Một số vấn đề về không gian sobolev

Lời cảm tạ  Thời gian thắm thoát thoi đưa, chớp mắt mà em hoàn thành bốn năm đại học Nhớ ngày nào, đầu khóa học, ba cịn đưa đến trường gặp thầy cô mới, bạn bè với bao bỡ ngỡ lo lắng Vậy mà cuối em trải qua bốn năm học Bốn năm học tập với khó khăn, vất vả, có lúc vấp ngã em tưởng khơng thể vượt qua Nhưng mong muốn làm luận văn tốt nghiệp thúc đẩy em phấn đấu nhiều học tập Cuối với kết đạt năm đầu, em môn phân công làm luận văn hướng dẫn thầy Phạm Gia Khánh Được làm luận văn niềm vui, niềm vinh dự lớn em Nhưng bên cạnh có khơng nỗi lo gặp nhiều khó khăn, khan tài liệu, thời gian hạn hẹp, mà kiến thức tương đối khó… Nhưng với kiến thức mà em thầy cô môn trang bị năm qua với hướng dẫn nhiệt tình thầy Phạm Gia Khánh động viên giúp đỡ gia đình, bạn bè, cuối luận văn hoàn thành Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy hướng dẫn, thầy cô khác môn, gia đình bạn bè Cần Thơ, tháng năm 2009 -1- PHẦN MỞ ĐẦU  LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Như biết, việc nghiên cứu trình động tự nhiên xã hội thường dẫn đến việc khảo sát hay nhiều phương trình đạo hàm riêng việc định lượng hóa đặc trưng đối tượng nghiên cứu đại lượng toán học Nhưng ta dễ nhận thấy quy luật tự nhiên thường dẫn đến hệ thức phi tuyến tham biến nên cần phải xét phương trình vi phân phi tuyến Tuy nhiên, xuất khó khăn tốn học thực Bởi vậy, xây dựng mơ hình tốn học buộc phải bớt tính xác bỏ qua phần thêm phi tuyến bé chuyển sang tuyến tính hóa lân cận nghiệm cho cách đưa tốn tốn tuyến tính Vẫn chưa đủ, để giải tốn ta lại có thay đổi định giả thiết tốn tương ứng nghiệm có thay đổi định Khi đó, việc tìm nghiệm cổ điển tốn cịn phức tạp, thế, người ta xây dựng nghiệm suy rộng nó, sau thiết lập độ trơn chúng chứng minh nghiệm cổ điển tốn Nói để thấy rằng, khơng gian nghiệm tốn giải có nhiều thay đổi so với khơng gian nghiệm tốn thực tế ban đầu Vì vậy, việc chọn khơng gian hàm cho nghiệm tốn có vai trị quan trọng để đảm bảo tính đặt tốn Một khơng gian phiếm hàm tuyến tính sử dụng rộng rãi lý thuyết phương trình đạo hàm riêng khơng gian Sobolev Có phần u thích toán học ứng dụng hướng dẫn gợi ý thầy Phạm Gia Khánh để hoàn thành luận văn tốt nghiệp khóa học bước đầu làm quen với “Phương trình đạo hàm riêng đại” em định chọn đề tài “Một số vấn đề khơng gian Sobolev” MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Mục đích nghiên cứu nhằm nắm định nghĩa, định lí, tính chất liên quan đến khơng gian Sobolev Đặc biệt quan trọng mục tiêu xây dựng hệ thống ví dụ minh họa giải tập có liên quan đến Qua đó, -2- giúp củng cố kiến thức học suốt năm đại học như: giải tích 1, 2, khơng gian tơpơ, độ đo tích phân Lebesgue, giải tích hàm… PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Quá trình làm luận văn sử dụng kết hợp nhiều phương pháp nghiên cứu, chủ yếu phương pháp tổng kết kinh nghiệm Cụ thể, kết hợp phương pháp tổng hợp, so sánh, phân tích, nhận xét trình nghiên cứu lí thuyết Đầu tiên, sau tìm nguồn tài liệu tham khảo tổng hợp kiến thức với kiến thức sẵn có Sau đó, tiến hành so sánh, phân tích chúng, chọn kiến thức trọng tâm, đáng ghi nhớ, từ đưa nhận xét riêng Cuối cùng, tổng hợp, trình bày lại theo ý hiểu cách rõ ràng Phương pháp tổng hợp, phân tích, so sánh, đánh giá kết hợp sử dụng giải xếp tập Sau tổng hợp tập từ nguồn tư liệu khác nhau, tiến hành phân tích, so sánh, chọn lọc tập hay phù hợp với nội dung lí thuyết xếp chúng theo trình tự hợp lí Cuối cùng, tiến hành phân tích, đánh giá để giải cách chi tiết, trình bày cách rõ rang NỘI DUNG LUẬN VĂN Nội dung luận văn gồm chương Chương Gồm §, §1 Khơng gian Lp , §2 Biến đổi Fourier, §3 Hàm suy rộng, §4 Khơng gian Sobolev Ở đây, tập trung giới thiệu số định nghĩa, định lí, tính chất ví dụ có liên quan mà khơng quan tâm đến việc chứng minh định lí, tính chất Chương Giải chi tiết xếp cách tương đối hợp lí tập có liên quan đến phần lí thuyết giới thiệu chương -3- PHẦN NỘI DUNG  CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ §1 Khơng gian Lp 1.1 Khơng gian L p Cho ( Ω, S , µ ) khơng gian độ đo, Ω tập mở không gian Euclide n chiều Rn, S σ -đại số tập đo Lebesgue µ độ đo Lebesgue Cho ≤ p ≤ ∞ , ta định nghĩa không gian L p sau Với ≤ p < ∞ , ta định nghĩa L p = { f : f hàm đo ∫ f ( x) Ω p dµ ( x ) < ∞ } f p p =  ∫ f ( x ) dµ ( x )   Ω  ( 1/ p ) p =  ∫ f dµ    ( 1/ p ) Với p = ∞ , ta định nghĩa L∞ = { f : f hàm đo f ( x ) ≤ k hầu khắp nơi , k > } f Chú ý Nói ∞ = inf { K > : f ( x ) ≤ K hầu khắp nơi} f ( x) ≤ k hầu khắp nơi tương đương với nói µ ({ x : f ( x ) > K } ) = Nếu f , g hai hàm đo thỏa f ( x ) = g ( x ) hầu khắp nơi f g xem giống Do đó, f p = f ( x ) = hầu khắp nơi, với ≤ p ≤ ∞ Cho ≤ p ≤ ∞ , số q thỏa 1 + = gọi số mũ liên hợp p p q Ta thấy, p = q = ∞ Ngược lại, p = ∞ q = -4- 1.2 Một số định lí bất đẳng thức 1.2.1 Bổ đề Cho a, b hai số thực không âm, p, q cặp số mũ liên hợp Khi đó, ab ≤ a p bq + p q 1.2.2 Bất đẳng thức Hoder Nếu f ∈ L p g ∈ Lq fg ∈ L1 fg ≤ f p g q p q Dấu “=” xảy ∃ A, B ∈ R+ cho A f ( x ) = B g ( x ) 1.2.3 Bất đẳng thức Minkowski Nếu f , g ∈ L p f +g p ≤ f p + g p , với ≤ p ≤ ∞ Dấu “=” xảy ∃ A, B ∈ R+, A + B ≠ cho Af = Bg 1.2.4 Định lí L p khơng gian Banach 1.2.5 Định lí L p khơng gian phản xạ, với < p < ∞ 1.3 Tích chập Cho f , g ∈ L1 ( Ω ) , tích chập f g định nghĩa f ∗ g ( x ) = ∫ f ( x − y ) g ( y ) dy Ω 1.4 Giá hàm 1.4.1 Định nghĩa Cho f hàm liên tục Rn Giá f , kí hiệu supp f , bao đóng tập { x : f ( x ) ≠ 0} Kí hiệu C c (Rn) kí hiệu tập tất hàm liên tục với giá compact C c (Rn) thường viết D (Rn) 1.4.2 Ví dụ • Cho f : R → R xác định e −1/ x , x > f ( x) =  0 ,x ≤0 Khi đó, f ∈ C ∞ -5- • Cho f : Rn → R xác định e ( − a /( a − x )) , x < a f ( x) =  , với x = x12 + + xn2 ,x ≥a 0 Khi đó, f ( x ) ∈ D (Rn) supp ( f ) ⊆ B(0, a ) = { x : x ≤ a} • Cho ε > định nghĩa φε ( x ) = ε − nφ ( x / ε ) , với φ ∈ L1 (Rn), φ = φ ( x ) ≥ φε ∫ Rn • = Thật vậy, φε ( x )dx = ∫ n ε − nφ ( x / ε ) dx = ∫ n φ ( y ) dy = , với y = x / ε R R −1 Cho ε > định nghĩa φε ( x ) = Cε − nφ ( x / ε ) , với C = ∫R φ ( x ) dx φ : n Rn → R cho hàm e ( −1/(1− x )) , x < φ ( x) =  , x ≥1 0 Khi đó, φε ( x ) ∈ D (Rn) supp ( φε ) = B(0, ε ) §2 Biến đổi Fourier 2.1 Kí hiệu n • x = ( x1 , x2 , , xn ) ∈ (Rn), x.ξ = ∑ x j ξ j , với x, ξ ∈ (Rn) • dm( x ) = • τ y f ( x ) = f ( x − y ) , với y thay đổi Rn, f λ ( x ) = j =1 τy f • 1 ( 2π ) n / = f 1; Đa fλ số f ( x / λ) , λ > , λn = f f , g ∈ L1 (Rn), Cho f ∗g ≤ f • dx1 dx dx n đo Lebesgue Rn tích chập f ∗ g ( x ) = ∫ n f ( x − y ) g ( y ) dy , R g α = ( α , α , , α n ) , a j ∈ N, ξ α = ξ1α1 ξ 2α ξ nα n với ∂ j = n α = ∑aj j =1 ∂ α α α , D α = ∂ 1 ∂ 2 ∂ n n ∂x j -6- Cho ξ ∈ Rn, • Cho f ∈ L1 (Rn), biến đổi Fourier f định nghĩa fˆ ( ξ ) = ∫ n f ( x ) e − iξx dm( x ) R Với ξ ∈ Rn, x → e −iξx hàm đặc trưng Rn 2.2 Tính chất • f ∈ L1 (Rn), fˆ • f ∈ L1 (Rn), fˆ ∈ C ( Rn) • f , g ∈ L1 (Rn), ( f ∗ g ) ^ ( ξ ) = fˆ ( ξ ) gˆ ( ξ ) • (τ f )^ ( ξ ) = e • Nếu f ∈ L1 (Rn) ∂ j f ∈ L1 ( Rn) ( ∂ j f ) ^ ( ξ ) = iξ j fˆ ( ξ ) ∞ − iξy y ≤ f ( ) iξ x fˆ ( ξ ) , e f ( x ) ^ ( ξ ) = τ ξ fˆ ( ξ ) fˆλ ( ξ ) = fˆ ( λξ ) Nếu f ∈ L1 (Rn) D α f ∈ L1 (Rn), ∀ α ≤ k , ( D α f ) ^ ( ξ ) = ( iξ ) α fˆ ( ξ ) • Nếu f ∈ L1 (Rn) x j f ( x ) ∈ L (Rn) fˆ khả vi đến ξ j ∂ j fˆ ( ξ ) = ( − ix j f ( x ) ) ^ ( ξ ) Nếu f ∈ L1 (Rn), x α f ∈ L1 (Rn) D α fˆ tồn tại, ( ) α D α fˆ ( ξ ) = ( − ix ) f ( x ) ^ ( ξ ) 2.3 Ví dụ • (Gauss) φ ( x ) = e • (Poisson) φ ( x ) = C n /  + x − x /2 ; φˆ( ξ ) = e − ξ (  ) /2 ( n +1) /  n  ; x =  ∑ x 2j   j =i    , với C n  1/ làm cho φ = φˆ( ξ ) = e − ξ • • (Fejer) K ( x ) = C n ∏ j =1 n sin x j / (x j / 2) ( ) n ; Kˆ ( ξ ) = ∏1 − ξ j (de la Vallie Pousin) (cho n = ) Vλ ( x ) = K 2λ ( x ) − K λ ( x ) Khi đó, -7- 1 , ξ ≤λ  ξ  Vˆλ ( ξ ) = 2 − , λ ≤ ξ ≤ 2λ λ  0 , 2λ ≤ ξ  2.4 Định lí đảo biến đổi Fourier iξx Nếu f ∈ L1 (Rn) fˆ ∈ L1 (Rn) f ( x ) = ∫R fˆ ( ξ ) e dm( ξ ) hầu khắp nơi n 2.5 Định lí Plancherel Nếu f ∈ L1 ∩ L2 (Rn) fˆ ∈ L2 (Rn), fˆ = f 2 ánh xạ F : L1 ∩ L2 (Rn) → L2 (Rn) cho Ff = fˆ thác triển thành đẳng cự L2 (Rn) → L2 (Rn) 2.6 Không gian Schwartz S Không gian Schwartz S không gian hàm tiêu chuẩn mà bất biến phép toán biến đổi, phép nhân cân bằng, mở rộng, nhân hàm đặc trưng, tích ánh xạ, phép tính tích phân phép biến đổi Fourier Khơng gian Schwartz S mô tả ( ) α β S = { φ ∈ C ∞ (Rn): supn x D φ ( x ) < ∞, ∀α , β } x∈R Ở α , β đa số Một vài ý • Chú ý D ⊂ S nên S trù mật L p (Rn), ≤ p ≤ ∞ Một hàm φ ( x ) = e −δ x , δ > thuộc S khơng thuộc D • Cho đa thức P φ ∈ S , P( x )φ ( x ) ∈ S P( D )φ ∈ S • φ ∈ S với số nguyên k ≥ với đa số β ta ( có + x • ) D φ ( x) giới nội k β φ → φˆ song ánh từ S vào S Khi đó, ta có kết ( ) i D α φˆ( ξ ) = ( − ix ) α φ ( x ) ^ ( ξ ) ii ( D β φ ) ^ ( ξ ) =( iξ ) β φˆ( ξ ) -8- 2.7 Hàm suy rộng điều hịa 2.7.1 Định nghĩa Khơng gian tôpô đối ngẫu S ' không gian Schwartz S gọi không gian hàm suy rộng điều hịa 2.7.2 Ví dụ • Cho f ∈ L p (Rn), ≤ p ≤ ∞ , định nghĩa T f : S → C xác định T f ( φ ) = f , φ = ∫ n f ( x )φ ( x ) dx R Khi đó, T f ( φ ) ≤ f • p φ p' T f liên tục Nếu µ ∈ M (Rn) (Khơng gian độ đo giới nội thông thường, đối ngẫu C (Rn)), xét Tµ ( φ ) = ∫ n φ ( x ) dµ ( x ) R Khi ú Tà S ' ã Cho f hàm đo Rn cho với số ngun khơng âm ( k ta có + x ) −k f ∈ L p (Rn), với ≤ p ≤ ∞ Khi đó, T f ( φ ) = ∫ n f ( x )φ ( x ) dx R xác định hàm S ' , T f (φ ) ≤ ∫ R (1 + x ) −k n ( f ( x) + x ) −k φ ( x ) dx nên hàm cho hàm iu hũa ã ( Nu l mt đo thông thường Rn cho + x ) −k µ ∈ M (Rn), theo cách xác định Tµ ∈ S ' Độ đo cho gọi độ đo điều hòa 2.7.3 Định lí Một hàm tuyến tính L S hàm điều hòa tồn số C > số nguyên l, m cho -9- L( φ ) ≤ C ∑ ρ (φ ), ∀φ ∈ S α ,β α ≤l , β ≤ m 2.7.4 Toán tử S ′ Cho T ∈ S’ • Phép tịnh tiến Nếu h∈ Rn, định nghĩa (τ hT )( φ ) = T (τ − hφ ) , ∀φ ∈ S τ hT ∈ S ' • Phép nhân với phần tử S Cho φ ∈ S , định nghĩa (φT )(ψ ) = T (φψ ) Khi đó, φT ∈ S ' Nếu P đa thức Rn, PT định nghĩa giống hàm điều hòa ( ) • ~ ~ Phép phản xạ T ( φ ) = T φ Khi đó, T~ ∈ S • Phép tính vi phân Cho đa số α , định nghĩa ( ) D α T ( φ ) = ( − 1) T D α φ , ∀φ ∈ S α (Công thức cho ta phép tính tích phân) Do đó, D α T ∈ S ' • Tích chập Cho ψ ∈ S định nghĩa ψ ∗ T ( φ ) = T (ψ ∗ φ ) ∧ Khi đó, ψ ∗T ∈ S' • Lúc đó, ta xét hàm F ( x ) = T (τ xψ ) Khi F ∈ C ∞ (Rn) ∫ F ( x )φ ( x ) dx = ∫ T (τ ψ )φ ( x ) dx = T ( ∫ (τ ψ )φ ( x ) dx ) = T (ψ ∗ φ ) Rn Rn x Rn x Điều rằng, tích chập với phần tử S trình trơn Với hàm điều hịa T, φ ∗ T ∈ C ∞ • () Biến đổi Fourier Định nghĩa Tˆ ( φ ) = T φˆ , ∀φ ∈ S Khi đó, Tˆ ∈ S ' Kết hợp phép biến đổi Fourier phép vi tích phân, ta có i Dα Tˆ = ( − i ) α ( xα T ) ∧ ii ( Dα T ) = ( i ) α ξ α Tˆ ∧ 2.7.5 Ví dụ Cho T = δ thỏa T ( φ ) = δ ( φ ) = φ ( ) Khi • τ xδ (φ ) = φ ( x ) • ∂ j δ ( φ ) = −φ ' (0) - 10 - 4.1.13 Ví dụ Bất đẳng thức Poincare không với miền không giới nội Ví dụ, lấy Ω = Rn φ ∈ D (Rn), xác định 1, x ≤ φ ( x) =  , ≤φ ≤1 0, x ≥ Đặt φ k ( x ) = φ ( x / k ) , φk Trong φ k 1, p , R n Lp ( R n )  =  ∑ Dα φk  α =1  1/ p   Lp ( R n )   p → , k → ∞ ≥ µ ( B (0, k )) → ∞ , k → ∞ 4.2 Không gian đối ngẫu không gian Sobolev Ở phần ta xét không gian sobolev số nguyên âm phân số 4.2.1 Định nghĩa Cho ≤ p < ∞ , q số mũ liên hợp p Không gian đối ngẫu không gian W0m , p (Ω) , với m số nguyên lớn 1, kí hiệu W − m , q (Ω) m Như vậy, H −m ( Ω ) không gian đối ngẫu H ( Ω ) 4.2.2 Định lí Cho F ∈ W −1,q ( Ω ) , đó, tồn f , f1 , , f n ∈ Lq ( Ω ) cho n F ( v) = ∫ f ( v) + ∑ ∫ fi Ω i =1 Ω ∂v , v ∈ W01, p ( Ω ) (2.1) ∂xi Và F −1, q ,Ω = max f i 0≤i ≤ n Lq ( Ω ) Khi Ω tập giới nội, ta giả sử f = 1, p Giả sử định lí Vì D( Ω ) trù mật W0 ( Ω ) , hàm tuyến tính xác định nên cố định D( Ω ) Cho φ ∈ D( Ω ) , (2.1) viết lại sau n F ( φ ) = ∫ f 0φ + ∑ ∫ Ω i =1 Ω n ∂f ∂φ fi = ∫ f 0φ −∑ ∫ i φ Ω Ω ∂xi ∂xi i =1 - 20 - n Như vậy, F xác định với hàm suy rộng f − ∑ ∫Ω i =1 ∂f i Một hàm ∂xi W 1, p ( Ω ) xác định với hàm suy rộng, đạo hàm suy rộng 1, p phần tử Lq ( Ω ) Do đó, khơng gian đối ngẫu W0 ( Ω ) kí hiệu W −1,q ( Ω ) Định lí với không gian đối ngẫu W 1, p ( Ω ) (trừ trường hợp ta không giả sử f = Ω giới nội), xác định với hàm suy rộng khơng thể Thật vậy, không gian đối ngẫu W 1, p ( Ω ) bao gồm mở rộng hàm suy rộng W 1, p ( Ω ) , mở rộng không Cho m > n / p , ( ) W m, p ( Ω ) ⊂ C Ω Do đó, giá trị điểm định nghĩa tốt Nếu x0 ∈ Ω , φ ∈ D( Ω ) , δ x0 ( φ ) = φ ( x ) δ x0 ( φ ) = φ ( x ) ≤ φ L∞ ( Ω ) ≤Cφ m , p ,Ω Cho không gian định chuẩn W m , p ( Ω ) , δ x liên tục D( Ω ) tính liên tục thác triển đến W m, p ( Ω ) Suy δ x ∈ W − m,q ( Ω ) , với m > n / p Với miền xác định Ω , hàm suy rộng Dirac thuộc không gian Sobolev số âm đủ lớn Bây giờ, ta định nghĩa không gian Sobolev cho số thực s Định nghĩa Cho ≤ p < ∞ ,   u( x ) − u( y ) ( ) W s , p ( Ω ) = u ∈ L p ( Ω ) : ∈ L Ω × Ω  p s+n / p x− y   Cho s = m + σ , m ≥ 0, < σ < , { } W s , p ( Ω ) = u ∈ W m, p ( Ω ) : Dα u ∈ W σ , p ( Ω ) , ∀ α = m - 21 - W0s , p ( Ω ) bao đóng D( Ω ) W s , p ( Ω ) W0− s ,q ( Ω ) đối ngẫu W0s , p ( Ω ) Khi Ω = Rn s ≥ , ( ) s/2 H s (Rn)={ u ∈ L2 (Rn) : + ξ uˆ ( ξ ) ∈ L2 (Rn)} u H s ( Rn ) ( =  ∫ n + ξ  R ) s uˆ ( ξ ) dξ   1/ Không gian đối ngẫu H s (Rn) H − s (Rn), s>0 4.2.3 Định lí Cho s > , ( H − s (Rn) = { u ∈ S ' (Rn): + ξ ) −s / uˆ ( ξ ) ∈ L2 (Rn)} 4.2.4 Chú ý Nếu δ hàm suy rộng Dirac δˆ ≡ Do đó, () δˆ( φ ) = δ φˆ = φ/ˆ( 0) = ∫ n φ ( x )dx R Và ( δ ∈ H − s (Rn) ⇔ + ξ ) −s / ∈ L2 (Rn) Điều cho s > n / , tích phân s > n/2 Trường hợp đặc biệt, δ ∈ H − s (R), s > / - 22 - ∞ r n−1 ∫ (1 + r ) s dr hữu hạn CHƯƠNG BÀI TẬP Bài a Chứng minh f , g hàm liên tục có giá tập compact supp ( f ∗ g ) ⊆ supp ( f ) + supp ( g ) Giải a Gọi A, B giá f g Giả sử x ∉ A + B = { y + z : y ∈ A, z ∈ B} Xét f ∗ g ( x ) = ∫ f ( x − y ) g ( y ) dy Dễ thấy tích phân khác không y ∈ B x − y ∈ A Nhưng x ∉ A + B y x-y khơng thuộc vào B A Vì vậy, x ∉ A + B ⇒ f ∗ g ( x) = Vì A B compact nên A+B compact Vì vậy, supp ( f ∗ g ) ⊆ supp ( f ) + supp ( g ) Bài Cho f ∈ L p (1 ≤ p ≤ ∞ ) Chứng minh f p { ∫ fgdµ : g ∈ L , g = sup q q } ≤1 Giải Trường hợp 1 < p < ∞ Theo bất đẳng thức Holder ta có ∫ fgdµ ≤ f p g q Do đó, vế phải ln lớn vế trái Trường hợp đẳng thức xảy ra, giả sử f p > ( f đó, g ∈ Lq g p = đẳng thức hiển nhiên đúng) Đặt g = f q = Hơn nữa, ∫ fgdµ = f 1− p p ∫ - 23 - p f dµ = f p 1− p p f p −1 sgn f Khi Trường hợp p = Khi đó, f bất đẳng thức xảy Giả sử ∫ fgdµ ∫ fgdµ ≤ f g ∞ Như chiều ≠ Đặt g = sgn f Khi đó, g ∞ = = f Trường hợp p = ∞ Một chiều bất đẳng thức hiển nhiên trước Giả sử f ≠ Cho < α < f ∞ Chọn tập đo A cho ∞ < µ ( A) < ∞ f ( x ) > α , ∀x ∈ A Định nghĩa g = ( ) sgn f χ A đó, χ A µ ( A) kí hiệu hàm đặc trưng A Khi đó, g ∈ L1 g = Khi đó, ∫ fgdµ = µ ( A) ∫ f dµ > α A Do đó, phần cho α ( < α < f ∞ ) Bài Cho hàm f ∈ L1loc ( a; b ) , ta nói hàm g ∈ L1loc ( a; b ) đạo hàm suy rộng f ∫ b a Kí hiệu g = f ' ; g = fϕ ' dx = − ∫ gϕdx với ϕ ∈ Cc∞ ( a; b ) a b df Hãy chứng minh tính chất sau đạo hàm suy dx rộng a Đạo hàm suy rộng hầu khắp nơi b ( f1 + f ) ' = f1 '+ f ' c ( cf ) ' = cf ' Giải ∞ a Với ϕ ∈ Cc ( a; b ) , giả sử có g1 , g thỏa ∫ b a b fϕ ' dx = − ∫ g1ϕdx a ∫ b a Suy ∫ (g b a − g )ϕdx = , ∀ϕ - 24 - b fϕ ' dx = − ∫ g 2ϕdx a Do đó, g1 = g hầu khắp nơi Hay đạo hàm suy rộng hầu khắp nơi b Với ϕ ∈ Cc∞ ( a; b ) , ta có ∫ (f b a + f )ϕ ' dx = ∫ f1ϕ ' dx + ∫ f 2ϕ ' dx = − ∫ f1 ' ϕdx − ∫ f 'ϕdx = − ∫ ( f1 '+ f ')ϕdx b b b b b a a a a a Mà ∫ (f b + f )ϕ ' dx = − ∫ ( f1 + f ) ' ϕdx b a a Suy − ∫ ( f1 + f ) ' ϕdx = − ∫ ( f1 '+ f ')ϕdx b b a a Vậy ( f1 + f ) ' = f1 '+ f ' ∞ c Với ϕ ∈ Cc ( a; b ) , ta có ∫ ( cf ) ϕ ' dx = c ∫ b b a a fϕ ' dx = −c ∫ f 'ϕdx = − ∫ ( cf ')ϕdx b b a a Mà ∫ ( cf )ϕ ' dx = −∫ ( cf ) 'ϕdx b b a a Suy − ∫ ( cf ) 'ϕdx = − ∫ ( cf ')ϕdx b b a a Vậy ( cf ) ' = cf ' Bài Giả sử θ ( x ) hàm Heaviside 1, x ≥ θ ( x) =  0, x < hàm suy rộng δ ( x ) định nghĩa: với hàm thử ϕ ( x ) ∈ D (R) x ϕ ( x) , ϕ ( x ) = lim ∫ dx δ ( x ) , ϕ ( x ) = ϕ ( ) x > ε ε → + x x Hãy chứng minh đẳng thức sau a d θ ( x) = δ ( x) dx c d x = sgn x , sgn x = θ ( x ) − θ ( − x ) dx b - 25 - d ln x = dx x d d x + = θ ( x ) , x+ = xθ ( x ) dx Giải Giả sử ϕ ( x ) ∈ D (R) thỏa supp ϕ ⊂⊂ [ − a, a ] a Ta có θ ' ( x ) , ϕ ( x ) = − θ ( x ) , ϕ ' ( x ) = − ∫ θ ( x )ϕ ' ( x ) dx = − ∫ ϕ ' ( x ) dx a a −a = − ϕ ( x ) = −[ϕ ( a ) − ϕ ( ) ] = ϕ ( 0) = δ ( x ) , ϕ ( x ) a Vậy θ ' ( x ) = δ ( x ) b Ta có ln' x , ϕ ( x ) = − ln x , ϕ ' ( x ) = − ∫ ln x ϕ ' ( x ) dx a −a −ε a = − lim  ∫ ln ( − x )ϕ ' ( x ) dx + ∫ ln ( x )ϕ ' ( x ) dx    − a ε ε →0  −ε ϕ ( x ) a ϕ ( x) −ε a   = − lim ln ( − x )ϕ ( x ) −a − ∫ dx + ln ( x )ϕ ( x ) ε − ∫ dx  −a ε ε →0 x x   −ε ϕ ( x ) a ϕ ( x)   = − lim ln ( ε ) [ϕ ( − ε ) − ϕ ( ε ) ] − ∫ dx − ∫ dx  −a ε ε →0 x x   = lim ∫ ε →0+ Vậy ln' x = x >ε ϕ ( x) dx = ,ϕ ( x) x x x c Ta có −ε a a x ' , ϕ ( x ) = − x , ϕ ' ( x ) = − ∫ x ϕ ' ( x ) dx = lim  ∫ xϕ ' ( x ) dx − ∫ xϕ ' ( x ) dx   ε ε →0  −a  −a −ε a −ε a = lim  xϕ ( x ) −a − ∫ ϕ ( x ) dx − xϕ ( x ) ε + ∫ ϕ ( x ) dx    − a ε ε →0  −ε a = lim ε [ϕ ( ε ) − ϕ ( − ε ) ] − a[ϕ ( a ) − ϕ ( − a ) ] − ∫ ϕ ( x ) dx + ∫ ϕ ( x ) dx   −a ε ε →0   −ε a = lim  ∫ ( − 1)ϕ ( x ) dx + ∫ (1)ϕ ( x ) dx   ε ε →0   −a −ε = lim ∫ sign( x )ϕ ( x ) dx + ∫ sign( x )ϕ ( x ) dx ε →0 − a a ε - 26 - = ∫ sign( x )ϕ ( x ) dx = sign( x ) , ϕ ( x ) a −a Vậy x ' = sign( x ) d ( x + ) ' = ( xθ ( x ) ) ' = x'θ ( x ) + xθ ' ( x ) = θ ( x ) + xϑ ' ( x ) = θ ( x ) + xδ ( x ) Ta chứng minh xδ ( x ) = Thật vậy, xδ ( x ) , ϕ ( x ) = δ ( x ) , xϕ ( x ) Đặt ϕ1 ( x ) = xϕ ( x ) Khi đó, ϕ1 ( x ) hàm thử xδ ( x ) , ϕ ( x ) = δ ( x ) , xϕ ( x ) = δ ( x ) , ϕ1 ( x ) = ϕ1 ( ) = 0ϕ ( ) = Vậy ( x+ ) ' = θ ( x ) Bài Cho f ∈ C ∞ g hàm liên tục với giá compact Chứng minh f ∗ g ∈C∞ Giải Để chứng minh f ∗ g ∈ C ∞ ta cần chứng minh ∂ ( f ∗ g ) ∂f = ∗g , ∂xi ∂xi 1≤ i ≤ n Đầu tiên ta chứng minh f ∗ g hàm liên tục Giả sử supp g = K Chọn tập compact C cho x − K ⊆ C va x + h − K ⊂ C , với h đủ nhỏ Khi đó, f liên tục C Khi đó, f ∗ g ( x + h ) − f ∗ g ( x ) ≤ ∫ f ( x + h − y ) − f ( x − y ) g ( y ) dy K Cho ε >0 Chọn δ >0 f ( x + h − y ) − f ( x − y ) < ε với h < δ Do đó, cho x+h−K ⊆C f ∗ g ( x + h) − f ∗ g ( x) ≤ ε g hay f ∗ g hàm liên tục Xét ei = ( 0, ,1,0, ,0) , xuất vị trí thứ i Khi đó, f ∗ g ( x + hei ) − f ∗ g ( x ) = ∫ [ f ( x − y + hei ) − f ( x − y ) ] g ( y ) dy h K h ∂f ( x − y + θhei ) g ( y ) dy K ∂x i =∫ - 27 - (1) với θ , < θ < Vì ∂f ∂xi liên tục C bị giới nội nên theo định lí hội tụ bị chặn Lebesgue vế phải (1) hội tụ Vì ∂f ∗ g ( x) ∂xi ∂ ( f ∗ g ) ∂f = ∗g ∂xi ∂xi Bài Cho ≤ p ≤ ∞ , f ∈ L1 , g ∈ Lp , chứng minh f ∗ g ∈ L p f ∗ g p ≤ f g p Giải + Với p = p = ∞ ta dễ dàng có điều cần chứng minh + Với < p < ∞ , cho h ∈ Lq Xét hàm số ( x, y ) → f ( x − y ) g ( y ) h( x ) Khi hàm đo Hơn nữa, ∫∫ (∫ f (t ) g ( x − t ) dt ) h( x) dx = ∫ f (t ) ( ∫ h( x ) g ( x − t ) dx )dt f ( x − y ) g ( y )h( x) dxdy = ∫ ≤ g p h q f Do đó, ánh xạ h → ∫ ( f ∗ g ) h hàm tuyến tính liên tục Lq Do đó, f ∗ g ∈ L p f ∗ g p ≤ f g p Bài Cho hàm suy rộng T ∈ D' (Rn), hàm tiêu chuẩn φ , φ1 , φ ∈ D (Rn), x ∈ Rn điểm α đa số Khi đó, a τ x ( T ∗ φ ) = (τ xT ) ∗ φ = T ∗ (τ xφ ) b Dα ( T ∗ φ ) = ( Dα T ) ∗ φ = T ∗ ( Dα φ ) c T ∗ ( φ1 ∗ φ2 ) = ( T ∗ φ1 ) ∗ φ2 d Nếu T ∗ φ = với φ ∈ D (Rn) T = Giải a Cho y thuộc Rn ∨ ∨ ∨ τ x ( T ∗ φ )( y ) = ( T ∗ φ )( y − x ) = T τ y − x φ  = T τ − xτ y φ  = (τ x T ) τ y φ  = (τ x T ∗ φ )( y )       - 28 - Ngoài ra, ta có ( ) ∨ τ x ( T ∗ φ )( y ) = T τ yτ − x φ  = T τ y (τ xφ ) ∨ = ( T ∗ τ xφ )( y )   b Ta chứng minh cho trường hợp α = ei = ( 0,0, ,1, ,0 ) với vị trí thứ i Trường hợp α chứng minh tương tự [ ∂ 1 ( T ∗ φ )( x ) = lim [ ( T ∗ φ )( x ) − ( T ∗ φ )( x − hei ) ] = lim ( T ∗ φ )( x ) − τ hei ( T ∗ φ )( x ) h→0 h h→0 h ∂xi [ )) ] ( ( [( ( )) ] 1 ( T ∗ φ )( x ) − T ∗ τ hei φ ( x ) = lim T ∗ φ − τ hei φ ( x ) h→0 h h→0 h ∨ ∨     ∂φ  ∨   φ − τ hei φ   ( x ) = lim T τ x = T τ x    h ∂x  h→0     i    = lim Ngoài ra, [( ( ) )] ( ∂ 1 ( T ∗ φ )( x ) = lim T − τ hei ∗ φ ( x ) = lim T − τ hei h→0 h h→0 h ∂xi = )τ  xφ   ∨  ∂T  ∨   ∂T ∗ φ ( x ) τ x φ  =  ∂xi    ∂xi  c Ta phải chứng minh ( T ∗ (φ1 ∗ φ ) )( x ) = ( ( T ∗ φ1 ) ∗ φ )( x ) với x ∈ Rn Do ( T ∗ φ )( x ) = ( (τ − xT ) ∗ φ )( 0) Từ câu a suy ( T ∗ (φ1 ∗ φ ) )( 0) = ( ( T ∗ φ1 ) ∗ φ )( 0) ( T ∗ (φ1 ∗ φ2 ) )( 0) = T ((φ1 ∗ φ2 ) ∨ ) mà (φ1 ∗ φ2 ) ∨ ( x ) = (φ1 ∗ φ2 )( − x ) = ∫R φ1 ( − x − y )φ2 ( y )dy n ∨ ∨ = ∫ n τ y φ ( x ) φ ( y )dy = ∫ ∨ ∨ sup p  φ    R - 29 - ∨  τ y φ ( x ) φ ( y )dy ]     ∨ Tích phân cuối tập compact supp  φ  xem giới hạn ε → tổng Riemann ∑τ ε ∨ p p ∨ φ ( x ) φ ( εp ) tổng mở rộng tất điểm nút tích phân Rn Do đó, φ1 ∗ φ = lim ε →0 ∨ ∨ ∑τ εp φ ( x ) φ ( εp ) p D (Rn) Do đó, ( T ∗ (φ1 ∗ φ2 ) )( 0) = T ((φ1 ∗ φ2 ) ∨ ) = lim ∑ T τ εp φ  φ ( εp ) ε →0 ∨ p =∫ ∨  sup p  φ     ∨     T ∗ φ ( y ) φ ( − y )dy = ( ( T ∗ φ1 ) ∗ φ2 )( )   d Ta phải chứng minh T ( φ ) = , với φ ∈ D (Rn) Ta có ∨   T ( φ ) =  T ∗ φ ( 0)   ∨ Mà φ ∈ D (Rn) suy φ ∈ D (Rn) Do đó, ∨ T ∗φ = Suy ∨    T ∗ φ ( ) =   Vậy T ( φ ) = Bài Cho T ∈ ε ' (Rn) ψ ∈ ε (Rn), ta định nghĩa ( T ∗ψ )( x ) = T τ x ψ  ∨  Trong đó,  ε ( Ω ) khơng gian tôpô sinh dạng hội tụ đặc biệt C ∞ ( Ω ) ε ' ( Ω ) lớp hàm suy rộng với giá compact Chứng minh a τ x ( T ∗ψ ) = T ∗ (τ xψ ) = (τ x T ) ∗ψ - 30 - b D α ( T ∗ψ ) = ( D α T ) ∗ψ = T ∗ ( D αψ ) , với α đa số c Cho T ∗ψ ∈ ε ' (Rn) φ ∈ D (Rn) T ∗ φ ∈ D (Rn) T ∗ (ψ ∗ φ ) = ( T ∗ψ ) ∗ φ = ( T ∗ φ ) ∗ψ Giải Đẳng thức a b chứng minh tương tự đẳng thức a b Để chứng minh câu c, đặt K = supp(T) H = supp( φ ) Khi đó, K H compact Từ định nghĩa, ( T ∗ φ )( x ) = T τ x φ  ∨    ∨    ( T ∗ φ )( x ) = ( x − H ) ∩ K = ∅ suy Ta có supp τ x φ  = x − H , x ∉ K + H Do đó, supp ( T ∗ φ ) ⊂ K + H = supp(T)+supp( φ ) Vì supp ( T ∗ φ ) tập đóng tập compact K+H nên tập compact Điều chứng minh T ∗ φ ∈ D (Rn) Trở lại vấn đề, để chứng minh câu c ta cần chứng minh hàm gốc Xét ψ ∈ D (Rn) cho ∨ ∨ ψ = ψ φK + H φ K + H ∈ D (Rn) hàm ngưỡng K+H Khi , ( ( T ∗ φ ) ∗ψ )( 0) = ∫K + H ( T ∗ φ )( y )ψ ( − y ) dy = ∫K + H ( T ∗ φ )( y )ψ ( − y ) dy (1) = ( ( T ∗ φ ) ∗ψ )( 0) = ( ( T ∗ψ ) ∗ φ )( ) Khi đó, xét h ∈ H k ∈ K ∨ ∨ ∨ ∨     τ −h ψ ( k ) = ψ ( k + h ) = ψ ( k + h ) = τ −h ψ ( k )     Do đó, T ∗ψ = T ∗ψ –H Từ đó, ( ( T ∗ψ ) ∗ φ )( 0) = ∫−H ( T ∗ψ )( y )φ ( − y ) dy ( T ∗ψ )( y )φ ( − y ) dy = ( ( T ∗ψ ) ∗ φ )( 0) −H =∫ - 31 - (2) Từ (1) (2) ta có ( T ∗ψ ) ∗ φ = ( T ∗ φ ) ∗ψ (3) Lấy φ1 thuộc D (Rn) Khi đó, sử dụng tính chất tích chập (3), ta có ( ( T ∗ φ ) ∗ψ ) ∗ φ1 = ( ( T ∗ φ ) ∗ φ1 ) ∗ψ = ( T ∗ φ1 ) ∗ (φ ∗ψ ) = ( T ∗ ( φ ∗ψ ) ) ∗ φ1 Sử dụng câu d 7, ta ( T ∗ φ ) ∗ψ = T ∗ ( φ ∗ψ ) Bài Cho Ti ∈ D' (Rn), i = 1,2,3 Khi đó, a Nếu T1 T2 thuộc ε ' (Rn) T1 ∗ T2 = T2 ∗ T1 b Nếu hai ba Ti ∈ ε ' (Rn), i = 1,2,3 T1 ∗ ( T2 ∗ T3 ) = ( T1 ∗ T2 ) ∗ T3 c Với đa số α ta có ( ) ( ) D α ( T1 ∗ T2 ) = D α T1 ∗ T2 = T1 ∗ D α T2 Giải a Cho φ1 , φ ∈ D (Rn), ta có ( T1 ∗ T2 ) ∗ (φ1 ∗ φ2 ) = T1 ∗ ( T2 ∗ (φ1 ∗ φ2 ) ) = T1 ∗ ( ( T2 ∗ φ1 ) ∗ φ2 ) = T1 ∗ (φ2 ∗ ( T2 ∗ φ1 ) ) Nếu T1 ∈ ε ' (Rn) ta sử dụng câu c T2 ∈ ε ' (Rn) ta sử dụng câu d để có ( T1 ∗ T2 ) ∗ (φ1 ∗ φ ) = ( T1 ∗ φ2 ) ∗ ( T2 ∗ φ1 ) (1) Ngồi ra, từ (1) ta có ( T2 ∗ T1 ) ∗ (φ ∗ φ1 ) = ( T2 ∗ φ1 ) ∗ ( T1 ∗ φ ) (2) Do tích chập có tính giao hoán nên vế phải (1) vế phải (2) Do đó, ta có ( T1 ∗ T2 ) ∗ (φ1 ∗ φ ) = ( T2 ∗T1 ) ∗ (φ1 ∗ φ ) Do đó, Tải FULL (file word 64 trang): bit.ly/2Ywib4t Dự phòng: fb.com/KhoTaiLieuAZ ( ( T1 ∗ T2 ) ∗ φ1 ) ∗ φ = ( ( T2 ∗T1 ) ∗ φ1 ) ∗ φ φ tùy ý, ta - 32 - ( T1 ∗ T2 ) ∗ φ1 = ( T2 ∗T1 ) ∗ φ1 Ta lại có, φ1 tùy ý, ta T1 ∗ T2 = T2 ∗ T1 b Nếu T1 ,T2 ∈ ε ' (Rn) T1 ∗ T2 ∈ ε ' (Rn) Do đó, có Ti ∈ D' (Rn), i = 1,2,3 , thuộc vào ε ' (Rn) T1 ∗ ( T2 ∗ T3 ) ( T1 ∗ T2 ) ∗ T3 xác định Xét T3 ∈ ε ' (Rn), ta có ( T1 ∗ ( T2 ∗ T3 ) ) ∗ φ = T1 ∗ ( ( T2 ∗ T3 ) ∗ φ ) = T1 ∗ ( T2 ∗ ( T3 ∗ φ ) ) ( ( T1 ∗ T2 ) ∗ T3 ) ∗ φ = ( T1 ∗ T2 ) ∗ ( T3 ∗ φ ) = T1 ∗ ( T2 ∗ ( T3 ∗ φ ) ) T3 ∗ φ ∈ D (Rn) Do φ tùy ý, ta chứng minh b Bây giờ, T3 ∉ ε ' (Rn) T1 ,T2 ∈ ε ' (Rn) Do đó, T1 ∗ ( T2 ∗ T3 ) = T1 ∗ ( T3 ∗ T2 ) = ( T3 ∗ T2 ) ∗ T1 Vì T1 ∈ ε ' (Rn) nên ( T3 ∗ T2 ) ∗ T1 = T3 ∗ ( T2 ∗ T1 ) = ( T1 ∗ T2 ) ∗ T3 c Cho φ ∈ D (Rn) đa số α , ta có ( ) ( ) ( ) D α ( T1 ∗ T2 ) = ( T1 ∗ T2 ) ∗ D α φ = T1 ∗ T2 ∗ D α φ = T1 ∗ D α T2 ∗ φ = T1 ∗ D α T2 ∗ φ φ tùy ý, ta chứng minh c Bài 10 Cho T ∈ D' (Rn), đó, T = δ ∗T = T ∗δ Một cách tổng quát, với đa số α ta có ( ) Dα T = Dα δ ∗ T Giải Cho φ ∈ D (Rn) Khi đó, ( δ ∗ φ )( x ) = δ τ x φ  = τ x φ ( 0) = φ ( − x ) = φ ( x ) ∨  ∨ ∨  Tải FULL (file word 64 trang): bit.ly/2Ywib4t Dự phịng: fb.com/KhoTaiLieuAZ - 33 - Do δ ∗ φ = φ Ngoài ra, (δ ∗ T ) ∗ φ = (T ∗ δ ) ∗ φ = T ∗ (δ ∗ φ ) = T ∗ φ Do φ ∈ D (Rn) tùy ý nên δ ∗T = T ∗δ = T Với đa số α ta có Dα T = Dα T ∗ δ = T ∗ Dα δ = Dα δ ∗ T Bài 11 Cho φ ∈ L1 (Rn), φ ≥ φ = Chứng minh {φ λ } λ >0 , −n định nghĩa φλ ( x ) = λ φ ( x / λ ) , với λ > , xấp xỉ đồng thức, nghĩa φλ ∗ f → f , ∀f ∈ L1 (Rn), λ → Giải Do φλ ∗ f ( x ) − f ( x ) = ∫ n φλ ( y ) ( f ( x − y ) − f ( x ) ) dy , R Ta có φλ ∗ f − f ≤ λn ∫ ≤ λn ∫ Rn φλ ( y / λ ) ∫ y ≤δ Rn f ( x − y ) − f ( x ) dxdy φ( y / λ) τ y f − f + f λn ∫ y >δ φ ( y / λ ) dy Cho ε > , chọn δ > cho với λ ta có φ λ ∗ f − f