CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TỌA ĐỘ

Chương 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM TRONG HÌNH HỌC

1.3. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TỌA ĐỘ

Mọi phép biến hình trong đồ hoạ điện toán và mô hình hoá hình học đều dựa trên 3 hình thức biến đổi toạ độ cơ bản là dịch chuyển tịnh tiến, lấy tỷ lệ và quay.

1.3.1. Phép biến đổi tọa độ 2D

Giả sử điểm P’(x’,y’) là vị trí của điểm P(x,y) sau phép biến đổi toạ độ.

Toạ độ (x’,y’) của điểm P’ tương ứng với vectơ dịch chuyển t (tx,ty) (Hình 1.5a); hệ số tỷ lệ s(sx,sy) (Hình 1.5b); góc xoay  ngược chiều quay kim đồng hồ (Hình 1.5c) được xác định như sau

x’ = x + tx; y’ = y + ty ; (1.33)

x’ = Sx.x; y’ = Sy.y ; (1.34)

x’ =xcos- ysin; y’ = xsin + ycos (1.35)

Hình 1.5. Phép biến đổi tọa độ 2D

Biểu diễn điểm dưới dạng toạ độ đồng nhất cho phép đơn giản hoá và thốngnhất hoá biểu diễn các phép biến đổi hình học như phép nhân ma trận.

Theo toạ độ đồng nhất, điểm trong không gian n chiều được ánh xạ vào không gian (n+1) chiều.

Thí dụ điểm P(x,y) trong hệ toạ độ Đề các 3 chiều được biểu diễn dưới dạng toạ độ đồng nhất 4 chiều P’(x’,y’,z’,h) theo mối quan hệ

x = x’/h; y = y’/h; z = z’/h, (1.36) trong đó h  0 hệ số vô hướng.

Mối quan hệ (2.36) dựa trên thực tế, nếu toạ độ Đề các của điểm P được nhân với hệ số h, điểm P sẽ được di chuyển tới vị trí mới P’(x’,y’,z’) theo phép lấy tỷ lệ với hệ số h.

Tổng quát, có thể biểu diễn phép biến đổi 2D tuyến tính (1.33), (1.34), (1.35) dưới dạng ma trận bởi vectơ toạ độ đồng nhất (chuẩn tắc) Ph, P’h và ma trận biến đổi đồng nhất M

P’h= Ph M, (1.37) trong đó Ph = (x y 1); P’h= (x’ y’ 1).

Ma trận biến đổi toạ độ M tương ứng với phép dịch chuyển (T), phép

lấy tỷ lệ (S) và phép quay (R) có giá trị như sau

1 12 0 0 0 cos sin 0

0 1 0 ; 0 0 ; sin cos 0 .

1 0 0 1 0 0 1

x y

x y

a S

T S S R

t t

 

 

     

     

      

   

 

   

 

1.3.2. Phép biến đổi tọa độ 3D

Phép biến đổi toạ độ 3D là mở rộng của phép biến đổi toạ độ 2D. Toạ độ (x’,y’,z’) của điểm P(x,y,z) sau phép biến đổi toạ độ, tương ứng với vectơ dịch chuyển t (tx,ty, tz); hệ số tỷ lệ s (sx, sy, sz) được xác định như sau

x’ = x + tx; y’ = y + ty; z’ = z + tz (1.38) x’ = sx.x; y’ = sy.y; z’ = sz.z (1.39) Tương tự như đối với trường hợp biến đổi 2D, có thể biểu diễn phép dịch chuyển 3D (1.38) và phép lấy tỷ lệ (1.39) dưới hình thức tích ma trận bởi vectơ toạ độ đồng nhất Ph, P’h, ma trận biến đổi T(S)

P’h = Ph T (1.40a) P’h = Ph S, (1.40b) trong đó Ph = (x y z 1); P’h = (x’ y’ z’ 1) ;

Bởi vì rất khó xác định phép quay quanh trục bất kỳ trong không gian 3D, phép quay quanh trục bất kỳ thường được qui về các phép quay cơ bản quanh các trục hệ toạ độ, về cơ bản là phép quay 2D (bảng 1.1).

1 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0

; .

0 0 1 0 0 0 0

1 0 0 0 1

x y

z

x y z

s

T S s

s t t t

   

   

   

 

   

   

 

 

 

Phép quay cơ bản X' Y’ Z’

quanh trục x x' = x y’ = ycos - zsin z’ = ysin+ zcos

quanh trục y x’ = zsin + xcos y’ = y z’ = zcos + xsin

quanh trục z x’ = xcos + ysin y’ = xsin + ycos z’ = z

Bảng 1.1. Phép quay cơ bản quanh các trục hệ tọa độ

Có thể thấy rằng ma trận biến đổi đồng nhất đối với phép quay (Bảng 1.1) có giá trị như sau (C = cos ; S = sin )

1 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0

( , ) ; ( , ) ;

0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 1

C S

C S

R x R y

S C S C

 

    

   

   

 

    

   

   

0 0

0 0 0

( , ) . (1.41)

0 0 0

0 0 0 1

C S R z S

 C

 

 

 

 

 

 

Một cách tổng quát, có thể biểu diễn phép biến đổi toạ độ 3D (chỉ gồm phépdịchchuyển t và phép quay cơ bản R) bởi ma trận biến đổi đồng nhất H như sau

x y z' ' ' 1 (x y z1)H , (1 .4 2 )

trong đó

11 12 13

21 22 23

31 32 33

0 0

0 0

0 0 ,

1 1

x y z

r r r

r r r R

H r r r

t t t t

   

   

   

 

   

   

 

 

 

hay biểu diễn dưới dạng khác (x’ y’ z’)=(x y z)R + t. (1.43)

Ta thấy rằng ma trận xoay R (1.41) là ma trận trực giao, tức là nếu địnhnghĩa các vectơ hàng của R

11 12 13 21 22 23 31 32 33

( ); ( ); ( ),

n r r r o r r r a r r r (1.44)

thành phần của các vectơ này chính là cosin chỉ hướng của các vectơ đơn vị i,j,k và thỏa điều kiện

; ;

n o a o a n a n ovàn  o  a 1. (1.45) 1.3.3. Phép ánh xạ

Ta đã xét các phép biến đổi toạ độ trong cùng một hệ toạ độ mà hoàn toàn không có sự thay đổi hệ toạ độ tham chiếu về vị trí cũng như phương chiều. Trong phần này ta sẽ xét tới phép ánh xạ đối tượng hình học giữa 2 hệ toạ độ khác nhau. Phép ánh xạ đối tượng hình học từ một hệ toạ độ sang hệ toạ độ thứ hai được định nghĩa như sự thay đổi mô tả đối tượng hình học từ hệ toạ độ thứ nhất sang hệ toạ độ thứ hai. Do đó, không có sự thay đổi về vị trí và phương chiều của đối tượng hình học so với cả 2 hệ toạ độ. Phép ánh xạ này tương đương với phép biến đổi hệ toạ độ thứ nhất sang hệ toạ độ thứ hai và được sử dụng rất phổ biến trong thiết kế. Thông thường, người ta sử dụng định nghĩa hệ toạ độ làm việc (còn được gọi là hệ toạ độ địa phương hay hệ toạ độ đối tượng) gắn liền với đối tượng thiết kế để đơn giản hoá việc thiết lập và nhập dữ liệu hình học. Phần mềm thiết kế sẽ ánh xạ (chuyển đổi) toạ độ được đo trong hệ toạ độ làm việc sang hệ toạ độ hệ thống trước khi lưu trữ trong hệ cơ sở dữ liệu hệ thống. Phép ánh xạ đóng vai trò quan trọng đối với cấu trúc lắp ghép, khi mỗi đối tượng (chi tiết hay bộ phận) được định nghĩa theohệ toạ độ hệ thống riêng và chúng cần được kết nối và quản lý trong hệ tọa độ hệ thống chủ.

Ví dụ, có thể đặt bài toán ánh xạ điểm từ một hệ toạ độ sang hệ toạ độ

thứ hai như sau: Cho trước toạ độ của điểm P xác định theo hệ toạ độ (x, y, z), hãy xác định toạ độ của điểm P theo hệ toạ độ (x’, y’, z’), sao cho thoả điều kiện

P’ = f(P, thông số ánh xạ) hay P’ = P.H, trong đó P: Vectơ vị trí của điểm P theo hệ toạ độ (x, y, z), P’: Vectơ vị trí của điểm P theo hệ toạ độ (x’, y’, z’),

H: Ma trận ánh xạ (1.42) mô tả vị trí tương đối của hệ toạ độ (x, y, z), so với hệ toạ độ (x’, y’, z’).

1.3.4. Khung tọa độ

Trên đây ta đã đề cập tới phép ánh xạ như sự thay đổi mô tả đối tượng hình học từ một hệ toạ độ sang hệ toạ độ thứ hai. Bây giờ ta sẽ đề cập đến phép ánh xạ như sự thay đổi hệ tọa độ.

Có thể mô tả phép biến đổi toạ độ (1.42) dưới hình thức hệ toạ độ chuyển động (Hình 1.6). Cho ih, jhvà kh là các vectơ chỉ hướng đồng nhất của hệ toạ độtham chiếuih= (1 0 0 1); jh= (0 1 0 1); kh= (0 0 1 1)

(1.46)

Áp dụng phép biến đổi (2.4) với các vectơ đồng nhất

i’h= ihH = (1 0 0 1) H = (n 1), (1.47a) j’h= jhH= (0 1 0 1) H = (o 1), (1.47b) k’h= khH=(0 0 1 1) H = (a 1).(1.47c) Kết quả trên nói lên rằng các vectơ trực giao n, o, a của ma trận biến đổi đồng nhất H trở thành vectơ trục của hệ toạ độ chuyển động (Hình 1.6) biến đổi theo (1.42).

Gốc hệ toạ độ chuyển động được xác định tương tự

P’h= (0 0 0 1) H = (txtytz1) = (t 1) (1.48)

Vì lý do này, ma trận biến đổi đồng nhất H được gọi là khung toạ độ.

Như vậy, phép biến đổi (1.42) chính là phép ánh xạ từ hệ toạ độ làm việc (hệ toạ độ địa phương hay hệ toạ độ chuyển động) sang hệ toạ độ hệ thống (hệ toạ độ cố định).

Hình 1.6. Phép biến đổi tọa độ dưới hình thức hệ tọa độ chuyển động Viết lại biểu thức (1.42) ta có P’h= Ph H hay Ph = P’h H-1, trong đó Ph = (r 1) = (x y z 1)

P’h = (r’ 1) = (x’ y’ z’ 1),

r(x, y, z) : vectơ toạ độ tương đối của điểm P so với hệ toạ độ làm việc,

r’(x’, y’, z’) : vectơ toạ độ tuyệt đối của điểm P so với hệ toạ độ tham chiếu (hệ toạ độ hệ thống).

1

0 0

0 0

0 ; 0

1 1

x y z x x x

x y z y y y

x y z z z z

x y z

n n n n o a

o o o n o a

H H

a a a n o a

t t t nt ot at



   

   

   

 

   

   

     

 

( x y z); ( x y z); ( x y z); (x y z) n n n n o o o o a a a a t t t t