Biến đổi laplace và bài toán cauchy cho phương trình parabolic

ệ ì ì P P Pì P ệ ì ì P P Pì P t số ữớ ữợ P ỡ ổ tọ ỏ t ỡ s s P ữớ t ữợ t t t ữợ tổ õ t t ổ ụ tọ ỏ t ỡ t tợ Pỏ t ổ t trữớ sữ ú ù tổ tr sốt q tr t t trữớ ổ ỷ ỡ tợ t t ợ t rữớ ữ ú ù tổ tr q tr t ỗ tớ tổ ỷ ỡ tợ ỗ rữớ P t tổ tr sốt q tr t r q tr t ụ ữ tr ỷ ỵ ổ tr ọ ỳ t sõt t ữủ sỹ õ ỵ t ổ ỗ ữủ t ỡ t ổ ữợ sỹ ữợ P t ữỡ tr r ữủ t t ợ t sỹ tự t t t r q tr ự tỹ t tứ ỳ t q ợ sỹ tr trồ t ỡ t ử tự ởt số ổ ổ L2 ổ ổ B m ổ B ổ W2m ổ C m ([a, b] , E) Pữỡ tr t õ t t ữ ữỡ tr ự ởt t tớ Pt t ỹ tở tử ỳ t tử ố ợ tr t t ỵ Ptrs r ỷ õ t ỷ õ tỷ s t t ỷ õ ỷ õ tỷ s t t ỷ õ số tổ tữớ t t ỷ õ ỵ s t ữỡ tr tr ổ ỷ õ r ỷ õ ữủ s t tỷ tỹ ủ t tr ữỡ tr r tr ỷ õ r ỷ õ t tỷ tỹ ủ t t t Pữỡ tr r ởt tr ữỡ tr ỡ ỵ tt ữỡ tr r õ ổ t q tr tr t t t ố ợ ữỡ tr õ ởt q trồ ỳ ữủ tr t trữ õ ởt số ữỡ t t tr õ ởt ữỡ ỳ õ tợ ởt ổ q trồ t õ ỵ tt ỷ õ tổ t t ữỡ tr r ự ự r ởt tố t ữỡ tr r ỵ tt ỷ õ ổ tự t ự ữủ ố q ợ ỵ tt ỷ õ ũ ợ t tỷ s ố tữủ ự ữủ tr ỗ ữỡ ữỡ r tự ổ ữỡ tr t õ t t ữ ữỡ tr ữ ởt t tớ t t t ỵ Ptrs r t t t ữỡ r ỷ õ ữủ ỷ õ t tỷ s ỷ õ t t ữỡ tr tr ổ tr ỵ s ổ t ởt t tỷ t tỷ s ởt ỷ õ r ỡ s ỷ õ r ỷ õ t tỷ tỹ ủ tr t tr ữỡ tr r tr t [1] [2] Pữỡ ự t t q tợ t ữỡ tr r ữỡ t t t ữỡ ữủ ỵ tt ữỡ tr r tt ởt t tờ q ỵ tt ỷ õ t ữỡ tr r t t tờ qt ợ số ổ tở tớ ữỡ tự ởt số ổ ổ L2 ổ L2() ổ rt ợ t ổ ữợ (u, v)L2 () = u(x)v(x)dx u L2 () = (u, u)L2 () ổ ổ C k () ũ ỵ s ố ợ ổ tử tử C() t ủ tt tử tr C k () t ủ tr s r tỗ t tử tr C () t ủ tt ổ tr sỷ ởt t tr Rn õ t ủ x s u(x) = ữủ u(x) ỵ supp u C0 () t ủ tt tở C() s ú t t ự tr C0k () = C k () C0 () C0 () = C () C0 () ổ W2m() ổ W2m () ổ ỗ tt u(x) L2 () s tỗ t s rở t tở L2 () ữủ tr s 21 u W2m () |D u(x)|2 dy = || (t + ) (t) = t+ Tt+s f (s)ds + t T I t Tts f (s)ds õ +0, + (t) = f (t) + A(t) tr õ số tử t (t) = f (t) + A(t) t ự t t t u (t) d u (t) = (AJ )u (t) + f (t) dt ữủ ởt t ợ tr trữợ u0 AJ ởt t tỷ t u(t) u (t) = v (t) u(t) õ t õ d v (t) = (AJ )v (t) + (A AJ )u(t) dt t sỷ ỵ ố ữ ỵ trữợ t õ t Tts () (A AJ )u(s)ds (u D(A) v (t) = t t ữủ t () Tts (I J )Au(s)ds () Tts (I J )Au(s) t s tr ởt r t ố s + t t r tr ỵ s t õ v 0, tự u(t) ợ u (t) u(t) ữủ ởt t ỷ õ r t t t õ r rt õ t ữủ ởt ỵ tỗ t t tứ õ r ởt số trữớ ủ t ố t õ t t ữủ ỵ ởt tỹ tr trữớ ủ ữỡ tr t t t A = ởt t tỷ t t t ởt tự A õ ởt t t rt tự st a < < 21 t qt ữớ t t t tứ (a, 0) t t õ , t ợ trử tỹ pt ỗ t ởt tự (pI A)1 tở t ũ (pI A)1 C |p| + tr õ A t tỷ õ õ t trũ t sỷ tỗ tỗ t ởt ỷ õ Tt õ t tỷ s A r trữớ ủ t õ t t t s > t > t õ lim + 2i +i i pt 1 e xdp = p 2i +i i 1 pt e xdp = t p 2i pt dp e 2x p t tr õ ữớ qt s s ợ ố tồ pt dp 1 e = s ept = 1, p=0 t p p t 2i tr õ s ỵ ữ õ tứ Tt x x = 2i = 2i +i ept (pI A)1 Ax i ept (pI A)1 Ax 2i t õ Tt x = 2i (x D(A), > a, t > 0) dp p ept dp p dp =1 p ept (pI A)1 xdp (t > 0) ợ x E t ợ x D(A) t r D(A) trũ t tứ t tử Tt t s r ợ x E ữủ t t St ởt t tỷ số tự St x = 2i ept (pI A)1 xdp (t > 0, x E) tr õ t sỷ (pI A)1 ữủ r t õ St Cet , lim St x = x, t+0 lim ((St x x)/t) = Ax ợ x D(A), t+0 Ss+t = Ss St (s, t 0) ự ố ợ ữợ ữủ St < t ữ s t t t t t tr tở t tổ tữớ t {p} p t tr ũ st t t 1/t tở t r pt = p t t ữủ ởt tứ 1/t tợ s St x = 1 ã 2i t p I A t t õ St C ep 1 p I A t C |p| +1 t e ,p xdp t C, |p| d|p| = C < + |p| t t > 0, x D(A) t 2i = 2i = 2i St x x = I xdp p dp ept (pI A)1 Ax p +i dp ept (pI A)1 Ax ( > a) p i ept (pI A)1 r St x x tử ợ t õ lim (St x x) = t+0 2i +i i (pI A)1 Ax dp p + t õ ứ t St ợ x E, lim St x = x t+0 t > t d (St x) = St x = dt 2i pept (pI A)1 xdp (x E) ợ x D(A) õ t ữủ t 2i ept dp ã x + 2i ept (pI A)1 Axdp ố t õ dSt x/dt = St Ax (x D(A)) St (Ax) tử t, t > x E õ St ã St x = (2i)2 exp(pt)(pI A)1 dp exp(qt )(qI A)1 xdq, tr õ t ữủ t trử tỹ t ữợ ữủ ỵ 2i exp(pt) exp(qt )(pI A)1 (qI A)1 xdpdq ổ tự tự ợ 2i exp(pt) exp(qt ) [(pI A)1 (qI A)1 ]xdpdq qp ú ỵ r exp(qt ) dq = 2i exp(pt ), qp exp(pt) dp = qp ởt ỳ t ỵ t õ 2i exp[p(t + t )](pI A)1 xdp = St+t x t t r St ởt ỷ õ tọ õ ỵ ú ỵ A t tỷ St t õ A A , p ợ (pI A ) (pI A) t t s tữỡ ự tứ D(A ) D(A) tợ E õ D(A ) = D(A) A = A t õ ỵ ữợ tt ỷ õ St õ t tỷ s A ữủ t St ữủ ổ tự ỷ õ St õ t t ợ x E, t > 0, St x D(A) ASt x = St x = 2i ept p(pI A)1 xdp C t e t r t ụ õ St ự t St ữủ s r tứ ỵ t r t ỵ (pI A)1 St tọ tt ỵ r St t t r số tr t t t õ ú õ t t ữợ ữủ St tr ợ 0 0) t t t (t) = t Sts [f (s) f (t)]ds + Sts f (s)ds = ts Sts f (t)ds (t) (t) ( +0) t t õ t t ASts [f (s) f (t)]ds + A (t) = ASts f (t)ds 0 t t Sts [f (s) f (t)]ds + = Sts dsf (t), tr õ số tự (St S )f (t) = (St I)f (t) + (I S )f (t) õ +0 tứ t tử r f (t) As (t) t t Sts [f (s) f (t)]ds + (St I)f (t) A t tỷ õ t õ (t) D(A) số A(t) A (t) tử A(t) tr t +0, t t r A(t) tử õ tứ + (t) = A(t) + f (t) t õ (t) = A(t) + f (t) u(t) tr tở C ([0, T ], E) (0 t T ) ú ỵ r ỵ t sỷ tr u0 D(A) ữ tr ởt số trữớ ủ t sỷ u0 E t ữủ ữỡ tr r õ t u0 ữ ut u0 t +0 ữỡ tr ữủ tọ t > ỵ t u(t) ữủ ữ t ỷ õ ữủ s t tỷ tỹ ủ H t tỷ tỹ ủ tr ổ rt H ỷ õ t ữủ tứ H ợ iH t tỷ s t ữủ sỷ ự ởt số t t ỷ õ ổ tt ởt t t tr E ởt H r trữớ ủ ởt ỷ õ ợ iH t tỷ s tt r ởt õ ữủ + e itH u= eit dE u (u H ) H ởt t tỷ tỹ ủ tr tự H tr ú ỷ õ õ H t tỷ s ữỡ m tH e u= et dE u (u H ), tr õ m tr ừ H ú ỵ t tỷ t t ụ ú tự õ t ởt t số tử õ t ữủ ữợ ỵ t r r r ỷ õ õ r t tr trữợ ũ õ ú tổ t trữớ ủ q u D(H) tự + d E u < + r trữớ ủ õ t t t ữợ t t õ + (e itH u)t = + it eit dE u ie dE u = iH itH = iHe u (u D(H)) õ t ữủ t t t t tỷ t tỷ tỹ ủ t õ (ei(t+h)H eitH )u h + = eith h + it ie dE u 2 i d E u + = + (ei(t+h)H eitH ) h ||2 d E u M 2 ieit d E u , < + số t h t ỵ s t t r t tỹ t t t t tỷ s ỷ õ Tt = eitH tt r ởt rở iH r rở trũ ợ iH ũ tự , p > t õ pt itH e e udt = e 0 pt + eit dE u dt sỷ ỵ + = dE u + = ept eit dt dE u = (pI iH)1 u p i ự eitH u (pI iH)1 u ( , p > 0) ứ ỵ t tỷ s eiH tt r iH t tr ữỡ tr r tr t ữỡ tr r u = u + t (x) u + c(x)u + f (x, t) Au + f xi tr tr s S tở ợ C t tr Rn t t t ởt tọ s du/dn + (x)u = (x S) u(x, 0) = u0 (x) ỷ õ r t t tỷ ữủ n A=+ (x) i=1 + c(x) xi ố ợ t tỷ ữớ t tt t q s ỗ t ởt t tỷ r (pI A)1 = Gp tr t p, õ tọ õ D(A) = {u; u C ([0, T ], ), du/dn + u = 0} ợ u D(A) u(t) W22 () C( Au L2 () + u L2 () ) s ỵ ợ tt s (1) u0 D(A), (2) f (x, t) f (x, t ) L2 () C|t t | (0 < 1) r trữớ ủ ỵ t r tỗ t ởt u(x, t) D(A) ữ tứ Au(t) = d u(t) f (t), dt t t r ợ t Au(t) tử tr L2 () õ tứ t õ u tử tr C ([0, T ], ) t ữủ ỵ tỗ t t t ỵ ợ tt u(x, t) t tọ t u(x, t) C ([0, T], ), tử ợ t t u(x, t) L2 () t s tỗ t t ỷ õ t tỷ tỹ ủ t t tỷ t ợ tt f (x, t) = (x) = 0, i = 1, 2, , n. r trữớ ủ t tỷ ữủ A = + c(x), D(A) = W21 () C t tỷ tỹ ủ ữớ t ự r t tr r s u + c(x)u = u, x u n + (x)u = 0, x õ ởt số ữủ tr r j ợ j + j r uj (x) tữỡ ự r trữớ ủ t ữủ ữ sỷ ỷ õ t tỷ tỹ ủ tự t õ (v, ui )ui (x) (v L2 ()), v(x) = i=1 i (v, ui )ui (x) (v D(A)), Av(x) = i=1 tr õ A = + c(x)D(A) = W21 () W22 (){ui (x)} ỡ s trỹ tr L2 () ỗ tỡ r ợ u0 D(A) t t u(x, t) = exp(tA)u0 = exp(i t)(u0 , ui )ui (x) D(A) õ tr tr W22 () tử t t t tử t t t t L2 () t tr s ởt số ổ L2 (), W2m (), W2m (), B m , C m ([a, b], E); Pt t trữ ữỡ tr t õ r ỵ Ptrs r t trữ t r ỡ s ỵ tt ỷ õ t tỷ s ỵ s t ữỡ tr tữớ ổ ỷ õ r t ữủ t tr ố ợ ữỡ tr r tr t t t tr rt rt qts r rs s r rt rt qts Prss r