Chuẩn eisenman trên đa tạp phức

Chuẩn eisenman trên đa tạp phức

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM -------------- @  --------------- LƯU THỊ NHÀN CHUẨN EISENMAN TRÊN ĐA TẠPPHỨC CHUYÊN NGÀNH: GIẢI TÍCH MÃ SỐ : 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM -------------- @  --------------- LƯU THỊ NHÀN CHUẨN EISENMAN TRÊN ĐA TẠP PHỨC CHUYÊN NGÀNH: GIẢI TÍCH MÃ SỐ : 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS PHẠM VIỆT ĐỨC THÁI NGUYÊN – 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 MỤC LỤC Mở đầu …………………………………………………………………… .2 Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 1.1. Nhóm tự đẳng cấu của Bn ……………………………………………… 4 1.2. Metric vi phân Royden-Kobayashi .8 Chương 2: Các khoảng cách bất biến và chuẩn Eisenman trên Bn 2.1. Các khoảng cách bất biến trên Bn…………………………… 20 2.2. Chuẩn Eisenman trên Bn …………………………………… . 32 Chương 3: Chuẩn Eisenman trên đa tạp phức 3.1. Các định nghĩa…………………………………………………… .36 3.2. Một số tính chất của Ek………………………………………… 37 3.3. Dạng thể tích trên đa tạp ……………………………… .40 3.4. Độ đo Eisenman trên đa tạp …………………………………… 41 3.5. Đa tạp hypebolic k- độ đo………………………………… 42 3.6. Một số tính chất . . 43 3.7. Trường hợp k = 1 . .45 3.8. Công thức tích 48 Kết luận ……………………………………………………… . 51 Tài liệu tham khảo ……………………………………………… 52 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 MỞ ĐẦU Năm 1969, D.A Eisenman trong luận án Tiến sĩ của mình [5] đã đưa ra khái niệm chuẩn Eisenman Ek trên một đa tạp phức. Trong trường hợp k = 1 nó chính là bình phương của metric vi phân Kobayashi [8]. Năm 1985, trong [6] I.Graham và H. Wu đã chứng minh được một số tính chất của Ek tương tự như tính chất của metric vi phân Royden-Kobayashi. Mục đích của luận văn này là tìm hiểu về chuẩn Eisenman và trình bày một cách có hệ thống các tính chất của nó. Luận văn được chia làm ba chương. Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Chương này trình bày các tính chất của nhóm tự đẳng cấu của Bn và metric vi phân Royden-Kobayashi làm cơ sở để trình bày các kiến thức ở các chương tiếp theo. Chương 2. Các khoảng cách bất biến và chuẩn Eisenman trên Bn Phần đầu của chương trình bày một số khoảng cách bất biến trên Bn và một số tính chất của chúng. Phần tiếp theo của chương là trình bày về chuẩn Eisenman trên Bn và các tính chất của chuẩn Eisenman trên Bn. Chương 3. Chuẩn Eisenman trên đa tạp phức Trong chương này chúng tôi đã trình bày khái niệm và một số tính chất của chuẩn Eisenman trên một đa tạp phức. Ngoài ra còn trình bày một số khái niệm như dạng thể tích nội tại Eisenman, độ đo Eisenman trên đa tạp, hyperbolic k-độ đo. Phần cuối chương xét cụ thể trường hợp E1 và chứng minh công thức tích của chuẩn Eisenman trên các đa tạp phức. Luận văn được hoàn thành tại khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Phạm Việt Đức. Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn chân thành đến người Thầy của mình . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Nhân đây cho phép tôi bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn đến các thầy, cô trong tổ bộ môn Giải tích. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô phản biện đã cho tôi những ý kiến quý báu để tôi hoàn thành luận văn này, tôi xin cảm ơn Ban Giám Hiệu, Khoa Toán, Khoa sau Đại học Trường Đại học Sư Phạm Đại học Thái Nguyên và những người thân đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Do nhiều nguyên nhân khác nhau nên luận văn này không tránh khỏi thiếu sót và hạn chế, tôi mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 10 năm 2009 Lưu Thị Nhàn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Nhóm tự đẳng cấu của Bn 1.1.1. Định nghĩa   :nnB r z z r   ở đây . là chuẩn Euclid. Với ()na B r ta định nghĩa ma trận ()ra cấp nn như sau:    trrraaa v a Ir v a, trong đó a là ma trận cột ,  22rv a r a, và I là ma trận đơn vị. Khi r = 1 ta kí hiệu  1v a = v (a). 1.1.2. Một số tính chất Với ()na B r, ta định nghĩa ánh xạ    :r n nag B r B r xác định bởi    rnart2z-ag (z)=r.Γ a , z B rr - a z Khi r = 1 ta kí hiệu      11 a ar a = r(a); g z = g z. 1.1.2.1. Ta có aΓ (a)= r.Γ( )rr. 1.1.2.2. Cho ,na z B (r), ta có đẳng thức raarzg (z)= r g ( )r. Chứng minh.    2ra r att22rz a z a z arg r r. a . g zrrr a z r a z               . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 1.1.2.3. Nhóm ( ( ))nAut B r các tự đẳng cấu của nB (r) tác động bắc cầu trên ()nBr. Chứng minh. Ta có   rnag Aut B r và  rag a 0, (0) (0)arraag rg r ar   . 1.1.2.4. Ta có       n r naAut B r A.g : A U n ,a B r  , trong đó U(n) là nhóm unita. Chứng minh. Ta có ( ( ))nAut B rvà  nAut B là đẳng cấu, hơn nữa    naAut B A g : A U n  . Từ đó ta có điều phải chứng minh. 1.1.2.5. Ta có  Γ a a= rar với  na B r. Chứng minh.  22ra a r aΓ a a= rΓ a= r Γ = r = rar r a r         . 1.1.2.6. Ta có    trrΓ a = Γ a, do đó  ttra Γ a = r a. Thật vậy,    tttrra a aΓ a = rΓ = r Γ = r Γ = Γ ar r r               . Hơn nữa,  ttt t 2 2 tra a a aa Γ a = a rΓ = r Γ = r = r ar r r r           . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 1.1.2.7. Ta có          22tr r r r rΓ a = r -v a Γ a +r v a I = a a+v a I. Thật vậy, ta có          2222rrrr r ra a a aΓ a = r Γ = r 1- v Γ +v Ir r r ra= r -v a rΓ +rv a Ir= r -v a Γ a +rv a I,                      và   2.22t222r2t2trIa a a aΓ a = r Γ = r +v Ir r r ra=a a+r v Ir=a a+v a          1.1.2.8. Ta có           t-1r r rr r r1 1 a aΓ a = Γ a + v a - r I = - rIrv a rv a r-v a. Chứng minh.             .-1-1-1rrrrrrra 1 aΓ a = r Γ = Γr r r1 1 a a = Γ + v -1 Iar r rvr1 1 1= Γ a + v a - r Iv a r r1= Γ a + v a - r Irv a                   Ngoài ra ta có Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7        .-1t-1r2ttr r rr1 a 1 a aΓ a = Γ = - Iarrarvr 1-vrr1 a a 1 a a= -I = -rIv a rv a r-v ar r -v a    1.1.2.9. Ta có    -2t2r3r1Γ a = -a a+r Ir v a. Chứng minh.    .-2-2r2t22t23r1aΓ a = Γrr1 1 a a= - +Iarrvr1= -a a+r Ir v a 1.1.2.10.      k-1k-122rrdetΓ a = r -v a = r r - a . Thật vậy,   .rk-1kkk-12k-12k2adetΓ a = det rΓraa=r detΓ = r -vrra=r - 1- = r - r - ar          1.1.2.11. Ta có r r -1Aa ag = A g A với  A U n . Chứng minh. Để tính ,rAag ta có [...]... 1.2.5 Bổ đề (Royden) Cho M là đa tạp phức và h :   r   M là ánh xạ với h '  0   Oh 0 thì với mọi số dương s  r tồn tại ánh xạ chỉnh hình H :   s    1 m1  M sao cho H là song chỉnh hình trong lân cận của O và H  z1 ,0, ,0   h  z1  với mọi z1    s  Hơn nữa nếu h là nhúng địa phương thì H cũng là nhúng địa phương 1.2.6 Định lý Cho M là đa tạp phức thế thì metric vi phân Kobayashi... “Nếu X là đa tạp phức, thì FX là hàm nửa liên tục trên TX     Nếu X là không gian phức hyperbolic đầy thì FX liên tục” thì FX    t   nửa liên tục tại t trong đó   t  là liên tục Từ đó có hàm h :0,1    thoả mãn với phép chia 0  t0  t1   tl  1, (3) Ta có     i) h(t )  FX    t    0; ii) h t j 1 ,t j   ,1  j  l là các hạn chế của các hàm liên tục xác định trên các... log ( h(0) = 0), 1 r 1 r Vì vậy γ  a,b  = h'  0  2 log 1+ ρ  a,b  = h' 0  λ  a,b  1- ρ  a,b  Mệnh đề được chứng minh hoàn toàn 2.2 Chuẩn Eisenman trên Bn 2.2.1 Định nghĩa Cho z  B n và v1 , v2 , , vk Tz  B n  Ta định nghĩa chuẩn Eisenman trên Bn như sau: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên32 http://www.lrc-tnu.edu.vn  λ  z;v1 , ,vk  = det  Re vi ,v j k n z  1... cách trên X và gọi là giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức X k Tổng    0, a  được gọi là tổng Kobayashi của dây chuyền chỉnh hình  i 1 D i Nếu X không liên thông, ta định nghĩa d X  x, y    với x, y thuộc các thành phần liên thông khác nhau 1.2.9 Định nghĩa Không gian phức X gọi là không gian hyperbolic (theo nghĩa Kobayashi ) nếu giả khoảng cách Kobayashi dX là khoảng cách trên. ..    FM  x   2 z1  O  vì vậy FM là nửa liên tục trên tại  x  Ox Để chứng minh FM nửa liên tục trên tại Ox chúng ta cố định W là lân cận compact tương đối trong M Lấy bất kỳ metric Hecmit trên lân cận của W Đặt K = y T  M  : y  W; y  1 Vì K là compact trong T  M  \ O và FM là nửa liên tục trên K suy ra FM đạt cực đại A trên K, lấy L  A với mọi   0 , đặt:   U=  y  T  M... 2 CÁC KHOẢNG CÁCH BẤT BIẾN VÀ CHUẨN EISENMAN TRÊN Bn 2.1 Các khoảng cách bất biến trên Bn 2.1.1 Định nghĩa Cho a, b  B n , ta định nghĩa ρn  a,b  = Ta b  = Γ  a   = 1   b-a 1- t ab 1- a  1- b  2 2 1- t ab 2 1 2     =    1 t 2 2 2 ab - a b + a -b 1- t ab 2 2 2    Thường bỏ qua chỉ số dưới ta kí hiệu    n 2.1.2 Mệnh đề ρ là khoảng cách trên Bn Nó là bất biến đối với... có:   y  y     y  FM   FM  y   FM   y    y  y        L  A    FM  Ox    Suy ra FM nửa liên tục trên tại Ox Điều phải chứng minh 1.2.7 Mệnh đề Cho M là đa tạp phức và S là tập con giải tích của M với co dim S  2 thế thì FM \ S  FM trên M \ S Chứng minh Cho f :   r   M là ánh xạ chỉnh hình bất kỳ với f  0   S Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái... FM  x  1.2.4 Mệnh đề Cho M1, M2 là hai đa tạp phức Thế thì với mọi  x   y  T  M1  x  T  M 2  y ta có   FM1M 2  x   y   max FM1  x  , FM 2  y  Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên10 http://www.lrc-tnu.edu.vn Chứng minh Xét ánh xạ chiếu tự nhiên  j : M1  M 2  M j , j =1, 2 nó là ánh xạ chỉnh hình, theo định lý trên ta có   FM1M 2  x   y   max FM1... rd  g a  h  = r  dg a   r r h a   dh a  Γa     1 a =  dg a  =  r  = 2 r2  Γ   2 2 r r -a  r h a  1- a r = r Γr  a  r -a2 2 1.2 Metric vi phân Royden-Kobayashi trên đa tạp phức 1.2.1 Định nghĩa Một ánh xạ F : T  M     gọi là metric vi phân nếu nó thoả mãn các điều kiện sau: i) F  Ox   0 với Ox là vectơ không của T  M  x ii)Với mọi  x  T  M  x và   ...   a  c suy ra FM  a x   a  FM  x   z 0  Vì f  ac   Suy ra 1  1 FM  x   FM  a   x   FM  a x  a  a FM  a x   a  FM  x  do đó 1.2.3 Định lí Cho M, N là hai đa tạp phức, f : M  N là ánh xạ chỉnh hình thì ta có f  FN  FM , có nghĩa FN  f  x    FM  x  với mọi  x  T  M  x Đặc biệt nếu f là song chỉnh hình thì f  FN  FM Chứng minh Lấy h :   . chương là trình bày về chuẩn Eisenman trên Bn và các tính chất của chuẩn Eisenman trên Bn. Chương 3. Chuẩn Eisenman trên đa tạp phức Trong chương. chất của chuẩn Eisenman trên một đa tạp phức. Ngoài ra còn trình bày một số khái niệm như dạng thể tích nội tại Eisenman, độ đo Eisenman trên đa tạp, hyperbolic