Định thức của một ma trận

+ Định nghĩa, định thức cấp 2, định thức cấp 3, quy tắc sarrus, quy tắc cramer, phần phụ đại số.+Các tính chất của định thức.+ Một số ứng dụng của định thức: giải hệ tuyến tính tìm A1 tính tích có hướng tính diện tích hình bình hành và thể tích hình hộp.

$ ĐỊNH THỨC _ 3.1¡ ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT ĐỊNH NGHĨA 3.1.1 Định thức cấp ma trận vuông ⎡ a b ⎤ cấp 2: A = ⎢ , kí hiệu detA, |A| ⎥ ⎣ c d ⎦ số ad – bc ⎡ −2 ⎤ VD3.1.1 Cho A = ⎢ Tính detA ⎥ ⎣ ⎦ a b , c d Định thức cấp ma trận vuông cấp 3: ⎡ a11 a12 ⎢ A = ⎢ a21 a22 ⎢ a a32 31 ⎣ a13 ⎤ a11 ⎥ a23 ⎥ det A = a21 a33 ⎥ a31 ⎦ a12 a13 a22 a23 a32 a33 = a11a22 a33 + a12 a23a31 + a13a21a32 − a11a23a32 − a12 a21a33 − a13a22 a31 VD3.1.2 Tính det 1 −3 ĐỊNH NGHĨA 3.1.2 Giả sử A = (aij ) ma trận n×n Bỏ hàng i cột j A, ma trận (n-1)×(n-1), ký hiệu Mij Phần phụ đại số aij i+j Cij = (-1) detMij VD3.1.2 ( tiếp) Phần phụ đại số a12 Từ định nghĩa định thức ma trận vuông cấp 3: det A = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a11a23a32 - a12a21a33 - a13a22a31 = a11(a22a33 -a23a32)-a12(a21a33- a23a31)+a13(a21a33 -a22a31) = a11(-1) 1+1 a22 a32 a23 1+2 a21 a23 + a12(-1) a33 a31 a33 = a11C11 + a12C12 + a13C13 a21 a22 1+ + a13(-1) a31 a33 Công thức Phần phụ đại số Cho A ma trận n×n với n ≥ Ta có: detA = ai1Ci1 + ai2Ci2 + … + ainCin (Khai triển định thức theo hàng i) detA = a1jC1j + a2jC2j + … + anjCnj (Khai triển định thức theo cột j) VD3.1.2 ( tiếp) Tính định thức detA= 3 −3 Giải: - Khai triển theo hàng… - Khai triển theo cột… Chú ý Khi sử dụng Công thức phần phụ đại số, ta nên khai triển định thức theo hàng (hay cột) có nhiều Tính chất detI = VD3.1.3 detI = 0 = 1⋅1 - 0⋅0 = Tính chất Định thức đổi dấu đổi chỗ hai cột VD3.1.4 detA = 1 = 10 , detB = = −10 −3 4 −3 ⇒ det A= - det B Tính chất Định thức hàm tuyến tính cột cố định cột lại n ⇒ det(cA) = c detA ( A cỡ n×n) VD3.1.5 2 =4 = 16.10 = 160 detA = = −3 −3 Tính chất Nếu hai cột A giống nhau, detA = VD3.1.6 =0 ⇒ Nếu ma trận vuông có hai cột (hàng) tỷ lệ, định thức Tính chất detA không đổi trừ(cộng) cột A bội cột khác A VD3.1.7 detA = = 10 , −3 2 = = 10 → det A = det B detB = −3 + 1.3 + 2.3 10 Tính chất Ma trận vuông có cột toàn định thức VD3.1.8 detA = =0 Tính chất Nếu A ma trận tam giác detA = tích phần tử đường chéo = a11a22 !ann VD3.1.9 detA = =8 Tính chất Ma trận A khả nghịch ⇔ detA ≠ Tính chất Nếu A B hai ma trận vuông cấp, det(AB)= detAdetB ⇒ Vì AA =I nên detA = det A -1 -1 T Tính chất detA = detA VD3.1.10 a b c d = a c b d ⇒ Mọi tính chất định thức phát biểu với cột phát biểu cho hàng Sử dụng tính chất trên, ta biến đổi ma trận vuông A ma trận tam giác để đơn giản hóa việc tính detA VD3.1.11 Tính định thức Giải 1+ 2a 1+ 2b − 1+ 2c 1+ 2d a b c d x x x x VD3.1.12 Tính định thức D=1 3 −3 Giải 3.2¡ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH THỨC A Giải hệ phương trình tuyến tính Quy tắc Cramer Giả sử Ax = b hệ n×n Nếu detA≠ 0, Ax = b có nghiệm det B1 det B2 det Bn x1 = , x2 = , , xn = det A det A det A Trong ma trận Bj nhận từ A thay vectơ b vào cột thứ j VD3.2.1 Giải hệ phương trình x1 + x2 + x3 = -2x1 + x2 -4x1 Giải =0 + x3 = B Công thức tìm A -1 ĐỊNH NGHĨA 3.2.1 Giả sử A=( aij) ma trận n×n Cij phần phụ đại số i+j aij : Cij = (-1) detMij Ma trận phần phụ đại số A ⎡C11 C12 ⎢C C22 21 C=⎢ " ⎢ " ⎢C ⎣ n1 Cn ! C1n ⎤ ! C2 n ⎥ ⎥ # " ⎥ ! Cnn ⎥⎦ T C Định lí 3.2.1 Nếu A khả nghịch A = det A −1 VD3.2.2 Tìm ma trận nghịch đảo ⎡ 3⎤ A= ⎢1 1⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣2 0⎥⎦ Giải C Ứng dụng Hình học ! ! ! ! 1) Tích có hướng u × v u = (u1, u2, u3) v = (v1, v2, ! ! ! i j k v3) u1 u2 u v1 v2 v3 2) Thể tích hình hộp ABCD.A'B'C'D' = |det( AB, AD, AA')| ⎡ a11 a12 ⎢ = det ⎢ a21 a22 ⎢ a a32 31 ⎣ a13 ⎤ ⎥ a23 ⎥ a33 ⎥ ⎦ A’ A’’ B’ D’ C’ A B D C 3) Diện tích hình bình hành OABC a b det c d = ad − bc C B A NHỮNG Ý CHÍNH Định nghĩa tính chất định thức Một số ứng dụng định thức: - giải hệ tuyến tính - tìm A -1 - tính tích có hướng - tính diện tích hình bình hành thể tích hình hộp [...]...Tính chất 4 Nếu hai cột của A giống nhau, thì detA = 0 VD3.1.6 1 2 =0 1 2 ⇒ Nếu ma trận vuông có hai cột (hàng) tỷ lệ, thì định thức của nó bằng 0 Tính chất 5 detA không đổi khi trừ(cộng) một cột của A đi một bội của cột khác của A VD3.1.7 detA = 1 2 = 10 , −3 4 1 2 1 2 = = 10 → det A = det B detB = −3 + 1.3 4 + 2.3 0 10 Tính chất 6 Ma trận vuông có cột toàn 0 thì định thức của nó bằng 0 VD3.1.8 detA... với cột cũng có thể phát biểu cho hàng Sử dụng những tính chất trên, ta có thể biến đổi ma trận vuông A về một ma trận tam giác để đơn giản hóa việc tính detA VD3.1.11 Tính định thức Giải 1+ 2a 4 1+ 2b − 5 1+ 2c 6 1+ 2d 2 a b c d x x x x VD3.1.12 Tính định thức 0 D=1 1 2 0 3 3 −3 4 Giải 3.2¡ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH THỨC A Giải hệ phương trình tuyến tính Quy tắc Cramer Giả sử Ax = b là hệ n×n Nếu detA≠... Trong đó ma trận Bj nhận được từ A khi thay vectơ b vào cột thứ j của nó VD3.2.1 Giải hệ phương trình x1 + x2 + x3 = 1 -2x1 + x2 -4x1 Giải =0 + x3 = 0 B Công thức tìm A -1 ĐỊNH NGHĨA 3.2.1 Giả sử A=( aij) là ma trận n×n Cij là phần phụ đại số i+j của aij : Cij = (-1) detMij Ma trận phần phụ đại số của A là ⎡C11 C12 ⎢C C22 21 C=⎢ " ⎢ " ⎢C ⎣ n1 Cn 2 ! C1n ⎤ ! C2 n ⎥ ⎥ # " ⎥ ! Cnn ⎥⎦ T C Định lí 3.2.1... 0 1 =0 0 4 Tính chất 7 Nếu A là ma trận tam giác thì detA = tích các phần tử trên đường chéo = a11a22 !ann VD3.1.9 detA = 2 1 =8 0 4 Tính chất 8 Ma trận A khả nghịch ⇔ detA ≠ 0 Tính chất 9 Nếu A và B là hai ma trận vuông cùng cấp, thì det(AB)= detAdetB 1 ⇒ Vì AA =I nên detA = det A -1 -1 T Tính chất 9 detA = detA VD3.1.10 a b c d = a c b d ⇒ Mọi tính chất của định thức đã phát biểu với cột cũng có... = det ⎢ a21 a22 ⎢ a a32 31 ⎣ a13 ⎤ ⎥ a23 ⎥ a33 ⎥ ⎦ A’ A’’ B’ D’ C’ A B D C 3) Diện tích của hình bình hành OABC bằng a b det c d = ad − bc C B A 0 NHỮNG Ý CHÍNH 1 Định nghĩa và tính chất cơ bản của định thức 2 Một số ứng dụng của định thức: - giải hệ tuyến tính - tìm A -1 - tính tích có hướng - tính diện tích hình bình hành và thể tích hình hộp ... = det A −1 VD3.2.2 Tìm ma trận nghịch đảo của ⎡ 0 1 3⎤ A= ⎢1 0 1⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣2 1 0⎥⎦ Giải C Ứng dụng trong Hình học ! ! ! ! 1) Tích có hướng u × v của u = (u1, u2, u3) và v = (v1, v2, ! ! ! i j k v3) bằng u1 u2 u 3 v1 v2 v3 2) Thể tích hình hộp ABCD.A'B'C'D' = |det( AB, AD, AA')| ⎡ a11 a12 ⎢ = det ⎢ a21 a22 ⎢ a a32 31 ⎣ a13 ⎤ ⎥ a23 ⎥ a33 ⎥ ⎦ A’ A’’ B’ D’ C’ A B D C 3) Diện tích của hình bình hành OABC