CAC PHEP TOAN MA TRAN - MA TRAN KHA NGHICH

GV LÊ VĂN HỢP CHƯƠNG II CÁC PHÉP TOÁN MA TRẬN MA TRẬN VNG KHẢ NGHỊCH I CÁC PHÉP TỐN TRÊN MA TRẬN: 1.1/ PHÉP CHUYỂN VỊ MA TRẬN: Cho A =  aij 1i m  Mm x n(R) 1 j  n Đặt B = bij  1in  Mn x m(R) cho b ij = aji (1  i  n,  j  m), nghĩa 1 j  m ma trận B suy từ A cách viết dòng (hay cột) A thành cột (hay dòng) B Ta nói B ma trận chuyển vị A ký hiệu B = At (t = transposition) Để ý (At ) t = Bt = A Nếu C  Mn(R) Ct  Mn(R) Ví dụ:  2   2 5  7 3  t    a) A =  4   M3 x 4(R) có B = A =  M4 x 3(R)  4   3 6       5 6  Ta có b 13 = a31 = 5, b22 = a22 = b41 = a14 = 5 Để ý (At ) t = Bt = A  2   7  t   b) C =  7 1   M3(R) có D = C =  2   M3(R)   1 3  3     Ta có d12 = c21 = 7, d33 = c33 = 3 d23 = c32 = Để ý (Ct ) t = Dt = C 1.2/ PHÉP NHÂN SỐ THỰC VỚI MA TRẬN: Cho A =  aij 1i m  Mm x n(R) c  R Đặt c.A =  caij 1i m  Mm x n(R) 1 j  n 1 j  n Ta có 1.A = A, 0.A = Om x n , (1).A =  aij 1i m 1 j  n Đặt A = (1).A gọi A ma trận đối A Ví dụ:  2 5  4 A =  4   M3 x 4(R) có A=  3 6     / 28 / 32 / 20 /   4 / 16 / 12    20 / 8 /   1.3/ PHÉP CỘNG MA TRẬN: Cho A =  aij 1i m B =  bij 1i m  Mm x n(R) 1 j  n 1 j  n Đặt A + B =  aij  bij 1i m A  B = A + (B) =  aij  bij 1i m  Mm x n(R) 1 j  n 1 j  n Ví dụ:  2 5   1    A =  4  B =  3 2   M3 x 4(R)  3 6   4 5       6 17 5   10 1 5    Ta có A + B =  2 6 16  A  B =  6 2   M3 x 4(R)  8 4   1 8     1.4/ TÍNH CHẤT: Cho A, B, C  Mm x n(R) c, d  R Khi đó: a) c.(d.A) = (c.d).A (c.A)t = c.At (A  B)t = At  Bt b) Phép cộng ma trận giao hoán kết hợp: B+A=A+B (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C c) Om x n + A = A + O m x n = A (A) + A = A + (A) = O m x n d) (c + d).A = c.A + d.A c.(A  B) = c.A  c.B Ví dụ: Cho A, B  Mm x n(R) Ta có (4A)t = 4At (5 + 8)A = 5A + 8A (7)(6A) = [ (7)6 ]A = 42A (9)(A + B) = (9)A + (9)B 1.5/ TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA DỊNG VỚI CỘT: Cho dịng U =  u1 u2  v1    v un   M1 x n(R) cột V =    Mn x 1(R)      n Đặt U.V = (u1v1 + u2v2 + … + unvn) = u v i i U.V R i 1 Ví dụ: 7    0 U =  3 6   M1 x 5(R) V =  5   M5 x 1(R)   1  4    Ta có U.V = (3)7 + 8.0 + (6)(5) + 9.1 + 2(4) = 10  R 1.6/ PHÉP NHÂN MA TRẬN: Cho A =  aij 1i m  Mm x n(R) B =  b jk 1 j n  Mn x p(R) thỏa điều kiện 1 j  n 1 k  p (số cột A) = n = (số dòng B) Ta quan tâm m dòng A1 , A2 , , Am A (mỗi dịng có n số hạng) quan tâm p cột B1 , B2 , , Bp B (mỗi cột có n số hạng) Ta thực phép nhân ma trận A Mm x n(R) với B  Mn x p(R) cách nhân vô hướng dòng A với cột B để ma trận tích C =  cik 1im  Mm x p(R) sau: 1 k  p  A1    A C = A.B =    B1       Am  B2  A1 B1  A2 B1  Bp  =      Am B1 với cik = (dòng Ai)(cột Bk) =  ai1  A1 B2 A1 B p    A2 B p  =  cik 1im  Mm x p(R)    1 k  p   Am Bp  A2 B2  Am B2  b1k    b ain   k  = (ai1b1k + ai2b2k + … + ainb nk)       bnk  n Như C = A.B = AB =  cik 1im với cik = 1 k  p a b ij jk (1  i  m,  k  p) j 1 Ví dụ:  1 5   2 4  7 6   M4 x 3(R) Cho A =  6   M3 x 4(R) B =       1 3      2 8  18 11 7 23   28 13   31 45 38  Ta có C = AB =  67 15  D = BA =  với    11  11 13       12 34 70 32  C  M3(R) D  M4(R) Như AB  BA 1.7/ MA TRẬN ĐƠN VỊ: Ma trận đơn vị cấp n ma trận vng cấp n có dạng sau: 1  0 In =    0 0   0   0       0   (tất hệ số đường chéo 1, bên ngồi 0) Ví dụ: I1 = 1 1 0 I2 =   0 1 1 0 I3 =   0 1   1 0 I4 =  0  0 0 0 0  0  0 1 1.8/ TÍNH CHẤT: Cho A  Mm x n(R), B, C  Mn x p(R), D  Mp x q(R) c  R Khi đó: a) (AB)D = A(BD) = ABD (phép nhân ma trận có tính kết hợp) b) (AB)t = BtAt (cA)B = A(cB) = c(AB) c) A(B  C) = AB  AC (B  C)D = BD  CD (phép nhân ma trận phân phối trái phải với phép cộng trừ ma trận) d) Ok x m A = Ok x n AOn x k = Om x k e) Im A = A AIn = A Ví dụ:  5 1 Cho A =    M2 x 3(R)  4 9  Ta có O5 x A = O5 x , AO3 x = O2 x , I2 A = A AI3 = A 1.9/ GHI CHÚ: a) Phép nhân ma trận không giao hốn Nếu AB BA xác định khơng thiết BA = AB Nếu AB = BA A B hai ma trận vng có kích thước b) Có thể nhân liên tiếp nhiều ma trận số cột ma trận trước số dịng ma trận sau c) Có thể xảy khả A  Mm x n(R), B  Mn x p(R), A  O  B AB = Om x p Ví dụ: a) Trong Ví dụ (1.7), C = AB  D = BA C  M3(R) D  M4(R) b) Cho A  M3 x 7(R), B  M7 x 4(R), C  M4 x 1(R) D  M1 x 8(R) Đặt E = ABCD E  M3 x 8(R)  1  c) Cho A =  4   O3 x B =  0    3   3   O2 x AB = O3   II CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN VUÔNG: 2.1/ PHÉP NHÂN VÀ LŨY THỪA: Cho A, B  Mn(R) a) Ta có AB  M n(R), BA  M n(R) không thiết AB = BA b) Đặt A0 = In , A1 = A, A2 = AA, … , Ak + = AAk k  N Ta có Ta có Ak  Mn(R)  k  N Ví dụ:  1   4 a) Cho H =   K =   2    17 25  6  M2(R) 7   18 Ta có HK =    M2(R), KH =  20  30 44   8   M2(R) HK  KH   2   M2(R) Tính Ak k  N  1 b) Cho A =  0  2  , A2 = AA =  Ta có A1 = A =  0  4   6    A = AA =        2 k  k  N kiểm chứng dễ dàng phép qui nạp  Dự đoán Ak =  0 2.2/ TÍNH CHẤT: Cho A  Mn(R) a) Onk  On I nk  I n k nguyên  b) ArAs = Ar + s (Ar)s = Ars r, s  N c) OnA = AOn = On InA = AIn = A d) Có thể xảy khả (A  On r nguyên  thỏa Ar = On) Ví dụ: a) On2000  On I n3000  I n b) A  Mn(R), A9A16 = A9 + 16 = A25 (A9) 16 = A9 x 16 = A144  2   0 10    c) A =  0 5   M3(R) A  O3 Ta có A =  0   O3 = A3 0 0  0 0      2.3/ CÁC MA TRẬN VUÔNG ĐẶC BIỆT: Cho A = (aij)1  i, j  n  M n(R) Đường chéo (chính) A bao gồm hệ số aii (1  i  n) a) A ma trận (đường) chéo hệ số đường chéo hệ số đường chéo tùy ý (nghĩa aij =  i  j  n) b) A ma trận tam giác hệ số phía đường chéo hệ số khác tùy ý (nghĩa aij =  j < i  n) c) A ma trận tam giác hệ số phía đường chéo hệ số khác tùy ý (nghĩa aij =  i < j  n) d) A ma trận tam giác ngặt A ma trận tam giác có đường chéo gồm toàn hệ số (nghĩa aij =  j  i  n) e) A ma trận tam giác ngặt A ma trận tam giác có đường chéo gồm toàn hệ số (nghĩa aij =  i  j  n) Ví dụ: Các ma trận dạng đặc biệt (ma trận đường chéo, tam giác trên, tam giác dưới, tam giác ngặt tam giác ngặt) :  3*  A=  0  0 0 * 2 0 0* 0      7*   4*  1*  B=  0   0 5   8  9*   6*   1* 0  * 2 0 C=   3 8*   9 0  0 0  5*   0*  D= 0  0 0* 0  0* 0  9 0* E=  0*   6 5   8  0*   0*  0  0 0  0*  2.4/ MỆNH ĐỀ: a) Tổng, hiệu, tích lũy thừa nguyên dương ma trận đường chéo ma trận đường chéo Các phép toán thực tự nhiên đường chéo b) Tổng, hiệu, tích lũy thừa nguyên dương ma trận tam giác loại ma trận tam giác loại Ví dụ: 5 0 A =  2  , 0 4    3 0  B =   ,  0 6   2 0  Ta có A + B =   ,  0 10    10 A  510  =0   (2)10  3  C =    0 2    8 0  A  B =  9  ,  0 2      , 410   1 6  C + D =  17  ,  0 2     2 30 11 CD =  72 32   0    2 3  D =    0 0   0  15  AB =  14   0 24    1  C  D =  1   0 2     219 84  C =  512 208  0 8   2.5/ MỆNH ĐỀ: Cho A, B  Mn(R) thỏa AB = BA Khi đẳng thức R có hiệu lực A B k  2, (AB)k = AkBk, (A + B)k = k i k i C A B k i i 0 Ak  Bk = (A  B)(Ak1 + Ak2B + … + ABk2 + Bk1 ) Ví dụ: Cho A, B  Mn(R) thỏa AB = BA Khi (AB)4 = ABABABAB = AAAABBBB =A4B4 A5 + B5 = A5  (B)5 = (A + B)(A4  A3B + A2B2  AB3 + B4) (4A  5In)3 = (4A)3  3(4A)2(5In) + 3(4A) (5In)2  (5In)3 = 64A3  240A2 + 300A  125In 2.6/ GHI CHÚ: Nếu A, B  Mn(R) thỏa AB  BA đẳng thức R áp dụng cho A B Các phép tính phải dùng định nghĩa Ví dụ: Cho A, B  Mn(R) thỏa AB  BA Ta có (A + B)(A  B) = A2  AB + BA  B2  A2  B2 ( AB + BA)  On (A  B)2 = (A  B) (A  B) = A2  AB  BA + B2  A2  2AB + B2 ( AB  BA)   2AB III SỰ KHẢ NGHỊCH CỦA MA TRẬN VUÔNG: 3.1/ VẤN ĐỀ: a) A  Mn(R), ta có InA = AIn = A b) Cho trước A  Mn(R) Có hay khơng A’ M n(R) thỏa A’A = AA’ = In ? Nếu có A’ xác định ? Khi n = 1, ta trả lời dễ dàng câu hỏi trên: a =  R = M1(R) khơng có a’ R thỏa a’a = aa’ = ta nói a = số khơng khả nghịch Nếu a  R \{ 0} có a’ = a1 R = M1(R) thỏa a’a = aa’ = ta nói a số khả nghịch ký hiệu a1 = a’ số nghịch đảo số a Ta đưa câu trả lời cho câu hỏi n  3.2/ ĐỊNH NGHĨA: Cho A  M n(R) a) Ta nói A ma trận khả nghịch có A’ Mn(R) thỏa A’A = AA’ = In b) A’(nếu có) lúc ta ký hiệu A’ = A1 ma trân nghịch đảo ma trận A c) Nếu A khả nghịch (có A1) ta định nghĩa thêm lũy thừa nguyên âm cho A sau: A2 = (A1)2, A3 = (A1)3, … , Ak = (A1)k k nguyên  Ta có Am  M n(R) m  Z Hơn ArAs = Ar + s, (Ar)s = Ars r, s  Z Ví dụ:  3  1 2   Cho A =  1  B =  2 3   M3(R)  3 4   3     Ta có AB = BA = I3 Do A khả nghịch A1 = B Tương tự B khả nghịch B1 = A Hơn Ak = (A1)k = Bk k nguyên  Am  M3(R) m  Z Ta có A7A12 = A7 + (12) = A5 (A7) 12 = A7(12) = A84 3.3/ ĐỊNH LÝ: (nhận diện ma trận khả nghịch) Cho A  M n(R) Ta xác định SA, RA r(A)  n Các phát biểu sau tương đương với nhau: a) A khả nghịch b) SA có hệ số đường chéo  c) RA = In d) r(A) = n 3.4/ HỆ QUẢ: (nhận diện ma trận không khả nghịch) Cho A  M n(R) Ta xác định SA, RA r(A)  n Các phát biểu sau tương đương với nhau: a) A không khả nghịch b) SA có hệ số đường chéo c) RA  In d) r(A) < n Ví dụ:  1   6   Cho A =  3 2  B =  5 16   M3(R)  2   1      1*  A 0 0  3  1   SA = 4 5  1*  0 0  1* 1*       1* 0 13*     2   RA = 13  1* 0    *   = I3  0 1*    Bảng 1: (2)  (2) + (1), (1)  (1)  (3), (3)  (3)  2(1) Bảng 2: (3)  (3)  4(2) Bảng 3: (1)  (1) + (2), (2)   (2) Bảng 4: (3)  131(3), (1)  (1)  5(3), (2)  (2) + 2(3) 1* 1*     B   17 51   SB =  17*  5 15  0    1* 7   51  RB =  1* 0 0   2     I3  Bảng 1: (1)  (1)  (3), (2)  (2) + 5(1), (3)  (3)  2(1) Bảng 2: (3)  (3) + (5/17)(2) Bảng 3: (2)  171(2), (1)  (1)  3(2) Ta thấy A khả nghịch (để ý hệ số đường chéo SA  0, RA = I3 r(A) = 3) B không khả nghịch (để ý có hệ số = đường chéo SB, RB  I3 r(B) = < 3) 3.5/ ĐỊNH LÝ: (tìm ma trận nghịch đảo cho ma trận khả nghịch) Cho A khả nghịch  Mn(R) (nghĩa RA = In) Nếu phép biến đổi sơ cấp dòng 1, 2, … , k biến A thành RA = In phép biến đổi đó, theo thứ tự, biến In thành A1 Cụ thể sau: Nếu A  A1  A2  …  Ak = RA = In (dùng phép biến đổi 1, 2, … , k ) In  B1  B2  …  Bk = A1 (cũng dùng phép biến đổi 1, 2, … , k ) 3.6/ PHƯƠNG PHÁP GAUSS – JORDAN TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO: Cho A  Mn(R) Ta thường kiểm tra A khả nghịch tìm A1 lúc theo sơ đồ sau (phương pháp Gauss – Jordan): (A | In)  (A1 | B1)  (A2 | B2)  …  (Ak | Bk) Ak = RA (dùng phép biến đổi sơ cấp dòng 1, 2, … , k biến A thành RA) Nếu RA  In A khơng khả nghịch Nếu RA = In A khả nghịch A1 = Bk Ví dụ: Xét tính khả nghịch tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) ma trận sau:  1  B =  2 3 11 A =  15     9  2   M (R)    7    0  1* 10      1* 3 3   0 3 2   0 1 1  1* 1* 0 1         5 12 2     22 53 0 0  7    *  0 2 2 16 55 9      * * 5 18    22 75 12   0 1* 9 31 1 31 5    1   5 18  1  1  (B | I3) =  2 3 11  15  0  1*   0   0   3 1 Bảng 1: (2)  (2) + 2(1), (3)  (3)  3(1) Bảng 2: (1)  (1)  2(2), (3)  (3) + (2) Ta thấy RB  I3 nên B không khả nghịch   (A | I3) =   7  1*   0 0  Bảng Bảng Bảng Bảng 1: (1)  (1)  (2), (2)  (2)  2(1), (3)  (3) + 7(1) 2: (3)  (3) + 4(2), (2)  (2) + 3(3) 3: (1)  (1)  3(2), (3)  (3) 2(2) 4: (1)  (1)  2(3), (2)  (2) + 3(3), (3)   (3) 1 Do RA = I3 nên A khả nghịch A   2  =  22 75 12   9 31   Thử lại, ta thấy A1A = I3 hay AA1 = I3 3.7/ MỆNH ĐỀ: Cho A, B, A1, A2, … , Ak  Mn(R) Khi a) Nếu A khả nghịch * A1 khả nghịch (A1) 1 = A * At khả nghịch (At) 1 = (A1)t * cA (c  R \ {0}) khả nghịch (cA)1 = c1A1 * Ar (r  Z) khả nghịch (Ar) 1 = Ar b) AB khả nghịch  (A B khả nghịch) Lúc (AB) 1 = B1A1 AB khơng khả nghịch  (A hay B không khả nghịch) c) (A1A2 … Ak) khả nghịch  (A1, A2, … , Ak khả nghịch) Lúc (A1A2 … Ak) 1 = Ak1 Ak11 A21 A11 (A1A2 … Ak) không khả nghịch  j  {1, 2, … , k}, Aj không khả nghịch Ví dụ: 1 2  3  1   a) A =  2 3  khả nghịch A =  1  Suy  3  3 4      * A1 khả nghịch (A1) 1 = A  2  * A =   khả nghịch (At) 1 = (A1)t =  3    t  3   3     4    * 5 5 2 1 A khả nghịch ( A)1 = A 2 * A4 khả nghịch (A4) 1 = A4   3  2  2  1 1   khả nghịch có H =   K =  4         1   1/  L=  không khả nghịch (để ý RH = RK = I2 RL =   I2 )    8  0 11  11   14  15 Ta có HK =  khả nghịch (HK) 1 = K1H 1 =     19 15   19 14  b) H =   7 2  K =   1   1 Ta có KH =  khả nghịch (KH) 1 = H 1K1 =     0  1 Các ma trận HKL, KHL, HLK, KLH, LHK LKH không khả nghịch 3.8/ MỆNH ĐỀ: (nhận diện ma trận khả nghịch nghịch đảo nhau) Cho A, B  Mn(R) Các phát biểu sau tương đương với nhau: a) A khả nghịch A1 = B b) B khả nghịch B1 = A c) AB = In d) BA = In Ví dụ: a) Cho P  Mn(R) thỏa P5 = On Đặt A = (In  P) B = (In + P + P2 + P3 + P4) Chứng minh A khả nghịch A1 = B Theo 3.8, ta cần chứng minh AB = In xong Ta có AB = (In  P) (In + P + P2 + P3 + P4) = In + P + P2 + P3 + P4  (P + P2 + P3 + P4 + P5) = In  P5 = In  On = In b) Cho H, K  Mn(R) cho C = (In + HK) khả nghịch Chứng minh D = (In + KH) khả nghịch D1 = E E = (In  KC1H) Theo 3.8, ta cần chứng minh DE = In xong Ta có DE = (In + KH) (In  KC1H) = In + KH  KC1H  KHKC1H = In + KH  K(In + HK)C1H = In + KH  KCC1H = In + KH  KH = In 3.9/ LIÊN HỆ GIỮA TÍNH KHẢ NGHỊCH CỦA MA TRẬN VNG VÀ NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH: Cho hệ phương trình tuyến tính AX = B với A  Mn(R) B  Mnx1(R) a) Nếu A khả nghịch hệ có nghiệm Nếu A khơng khả nghịch hệ vơ nghiệm có vơ số nghiệm b) Suy ra: Nếu A khả nghịch hệ AX = O có nghiệm X = O Nếu A khơng khả nghịch hệ AX = O có vơ số nghiệm Ví dụ: Cho ma trận 1 2 A =  2 3  , C =  3    1   x1  u   2   M (R) X =  x  , B =  v   M (R) 3x1    2    1 3  x   w    3   10 AX = B  1* 0    1*  0 1*   2 u  1*     2 3 v     w     4v  w  3u   vw  2u  3v  w  2 3 1  1*   v  w    1* w  2u   0 u u  2v  w   vw  1 3v  w  2u  Bảng 1: (2)  (2) + (3), (3)  (3)  2(1) Bảng 2: (1)  (1)  2(2), (3)  (3) + 3(2) Bảng 3: (1)  (1) + 2(3), (3)   (3) Do RA = I3 nên A khả nghịch hệ AX = B có nghiệm (x = 4v + 6w  3u, x2 = v + w, x3 = 2u  3v  4w) u,v,w  R Suy hệ AX = O (u = v = w = 0) có nghiệm (x1 = x2 = x = 0)  1  CX = B   2  1 3  1* u   v  0 0 w   1 4 4  1*   v  2u    1* 0 u  w   u 1 (v  2u ) /   (v  2u ) /  u  v  w  Bảng 1: (2)  (2)  2(1), (3)  (3) + (1) Bảng 2: (3)  (3) + (2), (2)  41(2), (1)  (1) + (2) Do RC  I3 nên C không khả nghịch Nếu v + w  u  hệ CX = B vơ nghiệm Nếu v + w  u = hệ CX = B có vơ số nghiệm với ẩn tự [ x3 = a (a  R), x1 =  2a + (v + 2u)/4, x2 = a + (v  2u)/4 ] u,v,w  R Suy hệ CX = O (u = v = w = 0) có vơ số nghiệm với ẩn tự [ x3 = a (a  R), x1 =  2a, x2 = a ] IV GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MA TRẬN: 4.1/ CÁC PHƯƠNG TRÌNH ỨNG DỤNG MA TRẬN KHẢ NGHỊCH: Cho ma trận khả nghịch A  M n(R) C  Mm(R) a) Phương trình AX = B ( B  Mn x m(R) ma trận ẩn X  Mn x m(R) ) Ta có AX = B  (A1A)X = A1B  X = A1B (nghiệm nhất) Đặc biệt AX = O  X = A1O = O (nghiệm tầm thường) b) Phương trình XA = B ( B  Mm x n(R) ma trận ẩn X  Mm x n(R) ) Ta có XA = B  X(AA1) = BA1  X = BA1 (nghiệm nhất) Đặc biệt XA = O  X = OA1 = O (nghiệm tầm thường) c) Phương trình AXC = B ( B  Mn x m(R) ma trận ẩn X  Mn x m(R) ) Ta có AXC = B  (A1A)X(CC1) = A1BC1  X = A1BC1(duy nhất) Đặc biệt AXC = O  X = A1O C1 = O (nghiệm tầm thường) Ví dụ:  3  1 2 1   A =  1   M3(R) khả nghịch ta có A =  2 3   3 4   3     11  1   2  C=   M2(R) khả nghịch ta có C1 =     2   5   2   14  1   Phương trình AX = B =   có nghiệm X = A B =  11  5  14       0  0 1   Phương trình AX = O =   có nghiệm X = A B = O =    0  0     4 0  8  1    Phương trình XC = D =  5  có nghiệm X = DC =  23 9   3   4      0 0 0 0 1   Phương trình XC = O =  0  có nghiệm X = OC = O =  0  0 0 0 0      1 2  Phương trình CXA = E =   có nghiệm 0   14 7  16 21 31  1 X = C1EA1 =   A =  37 54 73   35 17 16     0 0 Phương trình CXA = O =   có nghiệm 0 0 0 0 X = C1OA1 = O =   0 0 4.2/ PHƯƠNG TRÌNH MA TRẬN TỔNG QT: Xét phương trình ma trận tổng quát f(X) = O với X ma trận ẩn f hàm theo X Ta xác định kích thước (m x n) X đặt X =  xij 1im bao gồm mn ẩn số thực xij (1  i  m,  j  n) 1 j  n Viết f(X) = O thành hệ phương trình thực theo mn ẩn số thực xij (1  i  m,  j  n) Nếu hệ giải (chẳng hạn hệ phương trình tuyến tính) ta tìm ma trận X thỏa phương trình ma trận cho Ví dụ: Giải phương trình ma trận sau:  3  t  4  X =    5  t  1  (X ma trận chuyển vị X)   x a) X  M3 x 2(R) nên X  M2 x 3(R) Đặt X =  u t 0 0 Y2 = O2 =   0 0 x u y z t X =  y v  , ta có  v w  z w   12  3   4    x y  z  u  5  v  =    1  w    2x  y  5z   x  y  z  1    2u  3v  5w  5  3u  v  w  Ta có hai hệ phương trình tuyến tính [ hệ (I) theo x, y, z hệ (II) theo u, v, w ] giải chung bảng ma trận sau (vì ma trận hệ số vế trái hai hệ trùng nhau) : x y z   4  3  u v w (I ) 1 ( II )   x    1*  5      u y z 9 11 23 v w (I ) 7 20 ( II )   x y    1*  19   1*    u v z 7 / 11 23 / 11 w (I ) ( II )   / 11 / 11  20 / 11 19 / 11    Bảng : (1)  (1)  (2), (2)  (2)  2(1) Bảng : (2)  111(2), (1)  (1)  4(2) Hệ (I) : z  R, x = (7z + 3)/11, y = (23z  20)/11 Hệ (II) : w  R, u = (7w + 1)/11, v = (23w + 19)/11  z  23 z  20 11z    với z, w  R 11  w  23w  19 11w   x  yz  0( PT 1)  y x y 0 0  y ( x  t )  0( PT 2) =        t  z t  0 0  z ( x  t )  0( PT 3)  t  yz  0( PT 4) Vậy phương trình ma trận có vơ số nghiệm X = x y x b)Y  M2(R) Đặt Y =   , ta có  z z t   Từ (PT 2), ta xét * Nếu y = : từ (PT1) (PT4), ta có x = t = Lúc (PT 3) thỏa với z  R * Nếu y thực tùy ý  : t = x (PT 2), z = x 2/ y (PT 1) với x thực tùy ý Lúc (PT 3) (PT 4) thỏa Vậy phương trình ma trận có vơ số nghiệm sau : 0 0  x y  Y=   Y =   x / y  x  với x, y, z  R (y  0)  z 0   -13 ... Phép nhân ma trận không giao hốn Nếu AB BA xác định khơng thiết BA = AB Nếu AB = BA A B hai ma trận vng có kích thước b) Có thể nhân liên tiếp nhiều ma trận số cột ma trận trước số dịng ma trận... ngặt A ma trận tam giác có đường chéo gồm toàn hệ số (nghĩa aij =  j  i  n) e) A ma trận tam giác ngặt A ma trận tam giác có đường chéo gồm toàn hệ số (nghĩa aij =  i  j  n) Ví dụ: Các ma trận... tích lũy thừa nguyên dương ma trận đường chéo ma trận đường chéo Các phép toán thực tự nhiên đường chéo b) Tổng, hiệu, tích lũy thừa nguyên dương ma trận tam giác loại ma trận tam giác loại Ví