Biến đổi tuyến tính và ma trận chuyển cơ sở

- Khái niệm biến đổi tuyến tính, ảnh, hạt nhân. - Ma trận biểu diễn một phép biến đổi tuyến tính: cơ sở chính tắc, ma trận chính tắc. - Ma trận chuyển cơ sở: ánh xạ đồng nhất, công thức liên hệ tọa độ

$.9 PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH

VÀ MA TRẬN CHUYỂN CƠ SỞ

fern.html

http://lovehateubuntu.blogspot.com/2010/07/barnsley-9.1 ¡ KHÁI NIỆM PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH

Định nghĩa 9.1.1 Một ánh xạ T : V → W được gọi là

một phép biến đổi tuyến tính nếu ∀ v, w∈V và ∀ x ∈!

(a) T(v + w) = T(v) + T(w) (b) T(xv)= xT(v)

Chú ý Hai điều kiện (a) và (b) tương đương với

(c) T(xv + yw) = xT(v) + yT(w)

b) T : !2 → !2

1

2

x x

c) T : !2 → !2

1

2

x x

d) T : !2 → !2

1

2

x x

⇒ T là phép biến đổi tuyến tính(

phép quay mỗi vectơ trong R2 một góc 900 theo hướng ngược chiều kim đồng hồ)

e) T : !2 → !2

1

2

x x

f) T : R 2 → R1

1

2

x x

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦ !

2 1

1 2

1 2

x x

VD9.1.2 Cho phép biến đổi tuyến tính:

Định nghĩa 9.1.2 Cho phép biến đổi tuyến tính

T : V → W

Ảnh của T là tập {T(v) | v ∈V}.

Hạt nhân của T là tập {v ∈V | T(v) = 0 W}

Định lý 9.1.1 Nếu T : V → W là một phép biến đổi

tuyến tính, thì

(i) Ker(T) là một không gian con của V.

(ii) Im(T) là một không gian con của W.

(iii) dim Ker(T) + dim Im(T) = dim V

x x

2 1

x x

9.2 ¡ MA TRẬN CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH

VD9.1.2(g):

2 1

1 1

1

0

x x

Do đó T(v) = Av

{e1, e2, , e n } là cơ sở chính tắc cơ sở của !n

Phép biến đổi tuyến tính T : !n → !m

v ! T(v) = Av

Đặt a j = T(e j) ∈ Rm Khi đó A = [a1 a2 a n]

A được gọi là ma trận chính tắc của T

VD9.2.1 Cho phép biến đổi tuyến tính T : !3→ !2xác định bởi

T(v) =

5x1 − 2x210x2 + x3

NHẮC LẠI E = {v1, v2, , v n} là cơ sở của V

TỔNG QUÁT: E = {v1, v2, , v n} là cơ sở của V

VD9.2.3 Cho phép biến đổi tuyến tính

VD9.2.4 Cho phép biến đổi tuyến tính

9.3 Ma trận chuyển cơ sở

Nhắc lại: I : V → V

v ! I (v) = v

được gọi là ánh xạ đồng nhất

Giả sử V có cơ sở E = {v1, v2, , v n} trong không gian nguồn, và cơ sở F = {w1, w2, , w m} trong không gian đích

a j = [I (v j)]F = [v j]F ( j = 1, 2, , n)

thì I có ma trận A = [a1 a2 a n ] theo các cơ sở E và F

VD9.3.1 Cho hai cơ sở của R2 là

E = {e1, e2} và F ={w1 = (3, 7), w2 = (2, 5)} Tìm ma trận của I : R2 → R2

a) theo các cơ sở E và F

b) theo các cơ sở F và E

Giải

Chú ý

1) Nếu Rn có hai cơ sở E = {e1, e2, , e n} (cơ sở chính

tắc) và F = {w1, w2, , w m}, thì ma trận của của ánh xạ đồng nhất theo cơ sở F và E là [w1 w2 w n]

2) Nếu E TRÙNG F, thì ma trận của I theo cơ sở E và

F là ma trận đơn vị cỡ n ×n

ĐỊNH NGHĨA 9.3.1 Ma trận A = [a1 a2 a n] theo các

cơ sở E và F của ánh xạ đồng nhất I : V → V được gọi

là ma trận chuyển cơ sở từ F sang E

hai cơ sở E và F: [v] F = A[v] E

Chú ý Ma trận chuyển cơ sở A từ F sang E là ma trận khả nghịch và A-1 là ma trận chuyển cơ sở từ E sang F

VD9.3.2 Cho hai cơ sở của R2 là

E = {e1, e2} và F ={w1 = (3, 7), w2 = (2, 5)}

a) Biết [v] F = (1, -1) Tìm tọa độ của v theo cơ sở E

b) Biết [v] E = (1, -1) Tìm tọa độ của v theo cơ sở F

NHỮNG Ý CHÍNH

1 Khái niệm phép biến đổi tuyến tính

2 Ma trận biểu diễn một phép biến đổi tuyến tính

3 Ma trận chuyển cơ sở

&