gọi ổn định ∂S(0) = ∅ ∂ S(0) = ∅ (tương ứng) Ta đưa vào giả thiết sau: (A1) E F không gian định chuẩn, f : E → R hàm lồi 36 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn thường nửa liên tục dưới, M : E × F → R hàm lồi thường nửa liên tục dưới, M (x, 0) = f (x), ∀x ∈ E; Tồn x0 ∈ E q0 ∈ F ∗ thỏa mãn f (x0 ) < +∞ M ∗ (0, q) < +∞ Với giả thiết trên, tính đối ngẫu tốn (2.36) (2.39) đặc trưng hàm giá trị S hàm nhiễu M Định lý 2.4.1 định lý đối ngẫu quan trọng Định lý 2.4.1 Với giả thiết (A1), ta có (i) −∞ < β ≤ α < ∞ (ii) Các mệnh đề sau tương đương: (a) Bài tốn (2.36) có nghiệm α = β; (b) Bài toán (2.39) ổn định (iii) Các mệnh đề sau tương đương: (a’) Bài tốn (2.39) có nghiệm α = β; (b’) Bài toán (2.36) ổn định (iv) Nếu α = β ∂ S(0) = tập nghiệm (2.36), ∂S(0) = tập nghiệm (2.39) (v) Các mệnh đề tương đương; (a”) x ∈ E nghiệm (2.36), q ∈ F ∗ nghiệm (2.39), α = β; (b”) M (x, 0) + M ∗ (0, q) = 0; (c”) (0, q) ∈ ∂M (x, 0) Chứng minh 37 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (I) Trước hết nhắc lại (E × F )∗ E ∗ × F ∗ , nghĩa (v, q), (x, b) = v, x + q, b , ∀(x, b) ∈ E × F, ∀(v, q) ∈ E ∗ × F ∗ Ta có M ∗ (v, q) = sup( v, x + q, p − M (x, b)) (2.40) x∈E b∈F Hơn nữa, ta nhận S ∗ (q) = sup( q, b − S(b)) = sup sup( q, b − M (x, b)) b∈F x∈E b∈F = sup( q, b − M (x, b)) = M ∗ (0, q) (2.41) x∈E b∈F Như vậy, S ∗∗ (0) = sup (0 − S ∗ (q)) = sup (−M ∗ (0, q)) = β q∈F ∗ (2.42) q∈F ∗ (II) Từ (2.39) (2.38), ta thấy −β = inf∗ M ∗ (0, q), (2.43) q∈F S(v) = inf∗ M ∗ (v, q), v ∈ E ∗ q∈F (2.44) Nhắc lại đối ngẫu F ∗ [σ(F ∗ , F )] E ∗ [σ(E ∗ , E)] đồng với E F So sánh quan hệ (2.37) (2.38), ta suy toán đối ngẫu (2.44) − S(b) := sup(−M ∗∗ (x, b)) = sup(−M (x, b)), b ∈ F x∈E x∈E Do đó, tốn đối ngẫu (2.40) (2.44) −S(0) := sup(−M (x, 0)) = inf M (x, 0) = α x∈E x∈E Đó tốn xuất phát (III) Xem tập S lồi 38 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (IV) (i)Giả thiết kéo theo α < +∞ β > −∞ Áp dụng bất đẳng thức Young[1] cho hàm M , ta nhận M (x, 0) + M ∗ (0, q) ≥ 0, x + q, = Chuyển qua infimum tất (x, q) ∈ E ×F ∗ , ta suy α−β ≥ (v) Kết nhận cách áp dụng mệnh đề 4.4.1[5] cho M (iv) Giả sử α = β Khi đó, ta suy q nghiệm (2.39) ⇔ −S ∗ (q) = −M ∗ (0, q) (2.41) = β = α = S(0) (2.39) ⇔ q ∈ ∂S(0) Ở đây, tương đương cuối mệnh đề 4.4.1[5] Theo phần chứng minh (II), toán đối ngẫu với (2.39) tốn xuất phát (2.36) Do đó, tương tự trên, ta có x nghiệm (2.36) ⇔ x ∈ ∂ S(0) (iii) (a ) ⇒ (b ): Theo (iv), (a ) kéo theo ∂S(0) = ∅ (2.36) ổn định (b ) ⇒ (a ): Giả sử v ∈ ∂S(0) Theo mệnh đề 4.4.1[5] ta có S(0) = v, − S ∗ (v) ≤ S ∗∗ (0) Mặt khác, ta có S ∗∗ ≤ S Do đó, α = S(0) = S ∗∗ (0) = β Ở đây, đẳng thức cuối hệ (2.42) Hơn nữa, v nghiệm (2.39) (iv) (ii) Suy từ (iii) bước (II) Định lý 2.4.1 cho thấy tầm quan trọng khái niệm ổn định Bổ đề 2.4.1 cho điều kiện đủ cho tính ổn định Bổ đề 2.4.1 Giả sử giả thiết (A1) đúng, tức 39 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Cho f : E → R hàm lồi thường nửa liên tục dưới; M : E × F → R hàm lồi thường nửa liên tục dưới; M (x, 0) = f (x), ∀x ∈ E; Tồn x0 ∈ E q0 ∈ F ∗ thỏa mãn f (x0 ) < +∞ M ∗ (0, q) < +∞ Hơn nữa, ta giả sử a) Nếu b → M (x1 , b) liên tục b = với x1 thuộc E, tốn xuất phát (2.36) ổn định (b) Nếu v → M (v, q1 ) liên tục v = với q1 thuộc F ∗ , tốn đối ngẫu (2.39) ổn định Chứng minh (a) Theo giả thiết, ∃k > vùng lân cận U F cho S(b) = inf M (x, b) ≤ M (x1 , b) ≤ k, ∀b ∈ U x∈E Bởi S hàm lồi, S liên tục theo định lý 1.4.1[5] Do ∂S(0) = ∅ theo mệnh đề 4.1.6[5] (b) Chứng minh tương tự • Trường hợp đặc biệt Bây ta đưa vào giả thiết sau: (A2) f : E → R h : F → R hàm lồi thường nửa liên tục dưới; T : E → F tốn tử tuyến tính liên tục a ∈ F ; tồn x0 ∈ E q0 ∈ F ∗ cho f (x0 ) < +∞, h(T x0 −a) < +∞, f ∗ (T ∗ q0 ) < +∞ h∗ (−q0 ) < +∞ Cũng (2.8), ta xét toán α := inf (f (x) + h(T x − a)) x∈E 40 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (2.45) Đặt M (x, b) := f (x) + h(T x − a − b) (2.46) Ta nhận α = inf x∈E M (x, 0) Ta có tốn liên quan sau: S(b) := inf M (x, b) ( Bài toán nhiễu), x∈E −S(v) := sup (−M ∗ (v, q)) (2.47) (Bài toán đối ngẫu (2.47)), q∈F ∗ (2.48) β := −S(0) = sup (−M ∗ (0, q))( Bài toán đối ngẫu (2.45)) (2.49) q∈F ∗ Khi −M ∗ (v, q) = q, a − f ∗ (T ∗ q + v) − h∗ (−q) vậy, β = sup ( q, a − f ∗ (T ∗ q) − h∗ (−q)) (2.50) q∈F ∗ Với (2.45) ta xét hàm Lagrange: L1 (x, q) := f (x) − q, T x − a − h∗ (−q), x ∈ A, q ∈ B, Trong A := domf , B := {q ∈ F ∗ |h∗ (−q) < +∞} Chú ý L1 (x, q) = L(x, −q), L ký hiệu hàm Lagrange tương ứng với (2.9) Định lý 2.4.2[5] Giả sử giả thiết (A2) đúng, tức f : E → R h : F → R hàm lồi thường nửa liên tục dưới; T : E → F tốn tử tuyến tính liên tục, a ∈ F ; Tồn x0 ∈ E q0 ∈ F ∗ cho f (x0 ) < +∞, h(T x0 −a) < +∞, f ∗ (T ∗ q0 ) < +∞ h∗ (−q0 ) < +∞ Khi đó, (i) Với (2.36) thay (2.45), (2.39) thay (2.50) 41 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn với M theo (2.46), mệnh đề (i) - (iv) định lý 2.4.1 (ii) [Sự thay đổi Định lý 2.4.1(v)] mệnh đề sau tương đương: (a”’) x ∈ E nghiệm (2.45), q ∈ F ∗ nghiệm (2.50) α = β; (b”’) (x, q) điểm yên ngựa L1 A × B; (c”’) T ∗ q ∈ ∂f (x) −q ∈ ∂h(T x − a) Từ bổ đề 2.4.1 ta suy kết sau: Bổ đề 2.4.2 Giả sử giả thiết (A2) đúng, tức f : E → R h : F → R hàm lồi thường nửa liên tục dưới; T : E → F tốn tử tuyến tính liên tục, a ∈ F ; Tồn x0 ∈ E q0 ∈ F ∗ cho f (x0 ) < +∞, h(T x0 −a) < +∞, f ∗ (T ∗ q0 ) < +∞ h∗ (−q0 ) < +∞ Khi đó, (a) h liên tục T x0 − a, tốn (2.45) ổn định (b) Nếu f ∗ liên tục T ∗ q0 , tốn (2.50) ổn định Hệ 2.4.1 Giả sử giả thiết (A2) đúng, tức f : E → R h : F → R hàm lồi thường nửa liên tục dưới; T : E → F toán tử tuyến tính liên tục, a ∈ F ; Tồn x0 ∈ E q0 ∈ F ∗ cho f (x0 ) < +∞, h(T x0 −a) < +∞, f ∗ (T ∗ q0 ) < +∞ h∗ (−q0 ) < +∞ Ngoài ra, giả sử h liên tục T x0 − a Khi đó, inf (f (x) + h(T x − a)) = max∗ ( q, a − f ∗ (T ∗ q) − h ∗ (−q)) x∈E q∈F Chứng minh 42 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (2.51) Theo bổ đề 2.4.2, toán (2.45) ổn định Do đó, khẳng định suy từ định lý 2.4.2 Bây giả sử A tập hợp lồi khác rỗng E Cho f := δA f ∗ (q) = supx∈A q, x Hơn nữa, cho F := E, T := idE a := Áp dụng hệ 2.4.1 ta nhận Hệ 2.4.2 Giả sử A tập hợp lồi khác rỗng E, h hàm lồi thường liên tục nửa liên tục điểm A Khi đó, inf h(x) = max∗ (inf q, x − h∗ (q)) x∈A q∈E x∈A (2.52) • Áp dụng Giả sử E khơng gian Hilbert với tích vơ hướng (v|u) Ta đồng E ∗ với E Hơn nữa, cho S : E → Rn hàm tuyến tính, liên tục, c ∈ Rn Chúng ta xét toán h(u) := ||u||2 → min, u ∈ E, Su = c (2.53) Giả sử tập A := {u ∈ E|Su = c} khác rỗng Từ hệ 2.4.2 ta có inf ||u||2 = max(inf (v|u) − h∗ (v)) u∈A v∈E u∈A (2.54) Xét toán đối ngẫu, tức vế phải đẳng thức (2.54): Trước hết ta tính inf u∈A (v|u) Với Q := {0} ⊆ Rn ta có Q◦ = Rn , S ∗ (Rn ) không gian tuyến tính hữu hạn chiều E(= E ∗ ) 43 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn S ∗ (Rn ) σ(E ∗ , E) - đóng Ta suy S ∗ (Rn ) = (S −1 {0})◦ = {v ∈ E|(v|u) = 0, ∀u ∈ kerS} := (kerS)⊥ (2.55) (I) Nếu v = (kerS)⊥ , tồn u0 ∈ E cho Su0 = (v|u) = Giả sử u1 ∈ A Bởi S tuyến tính, ta có u := αu0 + u1 ∈ A với α ∈ R Do đó, (v|u) = α + (v|u1 ) → −∞, α → −∞ Như vậy, inf u∈A (v|u) = −∞ (II) Nếu v ∈ / (kerS)⊥ , (2.55), tồn a ∈ Rn thỏa mãn S ∗ a = v ta nhận inf (v|u) = inf (S ∗ a|u) = inf (a|Su) = (a, c) u∈A u∈A u∈A (2.56) Điều với ∀α ∈ Rn Bây ta tính h∗ (v) Ta có 1 h∗ (v) = sup((v|u) − (u|u)) = (v|v) = ||v||2 2 u∈E Trong đẳng thức thứ hai, ta ý 1 ≤ (v − u|v − u) = (v|v) − (v|u) + (u|u), ∀u, v ∈ E 2 Từ (2.54) suy    1 ∗ 2 inf ||u||2 = maxn  (a|c) − ||S a||    u∈A a∈R =:ϕ(a) Bởi ϕ : Rn → R lõm khả vi, ta có ϕ(a0 ) = maxn ϕ(a) ⇔ ϕ (a0 ) = a∈R 44 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (2.57) ⇔ (h|c) − (h|SS ∗ a0 ) = 0, ∀h ∈ Rn ⇔ SS ∗ a0 = c Do đó, ta rút kết sau: Nếu a0 ∈ Rn nghiệm SS ∗ a0 = c (một phương trình tuyến tính Rn ), v0 := S ∗ a0 nghiệm vế phải (2.54) Ví dụ 2.4.2 Xét hệ động mô tả x(t) = F x(t) + bu(t), t ∈ [0, 1], (2.58) x : [0, 1] → Rn hàm pha u : [0, 1] → R hàm điều khiển Cho F (n, n) ma trận véctơ b ∈ Rn Tìm hàm điều khiển u chuyển hệ từ x(0) = đến x(1) = c (trong c ∈ Rn ) với tiêu thụ lượng tối thiểu Ta giả thiết lượng cần thiết cho hàm điều khiển u h(u) := u2 (t)dt Ta giải tốn khơng gian Hilbert E := L2 [0, 1] ta có h(u) = 21 ||u||2 Mỗi nghiệm x ∈ L2 [0, 1] (2.58) thỏa mãn x(0) = biểu diễn sau t φ(t − τ )bu(τ )dτ, x(t) = t ∈ [0, 1] Ở φ biểu thị ma trận (2.58) Toán tử S : L2 [0, 1] → Rn xác định φ(1 − τ )bu(τ )dτ Su := tuyến tính liên tục Điều kiện cuối x(1) = c tương đương với Su = c Vì vậy, nghiệm tốn u0 = S ∗ a0 , a0 ∈ Rn nghiệm SS ∗ a0 = c 45 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn KẾT LUẬN Luận văn trình bày lý thuyết đối ngẫu toán tối ưu lồi bao gồm nội dung sau đây: • Hàm liên hợp định lý song liên hợp, liên hợp tổng hai hàm; • Định lý Hăormander v mụ t mt khụng gian liờn hợp, định lý song cực, bổ đề Farkas suy rộng; • Định lý đối ngẫu Lagrange cho tốn lồi có ràng buộc bất đẳng thức ràng buộc tập; • Định lý đối ngẫu tổng quát áp dụng cho trường hợp đặc biệt; • Định lý đối ngẫu cho toán với hàm khả vi Gâteaux; • Đối ngẫu toán biên; • Đối ngẫu ngôn ngữ hàm giá trị hàm nhiễu Lý thuyết đối ngẫu toán tối ưu lồi nhiều tác giả nước quan tâm nghiên cứu 46 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu tiếng Việt [1 ] Đỗ Văn Lưu Phan Huy Khải (2000),Giải tích lồi, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật Tài liệu tiếng Anh [2 ] V Jeyakumar (2008), constraint qualifications characterizing Lagrangian duality in convex optimization, J Optim Theory Appl 136, 31 - 41 [3 ] V Jeyakumar and G Y Li (2009), Stable zero duality gaps in convex programming: Complete dual characterizaytions with applications to Semidefinite programs, J Math Anal Appl 360, 156 167 [4 ] V Jeyakumar and M Nealon (2000), Complete dual characterizaytions of optimality for convex semidefinite programming, Canadian Math Soc Conf Proc 27, 165 - 173 [5 ] W Schirotzek (2007), Nonsmooth Analysic, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg [6 ] E Zeidler (1984), Nonlinear Functional Analysic and Its Applications III: Variational Methods and Optimization, Springer, Berlin Heidelberg New York 47 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... Chương Đối ngẫu tốn tối ưu lồi Trình bày lý thuyết đối ngẫu cho toán tối ưu lồi bao gồm định lý đối ngẫu Lagrange cho toán lồi với hữu hạn ràng buộc tập, định lý đối ngẫu tổng quát, định lý đối ngẫu. .. Chương ĐỐI NGẪU CỦA CÁC BÀI TOÁN TỐI ƯU LỒI Chương trình bày lý thuyết đối ngẫu tốn tối ưu lồi bao gồm định lý đối ngẫu Lagrange cho tốn có ràng buộc bất đẳng thức ràng buộc tập, định lý đối ngẫu. .. xuất phát toán cực tiểu tốn đối ngẫu tốn cực đại Người ta mong muốn toán đối ngẫu dễ xử lý toán xuất phát Các loại toán đối ngẫu thường nghiên cứu đối ngẫu Lagrange, đối ngẫu Wolfe đối ngẫu Mond-Weir