Cơ sở, số chiều của một không gian vecto

1. Tập sinh của một không gian vectơ. 2. Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính. 3. Cơ sở và số chiều của một không gian vectơ. 4. Định lý cơ bản của Đại số tuyến tính (Phần 1) về chiều của bốn không gian con liên quan đến một ma trận.

$6 Cơ sở, số chiều không gian véc tơ 6.1 ¡ SỰ ĐỘC LẬP, CƠ SỞ VÀ SỐ CHIỀU Cho v1, ,vn thuộc không gian vectơ V, x1, , xn ∈! Tổng x1v1 + ⋅⋅⋅ + xnvn gọi tổ hợp tuyến tính v1, ,vn Kí hiệu Span(v1, , vn): = { x1v1 + ⋅⋅⋅ + xnvn | xi ∈ ! } CHÚ Ý a) Nếu v1, ,vn tất vectơ cột ma trận A, C(A) = Span(v1, , vn) b) Span(v1, , vn) không gian vectơ V sinh (hoặc căng bởi) v1, ,vn Span(v1, v2, vn) = mặt phẳng qua gốc toạ độ Span(v1, v2, vn) = đường thẳng qua gốc toạ độ Span(v1, v2, vn) = ! ĐỊNH NGHĨA 6.1.1 Tập {v1, ,vn} gọi tập sinh không gian V ⇔ ∀ b ∈ V, ∃ xi ∈ ! : b = x1v1 + ⋅⋅⋅ + xnvn CHÚ Ý Tập tất vectơ cột ma trận A tập sinh C(A) Tập tất vectơ hàng ma trận A T tập sinh C(A ) Tập tất nghiệm đặc biệt Ax = tập sinh N(A) 2 VD6.1.1 Những tập sau tập sinh R ? ⎧ (a) ⎨ ⎩ ⎡1 ⎤ ⎢ ⎥, ⎣0 ⎦ ⎡0 ⎤ ⎫ ⎢ ⎥⎬ ⎣1 ⎦ ⎭ ⎧ ⎡1 ⎤ (b) ⎨ ⎢ ⎥ , ⎩ ⎣0 ⎦ ⎡0 ⎤ ⎢ ⎥, ⎣1 ⎦ ⎡4⎤ ⎫ ⎢ ⎥⎬ ⎣7 ⎦ ⎭ ⎧ ⎡1⎤ (c) ⎨ ⎢ ⎥ , ⎩ ⎣1⎦ ⎡ −1⎤ ⎫ ⎢ ⎥⎬ ⎣ −1⎦ ⎭ n KÝ HIỆU ej vectơ R mà có thành phần thứ j thành phần khác ! ⎡1 ⎤ ! ⎡0 ⎤ Trong ! : e1 = ⎢ ⎥ , e2 = ⎢ ⎥ ⎣0 ⎦ ⎣1 ⎦ ⎡1 ⎤ ⎡0 ⎤ ! ⎢ ⎥ ! ! ⎢ ⎥ Trong ! : e1 = ⎢0 ⎥ , e2 = ⎢1 ⎥ , e3 = ⎢⎣0 ⎥⎦ ⎢⎣0 ⎥⎦ ⎡0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢⎣1 ⎥⎦ n CHÚ Ý: {e1, , en} tập sinh R ĐỊNH NGHĨA 6.1.2 1) Các vectơ v1, v2, ,vn không gian vectơ V gọi độc lập tuyến tính, x1v1 + x2v2 + ⋅⋅⋅ + xnvn = kéo theo x1 = x2 = = xn = 2) Các vectơ v1, v2, ,vn không gian vectơ V phụ thuộc tuyến tính, chúng không độc lập tuyến tính VD6.1.2 Các cặp vectơ sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính: ⎧ (a) ⎨ ⎩ ⎡1 ⎤ ⎢ ⎥, ⎣0 ⎦ ⎡0 ⎤ ⎫ ⎢ ⎥⎬ ⎣1 ⎦ ⎭ ⎧ ⎡1 ⎤ (b) ⎨ ⎢ ⎥ , ⎩ ⎣0 ⎦ ⎡0 ⎤ ⎢ ⎥, ⎣1 ⎦ ⎡4⎤ ⎫ ⎢ ⎥⎬ ⎣7 ⎦ ⎭ ⎧ ⎡1⎤ (c) ⎨ ⎢ ⎥ , ⎩ ⎣1⎦ ⎡ −1⎤ ⎫ ⎢ ⎥⎬ ⎣ −1⎦ ⎭ Minh họa hình học (a) v1, v2 phụ thuộc (b) v1, v2 độc lập tuyến tính tuyến tính (c) v1, v2 , v3 phụ thuộc (d) v1, v2, v3 độc lập tuyến tính tuyến tính Nhận xét 1) A ma trận có vectơ cột v1, ,vn, x = (x1, x2, , xn), x1v1 + ⋅⋅⋅ + xnvn = Ax, nên v1, ,vn độc lập tuyến tính ⇔ Ax = có nghiệm 2) Một vectơ v độc lập tuyến tính ⇔ v ≠ VD6.1.3 Xác định vectơ sau có phụ thuộc tuyến tính hay không ⎡1 ⎤ v1 = ⎢ ⎥ , v2 = ⎢ ⎥ ⎢⎣3⎥⎦ ⎡2⎤ ⎢ ⎥, v = ⎢ ⎥ ⎢⎣10⎥⎦ ⎡3⎤ ⎢10⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣13⎥⎦ Hệ Nếu n > m dãy gồm n vectơ R m phụ thuộc tuyến tính ⎧ ⎡1 ⎤ VD6.1.4 Các vectơ ⎨ ⎢ ⎥ , ⎩ ⎣0 ⎦ tính ⎡0 ⎤ ⎢ ⎥, ⎣1 ⎦ ⎡4⎤ ⎫ ⎢ ⎥ ⎬ phụ thuộc tuyến ⎣7 ⎦ ⎭ ĐỊNH NGHĨA 6.1.3 Tập vectơ {v1, v2, , vn} gọi sở không gian vectơ V thoả mãn: V = span (v1, v2, , vn) v1, v2, , độc lập tuyến tính độc span sở lập tuyến tính n VD6.1.5 {e1, e2, , en} sở ! gọi sở tắc ! ! Do đó, {e1, e2 } = { i , j } sở tắc ! ! ! ! {e1, e2 , e3} = { i , j , k } sở tắc ! TÍNH CHẤT a) {v1, , vn} sở ! n ⇔ r([v1, ,vn]) = n ⇔ det[v1, ,vn] ≠ VD6.1.6 ⎧⎡1 ⎤ ⎡2⎤ ⎫ ! sở , ⎨⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎬ ⎩⎣2⎦ ⎣5 ⎦ ⎭ ≠0 b) Nếu {v1, , vn} sở không gian V, v ∈V , tồn xi (1 ≤ i ≤ n ): v = x1v1 + ⋅⋅⋅+ xnvn ĐỊNH NGHĨA 6.1.4 Nếu V có sở gồm n vectơ, ta nói V có số chiều n Kí hiệu dim V = n Quy ước không gian Z = {0} có số chiều ⎧⎡1 ⎤ ⎡2⎤ ⎫ 2 VD6.1.7 Vì ⎨⎢ ⎥, ⎢ ⎥ ⎬ sở ! nên dim ! = ⎩⎣2⎦ ⎣5 ⎦ ⎭ Ý nghĩa: số chiều số đo "độ lớn" không gian 6.2 ¡ CƠ SỞ VÀ SỐ CHIỀU CỦA BỐN KHÔNG GIAN CON LIÊN QUAN TỚI MỘT MA TRẬN Định lý Đại số tuyến tính (Phần 1) Cho A ma trận m×n , r(A) = r Khi đó: T dim C(A) = dim C(A ) = r dim N(A) = n - r T dim N(A ) = m - r T dim R = dim C(A ) = r dim K = dim N(A) =n-r dim C= dim C(A) = r T dim L= dim N(A ) = m-r CHÚ Ý: Biến đổi A → U Cơ sở C(A): Tập tất cột trụ A Cơ sở C(AT): Tập tất hàng trụ A Cơ sở N(A): Tập tất nghiệm đặc biệt Ax = T Cơ sở N(A ): Tập tất nghiệm đặc T biệt A y = VD6.2.1 Tìm sở số chiều không gian chủ yếu liên quan đến ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ A = ⎢ 16 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 15 25 ⎥ ⎣ ⎦ Giải NHỮNG Ý CHÍNH Tập sinh không gian vectơ Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều không gian vectơ Định lý Đại số tuyến tính (Phần 1) chiều bốn không gian liên quan đến ma trận