Định thức của một ma trận

+ Định nghĩa, định thức cấp 2, định thức cấp 3, quy tắc sarrus, quy tắc cramer, phần phụ đại số.+Các tính chất của định thức.+ Một số ứng dụng của định thức: giải hệ tuyến tính tìm A1 tính tích có hướng tính diện tích hình bình hành và thể tích hình hộp.

$ 3 ĐỊNH THỨC _

VD3.1.2 Tính det

4 3

3

3 0

1

2 1

0

−

Từ định nghĩa định thức của ma trận vuông cấp 3:

23

22

a a

a

a + a12(-1)1+2

33 31

23

21

a a

a

a + a13(-1)1+ a3121 a3322

a a

= a11C11 + a12C12 + a13C13

Công thức Phần phụ đại số Cho A là ma trận n ×n với

VD3.1.2 ( tiếp) Tính định thức detA=

4 3

3

3 0

1

2 1

0

−

Giải:

- Khai triển theo hàng…

- Khai triển theo cột…

Chú ý Khi sử dụng Công thức phần phụ đại số, ta nên khai triển định thức theo hàng (hay cột) có nhiều 0 nhất

Tính chất 3 Định thức là hàm tuyến tính đối với một

Tính chất 4 Nếu hai cột của A giống nhau, thì detA = 0

1 2 = 0

⇒ Nếu ma trận vuông có hai cột (hàng) tỷ lệ, thì định thức của nó bằng 0

Tính chất 5 detA không đổi khi trừ(cộng) một cột của

A đi một bội của cột khác của A

Tính chất 6 Ma trận vuông có cột toàn 0 thì định thức

của nó bằng 0

0 4 = 0

Tính chất 7 Nếu A là ma trận tam giác thì detA = tích

các phần tử trên đường chéo = a11a22!a nn

0 4 = 8

Tính chất 9 detAT= detA

VD3.1.10

d c

b

a

=

d b

Sử dụng những tính chất trên, ta có thể biến đổi ma

trận vuông A về một ma trận tam giác để đơn giản hóa việc tính detA

VD3.1.12 Tính định thức

D =

4 3

3

3 0

1

2 1

0

−

Giải

3.2¡ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH THỨC

A Giải hệ phương trình tuyến tính

Quy tắc Cramer Giả sử Ax = b là hệ n ×n Nếu detA≠ 0,

VD3.2.1 Giải hệ phương trình

x1 + x2 + x3 = 1

-2x1 + x2 = 0

-4x1 + x3 = 0 Giải

n n

C C

C

C C

C

C C

2 22

21

1 12

11

1 0

1

3 1

0

Giải

C C’

D’

3) Diện tích của hình bình hành OABC bằng