- Khái niệm biến đổi tuyến tính, ảnh, hạt nhân. - Ma trận biểu diễn một phép biến đổi tuyến tính: cơ sở chính tắc, ma trận chính tắc. - Ma trận chuyển cơ sở: ánh xạ đồng nhất, công thức liên hệ tọa độ
$.9 PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH VÀ MA TRẬN CHUYỂN CƠ SỞ http://lovehateubuntu.blogspot.com/2010/07/barnsleyfern.html 9.1 ¡ KHÁI NIỆM PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH Định nghĩa 9.1.1 Một ánh xạ T : V → W gọi phép biến đổi tuyến tính ∀ v, w∈V ∀ x ∈! (a) T(v + w) = T(v) + T(w) (b) T(xv)= xT(v) Chú ý Hai điều kiện (a) (b) tương đương với (c) T(xv + yw) = xT(v) + yT(w) VD9.1.1 a) T : ! → ! 2 V ! T(v) = 3v ⇒ T phép biến đổi tuyến tính( phép dãn vectơ lần) b) T : ! → ! 2 ⎡ x1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎢x ⎥ ! T ⎢x ⎥ = ⎣ 2⎦ ⎣ 2⎦ ⎡ x1 ⎤ ⎢ 0⎥ ⎣ ⎦ ⇒ T phép biến đổi tuyến tính( phép chiếu lên trục Ox) c) T: ! → ! 2 ⎡ x1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎢x ⎥ ! T ⎢x ⎥ = ⎢ − x ⎥ 2⎦ ⎣ 2⎦ ⎣ ⎣ 2⎦ ⇒ T phép biến đổi tuyến tính( phép lấy đối xứng vectơ qua trục Ox) d) T: ! → ! 2 ⎡ x1 ⎤ ⎡ − x2 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎢x ⎥ ! T ⎢x ⎥ = ⎢ x ⎥ ⎣ 2⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 2⎦ ⇒ T phép biến đổi tuyến tính( phép quay vectơ R góc 900 theo hướng ngược chiều kim đồng hồ) e) T: ! → ! 2 ⎡ x1 ⎤ ⎡ x1 x2 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎢x ⎥ ! T ⎢x ⎥ = ⎢ x + x ⎥ ⎣ 2⎦ ⎣ 2⎦ ⎣ 2⎦ ⇒ T KHÔNG phép biến đổi tuyến tính f) T : R → R ⎡ x1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎢ x ⎥ ! T ⎢ x ⎥ = x1 + x2 ⇒ T phép BĐ tuyến tính ⎣ 2⎦ ⎣ 2⎦ g) T : R → R ⎡ x2 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎢ ⎡ x1 ⎤ ⎥ ⎢ x ⎥ ! T ⎢ x ⎥ = ⎢ x1 ⎥ ⎣ 2⎦ ⎢ x + x ⎥ ⎣ 2⎦ ⎣ 2⎦ ⇒ T phép biến đổi tuyến tính VD9.1.2 Cho phép biến đổi tuyến tính: T: ! → ! ⎡ 1⎤ ! ⎡7 ⎤ ! ⎡3⎤ ! ! ⎢ ⎥ v1 = ⎢ ⎥ ! T ( v1 ) = ⎢ − 1⎥ ; v = ⎢ ⎥ !T ( v2 ) = 1⎦ ⎣2⎦ ⎣ ⎢⎣ ⎥⎦ ! ⎡ 4⎤ ! Tính T ( v3 ) biết v = ⎢ ⎥ ⎣ −2 ⎦ ⎡2 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣3 ⎥⎦ VD9.1.4 T : R → R xác định ⎛⎡ x ⎤⎞ ⎡ x1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎟ ⎡ x1 + x2 ⎤ ⎜ ⎢x ⎥ ! T ⎢ x ⎥ = ⎜ ⎟ ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ x + x 3⎦ ⎜⎢ x ⎥⎟ ⎣ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎝ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎠ Ker(T) = {( x1, - x1, x1) | x2 ∈R} Im(T) = {( x1, x2 ) | x1, x2 ∈R} = R 9.2 ¡ MA TRẬN CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH VD9.1.2(g): ⎡ x2 ⎤ ⎡0⎤ ⎡1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ T⎢ ⎥= x1 = x1 + x2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ x ⎣ 2⎦ ⎢ x + x ⎥ ⎢⎣1 ⎥⎦ ⎢⎣1 ⎥⎦ ⎣ 2⎦ ⎡0 1⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎢ ⎥ = x1T ( e1 ) + x2T ( e ) = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ x2 ⎦ ⎢⎣1 ⎥⎦ Do T(v) = Av {e1, e2, , en} sở tắc sở ! n Phép biến đổi tuyến tính T : ! → ! m v ! T(v) = Av m Đặt aj = T(ej) ∈ R Khi A = [a1 a2 an] A gọi ma trận tắc T n VD9.2.1 Cho phép biến đổi tuyến tính T : ! → ! xác định ⎡ 5x − 2x ⎢ T(v) = ⎢ 10x2 + x3 ⎣ Tìm ma trận tắc T ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ x ⎤ ⎢ ⎥ với v = ⎢ x2 ⎥ ⎢ ⎥ x ⎢⎣ ⎥⎦ NHẮC LẠI E = {v1, v2, , vn} sở V Nếu v ∈V, ta có: v = x1v1 + x2v2 + ⋅⋅⋅ + xnvn Ký hiệu [v]E = (x1, x2, , xn): tọa độ v theo sở E ⎧ ⎡ ⎤ ⎡1 ⎤ ⎫ VD9.2.2 E1= {e1, e2 }, E2 = {v1, v2 } = ⎨ ⎢ ⎥ , ⎢ ⎥ ⎬ ⎩ ⎣1 ⎦ ⎣6 ⎦ ⎭ ⎡5⎤ v = ⎢ ⎥ ∈ ! : v = e1 – e2 →[v]E1 = (5, -3) ⎣ −3⎦ v = e1 – e2 →[v]E2 = (3, -1) TỔNG QUÁT: E = {v1, v2, , vn} sở V F = {w1, w2, , wm} sở W Phép biến đổi tuyến tính T : V → W aj = [T(vj)]F (tọa độ T(vj) theo sở F) Đặt A = [a1 a2 an] → [T(v)]F = A[v]E VD9.2.3 Cho phép biến đổi tuyến tính T:R →R ⎡ x1 ⎤ ⎢ ⎥ v = ⎢ x2 ⎥ ! T(v) = Av = x1w1 + (x2 + x3)w2 ⎢x ⎥ ⎣ 3⎦ ⎡1⎤ ⎡− 1⎤ w1 = ⎢ ⎥ w2 = ⎢ ⎥ Hãy tìm ma trận A ⎣1⎦ ⎣1⎦ T theo sở {e1, e2, e3} {w1, w2} VD9.2.4 Cho phép biến đổi tuyến tính T:R →R xw1 + yw2 ! T(xw1 + yw2) = (x + y)w1 + 2yw2 ⎡1⎤ ⎡− 1⎤ w1 = ⎢ ⎥ w2 = ⎢ ⎥ ⎣1⎦ ⎣1⎦ Hãy tìm ma trận A biểu diễn T theo sở {w1, w2} 9.3 Ma trận chuyển sở Nhắc lại: I : V → V v ! I (v) = v gọi ánh xạ đồng Giả sử V có sở E = {v1, v2, , vn} không gian nguồn, sở F = {w1, w2, , wm} không gian đích aj = [I (vj)]F = [vj]F ( j = 1, 2, , n) I có ma trận A = [a1 a2 an] theo sở E F VD9.3.1 Cho hai sở R E = {e1, e2} F ={w1 = (3, 7), w2 = (2, 5)} Tìm ma trận I : R → R a) theo sở E F b) theo sở F E Giải Chú ý n 1) Nếu R có hai sở E = {e1, e2, , en} (cơ sở tắc) F = {w1, w2, , wm}, ma trận của ánh xạ đồng theo sở F E [w1 w2 wn] 2) Nếu E TRÙNG F, ma trận I theo sở E F ma trận đơn vị cỡ n×n ĐỊNH NGHĨA 9.3.1 Ma trận A = [a1 a2 an] theo sở E F ánh xạ đồng I : V → V gọi ma trận chuyển sở từ F sang E Công thức liên hệ tọa độ vectơ v theo hai sở E F: [v]F = A[v]E Chú ý Ma trận chuyển sở A từ F sang E ma trận -1 khả nghịch A ma trận chuyển sở từ E sang F VD9.3.2 Cho hai sở R2 E = {e1, e2} F ={w1 = (3, 7), w2 = (2, 5)} a) Biết [v]F = (1, -1) Tìm tọa độ v theo sở E b) Biết [v]E = (1, -1) Tìm tọa độ v theo sở F NHỮNG Ý CHÍNH Khái niệm phép biến đổi tuyến tính Ma trận biểu diễn phép biến đổi tuyến tính Ma trận chuyển sở &