Tính lồi của metric kobayashi trên đa tạp phức taut

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ QUỲNH NGA TÍNH LỒI CỦA METRIC KOBAYASHI TRÊN ĐA TẠP PHỨC TAUT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ QUỲNH NGA TÍNH LỒI CỦA METRIC KOBAYASHI TRÊN ĐA TẠP PHỨC TAUT Ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thị Tuyết Mai THÁI NGUYÊN - 2019 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đề tài luận văn "Tính lồi metric Kobayashi đa tạp phức taut" khơng có chép người khác Khi viết luận văn tơi có tham khảo số tài liệu, tất có nguồn gốc rõ ràng hoàn thành hướng dẫn TS Nguyễn Thị Tuyết Mai Nếu có vấn đề tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm Thái Ngun, tháng năm 2019 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Quỳnh Nga Xác nhận Xác nhận chủ nhiệm khoa Toán người hướng dẫn TS Nguyễn Thị Tuyết Mai i Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới TS Nguyễn Thị Tuyết Mai Cô dành nhiều thời gian, công sức để hướng dẫn, trả lời thắc mắc giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới bố, mẹ thành viên gia đình ln động viên, ủng hộ suốt thời gian qua Tôi xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô giáo trường Đại học Sư Phạm Thái Nguyên nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tơi suốt q trình học tập, nghiên cứu, tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tơi hồn thành chương trình học bảo vệ luận văn Bản thân suốt trình học tập nghiên cứu có nhiều cố gắng, nhiên thiếu sót chắn khó tránh Tôi mong thầy cô bạn đọc cho thiếu sót Thái Nguyên, tháng năm 2019 Học viên Nguyễn Thị Quỳnh Nga ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii LỜI MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Đa tạp phức 1.2 Đa tạp phức taut 1.3 Khoảng cách Kobayashi đa tạp phức taut 2 Chương TÍNH LỒI CỦA METRIC KOBAYASHI TRÊN ĐA TẠP PHỨC TAUT 13 2.1 Metric Buseman – Kobayashi đa tạp phức taut 13 2.2 Tính lồi metric Buseman – Kobayashi đa tạp phức taut 17 KẾT LUẬN 32 Tài liệu tham khảo 33 iii LỜI MỞ ĐẦU Từ việc nghiên cứu metric Royden – Kobayashi khoảng cách Kobayashi đa tạp phức taut, Masashi Kobayashi chứng minh đạo hàm khoảng cách Kobayashi metric Buseman – Kobayashi Cụ thể định lý sau: Nếu M đa tạp phức taut DdM tồn DdM = FM Nhờ kết Masashi Kobayashi chứng minh điều kiện cần đủ cho tính lồi của metric Royden – Kobayashi đa tạp phức taut sau: Nếu M đa tạp phức taut FM lồi lim q,q →p q=q dM (q, q ) =1 d∗M (q, q ) Mục đích luận văn nghiên cứu trình bày lại cách chi tiết, rõ ràng kết nghiên cứu Masashi Kobayashi tính lồi metric Royden – Kobayashi đa tạp phức taut Với mục đích trên, phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung luận văn gồm chương Trong chương 1, chúng tơi trình bày số kiến thức đa tạp phức, đa tạp phức taut khoảng cách Kobayashi đa tạp phức taut Chương 2, chúng tơi trình bày số kiến thức bổ sung, bổ đề sở trình bày chi tiết, rõ ràng kết Masashi Kobayashi tính lồi metric Royden – Kobayashi đa tạp phức taut Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, giới thiệu số kiến thức sở đa tạp phức, đa tạp phức taut khoảng cách Kobayashi đa tạp phức Các kiến thức tham khảo tài liệu ([1]) 1.1 Đa tạp phức Định nghĩa Giả sử X không gian tô pô Hausdorff Cặp (U, ϕ) gọi đồ địa phương X , U tập mở X ϕ : U → Cn ánh xạ, điều kiện sau thỏa mãn: i) ϕ(U ) tập mở Cn ii) ϕ : U → ϕ(U ) đồng phôi Họ A = {(Ui , ϕi )}i∈I đồ địa phương X gọi tập đồ giải tích (atlas) X điều kiện sau thỏa mãn: i) {Ui }i∈I phủ mở X ii) Với Ui , Uj mà Ui ∩ Uj = ∅, ánh xạ ϕj ◦ ϕ−1 i : ϕi (Ui ∩ Uj ) → ϕj (Ui ∩ Uj ) ánh xạ chỉnh hình Xét họ atlas X Hai atlas A1 , A2 gọi tương đương hợp A1 ∪ A2 atlas Đây quan hệ tương đương tập atlas Mỗi lớp tương đương xác định cấu trúc khả vi phức X , với cấu trúc khả vi phức gọi đa tạp phức n chiều Ví dụ 1.1 ([1]) Giả sử D miền Cn Khi đó, D đa tạp phức n chiều với đồ địa phương {(D.IdD )} Ví dụ 1.2 ([1]) Đa tạp xạ ảnh Pn (C) Xét Ui = {[z0 : z1 : : zn ] ∈ Pn (C) |zi = 0} với i = 0, 1, , n Rõ ràng {Ui }ni=1 phủ mở Pn (C) Xét đồng phôi ϕi : Ui → Cn : [z0 : z1 : : zn ] → zi−1 zi+1 zn z0 , , , , , zi zi zi zi Ta có ϕj ◦ ϕ−1 i : (z0 , , zi−1 , zi+1 , , zn ) → zk zj ; k = 0, , m; zi = k=j n Rõ ràng ϕj ◦ ϕ−1 i ánh xạ chỉnh hình Vậy P (C) đa tạp phức n chiều gọi đa tạp xạ ảnh n chiều Ánh xạ chỉnh hình đa tạp phức Định nghĩa 1.1 ([1]) Giả sử M, N đa tạp phức Ánh xạ liên tục f : M → N gọi chỉnh hình M với đồ địa phương (U, ϕ) M đồ địa phương (V,ψ) N cho f (U ) ⊂ V ánh xạ ψ ◦ f ◦ ϕ−1 : ϕ (U ) → ψ (V) ánh xạ chỉnh hình Định nghĩa tương đương với với x ∈ M, y ∈ N , tồn hai đồ địa phương (U, ϕ) (V,ψ) x y tương ứng cho ψ ◦ f ◦ ϕ−1 : ϕ (U ) → ψ (V) ánh xạ chỉnh hình Định nghĩa 1.2 ([1]) Giả sử f : M → N song ánh đa tạp phức Nếu f f −1 ánh xạ chỉnh hình f gọi ánh xạ song chỉnh hình M N Không gian tiếp xúc phân thớ tiếp xúc đa tạp phức Giả sử M đa tạp phức m chiều ∆ đĩa đơn vị C Giả sử (U, φ, ∆m đồ địa phương quanh x, tức U lân cận x φ : U → ∆ ánh xạ song chỉnh hình Đặt φ = (z , , z m ) Khi đó, (z , , z m ) hệ tọa độ chỉnh hình địa phương quang x Đặt z α = xα + iy α , xα y α giá trị thực Khi đó, (x1 , , xm , y , , y m hệ tọa độ địa phương thực quanh x, M xem đa tạp khả vi 2m chiều Giả sử Tx M không gian tiếp xúc M x Khi Tx M khơng gian vector thực 2m chiều ∂ ∂x1 ∂ ∂xm , , , ∂ ∂y , , ∂ ∂y m (1.1) sở Tx M Ký hiệu Tx M ⊗R C phức hóa Tx M Khi đó, (1.1) sở không gian vector phức Tx M ⊗R C Đặt ∂ = j ∂z ∂ ∂ −i j j ∂x ∂y ≤ j ≤ m , Ta ký hiệu Tx M =    m ξj j=1 ∂ ∂xj ; ξj ∈ C x    Khi Tx M khơng gian tuyến tính phức m chiều Tx M ⊗R C, mà độc lập với cách chọn hệ tọa độ chỉnh hình địa phương (z , , z m ) Ta gọi Tx M không gian tiếp xúc đa tạp phức M x Đặt TM = Tx M (hợp rời) x∈M Ta định nghĩa phép chiếu π : T M → M điều kiện π(Tx M ) = x Khi T M có cấu trúc đa tạp phức 2m chiều cho π ánh xạ chỉnh hình Cụ thể hơn, giả sử (z , , z m ) hệ tọa độ chỉnh hình địa phương xác định tập mở U M Khi ta có     m ∂ j −1 j ; x ∈ U, ξ ∈ C π (U ) = ξ   ∂xj x j=1 Ánh xạ m ξj j=1 ∂ ∂xj ∈ π −1 (U ) → (z (x), , z m (x), ξ , , ξ m ) ∈ C2m x hệ tọa độ chỉnh hình địa phương T M Ta gọi T M phân thớ tiếp xúc chỉnh hình đa tạp phức M Khơng gian phân thớ Ánh xạ liên tục π : E → X không gian Hausdorff gọi phân thớ K -vector bậc r điều kiện sau thỏa mãn: i) Với p ∈ X, Ep := π −1 (p) K -không gian vector r chiều (Ep gọi thớ p); ii) Với p ∈ X , tồn lân cận U p đồng phôi h : π −1 (U ) → U × K r thỏa mãn h(Ep ) ⊂ {p} × K r , hp xác định phép hợp thành hp : Ep → {p} × K r → K r đẳng cấu K -không gian vector (cặp (U, h) gọi tầm thường hóa địa phương) Đối với K -phân thớ vector π : E → X , E gọi khơng gian tồn thể, X gọi khơng gian đáy, ta thường nói E phân thớ vector X Ta ký hiệu phân thớ vector (E, π, X) ϕ : B → D cho F (f (0)) ≤ < F (f (0)) + ε, λϕ ∂ = λϕ (f (0)) đặt det(ϕ∗ )0 = Theo định lý ánh ∂x1 xạ ngược ta chọn lân cận U thuộc B cho hạn chế ϕ|U ϕ(0) = 0, ϕ∗ song chỉnh hình từ U đến tập mở V ∈ D Khơng tính tổng qt, ta giả sử pn , qn ∈ V , ϕ|U song chỉnh hình từ U đến tập mở V , tồn dãy p˜n , q˜n ∈ U cho ϕ(˜ pn ) = pn , ϕ(˜ qn ) = qn Với n, ta lấy (duy nhất) ánh xạ cực trị hn : ∆ → B vào hình cầu với p˜n q˜n cho p˜n = hn (0) q˜n = hn (sn ) với sn ∈ (0; 1) Chú ý p˜n , q˜n q˜n − p˜n = v = tn thỏa mãn điều kiện lim p˜n = lim p˜n = lim n→∞ n→∞ n→∞ tn dãy p˜n , q˜n hội tụ đến B q˜n − p˜n ϕ−1 (qn ) − ϕ−1 (pn ) = lim n→∞ tn tn −1 ϕ (fn (tn )) − ϕ−1 (fn (0)) = → (ϕ−1 ◦ f )) (0) = tn n → ∞ Do đó, dãy {hn } hội tụ đến ánh xạ cực trị h : ∆ → B Với n, hai ánh xạ ϕ ◦ hn : ∆ → D fn nối pn qn , tức ϕ ◦ hn (0) = ϕ(˜ pn ) = pn = fn (0), ϕ ◦ hn (sn ) = ϕ(˜ qn ) = qn = fn (tn ) Nhắc lại fn cực trị pn qn , δ(0, tn ) = d∗ (pn , qn ) = d∗ (ϕ ◦ hn (0), ϕ ◦ hn (sn )) ≤ δ(0, sn ) sn tn Vì fn hội tụ đến f tập compact nên ta có Điều có nghĩa tn ≤ sn ≤ fn (tn ) − fn (0) qn − pn = lim n→∞ n→∞ tn tn f (0) = lim 19 ϕ ◦ hn (sn ) − ϕ ◦ hn (0) sn n→∞ sn tn = lim Nhưng ϕ ◦ hn (sn ) − ϕ ◦ hn (0) = (ϕ ◦ hn ) (0) = 0, n→∞ sn lim dãy sn hội tụ đến số A > 1, đó, ta có tn f (0) = A(ϕ ◦ hn (0)) = Aϕ∗ (h (0)) Mặt khác, ϕ∗ ∂ ∂x1 = λϕ f (0) nên Ah (0) = ∂ λϕ ∂x1 h ánh xạ cực trị nên FB (h (0)) = 1, ta có Aλϕ = 1≤A= < F (f (0)) + ε λϕ Nhắc lại bất đẳng thức F (g (0)) ≤ với g ∈ D(∆) Đặc biệt, F (f (0)) ≤ ε > bất đẳng thức chọn tùy ý, ta có F (f (0)) = Điều chứng tỏ f cực trị theo hướng f (0) Để chứng minh đẳng thức định lý, ta nhắc lại qn − pn n→∞ tn f (0) = lim δ(0, tn ) = Hơn nữa, f n→∞ tn Thêm vào đó, δ(0, tn ) = d∗ (pn , qn ) lim ánh xạ cực trị (tức F (f (0)) = 1) nên d∗ (qn , pn ) δ(0, tn )/tn F (f (0)) = lim = = n→∞ ||qn − pn || n→∞ qn − pn ||f (0)|| ||f (0)|| tv lim d∗D (pn , qn ) 2FD (0, f (0)) Vậy lim = n→∞ pn − qn f (0) 20 Áp dụng Định lý 2.1 với p điểm M , cố định lân cận tọa độ chỉnh hình tùy ý (Uo , ϕ, ∆m ) p cho ϕ(p) = 0, M Kobayashi chứng minh định lý sau: Định lý 2.2 ([2]) Cho {pn } ⊂ M {qn } ⊂ M hai dãy hội tụ tới điểm p M Giả sử fn ∈ O(∆, M ) ánh xạ cực trị pn , qn ∈ M dãy {fn } hội tụ tới f ∈ O(∆, M ) tập compact Khi f∗ ( dζd |ζ=0 ) = f ánh xạ cực trị f∗ ( dζd |ζ=0 ) Hơn nữa, 2FM f∗ ( dζd |ζ=0 ) d∗M (pn , qn ) lim = n→∞ ϕ(pn ) − ϕ(qn ) d (ϕ ◦ f )∗ ( dζ |ζ=0 ) Chứng minh Định lý 2.2 hoàn toàn tương tự chứng minh Định lý 2.1 Cho ∆k đa đĩa đơn vị Ck , ta đặt ∆kr đa đĩa đơn vị bán kính r Giả sử f ánh xạ chỉnh hình từ ∆k vào đa tạp phức n chiều M giả sử f quy 0, có nghĩa ma trận Jacobian có hạng k Mệnh đề 2.3 ([4] Cho f phép nhúng chỉnh hình đa đĩa đơn vị ∆k vào đa tạp M n chiều Khi đó, cho r < 1, tồn phép nhúng chỉnh hình F ∆k × ∆n−k vào M cho F = f ∆k × {0} Mệnh đề H L Royden chứng minh chi tiết [4] Chúng ta nhắc lại định lý sau thác triển ánh xạ chỉnh hình quy, định lý đóng vai trò quan trọng chứng minh kết Masashi Kobayashi đạo hàm khoảng cách Kobayashi Định lý 2.3 (H.L Royden [4]) Cho f ánh xa chỉnh hình từ đĩa đơn vị ∆ vào đa tạp phức n chiều M , giả sử f quy Khi đó, với r < 1, tồn ánh xạ F từ ∆ × ∆n−1 vào M quy hạn chế ∆ × {0} f 21 Chứng minh Giả sử g ánh xạ từ đĩa đơn vị ∆ vào ∆×M , g(z) = z, f (z) Khi đó, g phép nhúng Theo Mệnh đề 2.3, tồn phép nhúng G ∆r × ∆n vào ∆ × M khớp với g ∆r × {0} Lấy π : ∆ × M phép chiếu lên thành phần M Khi đó, π ◦ g = f Vì f quy nên ta chọn khơng gian tuyến tính S (n − 1) chiều ∆n , ánh xạ π ◦ G hạn chế ∆r × S quy Vì S chứa đa đĩa ∆n−1 , ta chọn đĩa đơn vị cách thay đổi tỷ lệ, mệnh đề có F hạn chế π ◦ G ∆r × ∆n−1 Định lý chứng minh Từ giả thiết M đa tạp phức taut Do ý tồn ánh xạ cực trị cặp p, q ∈ M ξ ∈ Tp M Định lý 2.4 ([2]) Với ε > 0, tồn lân cận mở U ⊂ U0 p cho: d∗M (q, q ) − 2FM (ϕ−1 ∗ (p, ϕ(q) − ϕ(q ))) < ε ϕ(q) − ϕ(q ) , với q, q ∈ U Hơn ta có đồng thức sau: Dd∗ M = FM Chứng minh Để đơn giản, giả thiết M miền Cm Ta cần chứng minh ε > có tồn lân cận mở p cho q, q ∈ U ta có |d∗M (q, q ) − 2FM (p, q − q )| < ε q − q Giả sử ngược lại, tồn số ε > cho có điểm phân biệt qj , qj ∈ B (p, 1j ) = q ∈ Cm , q−p < j với số nguyên dương j thỏa mãn bất đẳng thức sau: d∗M (qj , q j ) − 2FM (p, qj − q j ) > ε qj − q j 22 Vì M taut nên tồn ánh xạ cực trị fj ∈ O(∆, M ) qj , qj ∈ M cho fj (0) = qj fj (cj ) = qj , cj ∈ [0, 1) với cặp điểm qj , qj ∈ B (0, 1j ) Bằng cách chọn dãy dãy {fj } (nếu cần), giả sử {fj } hội tụ tới f ∈ O(∆, M ) tập compact, −(qj − q j ) hội tụ tới ξ ∈ Cm với ξ = qj − q j Theo Định lý 2.1 ta có fj (0) − fj (cj ) f (0) |0 − cj | = lim j→∞ − cj f (0) fj (0) − fj (cj ) qj − q j = lim − j→∞ qj − q j = ξ Lấy số nguyên dương N đủ lớn thỏa mãn d∗M (qj , q j ) ε − 2FM (q , ξ) ≤ qj − q j 2FM (q , qj − q j ε ) − 2FM (p, ξ) ≤ qj − q j với j > N Khi ta có d∗M (qj , q j ) − 2FM qj − q j ≤ d∗M (qj , q j ) qj − q j p, qj − q j qj − q j  − 2FM (q , ξ) + 2FM (q , ξ) − 2FM p, qj − qj qj − qj   ≤ε Điều mâu thuẫn, hồn thành chứng minh khẳng định thứ định lý 23 Chúng ta cố định metric Hermitian h M Ta có cơng thức sau: ϕ(exp tu) − ϕ(q) = ξ; u→v t lim t→0 lim u→v t→0 ϕ(exp tu) − ϕ(q) ξ = ; ϕ(exp tu) − ϕ(q) ϕ∗ (ξ) ξ ∈ Tp M , υ = ξ + ξ u ∈ Tp M Từ khẳng định thứ định lý định nghĩa Dd∗M , ta có Dd∗M (v) d∗M (exp tu) = lim u→v |t| t→0 = lim u→v t→0 ϕ(exp tu) − ϕ(q) ϕ(exp tu) − ϕ(q) = 2FM ( ϕ(exp tu) − ϕ(q) |t| ξ ) ϕ∗ (ξ) ϕ∗ (ξ) = FM (v) Định lý chứng minh Bổ đề 2.1 ([6]) Gọi h metric Hermitian M p điểm M Khi đó, tồn số L > cho với ξ ∈ Tp M ta có L ξ ξ h h < FM (ξ) độ dài ξ cảm sinh h Định lý 2.5 ([5]) Với ξ ∈ Tp M tồn n véc tơ tiếp xúc chỉnh hình ξ1 , , ξn ∈ Tp M thỏa mãn điều kiện sau: (i) ξ1 , , ξn độc lập tuyến tính R; n (ii) ξ = ξj ; j=1 n (iii) FM (ξ) = FM (ξj ) j=1 24 Bổ đề 2.2 ([2]) Cho p điểm thuộc M Khi đó, tồn số L > thỏa mãn điều kiện sau: Với ξ ∈ Tp M , lấy ξ1 , , ξn ∈ Tp M thỏa mãn điều kiện Định lý 2.5 Khi đó, ta có bất đẳng thức sau: n ξ h ≤L ξj h j=1 Chứng minh Vì FM liên tục nên tồn số L > cho L ξ h ≥ FM (ξ) với ξ ∈ Tp M (2.1) Lấy ξ1 , , ξn ∈ Tp M thỏa mãn điều kiện Định lý 2.5 Theo Bổ đề 2.1 có n n FM (ξj ) ≥ L j=1 ξj (2.2) h j=1 Từ 2.1 2.2 ta có n L ξ h ≥ FM (ξ) = n FM (ξj ) ≥ L j=1 ξj j=1 h Bổ đề chứng minh Nhận xét 2.1 Ta cố định số nguyên dương l Lấy hai điểm q, q (l) tùy ý M cho dM (q, q ) < ∞ Vì M taut nên tồn l + điểm (l) q1 = q, q2 , , ql, ql+1 = q ∈ M cho dM (q, q ) = l j=1 d∗M (qj , qj+1 ) Bổ đề 2.3 ([2]) Cho M đa tạp phức taut p điểm M Với lân cận mở W ⊂ U0 p số nguyên dương l tồn lân cận mở V ⊂ W p thỏa mãn điều kiện sau: Với q, q ∈ V , lấy l + điểm q1 = q, q2 , , ql, ql+1 = q ∈ M cho dlM (q, q ) = Khi q1 , , ql+1 chứa W 25 l j=1 d∗M (qj , qj+1 ) Chứng minh Vì M taut, M hyperbolic (tức dM khoảng cách tơ pơ cảm sinh trùng với tô pô M ) Chọn số R > giả sử W = BdM (p, R) = {q ∈ M |dM (q, p) < R} Khi đó, tồn số r > thỏa mãn ϕ−1 (B (0, r)) ⊂ W , B (0, r) = {z ∈ Cm | z < r} Đặt V = ϕ−1 (BdB (0,r) (0, R4 )) Với hai điểm q, q ∈ V , tồn l + điểm q1 = q, q2 , , ql, ql+1 = q ∈ M cho dlM (q, q ) = l j=1 d∗M (qj , qj+1 ) Khi đó, với qj ta có dM (p, qj ) ≤ dM (p, q) + dM (q, qj ) (j) ≤ dM (p, q) + dM (q, qj ) (j) ≤ dM (p, q) + dM (q, q) Bởi khoảng cách Kobayashi có tính chất giảm khoảng cách dlB dB (0,r) (0,r) = nên ta có dM (p, qj ) ≤ dB (0.r) (ϕ(p), ϕ(q)) + dB (0,r) (ϕ(q), ϕ(q ≤ dB (0.r) (ϕ(p), ϕ(q)) + dB (0,r) (ϕ(q), ϕ(p)) + dB ≤ R (0,r) (ϕ(p), ϕ(q )) )) Do qj chứa W Bổ đề 2.4 ([2]) Cho lân cận mở V p số C > cho với cặp điểm q, q ∈ V số nguyên dương l, ta có: l ϕ(qj ) − ϕ(qj + 1) ≤ C ϕ(q) − ϕ(q ) , j=1 q1 = q, q2 , , ql, ql+1 = q ∈ M cho l dlM (q, q d∗M (qj , qj+1 ) )= j=1 26 Chứng minh Vì M taut nên FM liên tục Khoảng cách Kobayashi dM dạng tích phân FM , tồn lân cận mở W p số C > cho C ϕ(q) − ϕ(q ) ≤ dM (q, q ), với q, q ∈ W Chọn lân cận mở đủ nhỏ V ⊂ W p Bổ đề 2.4 Với q, q ∈ V ta lấy l + điểm q1 = q, q2 , , ql, ql+1 = q ∈ W cho dlM (q, q ) = l d∗ M (qj , qj+1 ) Ta có j=1 l l ϕ(qj ) − ϕ(qj+1 ) ≤ C j=1 dM (qj , qj+1 ) (2.3) j=1 l (l) d∗M (qj,qj+1 ) = dM (q, q ) ≤ d∗M (q, q ) ≤ (2.4) j=1 Mặt khác, chọn số nhỏ R > 0, giả thiết V = ϕ−1 (B (0, R)) ϕ−1 (B (0, 2R)) ⊂ W Khi đó, tồn số C > cho dB (0,2R) (ϕ(q), ϕ(q )) ≤ C ϕ(q) − ϕ(q ) , q, q ∈ V Vì ta có d∗M (q, q ) ≤ dB (0,2R) (ϕ(q), ϕ(q )) ≤ C ϕ(q) − ϕ(q ) Kết hợp 2.4 2.5 ta có l ϕ(qj ) − ϕ(qj+1 ) ≤ C C ϕ(q) − ϕ(q ) j=1 Bổ đề chứng minh Bổ đề chìa khóa để chứng minh định lý 27 (2.5) Bổ đề 2.5 ([2]) Với ε > số nguyên dương l ≥ 2m, tồn lân cận mở U ⊂ U0 p cho (l) dM (q, q ) − 2FM (ϕ−1 ∗ (p, ϕ(q ) − ϕ(q )) < ε ϕ(q) − ϕ(q ) với q.q ∈ U Chứng minh Để đơn giản, ta giả thiết M miền Cm Lấy hai điểm phân biệt q, q ∈ U0 tùy ý Chọn điểm q1 = q, q2 , , ql, ql+1 = q ∈ M thỏa mãn dlM (q, q l )= j=1 m d∗M (qj , qj+1 ) n véc tơ tiếp xúc chỉnh hình (p, ξ1 ), , (p, ξn ) ∈ M × C với (p, q − q ) ∈ M × Cm Định lý 2.7, n ≤ 2m Ta có l j−1 n d∗M (qj , qj+1 ) = (l) dM (q, q d∗M (q )≤ j=1 + j=1 j ξk , q + k=0 ξk , k=1 ξ0 = Vì ta có l j=1 (l) d∗M (qj , qj+1 ) dM (q, q ) = ≤ q−q q−q d∗M (q n j−1 + j ξk , q + k=0 ξk ) k=1 ξj j=1 ξj q−q Chúng ta dễ dàng thấy l (l) j=1 d∗M (qj , qj+1 ) qj+1 − qj d (q, q ) = M ≤ qj+1 − qj q−q q−q n d∗M (q j=1 j−1 + j ξk , q + k=0 ξk ) k=1 ξj ξj q−q Ta cố định ε > tùy ý lấy lân cận mở U p Khi với q, q ∈ U ta có l 2FM p, ≤ j=1 (l) dM (q, q qj+1 − qj qj+1 − qj ) q−q 28 −ε qj+1 − qj q−q n ≤ 2FD p, j=1 ξj ξj ξj q−q +ε Thay U lân cận mở nhỏ hơn, ta giả sử điều kiện có Bổ đề 2.2 Bổ đề 2.4 thỏa mãn Vì vậy, ta có l ≤ FM p, j=1 (l) dM (q, q qj+1 − qj q−q − Cε ξj q−q + Lε ) q−q n ≤2 FD p, ε j=1 Bởi l FM j=1 l qj+1 − qj p, q−q ≥ FM p, j=1  l ≥FM p, j=1 =FM p, qj+1 − qj q−q  qj+1 − qj  q−q q−q q−q n FM p, j=1 ξj ξj = FM p, q −q q −q = FM p, q −q q −q nên ta có 2F M q −q p, q −q (l) d (q, q ) q−q − Cε ≤ M ≤ 2FM p, q−q q −q + Lε Các số C, L không phụ thuộc vào l Định nghĩa 2.9 Cho h metric Hermit đa tạp phức M Cố định điểm p thuộc M Khi đó, h cảm sinh ánh xạ mũ exp : U → M , 29 U ⊂ T M lân cận mở nhỏ ∈ Tp M Nếu tồn giới hạn lim u→υ t→0 dM (q, exp tu) , |t| u ∈ Tq M ta gọi giới hạn đạo hàm giả khoảng cách Kobayashi dM M , kí hiệu DdM (υ) = u→υ lim t→0 dM (q, exp tu) |t| Định lý 2.6 ([2]) Nếu M đa tạp phức taut DdM tồn DdM = FM Chứng minh Lấy metric hermit M , ta có lim t→0 dM (exp tυ, q) = FM ϕ(exp tυ) − ϕ(q) ξ ϕ∗ (ξ) , ξ ∈ Tp M với υ = ξ + ξ Do ta có dM (q, exp tu) |t| t→0 dM (q, exp tu) ϕ(exp tu) − ϕ(q) = u→υ lim |t| t→0 ϕ(exp tu) − ϕ(q) ξ = 2FM ϕ∗ (ξ) ϕ∗ (ξ) DdM (υ) = u→υ lim = 2FM (ξ) = FM (υ) Định lý chứng minh Định lý cho công thức sau: Nếu D miền taut M lim (q,η)→(p,ξ) t→0 dD (q, q + tη) = 2FD (p, ξ) |t| 30 với ξ ∈ Cm , D miền taut Cm Từ Định lý 2.6 Định lý 2.4 dễ dàng có Hệ 2.1 Hệ 2.1 ([2]) Cho M đa tạp phức taut, FM lồi p lim q,q →p q=q dM (q, q ) =1 d∗M (q, q ) Từ Hệ 2.1 ta thấy p ∈ M điểm đơn Kobayashi, FM lồi p Thật vậy, p điểm đơn Kobayashi ta có đồ FM p tập lồi Điều kéo theo FM nửa chuẩn FM lồi p 31 KẾT LUẬN Luận văn "Tính lồi metric Kobayashi đa tạp phức taut" trình bày số kết sau đây: Trình bày số kiến thức đa tạp phức, đa tạp phức taut khoảng cách Kobayashi đa tạp phức taut Trình bày số kiến thức sở trình bày chi tiết, rõ ràng kết nghiên cứu sau: - Trình bày tính chất giả metric Buseman – Kobayashi (Mệnh đề 2.1) tính chất giả metric Royden - Kobayashi (Mệnh đề 2.2) - Trình bày kết thác triển ánh xạ chỉnh hình quy (Định lý 2.3) - Trình bày lại cách chi tiết, rõ ràng kết nghiên cứu Masashi Kobayashi chứng tỏ đa tạp phức taut đạo hàm khoảng cách Kobayashi giả metric Buseman – Poincare trùng (Định lý 2.6) Nhờ định lý này, M Kobayashi đưa điều kiện cần đủ cho tính lồi giả metric - Trình bày kết nghiên cứu ánh xạ chỉnh hình quy (Định lý 2.3) 32 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Phạm Việt Đức, "Mở đầu lý thuyết không gian phức hyperbolic", 2005, NXB Đại học Sư phạm Tiếng Anh [2] Masashi Kobayashi, "On the convexity of the Kobayashi metric on a taut complex manifold", Volume 194 No 1, May 2000 [3] Pang, M.Y.,"On infinitesimal behavior of the Kobayashi distance", Pacific J Math., 162(1) (1994), 121-141 [4] Royden, H L., "The Extension of regular holomorphic maps", Proc Amer Math Soc., 43(2) (1974), 306-310 [5] ., "A new invariant infinitesimal metric", Internat J Math., 1(1) (1990), 83-90 [6] Royden, H.L., "Remarks on the Kobayashi metric", Several complex variables II, pp 125-137, Lecture Notes in Math., Vol 185, Springer, Berlin, 1971 33 ... 1.1 Đa tạp phức 1.2 Đa tạp phức taut 1.3 Khoảng cách Kobayashi đa tạp phức taut 2 Chương TÍNH LỒI CỦA METRIC KOBAYASHI TRÊN ĐA TẠP PHỨC... Chương TÍNH LỒI CỦA METRIC KOBAYASHI TRÊN ĐA TẠP PHỨC TAUT Trong chương này, nghiên cứu metric Royden -Kobayashi khoảng cách Kobayashi đa tạp phức taut Chúng ta chứng minh đạo hàm khoảng cách Kobayashi. .. lồi metric Royden – Kobayashi đa tạp phức taut Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, giới thiệu số kiến thức sở đa tạp phức, đa tạp phức taut khoảng cách Kobayashi đa tạp phức Các kiến thức