Cơ sở, số chiều của một không gian vecto

1. Tập sinh của một không gian vectơ. 2. Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính. 3. Cơ sở và số chiều của một không gian vectơ. 4. Định lý cơ bản của Đại số tuyến tính (Phần 1) về chiều của bốn không gian con liên quan đến một ma trận.

$6 Cơ sở, số chiều

của một không gian véc tơ

6.1 ¡ SỰ ĐỘC LẬP, CƠ SỞ VÀ SỐ CHIỀU

Cho v1, ,v n thuộc không gian vectơ V, x1, , x n ∈!

Tổng x1v1 + ⋅⋅⋅ + x n v n được gọi là một tổ hợp tuyến tính

của v1, ,v n

Kí hiệu Span(v1, , v n): = { x1v1 + ⋅⋅⋅ + x n v n | xi ∈ ! }

CHÚ Ý

a) Nếu v1, ,v n là tất cả những vectơ cột của ma trận

A, thì C(A) = Span(v1, , v n)

b) Span(v1, , v n) là một không gian vectơ con của V

sinh bởi (hoặc căng bởi) v1, ,v n

ĐỊNH NGHĨA 6.1.1 Tập {v1, ,v n } được gọi là một tập sinh của không gian V ⇔ ∀ b ∈ V, ∃ xi ∈ ! :

b = x1v1 + ⋅⋅⋅ + x n v n

CHÚ Ý Tập tất cả các vectơ cột của ma trận A là tập

sinh của C(A) Tập tất cả các vectơ hàng của ma trận A

là tập sinh của C(AT) Tập tất cả những nghiệm đặc biệt

của Ax = 0 là tập sinh của N(A)

VD6.1.1 Những tập nào sau đây là tập sinh của R2?

KÝ HIỆU e j là vectơ của Rn mà có thành phần thứ j bằng

ĐỊNH NGHĨA 6.1.2

1) Các vectơ v1, v2, ,v n của không gian vectơ V được

gọi là độc lập tuyến tính, nếu x1v1 + x2v2 + ⋅⋅⋅ + x n v n = 0

kéo theo x1 = x2 = = x n = 0

2) Các vectơ v1, v2, ,v n của không gian vectơ V phụ

thuộc tuyến tính, nếu chúng không độc lập tuyến tính

VD6.1.2 Các cặp vectơ sau độc lập tuyến tính hay phụ

Nhận xét

1) A là ma trận có các vectơ cột là v1, ,v n, x = (x1, x2,

, x n), thì x1v1 + ⋅⋅⋅ + x n v n = A x , nên v1, ,v n độc lập tuyến tính ⇔ Ax = 0 có nghiệm duy nhất

2) Một vectơ v độc lập tuyến tính ⇔ v ≠ 0

VD6.1.3 Xác định các vectơ sau đây có phụ thuộc

tuyến tính hay không

Hệ quả Nếu n > m thì mọi dãy gồm n vectơ trong R m

ĐỊNH NGHĨA 6.1.3 Tập vectơ {v1, v2, , v n } được gọi

là một cơ sở của không gian vectơ V nếu thoả mãn:

1 V = span (v1, v2, , v n )

2 v1, v2, , v n độc lập tuyến tính

độc lập tuyến tính

sở

VD6.1.5 {e1, e2, , e n } là một cơ sở của ! n được gọi là

cơ sở chính tắc của !3

2 1

≠ 0

b) Nếu {v1, , v n} là cơ sở của không gian V, thì mỗi v

∈V , tồn tại duy nhất x i ( 1 ≤ i ≤ n): v = x1v1 + ⋅⋅⋅+ x n v n

ĐỊNH NGHĨA 6.1.4 Nếu V có một cơ sở gồm n vectơ, ta nói rằng V có số chiều bằng n Kí hiệu dim V = n

Quy ước không gian Z = {0} có số chiều bằng 0

6.2 ¡ CƠ SỞ VÀ SỐ CHIỀU CỦA BỐN KHÔNG GIAN CON LIÊN QUAN TỚI MỘT MA TRẬN

Định lý cơ bản của Đại số tuyến tính (Phần 1)

Cho A là ma trận m ×n , r(A) = r Khi đó:

dim C(A) = dim C(AT) = r

dim N(A) = n - r

dim N(AT) = m - r

dim R = dim C(AT) = r dim C= dim C(A) = r

dim K = dim N(A) =n-r dim L= dim N(AT) = m-r

CHÚ Ý : Biến đổi A → U

Cơ sở của C(A): Tập tất cả các cột trụ của A

Cơ sở của C(AT): Tập tất cả các hàng trụ của A

Cơ sở của N(A): Tập tất cả các nghiệm đặc

biệt của Ax = 0

Cơ sở của N(A T): Tập tất cả các nghiệm đặc

biệt của A T y = 0

VD6.2.1 Tìm cơ sở và số chiều của 4 không gian con

chủ yếu liên quan đến

NHỮNG Ý CHÍNH

1 Tập sinh của một không gian vectơ

2 Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính

3 Cơ sở và số chiều của một không gian vectơ

4 Định lý cơ bản của Đại số tuyến tính (Phần 1) về

chiều của bốn không gian con liên quan đến một ma trận