Hạng của ma trận và các cấu trúc nghiệm

Hạng của ma trận và cách tìm. Một hàng (cột) của A được gọi là hàng trụ (cột trụ), nếu sau các phép toán hàng để đưa A về U thì hàng ( cột) đó chứa trụ. Tiêu chuẩn có nghiệm của hệ Ax = b (Định lý Kronecker Capelli). Cấu trúc nghiệm của hệ Ax = 0. Biện luận hệ Ax = 0. Cấu trúc nghiệm của hệ Ax = b. Biện luận hệ Ax = b

VD5.1.2 Biện luận hạng của ma trận theo m

2 1 1 2

1 3 1 3

1

−8 5

Chú ý

1) r(A) = 0 ⇔ A = O

2) r(A) = r(AT)

3) Nếu A là ma trận m ×n thì r(A) ≤ min{m, n}

4) Nếu A là ma trận n ×n thì r(A) = n ⇔ detA ≠ 0

ĐỊNH NGHĨA 5.1.2 Một hàng (cột) của A được gọi là

hàng trụ ( cột trụ ), nếu sau các phép toán hàng để đưa

Định lý 5.1.1 Nếu r(A) = r, thì Ax = 0 ⇔ Bx = 0, trong

5.2 ¡ CẤU TRÚC NGHIỆM CỦA Ax = 0

3

10 3

3

8 2

2

2 1

3

4 0

0

4 0

0

2 1

3

0 0

0

4 0

0

2 1

1

ĐỊNH NGHĨA 5.2.1 Khi giải Ax = 0, cho một biến tự do bằng 1, và cho các biến tự do còn lại bằng 0 , ta được một nghiệm gọi một nghiệm đặc biệt

VD5.2.1

x2 = 1, x4 = 0

s1 =

−1 1 0 0

−1 1

1

= x2s1 + x4s2

ĐỊNH NGHĨA 5.2.2 Nếu s1, , s k là tất cả các nghiệm

đặc biệt của Ax = 0, gọi

c1s1+⋅⋅⋅+c k s k,

với c1, , c k là những số thực bất kỳ, là nghiệm đầy đủ

hay nghiệm tổng quát của Ax = 0

Định lý 5.2.1 Cho Ax = 0 là hệ n ẩn

* Nếu r(A) = n, thì hệ có nghiệm duy nhất (N(A) = {0})

* Nếu r(A) < n, thì hệ có tất cả n - r(A) nghiệm đặc biệt

s1, , s n-r(A) và N(A) gồm tất cả những tổ hợp tuyến tính của s1, , s n-r(A)

Hệ quả Nếu Ax = 0 có số phương trình nhỏ hơn số ẩn

thì nó có vô số nghiệm

5.3 ¡ CẤU TRÚC NGHIỆM CỦA Ax = b

ĐỊNH NGHĨA 5.3.1 Một nghiệm nào đó của Ax= b được

gọi là một nghiệm riêng, ký hiệu là x p

VD5.3.1 Hệ

x1 - x2 + x3 = 1

2x1 + x2 - 3x3 = 10

có một nghiệm riêng x p = (3, 1,-1)

Tính chất Giả sử A là ma trận m ×n và Ax = b có

nghiệm xp nào đó

* Nếu r(A) = n, thì x p là nghiệm duy nhất của Ax = b

* Nếu r(A) < n, thì Ax = b có vô số nghiệm x p phụ

thuộc n - r(A) biến tự do

ĐỊNH NGHĨA 5.3.2

Nếu

• x p là nghiệm riêng của Ax = b,

• x n là nghiệm đầy đủ của Ax = 0,

thì x = x p + x n được gọi là nghiệm đầy đủ hay nghiệm

Cách tìm nghiệm tổng quát x = x p + x n của Ax = b

+) Biến đổi [A | b] → [U | c] ( xác định r biến trụ và (n-r) biến tự do)

+) Tìm các nghiệm đặc biệt s1, , s n-r của [U | c] (gán

từng biến trụ lần lượt bằng 1, các biến tự do còn lại bằng 0) để xác định x n

+) Tìm một nghiệm riêng x p của [U | c] (gán các biến tự

do bằng 0 rồi giải ra các biến trụ)

VD5.3.2 Giải hệ

a) x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 1

2x1 + 2x2 + 8x3 + 10x4 = 6

3x1 + 3x2 +10x3 +13x4 = 7

b) x + 2y + 3z = 1

2x + 4 y + 6z = 2

2x + 5 y + 7z = 4

3x + 9 y + 12z = 9

NHỮNG Ý CHÍNH

1 Hạng của ma trận và cách tìm

2 Tiêu chuẩn có nghiệm của hệ Ax = b (Định lý

Kronecker - Capelli)

3 Cấu trúc nghiệm của hệ Ax = 0 Biện luận hệ Ax = 0

4 Cấu trúc nghiệm của hệ Ax = b Biện luận hệ Ax = b