Biến đổi laplace và bài toán cauchy cho phương trình parabolic

To¡n tû sinh... Nhi»m vö nghi¶n cùu N¶u ÷ñc mèi li¶n quan cõa ph²p bi¸n êi Laplace vîi lþ thuy¸t nûanhâm còng vîi to¡n tû sinh... Tuy nhi¶n, thüc t¸ câ r§t nhi·u ph÷ìng tr¼nh trongvªt lþ

TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M H€ NËI 2

NGUY™N THÀ THU HI—N

BI˜N ÊI LAPLACE V€ B€I TON CAUCHY CHO PH×ÌNG TRœNH

PARABOLIC

LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC

H€ NËI, 2015

BË GIO DÖC V€ €O T„OTR×ÍNG „I HÅC S× PH„M H€ NËI 2

NGUY™N THÀ THU HI—N

BI˜N ÊI LAPLACE V€ B€I TON CAUCHY CHO PH×ÌNG TRœNH

Tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c ¸n PGS TS H  Ti¸n Ngo¤n, ng÷íith¦y ¢ ành h÷îng chån · t i v  nhi»t t¼nh h÷îng d¨n º tæi câ thº ho n

th nh luªn v«n n y

Tæi công xin b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh tîi Pháng Sau ¤i håc, c¡cth¦y cæ gi¡o gi£ng d¤y chuy¶n ng nh To¡n gi£i t½ch, tr÷íng ¤i håc s÷ph¤m H  Nëi 2 ¢ gióp ï tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp t¤i tr÷íng.Tæi xin gûi líi c£m ìn tîi tªp thº lîp Cao håc To¡n gi£i t½ch K17 Tr÷íng

¤i håc S÷ ph¤m H  Nëi 2 ¢ ëng vi¶n gióp ï tæi trong qu¡ tr¼nh håctªp v  l m luªn v«n n y

çng thíi tæi xin gûi líi c£m ìn tîi Sð GD - T T¿nh Y¶n B¡i, BanGi¡m hi»u v  c¡c çng nghi»p Tr÷íng THPT Thà x¢ Ngh¾a Lë ¢ t¤o i·uki»n cho tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v  l m luªn v«n

Trong qu¡ tr¼nh vi¸t luªn v«n công nh÷ trong vi»c xû lþ v«n b£n ch­cch­n khæng tr¡nh khäi nhúng h¤n ch¸ v  thi¸u sât R§t mong nhªn ÷ñc

sü gâp þ cõa c¡c th¦y cæ v  c¡c b¤n çng nghi»p º luªn v«n ÷ñc ho nthi»n hìn

H  Nëi, th¡ng 8 n«m 2015

T¡c gi£

Nguy¹n Thà Thu Hi·n

Tæi xin cam oan, d÷îi sü h÷îng d¨n cõa PGS TS H  Ti¸n Ngo¤n,luªn v«n chuy¶n ng nh To¡n gi£i t½ch vîi · t i: Bi¸n êi Laplace v 

b i to¡n Cauchy cho ph÷ìng tr¼nh parabolic ÷ñc ho n th nh bði

sü nhªn thùc v  t¼m hiºu cõa b£n th¥n t¡c gi£

Trong qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu v  thüc hi»n luªn v«n, t¡c gi£ ¢ k¸ thøanhúng k¸t qu£ cõa c¡c nh  khoa håc vîi sü tr¥n trång v  bi¸t ìn

H  Nëi, th¡ng 8 n«m 2015

T¡c gi£

Nguy¹n Thà Thu Hi·n

Möc löc

1.1 Mët sè khæng gian h m 5

1.1.1 Khæng gian L2 5

1.1.2 Khæng gian Sobolev 5

1.1.3 Khæng gian Bm 6

1.1.4 Khæng gian B 7

1.1.5 Khæng gian W0m2 7

1.1.6 Khæng gian Cm([a, b] , E) 7

1.2 Ph÷ìng tr¼nh ti¸n hâa tuy¸n t½nh v  ÷a v· h» ph÷ìng tr¼nh chùa ¤o h m c§p mët theo bi¸n thíi gian 8

1.3 Ph¡t biºu b i to¡n Cauchy Sü phö thuëc li¶n töc v o dú ki»n ban ¦u 10

1.3.1 B i to¡n Cauchy 10

1.3.2 T½nh li¶n töc cõa nghi»m èi vîi gi¡ trà ban ¦u 10

1.4 T½nh °t ch¿nh ·u cõa b i to¡n Cauchy 11

1.5 C¡c ành lþ Petrovsky v  Hadamard 12

2 Bi¸n êi Laplace nûa nhâm v  ¡p döng v o b i to¡n Cauchy 15 2.1 Kh¡i ni»m nûa nhâm To¡n tû sinh C¡c t½nh ch§t cõa nûa nhâm 15

2.1.1 Kh¡i ni»m nûa nhâm 15

2.1.2 To¡n tû sinh 18

2.1.3 C¡c t½nh ch§t cõa nûa nhâm 18

2.2 Bi¸n êi Laplace 20

2.2.1 Bi¸n êi Laplace cõa h m sè thæng th÷íng 20

2.2.2 C¡c t½nh ch§t cõa ph²p bi¸n êi Laplace 21

2.2.3 Bi¸n êi Laplace cõa nûa nhâm 22

2.3 ành lþ Hille-Yosida 23

2.4 B i to¡n Cauchy cho ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n trong khæng gian Banach 26

2.5 C¡c nûa nhâm parabolic 28

2.6 C¡c nûa nhâm ÷ñc sinh bði to¡n tû tü li¶n hñp 34

2.7 B i to¡n bi¶n-gi¡ trà ban ¦u cho ph÷ìng tr¼nh parabolic c§p hai trong mi·n bà ch°n 35

2.7.1 p döng cõa nûa nhâm parabolic 36

2.7.2 p döng nûa nhâm cõa to¡n tû tü li¶n hñp 37

Mð ¦u

1 L½ do chån · t i

Ph÷ìng tr¼nh lo¤i parabolic l  mët trong c¡c ph÷ìng tr¼nh cì b£n cõa

lþ thuy¸t ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng v¼ nâ mæ t£ c¡c qu¡ tr¼nh truy·nnhi»t v  khu¸ch t¡n Song b i to¡n Cauchy èi vîi lo¤i ph÷ìng tr¼nh n yl¤i câ mët °c iºm quan trång l  dú ki»n ban ¦u ÷ñc cho tr¶n m°t °ctr÷ng Hi»n nay câ mët sè ph÷ìng ph¡p ti¸p cªn gi£i b i to¡n n y, trong

â ph²p bi¸n êi Laplace l  mët ph÷ìng ph¡p kh¡ húu hi»u bði nâ d¨n tîimët cæng cö quan trång cõa to¡n håc, â l  lþ thuy¸t nûa nhâm Ch½nhv¼ vªy m  tæi ¢ chån · t i :"Bi¸n êi Laplace v  b i to¡n Cauchycho ph÷ìng tr¼nh parabolic" º nghi¶n cùu

2 Möc ½ch nghi¶n cùu

Tr¼nh b y mët c¡ch h» thèng c¡c v§n ·: b i to¡n Cauchy cho ph÷ìngtr¼nh parabolic, ph²p bi¸n êi Laplace, lþ thuy¸t nûa nhâm v  cæng thùcbiºu di¹n nghi»m cõa b i to¡n Cauchy

3 Nhi»m vö nghi¶n cùu

N¶u ÷ñc mèi li¶n quan cõa ph²p bi¸n êi Laplace vîi lþ thuy¸t nûanhâm còng vîi to¡n tû sinh

4 èi t÷ñng v  ph¤m vi nghi¶n cùu

Luªn v«n ÷ñc tr¼nh b y gçm hai ch÷ìng:

Ch÷ìng 1: Tr¼nh b y c¡c ki¸n thùc chu©n bà: khæng gian Sobolev, ph÷ìngtr¼nh ti¸n hâa tuy¸n t½nh v  ÷a v· h» ph÷ìng tr¼nh ch÷¡ ¤o h m c§pmët theo bi¸n thíi gian, t½nh °t ch¿nh ·u cõa b i to¡n Cauchy, c¡c ành

lþ Petrovsky v  Hadamard v· i·u ki»n c¦n v  õ cho t½nh °t ch¿nh ·ucõa b i to¡n Cauchy

Ch÷ìng 2: Tr¼nh b y v· bi¸n êi Laplace v  nûa nhâm: N¶u ÷ñc c¡c kh¡ini»m nûa nhâm, to¡n tû sinh cõa nûa nhâm, ph¡t biºu b i to¡n Cauchycho ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n trong khæng gian Banach, tr¼nh b y ành lþHill-Yosida mæ t£ c¡c i·u ki»n º mët to¡n tû l  to¡n tû sinh cõa mëtnûa nhâm Tr¶n cì sð kh¡i ni»m c¡c nûa nhâm parabolic, c¡c nûa nhâmcõa to¡n tû tü li¶n hñp,Luªn v«n ¢ tr¼nh b y líi gi£i b i to¡n bi¶n-gi¡ tràban ¦u cho ph÷ìng tr¼nh parabolic c§p hai trong mi·n bà ch°n

T i li»u tham kh£o ch½nh cõa Luªn v«n l  [1] − [2]

5 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu

Thu thªp c¡c t i li»u li¶n quan tîi bi¸n êi Laplace v  b i to¡n Cauchycho ph÷ìng tr¼nh parabolic

C¡c ph÷ìng ph¡p cõa Gi£i t½ch h m tuy¸n t½nh

C¡c ph÷ìng ph¡p ành l÷ñng cõa lþ thuy¸t ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng

6 Gi£ thuy¸t khoa håc

Luªn v«n l  mët t i li»u têng quan v· lþ thuy¸t nûa nhâm v  ¡p döng

v o vi»c gi£i b i to¡n Cauchy cho ph÷ìng tr¼nh parabolic tuy¸n t½nh c§phai d¤ng têng qu¡t vîi c¡c h» sè khæng phu thuëc thíi gian

Gi£ sû Ω l  mët tªp mð trong Rn N¸u Bao âng cõa tªp hñp c¡c iºm

x ∈ Ω sao cho u(x) 6= 0 ÷ñc gåi l  gi¡ cõa h mu(x) v  kþ hi»u l  supp u

C0(Ω) l  tªp hñp t§t c£ c¡c h m thuëc C(Ω) sao cho gi¡ cõa chóng l tªp compact v  chùa trong Ω.

C0k(Ω) = Ck(Ω) ∩ C0(Ω)

C0∞(Ω) = C∞(Ω) ∩ C0(Ω)

Khæng gian Sobolev Wm

2 (Ω)

Khæng gianWm2 (Ω)l  khæng gian bao gçm t§t c£ c¡c h mu(x) ∈ L2(Ω)

sao cho tçn t¤i c¡c ¤o h m suy rëng ¸n tªn c§p m thuëc L2(Ω) v  ÷ñctrang bà bði chu©n sau

kukWm

2 (Ω) =



X

ành lþ 1.1.1 Gi£ sû Ω l  mët mi·n trong Rn v  m ≥ 0 Khi â Wm2 (Ω)

l  mët khæng gian Hillbert vîi t½ch væ h÷îng

ành ngh¾a 1.1.2 Khæng gian Bm l  khæng gian bao gçm t§t c£ c¡c

h m f (x) thäa m¢n Dαf (x) (|α| ≤ m) li¶n töc v  bà ch°n trong Rn vîi

ành ngh¾a 1.1.3 Khæng gian B hay B∞ l  khæng gian bao gçm to n

bë c¡c h m m  ¤o h m måi c§p cõa nâ l  li¶n töc v  bà ch°n

ành ngh¾a 1.1.5 Gi£ sû E l  khæng gian Banach, khæng gianCm([a, b] , E)

l  khæng gian c¡c h m u(t) x¡c ành tr¶n [a, b] nhªn gi¡ trà trong E v  kh£

vi li¶n töc ¸n c§p m v  ÷ñc trang bà bði chu©n sau:

1.2 Ph÷ìng tr¼nh ti¸n hâa tuy¸n t½nh v  ÷a v· h»

ph÷ìng tr¼nh chùa ¤o h m c§p mët theo bi¸n thíi gian

ành lþ Cauchy-Kowalewski cho ta t½nh gi£i ÷ñc àa ph÷ìng cõa ph÷ìngtr¼nh ¤o h m ri¶ng Tuy nhi¶n, thüc t¸ câ r§t nhi·u ph÷ìng tr¼nh trongvªt lþ khæng thuëc lo¤i ÷ñc x²t trong khuæn khê n y Ch¯ng h¤n, ph÷ìngtr¼nh nhi»t

l  mët v½ dö Chóng ta t¼m mët nghi»m u(x, t) thäa m¢n (1.2) khi t > 0

vîi dú li»u ban ¦uu(x, 0) cho tr÷îc t¤i t = 0 Trong tr÷íng hñp n y, si¶uph¯ngt = 0 l  mët m°t °c tr÷ng cõa to¡n tûL = ∂t∂ − ∆ Do â, tr÷ínghñp n y khæng ÷ñc x²t trong ành lþ Cauchy-Kowalewski

ta chån mët khæng gian h m chùa u(x, t) b¬ng c¡ch coi t l  mët tham sètrong u(x, t)

Trong möc n y, ta chån W02∞ l  khæng gian h m cho möc ½nh cõa ta.B¬ng c¡ch vi¸t f ∈

0

W∞2 ta muèn nâi f ∈ C∞, t§t c¡c c¡c ¤o h m cõa

nâ ∈ L2, do â rã r ng W0∞2 l  khæng gian Fr²chet vîi nûa chu©n

pm(f ) = kf km =



X

(m = 1, 2, 3, ),

ngh¾a l  fj(x) → 0 trong W02∞ khi v  ch¿ khi vîi b§t k¼ ¤o h m Dαfj(x),

Dαfj(x) → 0 trong L2 ¥y l  mët gi£ thi¸t kh¡ m¤nh, nh÷ng chóng tagi£ sû c¡c h» sè av,j(x, t) ∈B, v  t → av,j(x, t) ∈B l  li¶n töc

B¥y gií chóng ta coi (1.3) nh÷ mët ph÷ìng tr¼nh ti¸n hâa nh÷ sau: (1.3)

W2∞ khi v  ch¿ khi ui ∈ C1([0, T ] , E) (t ≥ 0)(i = 0, 1, 2 , m − 1), ngh¾a

l  ta coi méi mët th nh ph¦n ui(t) l  mët h m câ gi¡ trà trong W0∞2 trong

â vîi t > 0, ui(t) kh£ vi li¶n töc ¸n bªc 1 thäa m¢n (1.4) Têng qu¡t,n¸u v(t) ∈ C1([0, T ] , E) (T ≥ t ≥ 0), ta x²t nûa chu©n

1.3 Ph¡t biºu b i to¡n Cauchy Sü phö thuëc li¶n

töc v o dú ki»n ban ¦u

1.3.1 B i to¡n Cauchy

B i to¡n 1: T¼m nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh:

B i to¡n 2: T¼m nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh:

1.3.2 T½nh li¶n töc cõa nghi»m èi vîi gi¡ trà ban ¦u

ành lþ 1.3.1 Trong (1.3) ta °t f = 0 Gi£ sû tçn t¤i mët h¬ng sè

T (> 0), vîi b§t ký gi¡ trà ban ¦u Ψ = (u0(x), , um−1(x)) ∈ ΠW2m tçnt¤i mët nghi»m (theo ngh¾a ta vøa mi¶u t£) Trong tr÷íng hñp n y, ¡nh x¤tuy¸n t½nh tø gi¡ trà ban ¦u Ψ tîi (u(t), (d/dt)u(t), , (d/dt)m−1u(t))

li¶n töc n¸u ta coi nâ nh÷ mët ¡nh x¤ tø ΠW2m tîi ΠC1([0, T ], W2∞).Chùng minh D¹ th§y ¡nh x¤ mæ t£ ð tr¶n l  to¡n tû âng Do â, ta câthº ¡p döng ành lþ ç thà âng Banach

B¥y gií ta gi£ sû c¡c h» sè trong (1.3) ch¿ l  c¡c h m bi¸n t, tùc l 

1.4 T½nh °t ch¿nh ·u cõa b i to¡n Cauchy

ành ngh¾a 1.4.1 B i to¡n Cauchy °t ch¿nh ·u

°t f = 0 trong (1.7) Trong tr÷íng hñp n y, b i to¡n Cauchy ÷ñc gåi

l  °t ch¿nh ·u n¸u vîi dú li»u ban ¦u tòy þ Ψ = (u0(x), , um−1(x)) ∈

ΠW2m v  thíi gian ban ¦u tóy þ t0 (06 t0 6 T) tçn t¤i duy nh§t nghi»m

u(t, t0) ∈ ΠCm([t0, T ], W2∞) v  nghi»m l  li¶n töc èi vîi dú li»u ban ¦ucho tr÷îc ·u theo t0

Ch½nh x¡c hìn, vîi b§t ký l, ε (> 0), tçn t¤i p, δ (> 0) ëc lªp vîi t0

sao cho n¸u

Khi â, ta °t g = 0 Trong tr÷íng hñp n y, ta ¡p döng bi¸n êi Fourier

v o (1.8) èi vîi c¡c bi¸n trong khæng gian Ta câ

˜

M [v(ξ, t)] ≡ d

dtv(ξ, t) − A(t, 2πiξ)v(ξ, t) = 0. (1.9)

¥y l  mët h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng chùa tham sè ξ.

B¥y gií,gi£ sû h» nghi»m cì b£n cõa h» ph÷ìng tr¼nh (1.9) l 

v0(ξ, t, t0), , vm−1(ξ, t, t0) trong â t = t0 l  thíi gian ban ¦u, tùc l 

v 

|vj(ξ, t; t0)| 6 C(1 + |ξ|)p (0 6 t0 6 t 6 T, j = 1, 2, , m), (1.10)trong â C v  p ëc lªp vîi t0

Chùng minh (i·u ki»n c¦n) Gi£ sû (1.10) khæng óng Khi â, vîi b§t

ký sè nguy¶n d÷ìng j, tçn t¤i ξ∗ (|ξ∗| > 2), t∗, t∗0 v  k sao cho

|vk(ξ, t∗; t∗0)| > j(1 + |ξ|)j (t∗0 < t∗ < T )

l  óng trong mët l¥n cªn U nh§t ành cõa ξ∗ Khæng gi£m t½nh têng qu¡t,

ta câ thº gi£ sû dis(0, U ) ≥ 12|ξ∗| v  max

ξ∈U dis(0, ξ) 6 2|ξ∗| N¸u f (ξ)ˆ l 

h m sè thäa m¢n k ˆf (ξ)kL2 = 1 v  tüa cõa nâ thuëc U ,¯ khi â

u(x, t) =

Z

e2πixξvk(ξ, t, t∗0)f (ξ)dξ ∈ Cb 1([t0, T ], W2∞)

l  nghi»m cõa M [u] = 0 vîi t> t0, v  theo ành lþ cõa Plancherel,

Ta chó þ r¬ng trong (1.11), j câ thº ÷ñc chån lîn tòy þ Do vªy, sos¡nh (1.11) vîi (1.12) ta th§y m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t b i to¡n Cauchy l 

°t ch¿nh ·u Do â, i·u ki»n c¦n cõa (1.10) ÷ñc chùng minh

˜

M [ˆu(x, t)] = ˆg(ξ, t) trong (1.9)

N¸u av,j l  c¡c h» sè h¬ng sè, ta kþ hi»u λj(ξ) (j = 1, 2, , m) l  c¡cnghi»m cõa

°t ch¿nh ·u theo t ∈ [0, T ] (T tòy þ) l  tçn t¤i c¡c h¬ng sè C v  p nh§t

ành v 

Reλj(ξ) ≤ p log(1 + |ξ|) + C (ξ ∈ Rn, j = 1, 2, , m) (1.15)trong â C v  p phö thuëc v o T nh÷ng ëc lªp vîi ξ

Chùng minh (B¬ng ph÷ìng ph¡p ph£n chùng) Ta gi£ sû (1.15) khæng

óng Vîi b§t ký j (> 0), tçn t¤i mët ξ∗ (|ξ∗| > 1), v  tçn t¤i mët nghi»mcõa (1.14) thäa m¢n Re , λi(ξ∗) 6 j log(1 + |ξ∗|) M°t kh¡c, u(x, t) =exp{λ(ξ∗)t + iξ∗x} thäa m¢n L[u] = 0 Th¶m v o â

≤ C(l)(1 + |ξ∗|)m+l−1

vîi j tòy þ Do â tø c¡c b§t ¯ng thùc n y ta th§y nghi»m vîi gi¡ tràban ¦u khæng câ t½nh li¶n töc Do â, (1.15) l  i·u ki»n c¦n

Ch֓ng 2

Bi¸n êi Laplace nûa nhâm v  ¡p döng v o b i to¡n Cauchy

2.1 Kh¡i ni»m nûa nhâm To¡n tû sinh C¡c t½nh

ch§t cõa nûa nhâm

2.1.1 Kh¡i ni»m nûa nhâm

Chóng ta ¢ sû döng bi¸n êi Fourier theo bi¸n khæng gian Mët ph÷ìngph¡p kh¡c l  dòng bi¸n êi Laplace cho bi¸n thíi gian, ¥y l  mët ph÷ìngph¡p quen thuëc trong to¡n lþ cê iºn Sû döng ph÷ìng ph¡p n y, ta câthº lªp luªn tr÷íng hñp khi c¡c h» sè cõa to¡n tû ¤o h m ri¶ng l  c¡cbi¸n t÷ìng tü nh÷ tr÷íng hñp chóng l  h¬ng sè

º kh­c phöc ÷ñc khâ kh«n n y ta dòng ph÷ìng ph¡p `nûa nhâm' m n¬m trong còng ph¤m vi kh¡i ni»m nh÷ bi¸n êi Laplace Cho ph÷ìngtr¼nh

d

dtu(t) = Au(t), (2.1)trong â A l  mët to¡n tû tuy¸n t½nh x¡c ành tr¶n khæng gian Banach E,

v  nâi chung, t½nh bà ch°n cõa nâ khæng c¦n gi£ ành tr÷îc Tuy nhi¶n,n¸u A khæng bà ch°n, th¼ ta gi£ sû r¬ng tªp x¡c ành cõa A l  khæng giancon trò mªt cõa E, v  A l  to¡n tû âng

Ta nâi u(t) (t > 0)l  mët nghi»m cõa (2.1) n¸u t → u(t) (t > 0) l  h m

kh£ vi li¶n töc c§p 1 theo t, câ gi¡ trà trong E, tùc l  u(t) ∈ C ([0, T ], E)

v uthäa m¢n (2.1) ¦u ti¶n, ta s³ t¼m mët nghi»m cõa (2.1) b¬ng ph÷ìngph¡p ki¸n thi¸t º l m i·u n y, ta gi£ sû tçn t¤i mët nghi»m u(t) vîigi¡ trà ban ¦u cho tr÷îc u0 ∈ D(A), v 

e−ptu(t)dt (Re , p = ξ > β) (2.3)

l  h m ch¿nh h¼nh cõa p câ gi¡ trà trong E, v 

AU (p) = pU (p) − u(0) (2.4)Thªt ra, n¸u ta °tUn(p) =

Z n 0

e−ptu(t)dt, th¼ hiºn nhi¶n, Un(p) → U (p).Th¶m v o â, AUn(p) =

Z n 0

e−ptAu(t)dt, do â

AUn(p) =

Z n 0

e−ptd

dtu(t)dt = [e

−ptu(t)]n0 + p

Z n 0

e−ptu(t)dt

hëi tö tîi −u(0) + p

Z ∞ 0

e−ptu(t)dt khi n → +∞, trong â A l  mët to¡n

tû âng

Do â, (2.4) l  óng v  câ thº ÷ñc vi¸t l¤i th nh

(pI − A)U (p) = u(0) (2.5)Trong tr÷íng hñp n y, n¸u gi£i thùc (pI − A)−1 tçn t¤i khi Re , p > β, th¼bði v¼ u(t) l  kh£ vi li¶n töc bªc mët, câ thº thi¸t lªp cæng thùc nghàch

£o Laplace vîi t > 0

u(t) = lim

A→+∞

12πi

Z ξ+iA ξ−iA

eptU (p)dp

= lim

ω→+∞

12πi

Z ξ+iA ξ−iA

ept(pI − A)−1u(0)dp (2.6)

¥y l  mët c¡ch biºu di¹n nghi»m dòng gi¡ trà ban ¦u u(0) ∈ D(A) v tªp gi£i thùc (biºu di¹n Laplace), v  nâ quan trång khi ta kiºm tra c¡ct½nh ch§t cõa nghi»m

B¥y gií ta quay trð l¤i b i to¡n ban ¦u; kiºm chùng r¬ng u(t) x¡c ànhtrong (2.6) vîi c¡c i·u ki»n r ng buëc th½ch hñp tr¶n tªp gi£i thùc ch½nh

l  mët nghi»m cõa (2.1) Chó þ r¬ng r§t khâ º gi£i quy¸t b i to¡n ð d¤ngtêng qu¡t º lo¤i bä khâ kh«n n y ta dòng kh¡i ni»m `nûa nhâm' º thu

÷ñc ành lþ tçn t¤i nghi»m Chóng ta gi£ sû sü tçn t¤i cõa mët gi£i thùc

(pI − A)−1 Ta xem x²t vi»c n y ch°t ch³ hìn Gi£ sû c¡c i·u ki»n sau

֖c cho tr֔c

(1) Tçn t¤i mët nghi»m duy nh§t u(t) vîi b§t k¼ gi¡ trà ban ¦u

u0 ∈ D(A.)

(2) ku(t)k 6 Ceβtku0k

Trong tr÷íng hñp n y, n¸u ta °t u(t) = Ttu0 (t > 0) th¼ tø (2) Tt câ thº

÷ñc coi nh÷ mët to¡n tû bà ch°n x¡c ành tr¶n E Ngo i ra ta th§y r¬ng

d

dt(Ttu0)t=0 = limt→+0

Tt − I

t u0 = Au. (2.8)Nâi chung, ta gåi {Tt}t≥0 l  nûa nhâm n¸u chóng thäa m¢n c¡c i·u ki»n(1) v  (2) cõa (2.7) v  n¸u Ttu0 (u0 ∈ E) l  h m li¶n töc theo t

e−ptTtxdt (x ∈ E,Re , p = ξ > β), (2.10)

2.1.3 C¡c t½nh ch§t cõa nûa nhâm

M»nh · 2.1.1 Gi£ sû to¡n tû A ÷ñc x¡c ành bði (2.9) Khi â ta câ:(1) Vîi b§t ký x ∈ E, Tt(e−pt)x ∈ D(A) v  (pI − A)Tt(e−pt)x = x

(2) Vîi x ∈ D(A), Tt(e−pt)(pI − A)x = x

(3) A l  to¡n tû âng v  tªp x¡c ành cõa nâ l  trò mªt

( vîi D(A) l  mi·n x¡c ành cõa to¡n tû A)

Chùng minh (1) Ta nh­c l¤i r¬ng to¡n tû vi ph¥n A ÷ñc x¡c ành bði(2.9) °t Aη = (Tη − I)/η (η > 0), trong â Aη l  mët to¡n tû bà ch°n

Z ∞ 0

e−pt(Tt+η − Tt)xdt

= 1η

Z ∞ η

(e−p(t−η)− e−pt)Ttxdt − 1

η

Z ∞ 0

e−ptTtxdt

= e

pη − 1η

Z ∞ η

e−ptTtxdt − 1

η

Z η 0

e−ptTtxdt

Ta chó þ r¬ng

AηTt(e−pt)x → p

Z ∞ 0

e−ptTtxdt − x

khi η → +0.

(2) Chó þ ¦u ti¶n l  vîi x ∈ D(A), Ttx ∈ D(A) v 

d

dt(Ttx) = ATtx = TtAx. (2.11)Thªt ra, (1/η)(Tt+η − Tt)x = AηTtx = TtAηx vîi η > 0 Do vªy n¸u

x ∈ D(A) th¼ sè h¤ng cuèi còng ti¸n tîi TtAx khi η → +0 N¸u t > 0,

η > 0 th¼ ta vi¸t (1/ − η)(Tt−η − Tt)x = Tt−ηAηx v  tø â ta th§y

Tt−ηAηx → TtAx khi η → +0

Gi£ sû x ∈ D(A), th¼

Tt(e−pt)Ax =

Z ∞ 0

e−ptTtAxdt = lim

L→+∞

Z L 0

e−ptTtAxdt

= lim

L→+∞

Z L 0

e−λtTtxdt → x ∈ E (λ → +∞)

v  tø k¸t qu£ (1), n¶n suy ra

Z ∞ 0

e−λtTtxdt ∈ D(A) Do â D(A) trò mªttrong E, tø (1) v  (2) ta th§y r¬ng Tt(e−pt) ch½nh l  gi£i thùc cõa A Dovªy (pI − A)−1 bà ch°n, k²o theo pI − A l  mët to¡n tû âng, do â A

công l  to¡n tû âng