Tính trực giao của không gian vecto

1. Hai vectơ trực giao. Hai không gian con trực giao. Phần bù trực giao của một không gian con. 2. Định lý cơ bản của Đại số tuyến tính (Phần 2). Tổ hợp những cơ sở từ các không gian con. 3. Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn. Phương pháp trực giao hóa Gram-Schmidt 4. Ma trận trực giao.

$8.TÍNH TRỰC GIAO

8.1 ¡ TÍNH TRỰC GIAO CỦA BỐN KHÔNG GIAN CHỦ YẾU LIÊN QUAN ĐẾN MỘT MA TRẬN

Định nghĩa 8.1.1

(a) Khi v⋅w = 0 ta nói vectơ v trực giao với vectơ w

(b) Giả sử V và W là các không gian con của R n Ta nói V

trực giao với W nếu mọi vectơ v trong V trực giao với mọi vectơ w trong W: v⋅w = 0 hay vTw = 0

VD8.1.1 a) Vectơ 0 ∈ Rn trực giao với mọi vectơ trong Rn

b) v = (2, -3, 1) và w = (1, 1, 1) trực giao trong R3

c) V = {(x, 0, 0)| x ∈R}, W = {(0, y, 0)| y∈R} là hai không

gian con của R3 ⇒ V trực giao với W

d) Cho {e1, e2, e3} là cơ sở chính tắc của R3

V = Span(e1, e2), W = Span(e3)

⇒ V trực giao với W

4 3

Định nghĩa 8.1.2 Cho V là không gian con của R n Tập

tất cả các vectơ trong Rn mà trực giao với mọi vectơ trong

V được gọi là phần bù trực giao của V, và ký hiệu là V ⊥

V⊥ = {u ∈ Rn | u ⋅w = 0 với mọi w ∈V}

Nhận xét 1) Nếu V là không gian con của Rn , thì V⊥ cũng

là không gian con của Rn

2) V⊥ là không gian con lớn nhất trực giao với V

Định lý 8.1.1 (Định lý cơ bản của Đại số tuyến tính(Phần 2)) Nếu A là ma trận m×n thì

N(A) = C(AT)⊥ N(AT) = C(A)⊥

Định lý 8 1 2 Nếu V là một không gian con của R n, thì

Hệ quả Nếu A là ma trận thực m×n, thì với mỗi x ∈Rn

∃! x r ∈ C(AT) và ∃! x n ∈N(A) sao cho x = x r + xn

Nếu 0 < r(A) < n, thì R n có một cơ sở gồm r cột trụ của AT( r hàng trụ của AT )và n - r nghiệm đặc biệt của hệ Ax = 0

1 0

0 1

0

1

Hãy phân tích vectơ bất kỳ x ∈ R4 thành x r + xn

8.2 ¡ CƠ SỞ TRỰC CHUẨN VÀ PHƯƠNG PHÁP TRỰC GIAO HÓA GRAM-SCHMIDT

Định nghĩa 8.2.1

(a) Tập vectơ {q1, q 2, , q k} của R n

được gọi là tập trực giao nếu các vectơ của tập đôi một trực giao, tức

là q i⋅ q j = 0 khi i ≠ j

(b) Tập vectơ {q1, q 2, , q k} của R n được gọi là tập trực chuẩn nếu nó là một tập trực giao và mỗi vectơ của tập

khi

j i

VD8.2.1 Trong R3:

{ v1 =(1, 1, 1), v2 = (2, 1, -3), v3 = (4, -5, 1)} là một tập trực giao

{e1, e2,e 3} là một cơ sở trực chuẩn

? Làm thế nào { v 1 , v 2 , v 3 } là một tập trực chuẩn

Phương pháp trực giao hóa Gram-Schmidt

Giả sử {v1, v2, v 3 } độc lập trong V Xây dựng một tập trực

Chú ý: Muốn có tập trực chuẩn thì chia mỗi q i cho độ dài của nó

VD8.2.2 Cho cơ sở của R3 là

{v1 = (1, -1, 0), v2 = (2, 0, -2), v3 = (3, -3, 3)}

Xây dựng cơ sở trực chuẩn của R3

Định nghĩa 8.2.2 Một ma trận thực Q cỡ n×n được gọi là

ma trận trực giao nếu các vectơ cột của Q lập thành một

0 1

( Phép biến đổi

đồng nhất)

0 1

( Phép đối xứng qua Ox)

sin cos

( Phép quay vectơ một góc α )

NHỮNG Ý CHÍNH

1 Hai vectơ trực giao Hai không gian con trực giao

Phần bù trực giao của một không gian con

2 Định lý cơ bản của ĐSTT (Phần 2) Tổ hợp những

cơ sở từ các không gian con

3 Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn Phương pháp

trực giao hóa Gram-Schmidt

4 Ma trận trực giao