Khóa luận cấu trúc phức và cấu trúc hermit trên không gian vectơ

Mục lục Mở đầu 2 1 Các kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Không gian vectơ Ơclit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Đại số đa tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4.1 Tích tenxơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4.2 Đại số tenxơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4.3 Đại số ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Cấu trúc phức và cấu trúc Hermit 13 2.1 Cấu trúc hầu phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Cấu trúc Hermit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Kết luận 33 1 Lời mở đầu Như ta đã biết, một không gian vectơ thực V luôn được chứa trong không gian vectơ phức V C = V ⊗ R C qua ánh xạ α → α ⊗ 1, ∀α ∈ V. Bằng cách trang bị trên V một tích vô hướng và một cấu trúc hầu phức, ta có thể nghiên cứu các cấu trúc cảm sinh trên đại số ngoài  ∗ V (tương ứng  ∗ V C ) của không gian vectơ thực V (tương ứng V C ). Bên cạnh đó, ta có thể nghiên cứu các toán tử tuyến tính trên đại số ngoài của các không gian cấu trúc như toán tử Hodge, toán tử Lefschetz, toán tử Lefschetz đối ngẫu và mối quan hệ giữa các toán tử này. Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về đại số tuyến tính và đại số đa tuyến tính, em chọn đề tài "Cấu trúc phức và cấu trúc Hermit trên không gian vectơ" làm khóa luận tốt nghiệp đại học. Khóa luận gồm hai chương nội dung: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, em trình bày các kiến thức cơ bản về đại số tuyến tính và đại số đa tuyến tính làm cơ sở nghiên cứu chương 2. Chương 2: Cấu trúc phức và cấu trúc Hermit. Trong chương này, em trình bày các khái niệm về cấu trúc hầu phức, cấu trúc Hermit trên một không gian vectơ thực V, các toán tử Hodge, toán tử Lefschetz và toán tử Lefschetz dối ngẫu trên đại số ngoài của không gian vectơ V, không gian vectơ V C và mối quan hệ giữa các toán tử này. Do thời gian và năng lực có hạn nên khóa luận không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót, rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận được hoàn thiện hơn. 2 Trong quá trình thực hiện khóa luận, em luôn nhận được sự hướng dẫn, giúp đỡ tận tình của Tiến sĩ Trần Huệ Minh - Giảng viên khoa Toán, trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên. Em xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc đến cô. Em cũng xin gửi lời cảm ơn tới Ban chủ nhiệm khoa, các thầy cô giáo và các bạn sinh viên Khoa Toán, trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã quan tâm, giúp đỡ, tạo mọi điều kiện để em hoàn thành khóa luận này. 3 Chương 1 Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian vectơ Giả sử K là một trường. Định nghĩa 1.1. Tập hợp V khác rỗng được gọi là một không gian vectơ trên K nếu nó được trang bị hai phép toán gồm: (a) Phép cộng vectơ: ” + ” :V × V → V (α, β) → α + β, (b) Phép nhân vectơ với vô hướng: ” · ” :K × V → V (a, α) → aα; Các phép toán này thỏa mãn những điều kiện (hoặc tiên đề) sau đây: (V1) (α + β) + γ = α + (β + γ), (V2) ∃0 ∈ V : 0 + α = α + 0 = α, (V3) ∀α ∈ V, ∃α  ∈ V : α + α  = α  + α = 0, (V4) α + β = β + α, (V5) (a + b)α = aα + bα, 4 (V6) a(α + β) = aα + aβ, (V7) a(bα) = (ab)α, (V8) 1α = α, ∀α, β ∈ V, a, b ∈ K. Các phần tử của V được gọi là các vectơ, các phần tử của K được gọi là các vô hướng. Bốn tiên đề đầu nói rằng V là một nhóm abel đối với phép cộng. Các tiên đề (V5) - (V7) nói rằng phép nhân với vô hướng có tính chất phân phối đối với phép cộng vô hướng, phân phối đối với phép cộng vectơ. Tiên đề (V8) nói rằng phép nhân đối với vô hướng được chuẩn hóa. Một không gian vectơ trên K còn được gọi là K-không gian vectơ, hay đơn giản là một không gian vectơ nếu K đã rõ. Khi K = R, V được gọi là một không gian vectơ thực. Khi K = C, V được gọi là một không gian vectơ phức. Định nghĩa 1.2. Giả sử W 1 , , W m là các không gian vectơ con của V. Tập hợp W 1 + + W m = {α 1 + + α m |α i ∈ W i , i = 1, , m} hiển nhiên lập nên một không gian vectơ con của V. Khi đó, không gian vectơ W 1 + + W m được gọi là tổng của các không gian W 1 , , W m . Nó được ký hiệu bởi  m i=1 W i . Nếu mọi vectơ trong tổng W 1 + + W m đều được viết duy nhất dưới dạng α = α 1 + + α m , với α i ∈ W i (i = 1, , m) thì W 1 + + W m được gọi là tổng trực tiếp của các không gian W 1 , , W m , và được ký hiệu là W 1 ⊕ ⊕ W m . 1.2 Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa 1.3. Ánh xạ f : V → W được gọi là một ánh xạ tuyến tính (hoặc rõ hơn, một ánh xạ K-tuyến tính), nếu 5 f (α + β) = f (α) + f (β), f (aα) = a f (α), với mọi α, β ∈ V và mọi vô hướng a ∈ K. Ánh xạ tuyến tính cũng được gọi là đồng cấu tuyến tính, hay đồng cấu. Định nghĩa 1.4. Giả sử V và W là các K-không gian vectơ. Tập tất cả các ánh xạ tuyến tính từ V vào W được ký hiệu là L(V, W) (hoặc Hom(V, W)). Định nghĩa 1.5. Một đồng cấu (tuyến tính) f : V → W đồng thời là một đơn ánh, toàn ánh, song ánh lần lượt được gọi là một đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu(tuyến tính). Định nghĩa 1.6. Một đồng cấu (tuyến tính) từ không gian vectơ V vào chính nó được gọi là một tự đồng cấu (tuyến tính) của V. Một tự đồng cấu của V đồng thời là đẳng cấu được gọi là một tự đẳng cấu của V. Không gian vectơ tất cả các tự đồng cấu của V được ký hiệu là End(V). Tập hợp tất cả các tự đẳng cấu của V được ký hiệu là GL(V). Định nghĩa 1.7. Không gian V ∗ = L(V, K) các ánh xạ tuyến tính từ V vào K được gọi là không gian vectơ đối ngẫu của V. Mỗi phần tử của V ∗ được gọi là một dạng tuyến tính trên V. Định nghĩa 1.8. Ánh xạ tuyến tính f ∗ : W ∗ → V ∗ được gọi là đồng cấu (hay ánh xạ) đối ngẫu của đồng cấu f : V → W. Định nghĩa 1.9. Giả sử f là một tự đồng cấu của K-không gian vectơ V. Nếu có vectơ α  0 và vô hướng λ ∈ K sao cho f (α) = λα thì λ được gọi là một giá trị riêng của f còn α được gọi là một vectơ riêng của f ứng với giá trị riêng λ. Định nghĩa 1.10. Giả sử λ là một giá trị riêng của tự đồng cấu f : V → V. Không gian vectơ Ker( f − λid V ) gồm vectơ 0 và tất cả các vectơ riêng của f ứng với giá trị riêng λ được gọi là không gian riêng của f ứng với giá trị riêng λ. 6 1.3 Không gian vectơ Ơclit Định nghĩa 1.11. Giả sử V là một không gian vectơ thực. Hàm η : V × V → R được gọi là song tuyến tính nếu nó tuyến tính với từng biến khi cố định biến còn lại. Mỗi hàm song tuyến tính như thế được gọi là một dạng song tuyến tính trên V. Khi đó: (i) Dạng song tuyến tính η : V × V → R được gọi là đối xứng nếu η(α, β) = η(β, α), ∀α, β ∈ V. (ii) η được gọi là dương nếu η(α, α) ≥ 0, ∀α ∈ V. (iii) η được gọi là xác định dương nếu nó dương và η(α, α) = 0 ⇔ α = 0. (iv) Một dạng song tuyến tính, đối xứng và xác định dương trên V được gọi là một tích vô hướng trên V. Tích vô hướng trên không gian V thường được ký hiệu là , . Không gian vectơ thực V cùng với một tích vô hướng trên V được gọi là một không gian vectơ Ơclit. Định nghĩa 1.12. Hai vectơ α, β ∈ V được gọi là trực giao với nhau, và được ký hiệu là α ⊥ β, nếu α, β = 0. Định nghĩa 1.13. Cho V là một không gian vectơ trên trường K. Một ánh xạ tuyến tính từ V vào V được gọi là một toán tử tuyến tính của của V. Một toán tử tuyến tính ϕ của V được gọi là một toán tử trực giao nếu ϕ là một ánh xạ đẳng cự. 7 Định nghĩa 1.14. Cho ϕ là một toán tử tuyến tính của V. Ánh xạ (α, β) → ϕ(α), β cũng là một dạng song tuyến tính trên V. Khi đó, tồn tại duy nhất một toán tử tuyến tính ϕ T của V sao cho α, ϕ(β) = ϕ T (α), β với mọi vectơ α, β ∈ V. Toán tử tuyến tính ϕ T được gọi là toán tử liên hợp với ϕ Định nghĩa 1.15. Giả sử V là một không gian vectơ phức. Một hàm η : V ×V → C được gọi là một dạng Hermit trên V nếu nó thỏa mãn hai điều kiện sau đây: (i) η tuyến tính đối với biến thứ nhất: η(α 1 + α 2 , β) = η(α 1 , β) + η(α 2 , β), ∀α 1 , α 2 , β ∈ V, η(aα, β) = aη(α, β), ∀a ∈ C, α, β ∈ V. (ii) η là một hàm liên hợp đối xứng: η(β, α) = η(α, β), ∀α, β ∈ V, trong đó η(α, β) là liên hợp phức của η(α, β). Định nghĩa 1.16. Dạng Hermit η được gọi là một tích vô hướng nếu nó có tính xác định dương: η(α, α) ≥ 0, ∀α ∈ V, η(α, α) = 0 ⇔ α = 0. Không gian vectơ phức V cùng với một tích vô hướng đã cho trên V được gọi là một không gian Unita. 1.4 Đại số đa tuyến tính 1.4.1 Tích tenxơ Định nghĩa 1.17. Một đại số trên trường K là một K-không gian vectơ V được trang bị một phép nhân · : V × V → V, (α, β) → αβ thỏa mãn những điều kiện sau: 8 (a) V cùng với phép cộng và phép nhân lập thành một vành. (b) Các phép nhân với vô hướng và phép nhân của V liên hệ với nhau bởi hệ thức (aα)β = α(aβ) = a(αβ), với mọi a ∈ K, α, β ∈ V. Định nghĩa 1.18. Giả sử L, M, N là các không gian vectơ trên trường K. Ánh xạ ϕ : L × M → N được gọi là song tuyến tính nếu ϕ(α 1 + α 2 , β) = ϕ(α 1 , β) + ϕ(α 2 , β), ϕ(aα, β) = aϕ(α, β), ϕ(α, β 1 + β 2 ) = ϕ(α, β 1 ) + ϕ(α, β 2 ), ϕ(α, aβ) = aϕ(α, β), với mọi α, α 1 , α 2 ∈ L, β, β 1 , β 2 ∈ M, a ∈ K. Nói cách khác, ánh xạ song tuyến tính là một ánh xạ tuyến tính với mỗi biến khi cố định biến kia. Gọi F(L × M) là tập hợp tất cả các hàm có giá hữu hạn từ L × M vào trường K, tức là các hàm chỉ khác 0 tại một số hữu hạn điểm nào đó của L × M. Tập hợp này lập nên một K-không gian vectơ đối với các phép toán cộng và nhân với vô hướng được định nghĩa theo giá trị của hàm, cụ thể như sau: ( f + g)(α, β) = f (α, β) + g(α, β), (a f )(α, β) = a f (α, β), với mọi f, g ∈ F(L × M), a ∈ K, (α, β) ∈ L × M. Mỗi phần tử (α, β) ∈ L × M được định nghĩa như sau: (α, β) :L × M → K, (α, β) → 1, (α  , β  ) → 0, ∀(α  , β  )  (α, β). Giả sử f ∈ F(L × M) là hàm chỉ khác 0 trên tập hữu hạn {(α i , β i )|i ∈ I}, với f (α i , β i ) = α i . Dễ thấy rằng f =  i∈I a i (α i , β i ). 9 Như vậy, một cách trực giác, ta có thể hiểu F(L × M) là tập các tổng hình thức có giá hữu hạn của các phần tử trong L × M với hệ số trong K. Gọi H là không gian vectơ con của F(L × M) sinh ra bởi các phần tử có dạng sau đây: (α 1 + α 2 , β) − (α 1 , β) − (α 2 , β), (aα, β) − a(α, β), (α, β 1 + β 2 ) − (α, β 1 ) − (α, β 2 ), (α, aβ) − a(α, β), trong đó α, α 1 , α 2 ∈ L, β, β 1 , β 2 ∈ M, a ∈ K. Ta gọi không gian vectơ thương F(L × M)/H là tích tenxơ của các không gian L và M. Nó được ký hiệu bởi L ⊗ M, hoặc chi tiết hơn L ⊗ K M. 1.4.2 Đại số tenxơ Với mỗi K-không gian vectơ L, ta xét tích tenxơ T q p (L) = L ∗ ⊗ ⊗ L ∗  p ⊗ L ⊗ ⊗ L  q . Định nghĩa 1.19. Mỗi phần tử của không gian T q p (L) được gọi là một tenxơ kiểu (p, q) hay là một tenxơ p lần thuận biến và q lần phản biến trên không gian L. Ta có thể đồng nhất T q p (L) với (L ⊗ ⊗ L  p ⊗ L ∗ ⊗ ⊗ L ∗  q ). Vì thế, mỗi tenxơ p lần thuận biến và q lần phản biến được đồng nhất với một ánh xạ đa tuyến tính L × × L  p × L ∗ × × L ∗  q → K. Ta xác định được đẳng cấu tuyến tính chính tắc sau: µ q p : (L ∗ ⊗ ⊗ L ∗  p ⊗(L ⊗ ⊗ L  q ) ⊗ (L ∗ ⊗ ⊗ L ∗  p  ⊗ L ⊗ ⊗ L  q  ) → (L ∗ ⊗ ⊗ L ∗  p+p  ⊗ L ⊗ ⊗ L  q+q  ) 10 [...]... số trên K Định nghĩa 1.24 (L) được gọi là đại số ngoài của không gian vectơ L 12 Chương 2 Cấu trúc phức và cấu trúc Hermit 2.1 Cấu trúc hầu phức Trong phần này ta quy ước V là không gian vectơ thực hữu hạn chiều Định nghĩa 2.1 Một tự đồng cấu I: V → V với I 2 = −id được gọi là một cấu trúc hầu phức trên V Một không gian vectơ thực được trang bị một cấu trúc hầu phức sẽ có cấu trúc của không gian vectơ. .. nghĩa không gian vectơ Do đó, V là một C -không gian vectơ Do đó, cấu trúc hầu phức và cấu trúc phức là những khái niệm tương đương trên các không gian vectơ Đặc biệt, cấu trúc hầu phức chỉ có thể tồn tại trên một không gian vectơ thực có số chiều chẵn 13 Hệ quả 2.3 Một cấu trúc hầu phức bất kỳ trên V đều cảm sinh một hướng tự nhiên trên V Chứng minh Áp dụng mệnh đề, ta chỉ cần chứng minh không gian vectơ. .. α, α > 0 với 0 32 α ∈ P p,q Kết Luận Khóa luận "Cấu trúc phức và cấu trúc Hermit trên không gian vectơ" trình bày một số kết quả chính sau: - Các khái niệm về cấu trúc hầu phức, cấu trúc Hermit trên một không gian vectơ thực V: cấu trúc hầu phức, dạng cơ bản liên kết với (V, , ), - Toán tử Hodge và các tính chất của nó - Toán tử Lefschetz, toán tử Lefschetz đối ngẫu và các tính chất - Mối quan hệ giữa... cả hai cấu trúc hầu phức trên Do không gian vectơ đối ngẫu V ∗ của V cũng là một không gian vectơ thực, ta cũng có thể trang bị trên V ∗ một cấu trúc hầu phức Ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 2.6 Cho V là không gian vectơ thực được trang bị một cấu trúc hầu phức I Khi đó không gian đối ngẫu V ∗ = HomR (R, V) có một cấu trúc hầu phức tự nhiên cho bởi I( f )(v) = f (I(v)) Cấu trúc này cảm sinh phân tích trực... = 1 và sử dụng hướng tự nhiên trên C xác định bởi cơ sở (1, i) Hướng này bất biến dưới nhóm các C-tự đẳng cấu tuyến tính Cho một không gian vectơ thực V, không gian vectơ phức V ⊗R C được ký hiệu là VC Do đó không gian vectơ thực V được chứa trong không gian vectơ phức VC qua ánh xạ v → v ⊗ 1 Ta có liên hợp phức trên VC xác định bởi (v ⊗ λ) := v ⊗ λ, v ∈ V, λ ∈ C Giả sử V được trang bị một cấu trúc. .. 1,0 ⊕ V 0,1 với V 1,0 và V 0,1 là không gian vectơ phức n chiều Định nghĩa 2.7 Ta định nghĩa p,q p V := V 1,0 ⊗C q V 0,1 , trong đó tích ngoài của V 1,0 và V 0,1 được lấy như tích ngoài của các không gian vectơ phức Một phần tử α ∈ p,q V được gọi là song bậc (p, q) Mệnh đề 2.8 Cho một không gian vectơ thực V được trang bị một cấu trúc hầu phức I, ta có: i) p,q ii) k V là không gian vectơ con của VC =... tử I và p,q lại phụ thuộc I Chú ý rằng I là mở rộng của cấu trúc hầu phức I trên VC nhưng I không phải là một cấu trúc phức hầu khắp Mặt khác, I được định nghĩa trên không ∗ gian vectơ thực V, nên I là một tự đẳng cấu của đại số ngoài thực Ta ký hiệu các toán tử tương ứng trên không gian đối ngẫu p,q 2.2 và I Chú ý rằng I(α)(v1 , , vk ) = α(I(v1 ), , I(vk )) với α ∈ ∗ V ∗ VC cũng bởi k k , ∗ VC và vi... gọi các không gian riêng ứng với các giá trị riêng ±i tương ứng của nó là V 1,0 và V 0,1 , tức là: V 1,0 = {v ∈ VC |I(v) = i · v} và V 0,1 = {v ∈ VC |I(v) = −i · v} Ta chứng minh được không gian vectơ phức VC là tổng trực tiếp của các không gian riêng V 1,0 và V 0,1 Mệnh đề 2.5 Cho V là không gian vectơ thực được trang bị một cấu trúc hầu phức I Khi đó: VC = V 1,0 ⊕ V 0,1 14 Liên hợp phức trên VC... Cấu trúc Hermit Cho (V, , ) là không gian vectơ Ơclit hữu hạn chiều, tức là V là một không gian vectơ thực và , là một dạng song tuyến tính đối xứng xác định dương Định nghĩa 2.11 Một cấu trúc hầu phức I trên V được gọi là tương thích với tích vô hướng , nếu I(v), I(w) = v, w với mọi v, w ∈ V, tức là I ∈ O(V, , ) Ví dụ sau đây chỉ ra sự tồn tại của cấu trúc hầu phức tương thích với tích vô hướng trên. .. minh ở trên Khi đó phép lấy liên hợp biến V 1,0 vào V 0,1 Cụ thể ta viết v = x + iy, x, y ∈ V thì (v − iI(v)) = (x − iy + iI(x) + I(y)) = (v + iI(v)) Luôn tồn tại hai cấu trúc hầu phức trên VC Một được đưa ra bởi I và một được đưa ra bởi i Chúng trùng nhau trên V 1,0 nhưng lại khác nhau về dấu trên V 0,1 Rõ ràng, V 1,0 và V 0,1 là các không gian con phức của VC đối với cả hai cấu trúc hầu phức trên . C -không gian vectơ.  Do đó, cấu trúc hầu phức và cấu trúc phức là những khái niệm tương đương trên các không gian vectơ. Đặc biệt, cấu trúc hầu phức chỉ có thể tồn tại trên một không gian vectơ. Một tự đồng cấu I: V → V với I 2 = −id được gọi là một cấu trúc hầu phức trên V. Một không gian vectơ thực được trang bị một cấu trúc hầu phức sẽ có cấu trúc của không gian vectơ phức. Điều đó. số trên K. Định nghĩa 1.24.  (L) được gọi là đại số ngoài của không gian vectơ L. 12 Chương 2 Cấu trúc phức và cấu trúc Hermit 2.1 Cấu trúc hầu phức Trong phần này ta quy ước V là không gian vectơ