Luận văn phép biến đổi laplace hữu hạn và ứng dụng

Khái niệm và tính chất cơ bảnSự hội tụ của dãy số phức Khái niệm về phép biến đổi Laplace hữu hạn Một số ví dụ về phép biến đổi Laplace hữu hạn 2.2.Một số tính chất cơ bản của phép biến

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô phòng Sau đại học, cùng các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè và Ban Giám hiệu, các thầy cô trong tổ Toán - Tin trường trung học phổ thông Tiền Phong - Mê Linh - Hà Nội đã luôn động viên, cổ

vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong thời gian học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 7 năm 2015

Tác giả

N gu yễn T hành B iên

Lời cam đoan

Trong suốt quá trình nghiên cứu luận văn “P h ép biến đổi Laplace hữu hạn và ứng dụng” đã giúp tác giả tìm hiểu sâu về bộ môn giải

tích phức, đặc biệt là những khái niệm quan trọng của phép biến đổi Laplace hữu hạn Qua đó cũng giúp tác giả bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học

Tác giả xin cam đoan luận văn được hoàn thành do sự cố gắng nỗ lực tìm tòi, nghiên cứu của bản thân dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hào

Hà Nội, tháng 1 năm 2015

Tác giả

N gu yễn T h ành B iên

Khái niệm và tính chất cơ bản

Sự hội tụ của dãy số phức

Khái niệm về phép biến đổi Laplace hữu hạn

Một số ví dụ về phép biến đổi Laplace hữu hạn

2.2.Một số tính chất cơ bản của phép biến đổi Laplace hữu hạn

557

5

Chương 3 M ột số ứng dụng của phép biến đổi Laplace hữu

Bài toán Cauchy

Bài toán dao động điều hòa đơn

Bài toán giá trị biên

Bài toán cường độ dòng điện tức thời trong mạch đơn

K ết luận

P h ụ lục

Tài liệu th am khảo

37383940

43

44 46

P(X) = J e - * ‘P(t)dt,

0ông đã thu được các phương trình biến đổi của các phương trình về sự phân rã phóng xạ của Rutherford

dt

Qua phép biến đổi Lappace các phép tính vi phân và tích phân được

chuyển thành các phép tính đại số (ta có thể hình dung như qua phép

tính logarỉt mà phép nhân được chuyển thành phép cộng) mà phép biến

đổi này cho ta một công cụ hiệu lực trong việc giải toán về phương trình

vi phân tuyến tính thường, phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, các bài toán về xử lý mạch điện trong vật lý, Tuy nhiên phép biến đổi này thường được sử dụng để tìm lời giải của một hệ tuyến tính nào đó tại

thời điểm t thỏa mãn điều kiện đầu t = 0 và hàm nhiễu f ( t ) với t > 0

Trong trường hợp hàm nhiễu (hay cũng còn gọi là hàm đầu vào) là hàm

f ( t ) = exp(at2);a > 0 thì phép biến đổi Laplace thông thường không

thể sử dụng trong việc tìm nghiệm của bài toán với điều kiện đầu vì biến

đổi Laplace của hàm f ( t ) không tồn tại Theo một số cách nhìn từ khía cạnh Vật lý, điều này là một lý do tại sao hàm f ( t ) không được sử dụng

như một hàm nhiễu chấp nhận được để giải quyết những vấn đề đặt ra

Điều này thường chỉ đúng cho lời giải của bài toán ở thời điểm sau t

nhưng không còn hiệu lực tại chính thời điểm í Từ thực tế này, đưa các nhà Toán học hình thành ý tưởng giới thiệu phép biến đổi Laplace hữu

hạn trong đoạn 0 < t < T Tính hiệu lực cũng như sự hữu ích của phép

biến đổi Laplace hữu hạn so với phép biến đổi Laplace thường cũng đã được khẳng định trên nhiều lĩnh vực khác trong Toán học cũng như thực tiễn

Được sự định hướng của người hướng dẫn, tôi chọn đề tài: "Phép biến đổi Laplace hữu hạn và ứng dụng" để thực hiện luận văn Thạc sĩ

Toán học chuyên ngành Toán giải tích

Luận văn được cấu trúc thành 03 chương Chương 1, chúng tôi trình bày một số kiến thức chuẩn bị Phần nghiên cứu chính được trình bày trong chương 2 của luận văn, ở đây chúng tôi trình bày một cách hệ thống về phép biến đổi Laplace hữu hạn Chương 3 sẽ trình bày một số ứng dụng của phép biến đổi Laplace hữu hạn

2 M ục đích ngh iên cứu

Nghiên cứu hệ thống kiến thức cơ bản về phép biến đổi Laplace hữu hạn sau đó nêu ra một số ứng dụng của phép biến đổi Laplace hữu hạn

3 N h iệm vụ n gh iên cứu

Luận văn nghiên cứu một cách hệ thống về phép biến Laplace hữu hạn

và một số ứng dụng của phép biến đổi Laplace hữu hạn trong lĩnh vực Vật lý

4 Đ ối tư ợng và phạm vi n gh iên cứu

Phép biến đổi Laplace hữu hạn và một số ứng dụng của phép biến đổi Laplace hữu hạn để giải phương trình vi phân thường trong việc giải quyết một số bài toán trong lĩnh vực Vật lý như: bài toán Cauchy, bài toán cường độ dòng điện tức thời trong mạch đơn, bài toán giá trị biên, bài toán dao động điều hòa đơn

5 P h ư ơn g pháp n gh iên cứu

Nghiên cứu tài liệu, phân tích, tổng hợp và xin ý kiến định hướng của người hướng dẫn

3

6 Đ ó n g góp của đề tà i

Hệ thống hóa chi tiết, căn bản về phép biến đổi Laplace hữu hạn; trình bày một số ứng dụng của phép biến đổi Laplace hữu hạn trong lĩnh vực Vật lý

trong đó ỉ là đơn vị ảo mà i2 = —1 Ta gọi X là phần thực và y là phần

ảo, kí hiệu tương ứng bởi

Một cách tự nhiên, người ta gọi Ox là trục thực, Oy là trục ảo Phép

cộng và phép nhân các số phức được thực hiện một cách thông thường

như các phép toán trên tập hợp số thực với lưu ý rằng i2 = —1 Ta có

^1 + ^2 = (zi + x 2) + i(yi + y2)

5

Số p h ứ c liên h ợ p của số phức z = X + ỉy được ký hiệu là z = X — iy

Không khó khăn ta có thể kiểm tra được

R e z = ^ ; I m z = ^

số phức khác 0 được biểu diễn dưới dạng cực

z = r.eị9\ với r > 0,0 € M.

Trong biểu diễn trên 9 được gọi là argument của số phức z (argument

của số phức 2 được xác định một cách duy nhất với sự sai khác một bội nguyên của 27r) và

Bởi vì ỊeiớỊ = 1, nên r = \z\ và 9 là góc hợp bởi chiều dương của trục Ox

và nửa đường thẳng xuất phát từ gốc tọa độ đi qua điểm z Cuối cùng,

ta lưu ý rằng z = r.ei9 và w = s.eiự> thì

1.1.2 Sự hội tụ của dãy số phức

Dãy số phức {zn} được gọi là hội tụ đến số phức w € c và viết là

ei6 = cosỡ + ỉ sin 9

Điều đó, tương đương với mọi £ > 0 tồn tại N = N(e) G N* sao cho

\zn ~ zmI < £; với mọi n , m > N.

Đ ịn h lý 1.1 Tập hợp С là không gian đầy (nghĩa là mọi dãy Cauchy

Tập Q được gọi là tập đóng nếu phần bù của nó c \ í ỉ là tập mở.

Điểm z e С được gọi là điểm giới hạn của tập íĩ nếu tồn tại một dãy các điểm zn £ Q sao cho zn Ф z và lim zn — z Chúng ta có thể kiểm

n —¥ 00

tra được rằng một tập íĩ là đóng nếu nó chứa mọi điểm giới hạn của nó

Bao đóng của tập ri là hợp của Q và các điểm giới hạn của nó, ký hiệu

là íì Biên của íỉ ký hiệu và được xác định bởi ỡíỉ = íỉ\in tíỉ.

Tập ri là bị chặn nếu tồn tại số M > 0 sao cho \z\ < M với mọi z £ ri

Nếu íỉ là bị chặn, ta xác định được đường kính của nó bởi

diam(rỉ) = Slip \z — w \

z , w € f i

Tập ri được gọi là compact nếu nó đóng và bị chặn

Đ ịn h lý 1.2 Tập íĩ С С là compact nếu và chỉ nếu mọi dãy { zn} с ri

đều chứa một dãy con {zUk} hội tụ tới một điểm z G íỉ.

Một phủ mở của ri là một họ các tập mở {Ua}aeI sao cho Q с LJ Ua.

thì tồn tại duy nhất điểm cư G с sao cho Lú € fỉn với mọi n.

C h ứ n g m in h Với mỗi n chọn điểm zn G íỉn Bởi vì

D rỉ2 Э Э D

nên zn, z m G Q n với mọi m , n > N Như vậy, ta thấy dãy {zn} là dãy Cauchy Do đó lim zn = w Bởi vì compact, nên ta có CƯ G íỉn vối

9

mọi п.

Thêm nữa, nếu tồn tại vu' € íỉn với mọi n thì ta có

0 < \w — w'\ < diam (rĩn) —»• 0.

Như vậy UI là điểm chung duy nhất của mọi tập íìn.

Tập mở íỉ С С được gọi là liên thông nếu không thể tìm được hai tập

mở khác rỗng ÍỈ1 và fỉ2 rời nhau sao cho

Đ ịn h n g h ĩa 1.1 Cho hàm phức f ( z ) xác định trên tập mở ri Hàm

f ( z ) được gọi là С - khả vi tại điểm z0 £ íỉ nếu tồn tại giới hạn của biểu

thức

Ị b

ở đó о Ф h € С sao cho z0 + h £ íỉ.

Giới hạn trên được ký hiệu bởi f ' ( z 0) và gọi là đạo hàm của hàm f ( z )

tại điểm zq Như vậy, ta có

г ы = И т / ( * + - / ( 4

Hàm f ( z ) được gọi là hàm chỉnh hình tại điểm z0 nếu nó là с - khả vi tại một lân cận nào đó của điểm z0.

Hàm / gọi là chỉnh hình trên íĩ nếu nó chỉnh hình tại mọi điểm của íĩ Hàm / chỉnh hình trên c được gọi là hàm nguyên.

V í dụ 1.1 Hàm f ( z ) — z chỉnh hình trên một tập con mở bất kỳ trong

V í d ụ 1.3 Hàm f ( z ) = z là không chỉnh hình T hật vậy, ta tính thương

vi phân của hàm này như sau

với ф{К) là một hàm xác định khi h đủ nhỏ và lim Ip(h) = 0 Dĩ nhiên,

h— У 0

ta có а = f ' ( z 0).

N h ậ n x é t 1.1 Từ công thức (1.2) ta cũng thấy rằng hàm / chỉnh hình

trên Q thì / là liên tục trên đó.

Các kết quả về phép toán đối với đạo hàm của hàm biến phức cũng tương tự như hàm biến thực Ta có mệnh đề sau

Khái niệm khả vi phức khác hẳn với khái niệm khả vi thông thường của

hàm hai biến thực Thực vậy, hàm f ( z ) = Z tương ứng như ánh xạ của

một hàm hai biến thực F : (X, y) !-»■ (X, —y) Hàm này khả vi theo nghĩa

hàm hai biến thực, đạo hàm của nó tại một điểm là ánh xạ tuyến tính được cho bởi định thức Jacobian của nó, ma trận vuông cấp hai các đạo hàm riêng của các hàm tọa độ Tuy nhiên, ta thấy điều kiện tồn tại các đạo hàm thực không đảm bảo tính khả vi phức Để hàm / khả vi phức, ngoài điều kiện khả vi của hàm hai biến thực, chúng ta cần đến điều kiện Cauchy - Riemann được cho bởi định lý dưới đây Để lý giải được

điều này, trước hết ta nhắc lại hàm f ( z ) = u ( x , y ) + iv (x ,y ) , trong đó hàm u ( x , y ) và v(x ,y ) xác định trong miền ri, được gọi là M2 - khả vi

tạ i z = X + iy nếu các hàm của hai biến thực u ( x , y ) và v ( x , y ) khả vi

tại điểm (x,y).

Đ ịn h lý 1.4 (Điều kiện Cauchy - Riemann) Để hàm f ( z ) là c - khả

vi tại điểm z € D, điều kiện cần và đủ là tại điểm đó hàm f ( z ) là M2 - khả vi và thỏa mẫn điều kiện Cauchy - Riemann.

đoạn [ajfe, ữjfc+i] Đặc biệt đạo hàm trái và phải tại các điểm ữfc có thể

khác nhau với mọi k = 1,2, n — 1.

Hai đường cong tham số z : [a, 6] —¥ c và Z : [c,đ\ —¥ c được gọi là tương đương nếu tồn tại song ánh khả vi liên tục s —> t( s ) từ [c, d] đến

13

[a,tí\ sao cho t'(s) > 0 và z(s) = 2: (t(s )) Điều kiện t'(s) > 0 đảm bảo

hướng của đường cong, khi s chạy từ c đến d thì t( s ) chạy từ a đến b Họ

của tấ t cả các đường cong tham số tương đương với z (t) xác định một

đường cong trơn 7 c c Đường cong 7 “ là đường cong thu được từ 7 bằng cách đổi hướng Một dạng tham số hóa của 7 “ được xác định như sau

: [a, b] —> R2

z~(t) = z(b + a — t).

Các điểm z(a) và z(b) được gọi là điểm đầu và điểm cuối của đường cong Đường cong trơn hoặc trơn từng khúc được gọi là kín nếu z(a) = z(b);

được gọi là đường cong đơn nếu nó không có điểm tự cắt, nghĩa là nếu

í ^ s thì z(t) Ỷ z is ) (trá ra khi s = a và t = b) Ta thường gọi đường

cong đơn và kín là một chu tuyến Một chu tuyến 7 giới hạn một miền trong m ặt phẳng phức c được gọi là miền đơn liên và thường được ký

hiệu bởi Dry.

V í d ụ 1.4 Xét đường tròn Cr (z0) tâm tại Z q , bán kính r

Đ ịn h nghĩa 1.2 Cho đường cong trơn 7 được tham số hóa bởi phương

trình z : [a, 6] —> c và / là hàm liên tục trên 7 Tích phân của hàm / dọc theo 7 được xác định bởi

Nếu 7 là đường cong trơn từng khúc như trên, thì

Từ định nghĩa, ta suy ra độ dài của đường cong 7 được tính bởi công thức

Đ ịn h lý 1.5 Tích phân của một hàm liên tục trên đường cong 7 có các

tính chất sau

(i) I ( a f + ạ g)dz = a Ị f ( z ) d z + ị3 Ị g{z)dz; a,P<E c.

(ii) Nếu 7 là đường cong ngược hướng với 7 thì

Đ ịn h lý 1.6 Nếu hàm f liên tục và có một nguyên hàm F trên ũ , và

7 là một đường cong trơn từng khúc nằm trong ri có điểm đầu là CÚI và

điểm cuối UJ 2 , thì

f{ z ) d z = F ( u }2) - F ( u i).

/

H ệ q u ả 1.1 Giả sử 7 ỉằ đường cong đóng nằm trong tập mở íỉ Nếu

hầm liên tục f và có nguyên hầm trong íì thì

Chúng ta có nhận xét rằng nếu chuỗi (1.3) hội tụ tại điểm Z q nào đó, thì

nó cũng hội tụ với mọi z trong đĩa \z\ < 1^01- Việc tìm miền hội tụ của

chuỗi lũy thừa được xác định bởi định lý dưới đây

Đ ịn h lý 1.7 (Cauchy - Hadam ard) Cho chuỗi lũy thừa anz n Khi

n= 0

đó, tồn tại số 0 < R < +oo sao cho

(ỉ) Nếu \z\ < R thì chuỗi hội tụ tuyệt đối.

(ii) Nếu \z\ > R thì chuỗi phân kỳ.

Hơn nữa, nếu ta sử dụng quy ước 1/0 = oo và l/o o = 0, thì số R được

tính bởi công thức

i = lim sup |a „ |”

ỉ x n - ¥ 0 0

Số R được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi và miền \z\ < R được gọi là

đĩa hội tụ của chuỗi

C h ú ý Trên biên của đĩa hội tụ \z\ = R, thì có thể chuỗi hội tụ cũng

H ệ quả 1.3 Chuỗi lũy thừa khả vi vô hạn lần trong đĩa hội tụ của nó

Đạo hàm của chuỗi lũy thừa ỉầ m ột chuỗi lũy thừa thu được bằng cách

lấy đạo hàm của từng số hạng của chuỗi đã cho.

Một hàm f ( z ) xác định một tập con mở được gọi là giải tích (hoặc

có khai triển chuỗi lũy thừa) tại điểm zữ & Q nếu tồn tại chuỗi lũy thừa

Từ Định lý L8, ta thấy rằng một hàm giải tích trên íĩ thì cũng chỉnh hình trên đó

1.5 Lý th u y ết th ặ n g dư

1.5.1 K hông điểm và cực điểm

Đ ịn h n g h ĩa 1.3 Điểm z0 được gọi là không điểm của hàm f ( z ) nếu

/ (^o) = 0

Đ ịn h lý 1.9 Giả sử f là một hàm chỉnh hình trong một tập con mở liên thông ri, có một không điểm tại zữ € Q và không đồng nhất bằng không trong íĩ Thế thì, tồn tại một lân cận u c íỉ của zữ và một hàm chỉnh hình g không đồng nhất triệt tiêu trên u với một số nguyên dương

lớn nhất n sao cho

f ( z ) = (z — z0)n g (z); với mọi z € u.

Trong trường hợp của định lý trên ta nói / có không điểm bậc n (hoặc bội ĩì) tại điểm z0 Nếu không điểm là bậc một, chúng ta nói rằng zữ là

không điểm đơn

Đ ịn h n g h ĩa 1.4 Điểm z0 G c được gọi là điểm bất thường cô lập của

hàm f ( z ) nếu tồn tạ i m ột lân cận thủng { z & c : 0 < \z — Z q \ < R } của

điểm zữ sao cho tại lân cận này hàm / chỉnh hình nhưng không chỉnh hình tại zữ.

V í d ụ 1.5 Hàm f ( z ) = —-— nhận điểm z = 1 là điểm bất thường cô

lập

Đ ịn h n g h ĩa 1.5 Điểm bất thường cô lập z0 được gọi là

(i) điểm bất thường bỏ được nếu lim f ( z ) = f l ẽ C ;

Hàm số f ( z ) = ò nhận điểm z = 0 là điểm bất thường cốt yếu bởi vì

lim f ( z ) = lim e* = lim e* = 00,

h{z)

№ {z - ZữỴ

số nguyên dương n trong Định lý 1.10 được gọi là bậc (hoặc bội) của cực điểm và nó mô tả tốc độ tăng của hàm khi z tiến gần tới z0 Nếu

cực điểm là bậc một chúng ta gọi nó là cực điểm đơn

Đ ịn h lý 1.11 Nếu f có cực điểm bậc n tại z0, thì

của hàm / tại cực điểm zữ của nó được gọi là thặng dư của / tại cực

điểm đó, ký hiệu là res / Như vậy res / = a_ 1