Các loại ma trận và cách giải

Khái niệm ma trận. Các phép toán: phép nhân ma trận với một số; phép cộng ma trận; phép nhân ma trận. Các tính chất của ma trận. Ma trận nghịch đảo: những phép toán hàng. Phương pháp GaussJordan đểtìm ma trận nghịch đảo. Ma trận chuyển vị (ma trận đối xứng).

$2 MA TRẬN 2.1  KHÁI NIỆM MA TRẬN a) ĐỊNH NGHĨA 2.1.1 Bảng số gồm mn số thực xếp thành m hàng n cột gọi ma trận mn: hàng cột phần tử Kí hiệu: A, B, C, đặt tên cho ma trận A = B  aij=bij  i, j VD2.1.1 é ù A=ê ú ë -3 û a12 = ? é ê B=ê êë b31 = ? -1 ù ú ú úû b) Một số ma trận đặc biệt: Ma trận nn gọi ma trận vuông cấp n aii (i = 1, , n) lập nên đường chéo VD2.1.2 Ma trận vuông cấp   0 1  1     3 11 Đường chéo  a11  Ma trận tam giác       a11 a Ma trận tam giác  21   a  n1 a12 a22   a1n   a2 n       ann    a22        an  ann   a11  Ma trận đường chéo        a22         ann  1   0    Ma trận đơn vị I =      0     Ma trận-không O ma trận có tất phần tử 2.2  CÁC PHÉP TOÁN MA TRẬN a) Phép nhân ma trận với số Nếu A = (aij) ma trận mn c số, cA= (c aij) Ma trận đối A ma trận (-1)A, ký hiệu -A VD2.2.1 é ù é 2.1 2.2 ù é ù 2A = ê =ê =ê ú ú ú 14 2.(-3) 2.7 -3 úû ë û ë û êë b) Phép cộng ma trận Nếu A = (aij) B = (bij) hai ma trận mn, A + B = (aij + bij) VD2.2.2 é ê ê êë ù é ú+ê ú ê úû êë ù é 1+ ú =ê + ú ê úû êë + 2+2 4+4 2+5 ù é ú=ê ú ê úû êë ù ú ú úû c) Phép nhân ma trận Nếu A=(aij) ma trận mn, B=(bij) ma trận np AB = (cij) ma trận mp với n cij = å aik bkj k=1 = (hàng i A) nhân (cột j B) VD2.2.3 Tính AB BA 1 3  4 a) A =  , B =      2    é ù é ù b) A = ê ,B=ê ú ú ë 0 û ë û 1) Tính giao hoán 2) AB = O  A=O B=O? VD2.2.4 d) Tính chất: A, B, C ma trận số thực x, y A + B = B + A 1A = A A + (B + C) = (A + B) + C A(BC) = (AB)C A + O = A 10 A(B + C) = AB + AC A + (-A) = O 11 (A+B)C = AC + BC x(A + B) = xA + xB 12 AI = A, IA = A (x + y)A = xA + yA 13 AO = O, OA = O (xy)A = x(yA) 2.3  MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO ĐỊNH NGHĨA 2.3.1 Ma trận vuông A gọi ma trận khả nghịch tồn ma trận B cho AB = BA = I Ta gọi B ma trận nghịch đảo A Chú ý: Ma trận nghịch đảo A kí hiệu A-1 VD2.3.1 2 2  -1 A= có A =   3 2  TỔNG QUÁT a c   1  2 b khả nghịch  ad - bc   d Khi a c  b  1 d   d ad  bc   c  b  a  VD2.3.2 é ù é ù -1 A=ê có A = ê ú ú ë -6 û ë -3 û TỔNG QUÁT  a11   Ma trận đường chéo A =     ann   khả nghịch  tất phần tử đường chéo khác 1 / a11   không Khi A-1 =     / a nn   Tính chất Nếu A B hai ma trận nn khả nghịch, c số khác 0, (AB)-1 = B-1A-1 (cA)-1 = c-1A-1 NHỮNG PHÉP TOÁN HÀNG TRÊN MA TRẬN: I Đổi chỗ hai hàng ma trận II Lấy hàng ma trận trừ bội hàng khác ma trận III Nhân hàng ma trận với số khác Tìm A-1 phương pháp Gauss-Jordan Bước 1: Viết thêm ma trận đơn vị cấp với A vào bên phải A để [A | I] Bước 2: Dùng phép biến đổi hàng để đưa [A | I ] [I | b1 b2 … bn] Bước 3: -1 A = [b1 b2 … bn] VD2.3.4 é ù -1 a) Cho A = ê Tìm A ú ë û é ù ê ú b) Cho B = -1 Tìm B -1 ê ú êë -1 úû Chú ý Nếu A khả nghịch Ax = b có nghiệm x = A-1b VD2.3.5 Tìm ma trận X cho a) é ù é ù ê ú X = ê -1 ú ë û ë û b) é ù é ù Xê = ê ú ú ë û ë -1 û c) 2 1 1    X   1     2.4  MA TRẬN CHUYỂN VỊ ĐỊNH NGHĨA 2.4.1 Cho A= (aij) ma trận mn Ma trận chuyển vị A ma trận nm xác định AT= (aji) VD2.4.1 é Cho A = ê ë -1 ù T Tìm A ú û Tính chất (AT)T = A (cA)T = cAT (A + B)T = AT + BT (AB)T = BTAT (A-1)T = (AT)-1 ĐỊNH NGHĨA 2.4.2 Ma trận A gọi ma trận đối xứng AT= A NHỮNG Ý CHÍNH Khái niệm ma trận, phép toán tính chất Ma trận nghịch đảo Phương pháp Gauss-Jordan để tìm ma trận nghịch đảo Ma trận chuyển vị [...]... MA TRẬN CHUYỂN VỊ ĐỊNH NGHĨA 2.4.1 Cho A= (aij) là ma trận mn Ma trận chuyển vị của A là ma trận nm và được xác định AT= (aji) VD2.4.1 é 1 Cho A = ê ë -1 2 0 3 4 ù T Tìm A ú û Tính chất 1 (AT)T = A 2 (cA)T = cAT 3 (A + B)T = AT + BT 4 (AB)T = BTAT 5 (A-1)T = (AT)-1 ĐỊNH NGHĨA 2.4.2 Ma trận A được gọi là ma trận đối xứng nếu AT= A NHỮNG Ý CHÍNH 1 Khái niệm ma trận, các phép toán và tính chất 2 Ma. ..  khả nghịch  tất cả các phần tử trên đường chéo khác 1 / a11   không Khi đó A-1 =     1 / a nn   Tính chất Nếu A và B là hai ma trận nn khả nghịch, c là số khác 0, thì 1 (AB)-1 = B-1A-1 2 (cA)-1 = c-1A-1 NHỮNG PHÉP TOÁN HÀNG TRÊN MA TRẬN: I Đổi chỗ hai hàng của ma trận II Lấy một hàng của ma trận trừ đi bội của một hàng khác trong ma trận III Nhân một hàng của ma trận với một số khác 0... chất: A, B, C là ma trận và những số thực bất kỳ x, y 1 A + B = B + A 8 1A = A 2 A + (B + C) = (A + B) + C 9 A(BC) = (AB)C 3 A + O = A 10 A(B + C) = AB + AC 4 A + (-A) = O 11 (A+B)C = AC + BC 5 x(A + B) = xA + xB 12 AI = A, IA = A 6 (x + y)A = xA + yA 13 AO = O, OA = O 7 (xy)A = x(yA) 2.3  MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO ĐỊNH NGHĨA 2.3.1 Ma trận vuông A được gọi là ma trận khả nghịch nếu tồn tại ma trận B sao cho... cho AB = BA = I Ta gọi B là ma trận nghịch đảo của A Chú ý: Ma trận nghịch đảo của A là duy nhất và được kí hiệu A-1 VD2.3.1 2 2 1  -1 A= có A =   3 2  3 TỔNG QUÁT a c   1  2 b khả nghịch  ad - bc  0  d Khi ấy a c  b  1 1 d   d ad  bc   c  b  a  VD2.3.2 é 2 0 ù é 1 0 ù -1 A=ê có A = ê ú ú ë 0 -6 û ë 0 -3 û TỔNG QUÁT  a11   Ma trận đường chéo A =    ... Gauss-Jordan Bước 1: Viết thêm ma trận đơn vị cùng cấp với A vào bên phải của A để được [A | I] Bước 2: Dùng các phép biến đổi trên hàng để đưa [A | I ] về [I | b1 b2 … bn] Bước 3: -1 A = [b1 b2 … bn] VD2.3.4 é 2 1 ù -1 a) Cho A = ê Tìm A ú ë 3 2 û é 1 0 2 ù ê ú b) Cho B = -1 5 0 Tìm B -1 ê ú êë 0 1 -1 úû Chú ý Nếu A khả nghịch thì Ax = b có nghiệm duy nhất là x = A-1b VD2.3.5 Tìm ma trận X sao cho a) é 2... (AB)T = BTAT 5 (A-1)T = (AT)-1 ĐỊNH NGHĨA 2.4.2 Ma trận A được gọi là ma trận đối xứng nếu AT= A NHỮNG Ý CHÍNH 1 Khái niệm ma trận, các phép toán và tính chất 2 Ma trận nghịch đảo Phương pháp Gauss-Jordan để tìm ma trận nghịch đảo 3 Ma trận chuyển vị