MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ ĐỒ THỊ VÀ HÀM SỐ

Với các khái niệm hàm bậc nhất, bậc hai và các dạng đồ thị t- ơng ứng, phàn hàm số đợc phận lợng thời gian không nhiều.Tuy vậy, bài tập về hàm số thì thật là nhiều dạng và không thể thiế

Phần I: Đặt vấn đề

Trong chơng trình toán bậc trung học cơ sở, hai chủ đề lớn của môn đại

số đó là “Số” và “Hàm số” Khái niệm ”Hàm số” xuyên suốt chơng trìnhmôn đại số ở phổ thông, bắt đầu từ lớp 7 và nó là kiến thức trọng tâm củamôn đại số Với các khái niệm hàm bậc nhất, bậc hai và các dạng đồ thị t-

ơng ứng, phàn hàm số đợc phận lợng thời gian không nhiều.Tuy vậy, bài tập

về hàm số thì thật là nhiều dạng và không thể thiếu trong các kì kiểm tra, kỳthi Khái niệm hàm số là khái niệm trừu tợng mà thời gian luyện tập lạikhông nhiều, nên kết quả của học sinh không cao

Qua thực tế giảng dạy tìm hiểu về tam lý của đối tợng học sinh tôi đãtiến hành nghiên cứu: “Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị” Trong đềtài này tôi cố gắng làm sáng tỏ khái niệm hàm số, đồ thị và đa ra một sốdạng bài tập về hàm số và các bài tập có liên quan

Bằng cách sắp xếp các dạng toán, phơng pháp truyền thụ phù hợp với

đối tợng học sinh, phát huy tính tích cực của học sinh, chú ý sửa sai cho các

em, tôi đã giúp học sinh hiểu đây là là phần bài tập có thuật giải rõ ràng,chính xác , có nhiều nội dun ứng dụng phong phú Hàm số còn đợc coi làcông cụ giải quyết một số bài toán khác nh tìm cực trị, giải phơng trình, giảibất phơng trình, sau đây là nội dung đề tài

Phần II: Nội dung đề tài

Y là tập đích của ánh xạ fPhần tử y = f(x)  Y gọi là ảnh của x qua ánh xạ f.

Một hàm số f đi từ tập hợp số X đến tập hợp số Y là một quy tắc cho

t-ơng ứng mỗi giá trị x  X một và chỉ một giá trị y  Y mà kí hiệu là y =f(x)

Ngời ta viết: f: X  Y

x  y = f(x)

X là tập xác định , x  X là biến số, y = f(x) là giá trị của hàm số f tạix

- Trong chơng trình sách giáo khoa mới (2001) định nghĩa khái niệmhàm số ở toán lớp 7 đã nêu rõ những thuộc tính này: “ Giả sử x và y là hai

đại lợng biến thiên và nhận các giá trị số Nếu y thay đổi phụ thuộc vào xsao cho: Với mỗi giá trị của x ta xác định đợc chỉ một giá trị tơng ứng của ythì y đợc gọi là hàm số của x và x gọi là biến số”

* Chú ý: Nh vậy hàm số dù đợc định nghĩa bằng cách nào cũng đều có

những thuộc tính bản chất: + X và T là tập hai số

+ Sự tơng ứng: ứng với mỗi số x  X đều xác đinh duy nhất một số yY

+ Biến thiện: x và y là các đại lợng nhận giá trị biến đổi

+ Phụ thuộc: x là đại lợng biến thiên độc lập còn y là đại lợng biếnthiên phụ thuộc

b Đồ thị hàm số: (Dựa trên khái niệm tập hợp)

- Đồ thị của hàm số y= f(x) là tập hợp các điểm của mặt phẳng toạ độ

+ Khi b = 0 thì đồ thị hàm số y = ax là đờng thẳng đi qua gốc toạ độ và

điểm E(1; a)

 là trực đối xứng

Chơng II: Một số dạng bài tập

Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số

1/ Đinh nghĩa:

Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập các giá trị của x để biểu thứcf(x) có nghĩa.

Ta có x   1 2x  2 2x 5  7  y 7

x  x  x   y

Vậy miền giá trị của hàm số y = 2x – 5 với x   1;1 là y   7; 3  

+ Ví dụ 2: tìm miền giá trị của hàm số y = x 6  7  x

Giải

áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có:

x   x  x   x   y

Vậy miền giá trị của hàm số y = x 6  7  x với x R là y R, y1

+ Ví dụ 3: Tìm miền giá trị của hàm số y = x2 – 2x + 3 với x 2;3

Giải

Hàm số y = x2 – 2x + 3 có a = 1 > 0 nên đồng biến với x1

Vậy với x 2;3 ta có y(2) y(3)  3  y 6

Vậy miền giá trị của hàm số y = x2 – 2x + 3 với x 2;3 là 3;6

+ Ví dụ 4: Tìm miền giá trị của hàm số y = x2 –4

ứng dụng 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất cảu hàm số;

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của y = 6x – x2 – 2

VÝ dô 2: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè y = 22 6

Gi¶ sö y lµ mét gi¸ trÞ cña hµm sè  Ph¬ng tr×nh 22 6

 vËy hµm sè cã gi¸ trÞ lín nhÊt lµ Max y =

23

7 t¹i x =

1 2

ứng dụng 2: Gải phơng trình f(x) = g(x) (1)

Nhiều phơng trình phức tạp có thể giải đơn giản hơn bằng cách căn cứvào miền giá trị của hai hàm số y = f(x) và y = g(x) trên tập xácc định Dchung của chúng:

+ ta có VT = 6x – x2 – 2 = 7 – (x – 3) 2  7 dấu = xảy ra khi vàchỉ khi x=3

VP = x 1  x 2  2x 3  4x 13  7 dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi t = 1 1 9

a Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b biết đồ thị là đờng thẳng d

Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị đi qua điểm A(1; 1

Vì d song song với d’ có nên a = 2 => b = -3

Vì d tiếp xúc với Parabol (P): y = a’ cóx2 + b’ cóx+c’ có nên phơng trình hoành

độ giao điểm : ax + b = a’ cóx2 + b’ cóx+c’ có có nghiệm kép

 a’ cóx2 + (b’ có – a)x = c’ có – b = 0 có nghiệm kép

  = (b’ có – a)2 – 4a’ có(c’ có – b) = 0 (2)Giải hệ hai phơng trình (1) và (2) để tìm a và b Kết luận công thứchàm số

Ví dụ: xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị là đờng thẳng d đi qua điểm

A(1;2) d nên –a + b = 2 (1)

Vì d tiếp xúc với Para bol (P): y=x2+1 nên phơng trình hoành độ giao

điểm : ax+b=x2+1 có nghiệm kép

III/1.2 Xác định hàm số bậc hai y = ax 2 + bx + c có đồ thị là Parabol (P)

a Đi qua 3 điểm phân biệt A(x 1 ,y 1 ), B(x 2 ,y 2 ), C(x 3 ,y 3 )

    (3)Giải hệ gồm 3 phơng trình (1), (2), (3) ta tìm đợc a, b, c

ax2 + bx+c = 2x-2 có nghiệm kép

 ax2 + (b-2)x+c+2 = 0 có nghiệm kép

 = (b-2)2 –4ac(c+2) = 0 (3)

Ta có hệ phơng trình

Bài 1: Cho đờng thẳng d có phơng trình y = 2x – 1

a/ Viết phơng trình đờng thẳng song song với d và đi qua gốc toạ độ.b/ Viết phơng trình đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng d và đi qua

nằm trên đờng thẳng d: y = 2x +1

b/ Với a, b vừa tìm đợc vẽ Parabol (P) và đờng thẳng d trên cùng mộtmặt phẳng toạ độ

III.2 Xác định công thức hàm ssố khi biết phơng trình hàm:

Ví dụ1: Tìm f(x) của hàm số biết f(1+1

2 ( ) 3

2 2

+ Đỉnh D ;

2 4

b

a a

 



+ Trục đối xứng: x

=-2

b a

+ bề lõm quay lên trên khi a>0 ; bề lõm quay xuống dới khi a<0

d/ Đồ thị hàm giá trị tuyệt đối: y

x với x0

Chẳng hạn: y = x 

-x với x0

Đồ thị hàm số thuộc hai tia phân giác

của các góc vuông I và II (hình 1d) 0 x

hình 1d e/ Đồ thị hàm phần nguyên: y =  x trong đó  x là kí hiệu số nguyên lớn nhất không vợt quá x + Đồ thị hàm số y =  x với    1 x 3 có dạng bậc thang nh (hình 1e) -1 với    1 x 0 y = 0 với 0  x 1 3

1 với 1  x 2 2

2 với 2  x 3 1

-1

0 1 2 3

-1

f/ Nhận xét:

+ Đồ thị hàm số y = f(x) và y = f(-x) đối xứng nhau qua trục tung + Hàm số y = f( x ) có f(x) = f(-x) với mọi x nên có đồ thị nhận truc tung làm trục đối xứng Vì vậy khi vẽ chỉ cần:

 Vẽ đồ thị y = f(x) với x0

 Lấy đối xứng phần vừa vẽ qua trục tung

+ y = x không phải là hàm số nên ta không yêu cầu học sinh vẽ đồ thị hàm số mà chỉ vẽ đờng biểu diễn mối quan hệ

2/ Ví dụ:

Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số y = x2 – 4x+3

+ TXĐ : x  R

y

x

+ Tính biến thiên: Hàm số đồng biến với x>2

Nhận xét: Đồ Thị Hàm số là Parabol (P) có đỉnh D(2; -1) đối xứng qua

đ-ờng thẳng x = 2, bề lõm quay lên trên

y

x0

Nhận xét: điểm thấp nhất( cao nhất) trên đồ thị là điểm có tung độ nhỏ

nhất (lớn nhất), tại đó hàm số nhận giá trị nhỏ nhất ( lớn nhất)Vì vậy khi tìmgiá trị lớn nhất ( nhỏ nhất) của hàm số ta có thể vẽ đồ thị của hàm số rôi tìm

điểm cao nhất( thấp nhất của đồ thị

Ví dụ1: Tìm giá trị nhỏ nhất cua hàm số y = x 1  x 2

và y = -x2+2x+2 với x<0

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là Max y = 3 khi x = 1 hoặc x = -1

Ví dụ 3: Tìm giá lớn nhất của hàm số : y = - x2 - 2 x  1 + 1

a.Xác định a để hàm số luôn đồng biến

b Xác định a để đồ thị hàm số đi qua điểm B(1;6) Vẽ đồ thị củahàm số với a vừa tìm đợc

-4-5

Bài 3: Trong mặt phẳng toạ độ xOy vẽ tập hợp các điểm M(x; y) mà toạ độ

 Vậy ví trí tơng đối giữa đppf thị hàm số y = f(x) và y = g(x) phụ

thuộc vào số nghiệm của phơng trình ( )

+ Số nghiệm của phơng trình (3) quy định vị trí tơng đối giữa đồ thị cáchàm số y=f(x) và y = g(x)f(x) và g(x) có bậc  2)

Hai đồ thị cắt nhau phơng trình (3) có hai nghiệm phận biệt

Hai đồ thị tiếp xúc  Phơng trình (3) có nghiệm kép

Hai đồ thị không cắt nhau  phơng trình (3) vô nghiệm

 Để biện luận vị trí tơng đối giữa các đồ thị ta biện luận số nghiệm củaphơng trình (3)

 Để xác định toạ độ điểm chung giữa các đồ thị ta giải phơng trình (3)tìm hoành độ x = x0 , dựa vào phơng trình (1) hoặc (2) để xác địnhtung độ tơng ứng y = y0

(1)(2)

b Chú ý: Vị trí tơng đối giữa hai đờng thẳng (d): y = ax + b và d1: 3)x+2 (a.a1 0)

y=(2m-+ d song song với d1  a = a1 ; b b1

+ d cắt d1  a  a1

+ Đặc biệt d vuông góc với d1  a.a1 = -1

+ d trùng với d1  a = a1 ; b = b1

2/ Ví dụ:

Ví dụ 1: cho đờng thẳng d: y = m(x + 2) và d: y = (2m-3)x + 2

a Biện luận theo m vị trí tơng dối của hai đờng thẳng

+ không có giá trị nào của m đẻ d trùng với d1

b Tìm các giá trị của m để hai đờng thẳng vuông góc Xác định toạ độ

điểm chung trong từng trờng hợp

2x  và d1: y=-2x+2 vuông góc với nhau.

Toạ độ điểm chung của d và d1 là nghiệm của hệ

6 1

 x2-6x+m-1 = 0 (3)+ (P) cắt (d) tai hai điểm phận biệt  phơng trình (3) có hai nghiệmphận biệt   = 9-m+1 > 0  m<10

+ (P) tiếp xúc với (D)  Phuơng trình (3) có nghiệm kép

  = 9-m+1 = 0

 m=10Với m= 10 phơng trình (3) trở thành x2 – 6x + 9 = 0 x=3

Thay vào (2) ta có y = 7

Vậy với m= 10 thì (P) và (d) tiếp xúc với nhau tại điiểm A(3; 7)

+ (P) không giao với (d)  Phơng trinhg (3) vô nghiệm

  = 9-m+1 < 0

Ví dụ 3: Tìm m để đồ thị các hàm số y = x2 – 4x – 8 (P) và y=mx2 +(m+2)x + 8 (P’ có) có không quá một điểm chung

Vậy với m=1 (P) và (P’ có) cắt nhau tại một điểm

- Xét m 1 (P) và (P’ có) có không qua một điểm chung    0

 (m+6)2 –64(m-1) 0

 m2 –52m+100  0

 26  576 m 26  576 m  1Vậy (P) và (P’ có) có không quá một điểm chung 

Do đó nếu các đồ thị y = f(x) và y = g(x) trên cùng một mặt phẳngtoạ độthì số điểm chung của chúng đúng bằng số nghiệm của phơng trình (1).

 Cách giải bài toán:

- Biện luận số nghiệm của phơng trình f(x) = g(x) (1) bằng phơng pháp

đồ thị

- Vẽ đồ thị hai hàm số y = f(x) (C) và y = g(x) (C’ có) trên cùng mặtphẳng toạ độ

- Biện luận số nghiệm chung của â và (C’ có) => số nghiệm của phơngtrình

 Ví dụ :

Ví dụ1: Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình x 1  x 2 m

Giải

+ Vẽ đò thị hàm số y = x 1  x 2 và y = m trên cùng một mặt phẳngtoạ độ

+ Theo đồ thị ta có

m < 1 phơng trình (1) vô nghiệm

m = 1 phơng trình (1) có vô số nghiệm : 1  x 2

m > 1 phơng trình (1) cóa hai nghiệm phân biệt

Ví dụ 2:Với giá trị nào của a, phơng trình sau có nghiệm duy nhất

0 1 2 3 x

y

y = m

- Vậy phơng trình (1) có nghiệm duy nhất hai đồ thị có một điểm

chung duy nhất

2

4 2

-1 -4 -3 -2 -1 0 1 a

* y = 2k là đờng thẳng song song vơi Ox.

Khi đó phơng trình (x-1)2 = 2 x k có 4 nghiệm phận biệt  (d) cắt

(P1) và (P2) tại 4 điểm phận biệt

đ-Hớng dẫn: Các đờng thẳng x = a luôn cắt (P) tại một điểm với mọi

a Nên đờng thẳng (D) tiếp xúc với (P) nếu có sẽ có dạng y=ax+b

Vậy đờng thẳng (D) tiếp xúc với (P) với mọi m0

b a

Dạng VI: Điểm cố định ( Chùm đờng thẳng, chùm Parabol )

a b c

Giải hệ điều kiện (2) tìm x0 ; y0

+ (Thử lại) kết luận điểm cố định

2/ Ví dụ:

Ví dụ 1: Tìm điểm cố định mà đờng thẳng (d): y=(2m+1)x-3m+2 đi

qua với mọi m

Vậy đờng thẳng đi qua điểm M(-1;1) với m.

Ví dụ3: Tìm điểm cố định mà Parabol (P): y=(m2 – m+2)x24m2+1 đi qua với mọi m

0 0

0 2

1/ Cách giải bài toán:

Tìm tập hợp điểm M(xM; yM) biết toạ độ xM; yM phụ thuộc vào tham số m

Giải

+ Biểu diễn tạo độ của M theo tham số

+ Từ biểu thức xM; yM khử tham số m , biểu diễn yM = f(xM).

+ Kết luận tập hợp điểm M là đồ thị của hàm số y = f(x)

Chú ý: Khi tham số m cố điềukiện thì từ điều kiện của tham số chỉ ra

điều kiện của x để giới hạn quỹ tích

 Với m   1 m 1 (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phận biệt A và B cóhoành độ xA, xB là nghiệm của phơng trình (3) nên xA + xB = m

Khi đó I là trung điểm của AB

1

1 1

1 1

1 1

2 2

1 1

4 4

B

x x

(1)(2)

Bài 1: Cho Parabol (P) y = x2 Gọi A và B là giao điểm của đờng thẳng

y = 2x + m với (P) Tìm quỹ tích trung điểm của AB khi m thay đổi

Bài 2: Cho Parabol (P) y = x2 Tìm tập hợp những điểm từ đó kẻ đợc haitiếp tuyến vuông góc đến (P)

Bài 3: Cho Parabol (P) y = x2 + 7x + 6 Tìm điểm M trên trục tung saocho Hai tiếp tuyến của (P) qua M cuông góc với nhau

Hớng dẫn:

+ MOy nên M có toạ độ M(0;a)

+ Giả sử đờng thẳng qua M có hệ số góc k: y = kx +a là tiếp tuyến của(P)  Phơng trình hoành độ x2 + (7 – k)x + (6 – a) = 0 (2) có nghiệmkép

Bài 1: Trong cùng một phẳng toạ độ gọi (P) là đồ thị hàm số y = ax2 và (d)

là đồ thị hàm số y = - x + m

a Tìm a biết rằng (P) đi qua A(2;1) và vẽ (P) với a vừa tìm đợc

b Tìm m sao cho (d) tiếp xúc với (P) vừa có , và tìm toạ độ tiếp điểm

c Gọi B là giao điểm của (d) ở câu 2 với trục tung C là điểm đối xứngcủa A qua trục tung Chứng tỏ rằng:

+ Dùng Pitago đảo để chứng minh tam giác ABC vuông cân

Bài 2: Cho Parabol (P): y = x2 – 4x + 3

a Chứng minh đờng thẳng y = 2x – 6 tiếp xúc với Parabol (P)

b Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua I và M

c Chứng minh rằng đờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệtA; B với m 0

1 Họi H và K là hình chiếu của Avà B trên trục hoành Chứng minhrằng tam giác IHK vuông cân

2 Chứng minh độ dài đoạn AB > 4 với m 0

Bài 4: Trong cùng mặt phẳng toạ độ cho Parabol (P) y = -x2 + 4x – 3 và ờng thẳng (d): 2y + 4x – 17 = 0

+ Viết phơng trình đờng thẳng (d’ có’ có) vuông góc với (d’ có) tại A Xác

định giao điểm của (d’ có’ có) với (d) để tìm B(4;1

2)

+ Khoảng cách AB = 5

2 là lớn nhất

Bài 5: Cho Parabol (P) y = x2 và hai điểm A; B thuộc B có hoành độ xA= -1;

xB = 2 Tìm M thuộc Parabol có hoành độ x   1;2 sao cho diện tích tamgiác AMB lớn nhất

Phần III: Kết luận chung

Qua những năm trực tiếp giảng dạy môn toán ở Bậc THCS và quanhiều năm nghiên cứu đề tài “ Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị” tôi

đã hiểu một cách sâu sắc hơn và hàm số và đồ thị Xây dựng đợc hệ thốngbài tập phong phú Với hệ thống bài tập sắp xếp từ dễ đến khó theo dạng cóphơng pháp giải rõ ràng đã giúp học sinh rèn luyện kỹ năng, gây đợc hứngthú học tập cho học sinh Làm cho học sinh không còn thấy sợ “Hàm số”

Đúng nh Ăng ghen đã từng nhận định “Các khái niệm địa lợng biến thiên vàhàm số đã đa t tởng biện chứng vào toán học và do đó phạm vi ứng dụngcủa toán học đã rộng hơn và sâu hơn” Hiện nay toán học còn sâu sắc vàlinh hoạt hơn rất nhiều so với toán học thời kì Ăng ghen Chơng trình cải

cách giáo dục đã đa tập hợp số thực vào chơng trình lớp 7 nên học sinh lớp 7tiếp thu khái niệm “Đồ thị hàm số” một cách tự nhiện, dễ hiểu hơn.

Đối với đối tợng học sinh khá giỏi nếu có thời gian cần tiếp thu pháttriển các ứng dụng của từng dạng toán, nâng cao yêu cầu trong từng bài giúpcác em phát huy đợc năng lực học môn toán

Trên đây là nội dung đề tài mà em đã tìm hiểu Chắc chắn còn nhiềuthiếu sót Rất mong đợc sự góp ý của thầy cô giáo cùng các bạn bè đồngnghiệp

Phần IV: Tài liệu tham khảo

1 Sách giáo khoa đại số lớp 7, và đại số lớp 9

2 Sách phát triển đại số 7, đại số 8, đại số 9 của (Vũ Hữu Bình)

3 Trọng điểm đại số 9 (Ngô Long Hậu – Trần Luận)

4 Toán nâng cao đại số 9 (Nguyễn NGọc Đạm, Nguyễn Việt Hải, VũDơng Thuỵ)

5 Tài liệu chuyên toán đại ssố 9 (Hoàng Chúng, Thiệu Hùng, QuangKhải)

6 Giải Tích I (Hoàng Tuỵ)

7 Báo toán học và tuổi trẻ