Phép biến đổi laplace fourier và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN TRẦN THANH THUẬN PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE – FOURIER VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG, 05/2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN TRẦN THANH THUẬN PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE – FOURIER VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : Phương Pháp Toán Sơ Cấp Mã số : 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Giáo viên hướng dẫn: TS LÊ HẢI TRUNG ĐÀ NẴNG, 05/2015 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Những nội dung trình bày luận văn thực hướng dẫn TS Lê Hải Trung Mọi tài liệu luận văn trích dẫn rõ ràng trung thực tên tác giả, tên cơng trình, thời gian địa điểm cơng bố Nếu có chép khơng hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo tơi xin chịu hồn toàn trách nhiệm Tác giả luận văn Nguyễn Trần Thanh Thuận MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Cấu trúc luận văn CHƯƠNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ FOURIER 1.1 PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ CÁC TÍNH CHẤT 1.2 PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC 10 1.3 HÀM BƯớC HEAVISIDE, HÀM DELTA DIRAC VÀ TÍCH CHẬP 16 1.4 PHEP BIẾN ĐỔI FOURIER 23 CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ FOURIER 34 2.1 ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 34 2.2 ỨNG DỤNG PHÉP NHÂN CHẬP VÀO PHÉP ĐO ĐẠI LƯỢNG VẬT LÝ 44 2.3 PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER NHIỀU CHIỀU 49 2.4 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ FOURIER TRONG VẬT LÝ 50 2.5 MỘT SỐ BÀI TẬP ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN ĐổI LAPLACE VÀ FOURIER 55 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 72 TÀI LIỆU THAM KHẢO 73 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI (bản sao) DANH MỤC CÁC BẢNG Số hiệu bảng 1.1 2.1 Tên bảng Trang Chuyển mẫu số dạng phân thức 16 Phép biến đổi Laplace hàm sơ cấp 35 DANH MỤC CÁC HÌNH Số hiệu hình Tên hình Trang 1.1 Đồ thị hàm bước Heaviside 17 1.2 Đồ thị hàm  uc  t  17 1.3 Hàm hộp  t  18 1.4 Hàm dịch chuyển tịnh tiến khoảng 19 1.5 Quan hệ số hạng Fourier tích phân Fourier 24 a ,b hàm số 1.6 (a) Phép biến đổi Fourier chứng tỏ phân bố hình chữ nhật tần số khoảng 30 ; (b) Hàm số có phép biến đổi tỷ lệ với 2.1 Hàm phân giải : 45 2.2 Đồ thị nhân chập hàm số phép biến đổi Fourier 47 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phép biến đổi Laplace Fourier hai phép biến đổi tích phân hữu ích có nhiều ứng dụng kiến thức toán học ngành khoa học khác Qua phép biến đổi Laplace, phép toán giải tích phức tạp đạo hàm, tích phân đơn giản hố thành phép tính đại số Nó áp dụng để giải số toán miền gốc cách chuyển sang miền ảnh, cho thay phép tính vi – tích phân miền gốc thay phép toán đại số miền ảnh Khi tính tốn trở nên đơn giản nhiều; thu kết quả, phép biến đổi ngược ta trở hàm gốc Phép biến đổi Fourier cung cấp cho ta cách biểu diễn hàm số xác định khoảng vơ hạn đó, khơng có tính tuần hồn, chồng chất hàm có dạng sin cos Chính hai phép biến đổi đặc biệt hữu ích giải phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân, phương trình thường xuất tốn vật lý, phân tích mạch điện, xử lý số liệu, dao động điều hòa, hệ học Vì lý đó, hướng dẫn Thầy Lê Hải Trung, chọn “Phép biến đổi Laplace – Fourier ứng dụng” làm đề tài nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ khoa học Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài tìm hiểu định nghĩa, tính chất, định lý hai phép biến đổi Laplace Fourier với ứng dụng chúng để giải phương trình vi phân Qua làm rõ nghiên cứu có, tìm hiểu sâu giải toán liên quan Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Phép biến đổi Laplace - Phép biến đổi Fourier - Các toán liên quan ứng dụng hai phép biến đổi Laplace Fourier Phương pháp nghiên cứu - Thu thập, tổng hợp tài liệu có liên quan đến nội dung đề tài luận văn, đặc biệt tài liệu phương trình vi phân - Phân tích, nghiên cứu tài liệu để thực đề tài - Trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến người hướng dẫn Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài góp phần nghiên cứu phương pháp giải tốn biến đổi tích phân phù hợp với chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp Sau bảo vệ, góp ý thầy hội đồng, luận văn dùng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, giáo viên, học sinh phổ thông quan tâm đến lĩnh vực Do thời gian nghiên cứu không nhiều nên cịn số nội dung hay mà luận văn chưa đề cập đến Tôi tiếp tục nghiên cứu bổ sung thường xuyên để nội dung luận văn hoàn thiện phong phú Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận, nội dung luận văn chia thành hai chương MỞ ĐẦU CHƯƠNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ FOURIER 1.1 Phép biến đổi Laplace tính chất 1.2 Phép biến đổi Laplace ngược 1.3 Hàm bước Heaviside, hàm delta Dirac tích chập 1.4 Phép biến đổi Fourier CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ FOURIER 2.1 Ứng dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân 2.2 Ứng dụng phép nhân chập vào phép đo đại lượng vật lý 2.3 Phép biến đổi Fourier nhiều chiều 2.4 Một số ứng dụng phép biến đổi Laplace Fourier vật lý 2.5 Một số tập ứng dụng phép biến đổi Laplace Fourier KẾT LUẬN: Tổng kết kết đạt được, nêu số vấn đề chưa giải hướng phát triển đề tài TÀI LIỆU THAM KHẢO CHƯƠNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ FOURIER Chương trình bày định nghĩa số tính chất phép biến đổi Laplace, phép biến đổi Laplace ngược, phép biến đổi Fourier hàm Heaviside, hàm delta Dirac 1.1 PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ CÁC TÍNH CHẤT Phép biến đổi Laplace nằm số phép biến đổi tích phân, áp dụng để giải số toán miền gốc cách chuyển sang miền ảnh, cho thay phép tính vi – tích phân miền gốc thay phép toán đại số miền ảnh Khi tính tốn trở nên đơn giản nhiều; thu kết quả, phép biến đổi ngược ta trở hàm gốc Phép biến đổi Laplace Oliver Heaviside (1850-1925) – kỹ sư người Anh sử dụng để giải toán mạch điện, sau ứng dụng rộng rãi vật lý, đặc biệt kỹ thuật điện, ngồi cịn ứng dụng kiến thức toán học khoa học khác Định nghĩa 1.1 Giả sử f  t  hàm số liên tục khúc, phép biến đổi Laplace hàm f  t  tác động toán tử L vào hàm f  t  định nghĩa  L f  t    e st f  t  dt  F  s  , (1.1)  tích phân e st f  t  dt hội tụ Toán tử L tác động vào hàm gốc f  t  cho ta hàm ảnh F (s) Ví dụ 1.1 Phép biến đổi Laplace hàm bước hàm lượng giác  n Với c  , ta có  e dt  lim  ect dt Thực lấy tích phân, sau lấy ct n 0 giới hạn, ta thu n  ct   cn  ct 0e dt =  c e    c e  c  n    c  0,  cn   c  lim  e     n c c   0 c   c Như vậy, tích phân hội tụ c  , kết  ct e dt   c  c Với hàm gốc:  0, t  u t    1, t  0, (1.2) ta có:  e  st  st L u  t   1.e dt  s   , s  s Ta xem xét biến đổi Laplace số hàm khác sau đây:  L e at   e  s  a t  e  dt   , s  a s  a s  a  sa t   e  st s  st L cos at  e cos atdt  s cos at  a sin at    s  a s  a 0  L sin at  e   st e  st a sin atdt  s sin at  a cos at    s a s  a 59 6e9 s 5s    6e9 s F  s   G  s  ,  s  5 s  3  s  5 s  3 F s  Gs   s  5 s  3  18 18 1   f  t   e3t  e 5t , s 3 s 5 8 5s  11 11    g  t   e3t  e 5t 4  s  5 s  3 s  s  Kết là: Y  s   6e9 s F  s   G  s   y  t   6u9  t  f t  9  g t  Ví dụ 2.19 Dùng tích chập tìm hàm gốc phép Laplace ngược: H s   s2  a2  Lời giải    H s   2  2   s  a  s  a   F s  Gs  s2  a2  f  t   g  t   sin at a Hàm gốc tích chập có dạng: t h  t    f  g  t    sin  at  a  sin a d a   sin at  at cos at  2a3 Ví dụ 2.20 Giải phương trình: y " y  g  t  , y  0  3, y '  0  7 Lời giải Thực phép biến đổi Laplace hai vế ta có: 60  s 2Y  s   sy    y     Y  s   G  s    4s  1Y  s   G  s   12s  28 2 3s  Gs  Y s   1 s2  s2  s2  4 7 Trong số hạng cuối ta cần tính tích chập hai hàm g  t  f  t   2sin t t t  Do đó: y  t   3cos  14sin   sin g  t    d 2 20 t Ví dụ 2.21 Giải phương trình: y " y  y  te2t với điều kiện ban đầu: y  0  0, y    2 Lời giải Áp dụng phép biến đổi Laplace hai vế ta có:  s 2Y  s   sy    y     sY  s   y    2Y  s    s  2 Thay điều kiện ban đầu ta có: 4s  16s  15 Y s    3 s  s     s  s      2s  1 s  2  A B C D    2s  s   s    s  3  A Ta thu được: 192 96 , B , C , D 125 125 25 61  2!  25    192 96 10 2!  Y s       s   s    s  3  125   2 s      2 Dùng phép biến đổi Laplace ngược, ta có kết là: t  25 2t  2t 2t y t    96 e  96 e  10 te  t e   125   Ví dụ 2.22 Giải phương trình: y " y ' 15 y  2sin3t , y    1, y    4 Lời giải Ta có: s 2Y  s   sy  0  y     sY  s   y    15Y  s    s2  s3  2s  9s  24 As  B Cs  D  Y s    2  s  9 s  6s  15 s  s  6s  15  A 1 11 , B , C , D 10 10 10     11 s  3  s   Y s    23   10  s  s   s  32   s  32        y t   1 3t  3t c os t  sin t  11 e cos t  e sin 6t   10   Ví dụ 2.23 Tìm nghiệm tổng quát phương trình Lời giải Giả sử: y  0  A, y  0  B, y " 0  C , ta có:  s 3Y  s   As  Bs  C    s 2Y  s   As  B    sY  s   A  Y  s    s  1 62 Suy ra: Y Vì As   B  A s   A  3B  C   s  1   s  1 tùy ý nên viết: C1 Y s   s  1  C2  s  1  C3  s   s  16 Thực phép biến đổi Laplace ngược ta có nghiệm tổng quát là: y t   C1 t t e  C2tet  C3et  t 5et 60 Ví dụ 2.24 Giải phương trình: y " y '  cos  t  3  4t , y 3  0, y  3  Lời giải Đổi biến:  t   t    thay vào phương trình ban đầu ta có: y "  3  y '   3  cos    3 Đặt: u    y   3 ta có: u    du du dt   y   3 d dt d u ''( )=y ''   3 Điều kiện ban đầu cho hàm là: u  0  y   3  y  3  u '  0  y   3  y  3  Phương trình chuyển dạng: u " 4u '  cos  4  12 u  0  0, u  0  Áp dụng phép biến đổi Laplace cho phương trình ta có: 63 s 2U  s   su  0  u     sU  s   u    s 12  2 s 1 s s 7s  12s   U  s    s  4  s  1 s3  s  4 1 Ta có  s  4  s  1  1  s      , 17 s  17  s   17 11 17 s  12 s    42   16 s  s  4 s s s s4 2! 11 17 273  s  Suy U  s   2!3  42  16  272     s s s s  17  s  s   11 17 273 4  u         e   4sin  cos  16 272 17 Chuyển sang biến ta có: y  t   y   3  u    u  t  3 Nghiệm có dạng: 11 17 273  t  3   t  3   e4t 3   4sin  t  3  cos  t  3 16 272 17 1 43 273 4t 3  t2  t   e   4sin  t  3  cos  t    16 272 17 y t   Ví dụ 2.25 Dùng định lý tích chập, tìm phép biến đổi ngược hàm sau: a F  s     s s 8 s 3  f  t    e8t  4e3t b F  s   19   s  3s  s 64  19 1 4!   s   2  s  4! s 41  f  t   19e c F  s   2t 53t  e  t 24 6s  s  25 s  25 6 s  2 s 5 s 5  f  t   6cos 5t  sin5t d F  s     3s  12 s  49 4.2  s  22 s   f  t   sin 2t  sh7t Ví dụ 2.26 Dùng định lý tích chập, tìm phép biến đổi ngược hàm sau: a F  s   6s  s2  Ta có: F  s   6s  6s   2 s 7 s 7 s 7  f  t   6cos 7t  b F  s   sin 7t  3s s  8s  21 Ta có: F  s   3 s    13  3s  3s   s  8s  21  s  2   s  4  65 3  s  4  13 2  s  4  5  s  4   f  t   3e4t cos 5t  c F  s   13 4t e sin 5t 3s  2s  6s  2   3  13  3 s    3s  1 2   Ta có: F  s     2 2s  6s  2   13  13  13   s   s        2 2 4    32t 13 32t 13   f  t    3e ch t e sh t 2 2  13 d F  s   s7 s  3s  10 Ta có: F  s   s7 12   s  3s  10 s  s 5 12  f  t    e2t  e5t 7 Ví dụ 2.27 Tìm phép biến đổi ngược hàm sau: a F  s   86 s  78  s  3 s   5s  1 Ta có: F  s   86s  78     s  3 s  4 5s  1 s  s  s   f  t   3e b F  s   3t  2e  e  5s  s  6  s  11 4t t 66 Ta có: F  s    5s  28 28s 67 11         s    s  11 47  s  s  11 11 s  11   f t   c F  s    67  28e6t  28cos 11t  sin 11t   47  11  25 s  s  4s   Ta có:  25  11 20 25 2! 11 s   F s         2 s  s  4s  5  s s 2! s  s     s     1 25   f  t   11  20t  t  11e 2t cos t  2e 2t sin t  5  Ví dụ 2.31 Tìm:   x  x   Lời giải   g  x     x  x  2    x  1 x    x1  1, x2  2  g  x   x   g   x1   g  1    g   x2   g   2   3 1    x  x      x  1    x   3 Ví dụ 2.29 Tìm phép biến đổi Laplace hàm sau:   a g  t   10u12  t    t  6 u6  t    e123t u4 t  Lời giải Ta có: f  t   2t  f  t     t   67 f  t    e 3t  f  t     e123t 10e 12 s 12e 6 s   4 s G s   31    e s s  s s 3 Suy ra: 10e 12 s 12e 6 s   4 s     e s s  s s 3 b f  t   tu3  t   u5  t  cost Lời giải f  t   tu3  t   u5  t  cos t    t   3 u3  t   u5 t  cos t   5 2  f  t    t  3  t  3  9 u3 t   u5 t  cos t   5    9  3cos  sin  5 s  F  s        e 3 s   e s s s2  s    t4 t   c h  t     t  t  t  3sin  10      Lời giải  t4 t   h t    t   t  3sin  10   t      t  3u5  t  sin  H s  t 5 10 24 e5 s  s5 10 s  100 t  t  d f  t    8   t   t  Lời giải 68 t  t  f t    8   t   t   t  8  t  6  u6 (t )   Biến đổi: f t   t  14  t  6  t  6  u6 t     F s   14  6 s     e s  s3 s s  Ví dụ 2.30 Tìm nghiệm phương trình dao động sợi dây dài L với hai đầu gắn chặt, biết hình dạng ban đầu có dạng: u  x,0   sin πx , L với vận tốc ban đầu Lời giải Phương trình dao động với điều kiện sợi dây có dạng:   2u u  utt  a u xx  x  a t    u  0, t   0, u  L, t    x u  x,0   Asin , ut  x,0   L  Ta viết phương trình hàm ảnh tương ứng phép biến đổi Laplace là: d 2U s sA  x ,U  U   sin dx a a2 L x 0 U xL 0 Nghiệm tổng qt phương trình có dạng: U  C1e s x a  C2 e s  x a , Một nghiệm riêng phương trình khơng có dạng: V  M cos x L  N sin x L 69 Để xác định M N ta viết:  s2 x x  V  M cos  N sin , a2 L L  V   M 1 V "   M   L sin 2 L x L cos N x L  L N cos 2 L x L sin , x L ,  s2    s2    x s2 A  x x sin   M  c o s  N     sin  a2 L a L L L  L   a sA Các hệ số tìm là: M  0, N  s2   2a L2 Như vậy, nghiệm tổng quát phương trình hàm ảnh tổng nghiệm tổng quát phương trình nghiệm riêng: U  x, s   C1e s x a  C2 e s  x a     x sA  sin 2   a L  s2    L  Tính đến điều kiện biên, ta có:     x sA U  x, s    sin 2   a L s    L  Chuyển sang hàm gốc, suy nghiệm là: u  x, t   A cos  at L sin x L Ví dụ 2.31 Giả sử không gian ba chiều cho hàm xứng cầu, đó: Tìm phép biến đổi Fourier hàm đối 70 tích phân chiều Lời giải Chọn tọa độ cầu, vectơ k phép biến đổi Fourier nằm dọc theo trục cực ( có tính chất đối xứng cầu nên ta có: Vì hàm d 3r  r sin drd d k.r  kr cos , k  k Phép biến đổi Fourier viết là: f k   = (2 ) Vì  ik.r  2 d 3r  dr  d  d f (r )r 0 sin  e ikr cos    2   f r  e  (2 )  dr 2 f  r  r d sin  e  ikr cos  d ikr cos e  ikr sin eikr cos nên tích phân theo   d f k       ta thu được:  e ikr cos  0dr 2 f  r  r  ikr   0  2    2   sin kr   r f r     dr 0 kr   Ví dụ 2.32 Áp dụng phép biến đổi Fourier nhiễu xạ Fraunhofer tính cách tử gồm hai khe dài có độ rộng cách khoảng bước sóng , tâm khe Các khe chiếu ánh sáng có 71 -a-b -a -a+b a-b Hình 2.3 Hàm cách tử a a+b x với hai khe rộng Lời giải Hàm cách tử vẽ hình 2.3, trước hết ta tìm hàm f q  2  2   Với q  2 sin   a b e  a b dx  2  eiqx   iq     a b a b e  iqx dx a b  2  eiqx   iq    a b   iq  a b  iq  a b  iq a b  iq a b   e e e e  iq 2  4cos qa sin qb q 2 , ta có: I     iqx 16cos qa sin qb q r02 khoảng cách từ tâm cách tử 72 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Luận văn “Phép biến đổi Laplace – Fourier ứng dụng” thực mục tiêu đề ra, cụ thể là: 1.Tìm hiểu trình bày định nghĩa, tính chất phép biến đổi Laplace, phép biến đổi Laplace ngược, phép biến đổi Fourier, hàm bước Heaviside, hàm delta Dirac tích chập 2.Các ứng dụng hai phép biến đổi Laplace Fourier việc giải phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, ứng dụng phép nhân chập vào phép đo đại lượng vật lý, phép biến đổi Fourier nhiều chiều với số ứng dụng phép biến đổi vật lý Ở ứng dụng có ví dụ tập minh hoạ Hy vọng rằng, thời gian tới nội dung luận văn cịn tiếp tục bổ sung hồn thiện nhằm khẳng định tầm quan trọng tính hiệu hai phép biến đổi Laplace Fourier giải tích đại 73 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Hoàng Hữu Đường (1977), Lý thuyết phương trình vi phân, Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp [2]Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu (2000), Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, Nhà xuất Giáo Dục [3] Nguyễn Thế Hoàn, Trần Văn Nhung (2006), Bài tập phương trình vi phân, Nhà xuất Giáo Dục [4] Phan Huy Thiện (2010), Phương trình tốn lý, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam [5]Phan Huy Thiện (2010), Tuyển tập tập Phương trình tốn lý,Nhà xuất Giáo dục Việt Nam [6] Phan Huy Thiện (2010), Phương trình vi phân, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam Tiếng Anh [7] Agnew, Ralph Palmer (1960), Differential Equations; McGraw-Hill [8] Arfken G (1985), Mathematical Methods for Physics, Academic Press [9]Arrowsmith, D.K and C.M Place (1982), Ordinary Differential Equations, Chapman and Hall [10] Hubbard, John H., and West Beverly H (1995 and 1996), Differential Equations, a Dynamical Systems Approach, Parts and 2; Springer [11] Ka Kit Tung (2000),Partial Differentiatial Equations and Fourier Analysis, University of Washington [12]Seeley, Robert T.(1966), An Introduction to Fourier Series and Intergrals, W.A Benjamin ... MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ FOURIER 2.1 Ứng dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân 2.2 Ứng dụng phép nhân chập vào phép đo đại lượng vật lý 2.3 Phép biến đổi Fourier. .. CHƯƠNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ FOURIER Chương trình bày định nghĩa số tính chất phép biến đổi Laplace, phép biến đổi Laplace ngược, phép biến đổi Fourier hàm Heaviside, hàm delta Dirac 1.1 PHÉP BIẾN... ĐỔI FOURIER 23 CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ FOURIER 34 2.1 ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 34 2.2 ỨNG DỤNG PHÉP