Luận văn phép biến đổi laplace hữu hạn và ứng dụng

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO T R Ư Ờ N G Đ Ạ I HỌC s P H Ạ M H À N Ộ I N G U Y Ễ N T H À N H B IÊ N P H É P B IẾ N Đ Ổ I L A PL A C E H Ữ U H Ạ N VÀ Ứ N G D Ụ N G C huyên ngành: Toán giải tích M ã số: 60 46 01 02 L U Ậ N V Ă N TH Ạ C SĨ T O Á N HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS N guyễn Văn Hào H À N Ộ I - 2015 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy cô phòng Sau đại học, thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè Ban Giám hiệu, thầy cô tổ Toán - Tin trường trung học phổ thông Tiền Phong - Mê Linh - Hà Nội động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho thời gian học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả N guyễn T hành B iên Lời cam đoan Trong suốt trình nghiên cứu luận văn “P hép biến đổi Laplace hữu hạn ứng dụng” giúp tác giả tìm hiểu sâu môn giải tích phức, đặc biệt khái niệm quan trọng phép biến đổi Laplace hữu hạn Qua giúp tác giả bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học Tác giả xin cam đoan luận văn hoàn thành cố gắng nỗ lực tìm tòi, nghiên cứu thân hướng dẫn TS Nguyễn Văn Hào Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả N guyễn T hành B iên M ục lục M đầu Chương K iến thứ c chuẩn bị Số phức mặt phẳng phức 1.1.1 Khái niệm tính chất Sự hội tụ dãy số phức 1.1.3 Một số tập hợp mặt phẳng phức Hàm chỉnh hình 10 1.3 Tích phân phức 13 1.4 Chuỗi lũy thừa 16 1.5 Lý thuyết thặng dư 18 1.5.1 Không điểm cực điểm 18 1.5.2 Công thức thặng dư 20 Chương P hép biến đổi Laplace hữu hạn Định nghĩa số ví dụ 23 23 Khái niệm phép biến đổi Laplace hữu hạn 23 Một số ví dụ phép biến đổi Laplace hữu hạn 27 2 Một số tính chất phép biến đổi Laplace hữu hạn 32 ii Chương M ột số ứng dụng phép biến đổi Laplace hữu h n 37 3.1 Bài toán Cauchy 37 3.2 Bài toán dao động điều hòa đơn 38 3.3 Bài toán giá trị biên 39 3.4 Bài toán cường độ dòng điện tức thời mạch đơn 40 K ết luận 43 P hụ lục 44 Tài liệu tham khảo 46 Mở đầu Lí chọn đề tài Một dấu ấn đậm nét xuất phép biến đổi tích phân phải kể đến số công trình nhà Toán học Leonhard Euler nững năm 1763 - 1769 Các nghiên cứu ông mặt sử dụng phép biến đổi Laplace biến đổi Laplace ngược để giải phương trình vi phân thường tuyến tính cấp hai Đến năm 1910, Bateman người áp dụng phép biến đổi Laplace việc giải số vấn đề Vật lý lượng tử Bằng cách đặt 00 P(X) = J e - * ‘P(t)dt, ông thu phương trình biến đổi phương trình phân rã phóng xạ Rutherford ẹ = —XịP dt Qua phép biến đổi Lappace phép tính vi phân tích phân chuyển thành phép tính đại số (ta hình dung qua phép tính logarỉt mà phép nhân chuyển thành phép cộng) mà phép biến đổi cho ta công cụ hiệu lực việc giải toán phương trình vi phân tuyến tính thường, phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, toán xử lý mạch điện vật lý, Tuy nhiên phép biến đổi thường sử dụng để tìm lời giải hệ tuyến tính thời điểm t thỏa mãn điều kiện đầu t = hàm nhiễu f ( t ) với t > Trong trường hợp hàm nhiễu (hay gọi hàm đầu vào) hàm f ( t ) = exp(at2);a > phép biến đổi Laplace thông thường sử dụng việc tìm nghiệm toán với điều kiện đầu biến đổi Laplace hàm f ( t ) không tồn Theo số cách nhìn từ khía cạnh Vật lý, điều lý hàm f ( t ) không sử dụng hàm nhiễu chấp nhận để giải vấn đề đặt Điều thường cho lời giải toán thời điểm sau t không hiệu lực thời điểm í Từ thực tế này, đưa nhà Toán học hình thành ý tưởng giới thiệu phép biến đổi Laplace hữu hạn đoạn < t < T Tính hiệu lực hữu ích phép biến đổi Laplace hữu hạn so với phép biến đổi Laplace thường khẳng định nhiều lĩnh vực khác Toán học thực tiễn Được định hướng người hướng dẫn, chọn đề tài: "Phép biến đổi Laplace hữu hạn ứng dụng" để thực luận văn Thạc sĩ Toán học chuyên ngành Toán giải tích Luận văn cấu trúc thành 03 chương Chương 1, trình bày số kiến thức chuẩn bị Phần nghiên cứu trình bày chương luận văn, trình bày cách hệ thống phép biến đổi Laplace hữu hạn Chương trình bày số ứng dụng phép biến đổi Laplace hữu hạn M ục đích nghiên cứu Nghiên cứu hệ thống kiến thức phép biến đổi Laplace hữu hạn sau nêu số ứng dụng phép biến đổi Laplace hữu hạn N h iệm vụ nghiên cứu Luận văn nghiên cứu cách hệ thống phép biến Laplace hữu hạn số ứng dụng phép biến đổi Laplace hữu hạn lĩnh vực Vật lý Đ ối tượng phạm vi nghiên cứu Phép biến đổi Laplace hữu hạn số ứng dụng phép biến đổi Laplace hữu hạn để giải phương trình vi phân thường việc giải số toán lĩnh vực Vật lý như: toán Cauchy, toán cường độ dòng điện tức thời mạch đơn, toán giá trị biên, toán dao động điều hòa đơn Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu, phân tích, tổng hợp xin ý kiến định hướng người hướng dẫn Đ ón g góp đề tài Hệ thống hóa chi tiết, phép biến đổi Laplace hữu hạn; trình bày số ứng dụng phép biến đổi Laplace hữu hạn lĩnh vực Vật lý Chương K iến thức chuẩn bị 1.1 s ố phức m ặt phẳng phức 1.1.1 K hái niệm tín h chất Số phức số có dạng z = X + i y ; x , y £ Ш; ỉ đơn vị ảo mà i2 = —1 Ta gọi X phần thực y phần ảo, kí hiệu tương ứng X — Rez, y — Im z Tập hợp số phức kí hiệu c Tập hợp số phức đồng với mặt phẳng R2 phép tương ứng С M2 z = X + ỉy I-» (ж, у) Một cách tự nhiên, người ta gọi Ox trục thực, Oy làtrục ảo Phép cộng phép nhân số phức thực cách thông thường phép toán tập hợp số thực với lưu ý i2 = —1 Ta có ^1 + ^2 = (zi + x 2) + i(yi + y2) 31 V í d ụ 2.9 Cho f ( t ) hàm tuần hoàn với chu kỳ UJ Khi đó, ta có Ĩ ( S,T ) = S r ỉ m } = -1 ĩ ^ - f ( S,wy, - e~SÙ}' (2.28) đó, T = nuj n số nguyên dương hữu hạn Một cách đơn giản, theo định nghĩa phép biến đổi Laplace hữu hạn ta có £ r {/(í)} = J № e-«đt nuj ị m e~stdt ( n —l)w Trong tích phân dùng phép đối biến tương ứng t = u + uj,t = u + 2U), ■■■, t = u + (n — 1)UJ ta nhận u; { /(í)} = J U) í ỉ{u)e~‘"du + e - “ f(u )e ~ “ du + ■■■ + e —s(n —l)w u> / / ( « ) e- s“(ỈM tư + e-5" + • • • + e - s{n~1)ùl / / M e~sudu —naití 11 -_ pe~nsí% - e - sw y Cho Ti —^ oo (T —^ 00) ta nhận kết sau tư /(«) = (1 - e - “)-1 J e— /(u)d0 (2.29) 32 2.2 M ột số tín h chất phép biến đổi Laplace hữu hạn Đ ịnh lý 2.2 Nếu £ r { /( í) } = f ( s , T ) (i) £ T {e-°1/( i) } = / ( S + a,T ); (2.30) (») £ r { /(at)} = - f ( -< aT ) ■ a \a / (2-31) Chứng m inh Theo định nghĩa, ta có (i) £ T { e -‘7 ( t ) } = I e - ‘if ( t ) e - ' idt = Ị /(í)e" (s + ữ)_1 [1 - exp{ —T(s + a)}] t n exp( —at)\ a > -(o+»)T L i [ { ( * + - [e- so - e~tT] H ( T - a) s cos(aí) sin(aí) ữ ” s* + flr 10 e~at sin(òí) b &~s^ —z - (s sin bT + a sin bT + b cos bT) (s + a)2 + b2 (s + a) + b 11 e-atcos (bt) s ữ e~sT — - - õ -(6 sin bT — s cos bT — a cos 6T) (s + a)2 + b2 (s + a)2 + &2 v ’ 12 sinh(aí) 13 cosh(ữí) s s z + cr a s — a2 + 6— s z + a* s (a sin aT s cos aT) c~s^ (s sin aT + a cos aT) ÚT e~sT „ (acosh aT + s sinh aT) s — a2 s e~sT s — a2 s — a2 ( s c o s h a ĩ + a sinh aT) 45 14 í2 15 t \ / T e x p ( —sT) s ^îteif(VsT) ' s3/ -er /(V sT ) s 2 e_sT / T Л exp(a2s 2) - { — exp(a s ) e r / c ( a s ) } e r /c ( — H s s \2a/ s I 16 17 e r /c ( — ) \2aJ eifc(bt) ( T \ хетт с [ - h as \2a ) ( s2 \ г( s \ s exp W ) e r / w ( s \ x e r / c [ bT + 2bJ 18 e r /(í) 19 e r / (л/ ĩ ) 20 ebíe r / ( л /б т ) 21 ebíe r /c ^л/öT^ eV /s\ er/ ( ! ) + s '2' e~sT ^ ^4è0 / s \ f s2 \ e r /c V2J + « exp U w e r / (ÒT) / s\ er/ ( T + ! ) s 2' er /(\/r ) exp(—s T ) e r / ( V r ) s(s + 1) s y s (s — b) (s-S)!1 s , er/ T) e- (s-i>)Ter f(VbT ) s —b Vberf(VsT) J\ e_sT ^ „ /—Д e - ^ Te T f ( V b f ) ,- Y [...]... sự hạn chế nào đối với biến s về sự tồn tại của biến đổi Laplace hữu hạn £ r { f { t ) } — f { s i T) Thêm nữa, sự tồn tại của công thức biến đổi (2.1) không cần đến điều kiện bậc mũ của hàm f( t) Nếu hàm f ( t ) có biến đổi Laplace thông thường, thì nó cũng có biến đổi Laplace hữu hạn Nói cách khác, nếu tồn tại biến đổi Laplace thông thường f ( s ) = £ T thì cũng tồn tại biến đổi Laplace hữu hạn. .. miền D , trừ ra một số hữu hạn các cực điểm Zi, z 2, , nằm trong miền đó Khi đó, chúng ta có công thức ĩ N / f( z ) d z = 2ĩĩi У 2 res / , ы ' - хл { ở đó D 7 là chu tuyến nằm trong miền D sao cho { z i , z2, Z ] \ г} с Dnị с 23 Chương 2 P hép biến đổi Laplace hữu hạn 2.1 Đ ịnh nghĩa và m ột số v í dụ 2.1.1 K hái niệm về phép biến đổi Laplace hữu hạn Phép biến đổi Laplace hữu hạn của một hàm f ( t )... 22 ) Tuy nhiên, với biến thực thì biến đổi Laplace hữu hạn của hàm này được xác định qua một hàm đặc biệt sau V í d ụ 2.6 Nếu f{t) = í°; a > —1 thì £ r {ta} = s~{a+1)j{a + 1, sT); (2.23) trong đó 7 (cc, a;) là hàm Gamma không hoàn chỉnh và được xác định bởi X 7 (a ,* ) = / a -” «“- 1du 0 1 * , ? , T n 1 — (2.24) Từ định nghĩa của phép biến đổi Laplace hữu hạn và dùng phép đổi biến u = st ta nhận được... biến đổi Laplace hữu hạn của một hàm như vậy 31 V í d ụ 2.9 Cho f ( t ) là một hàm tuần hoàn với chu kỳ UJ Khi đó, ta có Ĩ ( S,T ) = S r ỉ m } = -1 ĩ ^ - f ( S,wy, 1 - e~SÙ}' (2.28) trong đó, T = nuj và n là một số nguyên dương hữu hạn Một cách đơn giản, theo định nghĩa của phép biến đổi Laplace hữu hạn ta có ngay £ r {/(í)} = J № e-«đt 0 nuj ị m e~stdt ( n —l)w Trong mỗi tích phân trên dùng các phép. .. thì biến đổi Lpalace của các hàm này được xác định như sau T ’{sinaí} = J sin si aíe stdt 0 a s* + az Tính toán tương tự như thế, e sT (s sin aT + a cosaT ) s “t" az (2.18) ta cũng xác định được ngay s Ẽ~ £ r {cos at} = —r—— -^ - (a sin aT —s cos aT) s2 + a2 s2 + a2 Trong số những hàm cơ bản được ứng dụng khá nhiều trong phép biến đổi Laplace hữu hạn cũng như phép biến đổi Laplace. .. dưới tích phân trong công thức (2.14) là một hàm nguyên theo biến s Do đó, theo định lý Cauchy tích phân trên đường cong c triệt tiêu, tức là ta có finit) = //i(í) = /( í) (2.15) Như vậy, định lý được chứng minh 2.1.2 M ột số v í dụ về phép biến đổi Laplace hữu hạn Trong phần này, chúng ta sẽ giới thiệu việc tính toán biến đổi Laplace hữu hạn của một số hàm sơ cấp thông thường 28 V í dụ 2.1 Nếu f (... tục từng khúc) trong khoảng (0; T) được ký hiệu và xác định bởi công thức T { /(í)} = /(« , T) = Ị f ( t ) e - ‘df, (2.1) 0 trong đó s là một số thực hoặc phức và T là một số hữu hạn có thể âm hoặc dương sao cho tích phân (2.1) có thể được xác định trong khoảng bất kỳ (—Ti;T2) Hiển nhiên rằng £jT là phép biến đổi tích phân tuyến tính Biến đổi Laplace hữu hạn ngược được xác định bởi tích phân phức c+ioo... bài toán giá trị đầu và với t < T 25 thì tích phân thứ hai triệt tiêu Khi t > T tích phân thứ hai có thể hạn chế trong nửa trái của m ặt phẳng phức nên f ( t ) = 0 với t > T Do đó, đối với nghiệm của bài toán với giá trị đầu không cần thiết phải xét tích phân thứ hai và trong trường hợp này trở thành phép biến đổi Laplace thông thường Điều đó cho thấy rằng, khác với phép biến đổi Laplace thường của hàm... /( s ) là biến đổi Laplace thông thường Do đó 00 m = F(s, 0) = J e - “ f(t)dt (2.7) 0 Hơn nữa, sử dụng công thức (2.2) và (2.5) phép biến đổi Laplace ngược được xác định bởi công thức dưới dạng sau ^ = ề i l F^ r e,tds- ầ j F(s' T)e‘{" nẵi (2 8 ) r Tích phân thứ nhất trong công thức trên hạn chế trong nửa trái của m ặt phẳng phức Mặt khác, với t < T đường cong của tích phân thứ hai được hạn chế trong... ) và ta có T 00 f(s) =Ị e-‘f(t)dt+ í e-‘ỉ(t)dt 0 (2.9) T Bởi vì f ( s ) tồn tại, nên cả hai tích phân ở vế phải của của biểu thức (2.9) cũng tồn tại Do đó, tích phân thứ nhất của (2.9) tồn tại và xác định hàm f( s , T ) Tuy nhiên, điều khẳng định ngược lại chưa chắc đúng Ta có thể thấy qua ví dụ sau, biến đổi Laplace thông thường của hàm f( t ) = eat2- a > 0 26 không tồn tại Nhưng biến đổi Laplace hữu