Đối ngẫu mạnh trong bài toán quy hoạch toàn phương không lồi (LV thạc sĩ)

Đối ngẫu mạnh trong bài toán quy hoạch toàn phương không lồi (LV thạc sĩ)Đối ngẫu mạnh trong bài toán quy hoạch toàn phương không lồi (LV thạc sĩ)Đối ngẫu mạnh trong bài toán quy hoạch toàn phương không lồi (LV thạc sĩ)Đối ngẫu mạnh trong bài toán quy hoạch toàn phương không lồi (LV thạc sĩ)Đối ngẫu mạnh trong bài toán quy hoạch toàn phương không lồi (LV thạc sĩ)Đối ngẫu mạnh trong bài toán quy hoạch toàn phương không lồi (LV thạc sĩ)Đối ngẫu mạnh trong bài toán quy hoạch toàn phương không lồi (LV thạc sĩ)Đối ngẫu mạnh trong bài toán quy hoạch toàn phương không lồi (LV thạc sĩ)Đối ngẫu mạnh trong bài toán quy hoạch toàn phương không lồi (LV thạc sĩ)Đối ngẫu mạnh trong bài toán quy hoạch toàn phương không lồi (LV thạc sĩ)Đối ngẫu mạnh trong bài toán quy hoạch toàn phương không lồi (LV thạc sĩ)Đối ngẫu mạnh trong bài toán quy hoạch toàn phương không lồi (LV thạc sĩ)Đối ngẫu mạnh trong bài toán quy hoạch toàn phương không lồi (LV thạc sĩ)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Nghiêm Thị Phượng ĐỐI NGẪU MẠNH TRONG BÀI TOÁN QUI HOẠCH TOÀN PHƯƠNG KHÔNG LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – Năm 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGHIÊM THỊ PHƯỢNG ĐỐI NGẪU MẠNH TRONG BÀI TOÁN QUI HOẠCH TOÀN PHƯƠNG KHÔNG LỒI Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS TẠ DUY PHƯỢNG Hà Nội – Năm 2016 Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung luận văn thạc sĩ chuyên ngành, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Tạ Duy Phượng tận tình hướng dẫn để em hoàn thành đề tài Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giáo khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực đề tài thực tập Hà Nội, ngày 10 tháng 11 năm 2016 Tác giả Nghiêm Thị Phượng i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan số liệu kết trình bày khóa luận trung thực không trùng lặp với luận văn khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực khóa luận cảm ơn thông tin thu trích dẫn khóa luận rõ nguồn gốc Hà Nội, ngày 10 tháng 11 năm 2016 Tác giả Nghiêm Thị Phượng ii Mục lục Mở đầu ii Danh mục kí hiệu chữ viết tắt iv Sơ lược lý thuyết đối ngẫu 1.1 Một số định nghĩa 1.2 Một số mở rộng định lý minimax cổ điển 1.2.1 Định lý Sion 1.2.2 Một số mở rộng định lý minimax cổ điển 1.3 Định lý minimax hệ 1.4 Định lý minimax cho hàm toàn phương 16 Bài toán tối ưu hàm toàn phương không lồi 22 2.1 Tối ưu hàm toàn phương với hạn chế toàn phương 22 2.2 Tối ưu hàm toàn phương với nhiều hạn chế toàn phương 34 2.2.1 Tối ưu hàm toàn phương với hai hạn chế toàn phương 34 2.2.2 Tối ưu hàm toàn phương với nhiều hạn chế toàn phương Tài liệu tham khảo 42 58 i Mở đầu Lý chọn đề tài Lý thuyết đối ngẫu đóng vai trò quan trọng nghiên cứu toán tối ưu Có thể xây dựng lý thuyết đối ngẫu dựa định lý minimax Bài toán tối ưu hàm toàn phương bước phát triển toán tối ưu tuyến tính Bài báo [7] nghiên cứu chi tiết toán tối ưu toàn phương không lồi với hạn chế toàn phương, tác giả chứng minh định lý đối ngẫu mạnh toán quy hoạch toàn phương (không lồi) áp dụng để nghiên cứu nhiều vấn đề toán tối ưu hàm toàn phương Các kết báo liên quan soi sáng nhiều kết toán tối ưu hàm toàn phương Mục đích nghiên cứu Mục đích Luận văn trình bày kết đối ngẫu mạnh áp dụng toán qui hoạch toàn phương không lồi ii Luận văn thạc sĩ Toán học nghiêm thị phượng Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu trình bày kết đối ngẫu mạnh áp dụng toán qui hoạch toàn phương không lồi Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Các toán tối ưu hàm toàn phương Phạm vi nghiên cứu: Các kết đối ngẫu mạnh áp dụng toán qui hoạch toàn phương không lồi Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp, phân tích, hệ thống kiến thức tài liệu đối ngẫu mạnh áp dụng toán qui hoạch toàn phương không lồi Đóng góp luận văn Luận văn trình bày cách hệ thống đối ngẫu mạnh áp dụng toán qui hoạch toàn phương không lồi iii Luận văn thạc sĩ Toán học nghiêm thị phượng Danh mục kí hiệu chữ viết tắt R tập số thực Rn không gian Euclid n chiều ∅ tập rỗng x∈M x thuộc tập M x∈ /M x không thuộc tập M ∀ x ∈ M với x thuộc tập M ∃x tồn x |I| số phần tử tập I [x1 , x2 ] đoạn thẳng nối hai điểm x1 x2 x chuẩn x |x| giá trị tuyệt đối x CT ma trận chuyển vị ma trận C a, x tích vô hướng hai véc tơ a x iv Chương Sơ lược lý thuyết đối ngẫu 1.1 Một số định nghĩa Định nghĩa 1.1.1 Tập C ⊂ Rn gọi tập lồi tx1 + (1 − t) x2 ∈ C với x1 , x2 ∈ C, t ∈ [0; 1] Định nghĩa 1.1.2 Hàm f : C → R xác định tập lồi C ⊂ Rn Hàm f gọi hàm lồi C, với x1 , x2 ∈ C, t ∈ [0; 1] ta có f tx1 + (1 − t) x2 ≤ tf x1 + (1 − t) f x2 Hàm f gọi lồi chặt C, với x1 , x2 ∈ C, t ∈ [0; 1] ta có f tx1 + (1 − t) x2 < tf x1 + (1 − t) f x2 Hàm f gọi hàm tựa lồi C, với x1 , x2 ∈ C, t ∈ [0; 1] ta có f tx1 + (1 − t) x2 ≤ max f x1 , f x2 Luận văn thạc sĩ Toán học nghiêm thị phượng Hàm f gọi hàm lõm C −f hàm lồi C Hàm f gọi hàm tựa lõm C, với x1 , x2 ∈ C, t ∈ [0; 1] ta có f tx1 + (1 − t) x2 ≥ f x1 , f x2 Định nghĩa 1.1.3 Cho X không gian tôpô f :X→R Hàm f gọi nửa liên tục (l.s.c) x0 số thực α ∈ R mà f (x0 ) > α tồn lân cận mở U x0 X cho f (x) > α với x ∈ U Hàm f gọi nửa liên tục (u.s.c) x0 số thực α ∈ R mà f (x0 ) < α tồn lân cận mở V x0 X cho f (x) < α với x ∈ V Định nghĩa 1.1.4 Hàm f : Rn → R gọi hàm toàn phương có dạng 1 f (x) = xT Ax + bT x + α = x, Ax + b, x + α 2 n n n = aij xi xj + bi xi + α, i=1 j=1 i=1 A ma trận cấp n × n, b vectơ n chiều, α số Định nghĩa 1.1.5 Cho hàm thực f (x) tập C ⊂ Rn Điểm x ∈ C gọi cực tiểu địa phương f (x) C tồn hình cầu W tâm x cho f (x) ≤ f (x) ∀x ∈ W ∩ C Điểm x ∈ C Luận văn thạc sĩ Toán học nghiêm thị phượng Khi ta có đối ngẫu mạnh toán (QPm): m inf v (QP m) = max m f (x) + y∈R+ x∈H yi gi (x) (2.36) i=1 Chứng minh Lk x, t lồi ngặt H theo giả thiết (i) hj (x), j = 1, , l, lồi theo giả thiết (ii) Vì vậy, với u ∈ Rl+ hàm Lk (x, t¯) + l uj hj (x) lồi ngặt H Theo công thức (2.34) (2.35) j=1 ta viết l ω t ≥ ω (t) ≥ sup inf Lk (x, t¯) + u∈Rl+ x∈H ∀t ∈ Rk+ uj hj (x) j=1 Do với t ∈ Rk+ , u ∈ Rl+ ta có l l Lk (x, t¯) + inf x∈H ≥ inf uj hj (x) Lk (x, t) + x∈H j=1 uj hj (x) j=1 Đặt yi = ti với i = 1, , k yk+j = uj với j = 1, , l ta có m inf m f (x) + x∈H y i gi (x) i=1 ≥ inf f (x) + x∈H yi gi (x) ∀y ∈ Rm +, i=1 nghĩa m inf f (x) + x∈H m y i gi (x) = max inf m i=1 m Vì f (x) + y∈R+ x∈H yi gi (x) i=1 l y i gi (x) = Lk x, t + i=1 f (x) + uj hj (x) lồi ngặt, nên tất điều j=1 kiện Định lí 2.2.3 thỏa mãn Do đó, Định lí 2.2.4 chứng minh 46 Luận văn thạc sĩ Toán học nghiêm thị phượng Chú ý 2.2.2 (Remark 7, [7]) Định lý 2.2.3 xét trường hợp đặc biệt Định lí 2.2.4 k = m, nghĩa l = Rõ ràng m ω t = max inf m f (x) + y∈R+ x∈H yi gi (x) , i=1 vecto y = t, u nghiệm tối ưu toán đối ngẫu (mà toán (SDP) H = Rn ) Sau giải toán đối ngẫu để t, u , Định lý 2.2.4 cho cách tìm giá trị tối ưu toán đối ngẫu, đồng thời cho giá trị tối ưu toán ban đầu: hàm Lk x, t phải lồi ngặt H u phải thỏa mãn (2.35) Từ Định lý 2.2.4 trường hợp k = m − k = ta có mệnh đề sau Hệ 2.2.1 (Corollary 11, [7]) Trong (QPm) giả thiết rằng: m−1 cho hàm f (x) + (i) Tồn t ∈ R+ m−1 ti gi (x) lồi ngặt H i=1 t ∈ arg max ω (t), m−1 t∈R+ m−1 ω (t) := inf ti gi (x) gm (x) ≤ ; f (x) + i=1 ∗ (ii) gm (x) lồi gm (x ) < với x∗ ∈ H Khi đó, đối ngẫu mạnh cho (2.36) m−1 Chứng minh Vì hàm f (x) + t¯i gi (x) lồi ngặt H điều kiện i=1 (ii) thỏa mãn, theo định lí đối ngẫu mạnh toán lồi m−1 inf x∈H t¯i gi (x) gm (x) ≤ f (x) + i=1 47 Luận văn thạc sĩ Toán học nghiêm thị phượng tồn u ∈ R+ cho m−1 ω t = inf t¯i gi (x) + ugm (x) f (x) + i=1 Do kết luận suy từ Định lí 2.2.4 với k = m − Hệ 2.2.2 (Corollary 12, [7]) Trong (QPm) giả thiết rằng: (i) Tồn t ∈ R+ cho hàm f (x) + tg1 (x) lồi ngặt H t ∈ arg max ω (t), t∈R+ ω (t) := inf {f (x) + tg1 (x)| x ∈ H, gi (x) ≤ 0, i = 2, , m} ; (ii) g2 (x), , gm (x) lồi g2 (x∗ ) < 0, , gm (x∗ ) < với x∗ ∈ H Khi đối ngẫu mạnh cho công thức (2.36) Chứng minh Vì hàm f (x) + tg1 (x), gi (x), i = 2, , m lồi, theo định lý đối ngẫu quy hoạch lồi, tồn u = (u2 , , um ) ≥ thỏa mãn inf f (x) + tg1 (x) gi (x) ≤ 0.i = 2, , m m = inf f (x) + tg1 (x) + ui gi (x) i=2 Kết luận suy từ Định lý 2.2.4 với k = Định lý 2.2.5 (Theorem 8, [7]) Trong (QPm) H = Rn+ thay đa tạp affine, giả thiết rằng: (i)Với y ∈ Rm + tập hợp khác rỗng I ⊂ {1, , n}, cực m tiểu địa phương hàm L (x, y) := f (x) + yi gi (x) i=1 48 Luận văn thạc sĩ Toán học nghiêm thị phượng RI := {x ∈ Rn | xi = 0, i ∈ I} cực tiểu toàn cục Rn n (ii) Tồn y ∈ Rm + cho L (x, y) → +∞ x ∈ R+ , x → +∞ Khi ta có inf {f (x)| x ∈ Rn+ , gi (x) ≤ 0, i = 1, , m} = sup inf L (x, y) (2.37) n y∈Rm + x∈R+ Chứng minh Với y ∈ Rm + giả sử x cực tiểu địa phương L (x, y) Rn+ Nếu x ∈ intRn+ cực tiểu toàn cục Ngoài ra, I = {i| xi = 0} = ∅ x cực tiểu địa phương L (x, y) RI , đó, theo giả thiết, cực tiểu toàn cục L (x, y) Rn Như vậy, điều kiện (ii) Định lý 1.3.1 thỏa mãn Vì tất điều kiện khác định lý hiển nhiên, nên đối ngẫu mạnh chứng minh Ví dụ 2.2.3 (Example 3, [7]) Xét toán x1 x2 | x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x21 + x22 ≤ (2.38) Nếu tất hạn chế đối ngẫu hóa hàm Lagrange L (x, y) = x1 x2 − y1 x1 − y2 x2 + y3 x21 + x22 − , (2.39) dẫn đến khoảng cách đối ngẫu dương, nghĩa min2 sup L (x, y) = > −0.5 = sup min2 L (x, y) x∈R y∈R3 + y∈R3+ x∈R Thật vậy, L (x, y) = 0.5(x1 + x2 )2 + (y3 − 0.5) x21 + x22 − y3 − y1 x1 − y2 x2 49 (2.40) Luận văn thạc sĩ Toán học nghiêm thị phượng hàm L (., y) lồi với y3 ≥ 0.5 không lồi trường hợp khác sup Do đó, inf L (x, y) = −∞ y∈R2+ ×[0,0.5) x∈R2 Với y3 ≥ 0.5 ta viết inf sup (y1 ,y2 )∈R2+ x∈R2 = inf 0.5(x1 + x2 )2 + (y3 − 0.5) x21 + x22 − y3 − y1 x1 − y2 x2 0.5(x1 + x2 )2 + (y3 − 0.5) x21 + x22 − y3 x1 ≥ 0, x2 ≥ Do đó, sup inf L (x, y) = y∈R3+ x∈R2 inf L (x, y) sup y∈R2+ ×[0.5,+∞) (2.41) x∈R2 = sup inf 0.5(x1 + x2 )2 + (y3 − 0.5) x21 + x22 −y3 | x1 , x2 ≥ y3 ≥0.5 = sup (−y3 ) y3 ≥0.5 = −0.5 Tuy nhiên, hạn chế không lồi x21 + x22 ≤ đối ngẫu hóa hàm Lagrange có dạng L (x, y) := x1 x2 + y x21 + x22 − R2+ × R+ Ta viết x1 x2 | x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x21 + x22 ≤ = min2 sup x1 x2 + y x21 + x22 − x∈R+ y∈R+ (2.42) Với y = hàm L (x, 0) = x1 x2 có cực tiểu địa phương R2+ (0, 0) Với y > 0, giả sử x cực tiểu địa phương L (x, y) R2 Nếu xi > 0, i = 1, 2, x cực tiểu toàn cục Ngoài ra, {x1 , x2 } = 0, chẳng hạn x1 = Khi x2 cực tiểu địa phương y (x2 − 1) tập hợp x ∈ R2+ x1 = , x2 = 0, nghĩa 50 Luận văn thạc sĩ Toán học nghiêm thị phượng x = (0, 0) Do đó, điều kiện (i) Định lý 2.2.5 thỏa mãn Vì L (x, 1) = x1 x2 + x21 + x22 − = 0.5(x1 + x2 )2 +0.5 x21 + x22 −1 → +∞ x ∈ R2+ , x → +∞, điều kiện (ii) định lý thỏa mãn với y ∗ = Do đó, theo định lý x1 x2 | x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x21 + x22 ≤ = sup inf x1 x2 + y x21 + x22 − y∈R+ x∈R2+ điều kiểm tra trực tiếp từ đẳng thức x1 x2 | x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x21 + x22 ≤ = sup inf x1 x2 + y x21 + x22 − = 0, y∈R+ x∈R2+ cận đạt y = Ví dụ 2.2.4 (Example 4,[7]) Xét toán {f (x) := −x1 − x2 } x∈R2 với hạn chế x2 ≤ 2x41 −8x31 +8x21 +2, x2 ≤ 4x41 −32x31 +88x21 −96x1 +36, ≤ x1 ≤ 3, ≤ x2 ≤ Ta đưa vào thêm biến x3 = x21 ta viết lại ràng buộc đa thức nhiều biến sau −2x23 + 8x1 x3 − 8x3 − x2 − ≤ 0, −4x23 + 32x1 x3 − 88x3 + 96x1 − x2 − 36 ≤ 0, (2.43) x21 − 3x1 ≤ 0, x2 − 4x2 ≤ 0, x21 − x3 = 51 (2.44) Luận văn thạc sĩ Toán học nghiêm thị phượng Vì x23 hệ số dương (2.44)-(2.45) nên hàm Lagrange tương ứng L (x, y) dương ngặt với y ∈ R5+ Bây ta thay ràng buộc (2.45) cuối x21 + 0.11x23 − x3 ≤ (2.45) Có thể thấy hàm Lagrange L (x, y) lồi ngặt với y ∈ R5+ Nói cách khác, thay (2.42) ta xét toán cải biên min3 {−x1 − x2 | (2.43) , (2.45)} (2.46) x∈R T Có thể kiểm tra max L (x, y) đạt y = (0, 0, 0, 0.5, 0.6632) y∈R+ x∈R với L (., y) lồi ngặt, theo Định lý 2.2.3 ta có đối ngẫu mạnh Thật x = (0.7539, 2.0001, 2.2727)T = arg min3 L (x, y) x∈R L (x, y) = max min3 L (x, y) = −5.5076 y∈R+ x∈R Ví dụ 2.2.5 (Example 5, [7]) Xét toán cực tiểu hàm toàn phương lõm với ràng buộc tuyến tính sau đây: −50 x 10 x∈R + cT x Ax ≤ b, xi ∈ [0, 1] , i = 1, 2, , 10 52 Luận văn thạc sĩ Toán học nghiêm thị phượng   −2 −6 −1 −3 −3 −2 −6 −2 −2    −5 −3 −3      A= −5 −8 −9    −9 −8 −9 −9 −3     −8 −4 −5 −9 −7 −1 −2 (2.47) c = (48, 42, 48, 45, 44, 41, 47, 42, 45, 46)T , b = (−4, 22, −3, −23, −12)T Đây cải biên toán 2.6 [2] cách thay b3 = −6 toán 2.6 [8] b3 = −3 Hạn chế ≤ xi ≤ 1, i = 1, , 10,, viết thành 10 ràng buộc toàn phương x2i − xi ≤ 0, i = 1, , 10,, ta có tổng cộng 15 ràng buộc (2.48) Giải SDP, kiểm tra max inf L (x, y) đạt y cho 15 y∈R+ x∈R10 L (x, y) lồi ngặt đạt cực tiểu x = (1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1)T , mà điểm chấp nhận (2.48) Giá trị tối ưu −47 đối ngẫu mạnh đạt theo Định lý 2.2.3 Bổ đề 2.2.2 (Lemma 5, [7]) Ma trận R ∈ Rd×d với hệ số đường chéo rii > hệ số đường chéo rij ≤ 0, i = j Giả thiết có y > cho RT y > (2.48) Khi ma trận nghịch đảo R− dương, nghĩa có tất phần tử dương Chứng minh Định nghĩa ma trận đường chéo dương D := diag[rii ]i=1,2, ,d 53 Luận văn thạc sĩ Toán học nghiêm thị phượng ma trận không âm G = D − R, hay R = D − G Khi đó, (2.48) có nghĩa σ := Dy − GT y > < D−1 GT y = y − D−1 σ < y Không tính tổng quát, ta giả thiết rij ≤ 0, ma trận GD−1 bất khả qui Giả sử λmax [.] giá trị riêng lớn ma trận.Hiển nhiên D−1 GT không âm, theo Định lý Perron - Frobenius λmax GD −1 −1 T = λmax D G ≤ max i=1,2, ,d = max y>0 i=1,2, ,d D−1 GT y yi i D−1 GT y yi i < Cũng theo Định lí Perron - Frobenius, ma trận I − GD−1 khả nghịch −1 ma trận nghịch đảo I − GD−1 R−1 = D−1 I − GD−1 −1 dương Khi đó, rõ ràng dương Bài toán toàn phương không lồi xuất từ toán sau đây: d xi ∈RNi ,i=1,2, ,d xi : −xTi Rii xi + i=1 xTj Rij xj + σi ≤ 0, i = 1, 2, , d, j=i (2.49) < σi , ≤ Rij ∈ RNi ×Ni , i, j = 1, 2, , d (2.50) với xi vectơ RNi , Rij ma trận nửa xác định dương Ni × Ni chiều Định lý 2.2.6 (Theorem 9, [2]) Từ toán (2.50) ta có đối ngẫu 54 Luận văn thạc sĩ Toán học nghiêm thị phượng Lagrange, nghĩa sup L (x, y) = max xi ∈RNi ,i=1,2, ,d y∈Rd + d L (x, y) = y∈Rd+ xi ∈RNi ,i=1,2, ,d L (x, y) , (2.51) d xTi yj Rji − yi Rii xi + I+ i=1 σi yi j=i i=1   Chứng minh Đặt  η := sup N y∈Rd+ xi ∈R i ,i=1,2, ,d d xTi I +  i=1  d yj Rji − yi Rii  xi + σ i yi  , i=1 j=i Nghĩa η = sup y∈Rd+    d yj Rji − yi Rii ≥ 0, i = 1, 2, , d σ i yi I + i=1   , (2.52)  j=i nghiệm tối ưu y ∈ Rd+ (2.52), hàm L (x, y) lồi x = (x1 , , xd ) ∈ RN1 × × RNd Để chứng minh (2.52) ta cần chứng tỏ điều kiện (*) Bổ đề 2.1 thỏa mãn, nghĩa tồn y ∈ Rd+ (x1 , , xd ) ∈ a.r.g xi ∈RNi ,i=1, ,d L (x, y) cho (x1 , , xd ) thỏa mãn (2.50)   y i xTi Rii xi − xTj Rij xj − σi  = 0, i = 1, 2, , d (2.53) j=i Chú ý nghiệm tối ưu y ∈ Rd+ (2.53) phải thỏa mãn y j Rji − y i Rii ≤ 0, i = 1, 2, , d I+ j=i 55 (2.54) Luận văn thạc sĩ Toán học nghiêm thị phượng Thực vậy, với i đó, y j Rji − y i Rii > I+ j=i Khi ta lấy yi > y i cho y¯j Rji − y¯i Rii ≥ I+ j=i Đặt  y j=i j y= y ∈ Rd+ nghiệm chấp nhận (2.53) y j=i i d d σi y i < thỏa mãn i=1 σi yi , y nghiệm tối ưu i=1 (2.53) Vì vậy, điểm tối ưu ma trận y¯j Rji − y¯i Rii I+ j=i phải suy biến Do y i > 0, i = 1, 2, , d tồn xi ∈ RNi , xi = 1, i = 1, 2, , d cho   xTi I + y¯j Rji − y¯i Rii  xi = 0, i = 1, 2, , d, (2.55) j=i định nghĩa R = [rij ]i,j=1,2, ,d với rii := xTi Rii xi rij := −xTj Rij xj , i = j, RT y = (1, 1, , 1)T > 56 Luận văn thạc sĩ Toán học nghiêm thị phượng Theo Bổ đề 2.2, R− dương p = R−1 σ > 0, mà nghiệm hệ phương trình tuyến tính pj xTj Rij xj = σi , i = 1, 2, , d pi xTi Rii xi − (2.56) j=i Với p đó, rõ ràng xi := √ pi xi , i = 1, 2, , d chấp nhận (2.50) thỏa mãn (2.52), (2.54) chứng minh hoàn toàn 57 Kết luận chung Dựa theo [7], Luận văn trình bày đề tài "Đối ngẫu mạnh toán qui hoạch toàn phương không lồi", bao gồm nội dung sau: -Định lý minimax hệ -Tối ưu hàm toàn phương với hạn chế toàn phương -Tối ưu hàm toàn phương với nhiều hạn chế toàn phương Đề tài nhiều vấn đề chưa giải mong quan tâm nhiều nhà toán học lĩnh vực tối ưu giới, có Việt Nam Hà Nội, ngày 10 tháng 11 năm 2016 58 Tài liệu tham khảo [1] Ekeland, I., Temam, R., Convex Analysic and Variational Problems American Elsevier, North-Holtand (1976) [2] Floudas, C., Pardalos, P, A collection of test problems for constrained global optimization algorithms Lecture Notes in Comput Sci, vol 455, Spring (1990) [3] H Konig, A general minimax theorem based on connectedness, Arch Math, 59 (1992), 55-64 [4] H Konig, Addendum, A general minimax theorem based on connectedness, Arch Math, 64 (1995), 139-143 [5] Hoàng Tụy (2012), Topologocal Minimax Theorems: Old and New, 391-405 [6] H Tụy, On a general minimax theorem, Dokl Akad Nauk SSSR 219 (1974), No 4( in Russian), English translation: Soviet Math Dokl 15 (1974), 1689-1693 [7] H Tụy, H D Tuan (2013), Generalized S-Lemma and strong duality in nonconvex quadratic programming, J.Glob Optim., 56, 10451072 59 Luận văn thạc sĩ Toán học nghiêm thị phượng [8] M A Geraghty and B.-L Lin, Topological minimax theorems, Proc Amer Math Soc, 91 (1984), 337-380 [9] Sion, M., On general minimax theorems Pacific J Math (1958), 171-176 60 ... Chương Bài toán tối ưu hàm toàn phương không lồi Chương trình bày toán tối ưu hàm toàn phương không lồi với hạn chế toàn phương bao gồm toán tối ưu hàm toàn phương với hạn chế toàn phương toán. .. bày kết đối ngẫu mạnh áp dụng toán qui hoạch toàn phương không lồi Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Các toán tối ưu hàm toàn phương Phạm vi nghiên cứu: Các kết đối ngẫu mạnh áp... toàn phương không lồi với hạn chế toàn phương, tác giả chứng minh định lý đối ngẫu mạnh toán quy hoạch toàn phương (không lồi) áp dụng để nghiên cứu nhiều vấn đề toán tối ưu hàm toàn phương Các