CHƯƠNG 3. XÂY DỰNG CHƯƠNG TRÌNH THIẾT KẾ MẶT
3.2. XÂY DỰNG CHƯƠNG TRÌNH THIẾT KẾ MẶT CONG NHỜ PHƯƠNG TRÌNH PDE CẤP SÁU KHÁC
Theo cơ sở nghiên cứu trong chương hai, mục 2.4, trong phần này chúng ta thiết kế một mặt cong khác nhờ phương trình PDE cấp sáu sau:
6 6 6 6
6 4 2 2 4 6 x 0
y
u u v u v v
Giả sử cho các hàm điều kiện biên có thể khai triển:
2
0 0 2 0
2
0 0 2 0
2
0 0 0 2 0
0 cosh cos sinh cos cosh cos
cosh sin sinh sin cosh sin
h sinh h cosh h sinh
x x
u x a u v a u v a u v
u u
y y
y b u v b u v b u v
u u
z z
z h u u u
u u
2
1 1 2 1
2
1 1 2 1
2
1 1 2 1
1 cos cos sin cos cos cos
cos sin sin sin cos sin
sin cos sin
x x
u x R A u v A u v A u v
u u
y y
y R A u v A u v A u v
u u
z z
z A u A u A u
u u
su
y ra dạng của x, y
( ) cosv y g(u) sinv x f u
với
f u( )(c1c u e2 ) u (c3c u e4 ) u c5cosuc6sinu g u( )(d1d u e2 ) u (d3d u e4 ) u d5cosud6sinu và zr0r u1 r u2 2 r u3 3r u4 4 r u5 5
từ điều kiện biên suy ra hệ phương trình tìm các hệ số c1,...,6,d1,...,6,z1,...,5, các tham số xác định hình dạng mặt là a b u u R A h, , 0, , , ,1 0, h.
Từ phương pháp trên, chúng tôi xây dựng chương trình thiết kế mặt cong nhờ phương trình cấp sáu khác bằng cách gắn các điều kiện biên cụ thể và xác định được các hệ số, cho kết quả đối tượng (hình 3.4, hình 3.5, hình 3.6) được thiết kế nhờ phương trình cấp sáu khác:
Hình 3.4
Các thông số đầu vào được biểu diễn như trên sẽ được gắn với điều kiện biên cụ thể, từ đó tìm được các hệ số, cho kết quả đối tượng hình 3.4.
Hình 3.5
Thay đổi thông số đầu vào được biểu diễn như trên, cho kết quả đối tượng hình 3.5.
Hình 3.6
3.3. TỔNG KẾT CHƯƠNG
Trong chương này luận văn đã xây dựng chương trình thiết kế mặt cong nhờ phương trình tam điều hòa và phương trình cấp sáu khác, thiết kế, nắn chỉnh hình dạng nhờ thay đổi các điều kiện biên, các tham số điều khiển khác nhau cho chúng ta các hình dạng khác nhau.
KẾT LUẬN
Luận văn đã trình bày một số kiến thức cơ bản về thiết kế hình học và phương trình đạo hàm riêng; tóm tắt các phương pháp phương trình đạo hàm riêng trong thiết kế hình học, tìm hiểu phương trình elliptic cấp bốn và cấp sáu trong xây dựng bề mặt PDE và ứng dụng các phương trình này để thiết kế một số mặt cong trong thực tế.
Kết quả chính của luận văn gồm có:
- Luận văn đã đưa ra một số kiến thức liên quan làm cơ sở cho việc thiết kế một số đối tượng hình học mặt cong trong hệ tọa độ 3D.
- Trình bày một số vấn đề liên quan đến các bề mặt được tạo ra từ các phương trình đạo hàm riêng và ứng dụng của các bề mặt PDE trong việc thiết kế và mô hình hóa hình học.
- Trình bày chi tiết về phương trình elliptic cấp bốn, phương trình tam điều hòa và phương trình eliptic cấp sáu khác, vận dụng các phương trình này trong thiết kế bề mặt PDE cho một số đối hình dạng vật thể.
- Cài đặt thành công các thuật toán ứng dụng phương trình elliptic cấp bốn để thiết kế các đối tượng hình học dựa trên việc xác định điều kiện biên và phương trình tham số của các đối tượng hình học.
Trên cơ sở các kết quả đã được trình bày, trong thời gian tới sẽ tiếp tục nghiên cứu sâu hơn để thiết kế bề mặt PDE cho các đối tượng 3D phức tạp hơn dựa trên phương trình phương trình tam điều hòa và phương trình eliptic cấp sáu khác.Vận dụng phương trình elliptic cấp bốn, phương trình tam điều hòa và phương trình eliptic cấp sáu khác trong việc tái tạo lại các vật thể bị biến dạng, pha trộn các bề mặt khác nhau để tạo nên các vật thể có hình dạng phức tạp hơn.
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu tiếng Việt
[1] Nguyễn Thế Tranh, Giáo trình công nghệ CAD-CAM, Trường Đại học Bách Khoa Đà Nẵng, Chương 2, tr. 1-11.
[2] Nguyễn Minh Chương (cb),Phương trình đạo hàm riêng, NXB GD,(2000).
Tài liệu tiếng Anh
[3] H. Ugail, M.I.G. Bloor, and M.J. Wilson, Techniques for Interactive Design Using the PDE Method, ACM Transactions on Graphics,pp. 195-212, (1999).
[4] Ugail, H., Wilson, M.J, Efficient shape parametrisation for automatic design optimisation using a partial differential equation formulation.
Comput.Struct, pp. 2601–2609, (2003).
[5] Bloor, M.I.G., Wilson, M.J, Functionality in solids obtained from partial differential equations. Computing,pp. 21–42, (1993).
[6] G. Gonz´alez Castro, H. Ugail et al., A survey of partial differential equationsin geometric design, Visual Comput 24,pp. 213–225, (2008).
[7] Farin, G. Curves and Surfaces for Computer Aided Geometric Design, a Practical Guide, 5th edn. MorganKaufmann, San Diego, CA (2001).
[8] Zhang, J.J., You, L. Fast surface modelling using a 6th order PDE.
Comput.Graph, Forum 23(3), pp. 311–320, (2004).
[9] J. Monterde and H. Ugail, A General 4th-Order PDE Method to Generate Bézier Surfaces from the Boundary, Computer Aided Geometric Design, 23 (2), pp. 208-225, (2006).
[10] H. Ugail, 3D Facial Data Fitting using the Biharmonic Equation, in Visualization, Imaging and Image Processing, J.J. Villanueva (ed.), ACTA Press ISBN 0-88986-598-1, pp. 302-307, (2006).
[11] M. G. Bloor and M. J. Wilson, Generaring blend surfaces using partial differential equations, Comput. Aided Des.21(3), pp. 165-171, (1989).
[12] M. G. Bloor and M. J. Wilson, Functionnality in blend desgign, Comput.
Aided Des.22(3), pp. 655-664, (1989).
[13] S. N. Ishak, J. Md. Ali, Parametric Geometric Surface Generation using Triharmonic PDE, (2009), pp. 380-385.
[14] J.J. Zhang, L.h. You, PDE based suface representation – vasedesign Computer & Graphics 26 (2002) 89-98.
PHỤ LỤC
CÁC CHƯƠNG TRÌNH NGUỒN TRÊN MATLAB 1. Thiết kế đối tượng sử dụng phương trình tam điều hòa
% triharmonic surface a=2;
n=10;
u = (0:1:n)/n;
v = 2*pi*(0:1:n)'/n;
e1 = 'a0+a1+a2+a3+a4+a5 = 0.3';
e2 = '(a0+a1+a2)*exp(a)+(a3+a4+a5)*exp(-a) = 1.5';
e3 = 'a*a0+a1-a*a3+a4 = 2';
e4 = '(a*a0+a1+(a*a1+2*a2)+a*a2)*exp(a)+(-a*a3+a4+(-a*a4+2*a5)-a*a5)*exp(- a) = 1.1';
e5 = 'a*(a*a0+a1)+a*a1+2*a2 + (-a*(-a*a3+a4)-a*a4+2*a5) = 5.5';
e6 = '(a*(a*a0+a1+(a*a1+2*a2)+a*a2) + a*a1+2*a2+2*a*a2) * exp(a) + (-a*(- a*a3+a4+(-a*a4+2*a5)-a*a5) - a*a4+2*a5-2*a*a5) * exp(-a) = 1';
[a0,a1,a2,a3,a4,a5]=solve(e1,e2,e3,e4,e5,e6,'a0,a1,a2,a3,a4,a5');
X = cos(v)*((a0+a1*u+a2*u.^2).*exp(a*u)+(a3+a4*u+a5*u.^2).*exp(-a*u));
X=subs(X);
e1 = 'b0+b1+b2+b3+b4+b5 = 0.3';
e2 = '(b0+b1+b2)*exp(a)+(b3+b4+b5)*exp(-a) = 1.5';
e3 = 'a*b0+b1-a*b3+b4 = 2';
e4 = '(a*b0+b1+(a*b1+2*b2)+a*b2)*exp(a)+(-a*b3+b4+(-a*b4+2*b5)-a*b5)*exp(- a) = 1.1';
e5 = 'a*(a*b0+b1)+a*b1+2*b2 + (-a*(-a*b3+b4)-a*b4+2*b5) = 5.5';
e6 = '(a*(a*b0+b1+(a*b1+2*b2)+a*b2) + a*b1+2*b2+2*a*b2) * exp(a) + (-a*(- a*b3+b4+(-a*b4+2*b5)-a*b5) - a*b4+2*b5-2*a*b5) * exp(-a) = 1';
[b0,b1,b2,b3,b4,b5]=solve(e1,e2,e3,e4,e5,e6,'b0,b1,b2,b3,b4,b5');
Y =sin(v)*((b0+b1*u+b2*u.^2).*exp(a*u)+(b3+b4*u+b5*u.^2).*exp(-a*u));
Y=subs(Y);
e1 = 'z0 = 3.1';
e2 = 'z1 = 1.5';
e3 = 'z2 = 0.5 * 0.7';
e4 = 'z3+z4+z5 = 0 - 3.1 - 1.5 - 0.5 * 0.7';
e5 = '3*z3 + 4*z4 + 5*z5 = 0 - 1.5 - 0.7';
e6 = '6*z3 + 12*z4 + 20*z5 = 0 - 0.7';
[z0,z1,z2,z3,z4,z5]=solve(e1,e2,e3,e4,e5,e6,'z0,z1,z2,z3,z4,z5');
Z = ones(size(v))*(z0+z1*u+z2*u.^2+z3*u.^3+z4*u.^4+z5*u.^5);
Z=subs(Z);
figure(1) surf(X,Y,Z)
title(['a=' num2str(a)]) axis off
2. Thiết kế đối tượng sử dụng phương trình cấp sáu khác a=1; b=1.5; u0=1; u1=2; R=1; A=2; h0=2; h=1;
n=14;
u = (0:1:n)/n;
v = 2*pi*(0:1:n)'/n;
e1 = 'c1 + c3 + c5 = a*cosh(u0)';
e2 = 'c1 + c2- c3 + c4 + c6 = a*sinh(u0)';
e3 = 'c1 + 2*c2+ c3 - 2*c4 - c5 = a*cosh(u0)';
e4 = '(c1+c2)*exp(1) + (c3+c4)*exp(-1) + c5*cos(1) + c6*sin(1) = R+A*cos(u1)';
e5 = '(c1+2*c2)*exp(1) - c3*exp(-1) - c5*sin(1) + c6*cos(1) = -A*sin(u1)';
e6 = '(c1+3*c2)*exp(1) + (c3-c4)*exp(-1) - c5*cos(1) - c6*sin(1) = -A*cos(u1)';
[c1,c2,c3,c4,c5,c6]=solve(e1,e2,e3,e4,e5,e6,'c1,c2,c3,c4,c5,c6');
X = cos(v)*((c1+c2*u).*exp(u)+(c3+c4*u).*exp(-u)+c5*cos(u)+c6*sin(u));
%subs(X)
e1 = 'd1 + d3 + d5 = b*cosh(u0)';
e2 = 'd1 + d2- d3 + d4 + d6 = b*sinh(u0)';
e3 = 'd1 + 2*d2+ d3 - 2*d4 - d5 = b*cosh(u0)';
e4 = '(d1+d2)*exp(1) + (d3+d4)*exp(-1) + d5*cos(1) + d6*sin(1) = R+A*cos(u1)';
e5 = '(d1+2*d2)*exp(1) - d3*exp(-1) - d5*sin(1) + d6*cos(1) = -A*sin(u1)';
e6 = '(d1+3*d2)*exp(1) + (d3-d4)*exp(-1) - d5*cos(1) - d6*sin(1) = -A*cos(u1)';
[d1,d2,d3,d4,d5,d6]=solve(e1,e2,e3,e4,e5,e6,'d1,d2,d3,d4,d5,d6');
Y = sin(v)*((d1+d2*u).*exp(u)+(d3+d4*u).*exp(-u)+d5*cos(u)+d6*sin(u));
%subs(Y)