6. Kết quả chính của luận văn
2.4. Đánh giá số chỉều fractal của tập hút
4 1 Trong phần này ta sẽ chứng minh tập hũt toàn cục S Ẩ đối với nửa nhóm Brusselator có số chiều Hausdorff và số chiều fractal là hữu hạn và ước lượng cận trên đối với các số chiều này.
4 2 Bổ đề sau [12, Chương 5] dựa trên lý thuyết của số mũ Lyapunov sẽ được sử dụng để ước lượng cận trên của số chiều Hausdorff và fractal của tập hút toàn cục Ỉ É .
4 3 Bổ đề 2.7. [12] Giả sử sd là tập hút toàn cục của nửa nhóm Brusselator {5 (í)}f > 0 trong H. Định nghĩa
4 4
4 5 ỏ đó Tr (A + F' (s (t) wo)) là vết của toán tử tuyến tính A + F' (s (t) wo) với F(w) là ánh xạ phi tuyến trong (2.5), và Qm (í) thay cho phép chiếu trực giao của không gian H trong không gian con được mỏ rộng bởi y i { t ) , ... , ym (í), v ớ i
4 6 y i ( t ) = L ( S ( t ) w0 ) Ẹ i , i = 1 , ... ,m.
4 7 ỏ đây F' ( s (t) Wo) là đạo hàm Frechet của ánh xạ F tại s Wo, (t) và L (s ( t) Wo) là đạo hàm Frechet của ánh xạ s ( t ) tại W Q , với t được cố định. Nếu có một số nguyên m sao cho qm < 0, khi đó số chiều Hausdorffva số chiều fractal của sể thỏa mãn, tương ứng
4 8 D H (A) < m, 2 qm (í) = 1
3 wsup0eA
4 qm = limsup^
(í),
4 9 Ẩ F (A) < M max ( 1 +
<2 M . 5 0 l < j < m - l ỵ qm J
5 1 Đầu tiên ta có thể thấy với bất kì t > 0, s ( t ) là khả vi theo nghĩa Fréchet
5 2 trong H và đạo hàm Fréchet tại Wo là toán tử tuyến tính bị chặn L ( S (í) Wo) và
5 3 //pf
5 4 L(5(í)w0)ệ - Y ( T ) = ( U ( t ) , v (0), với bất kì Ị = (Tf,ị) E H ,
5 5 ở đó ( U (í), V (í)) là nghiệm mạnh của phương trình biến phân Brusselator sau
5 6 d u _ d v
(2.44) = í/2AV - 2м (í) v ( t ) u — u2(í) y + b u ,
(2.45) ơ(0) = Tf, V(0) = ỗ.
5 7 Ở đây w ( T ) = (U ( T ), И ( T ) ) = S ( T ) Wo là nghiệm của phương trình tiến hóa Brusselator (2.5) với điều kiện ban đầu W (0) = Wo- Do giới hạn không gian, ta bỏ qua việc thử lại chi tiết của vấn đề này. vấn đề giá trị ban đầu (2.43), (2.44), (2.45) có thể được viết như sau
(2.46) ^ = ( A + F ' ( S { t ) w0) ) y,y(0) = Ẹ .
5 8 Chú ý rằng tính bất biến của S É kéo theo S Ẩ с B Q , ở đó B 0 là tập hấp thụ bị chặn đưa ra trong Bổ đề 2 .2 . Vì vậy ta có
5 9 sup ||5(í)w0|| <^0 , 6 0 W0£A
6 1 ở đó K O là hằng số dương đưa ra trong (2.20). Ở đây ta cần thêm tính chất của tập hút toàn cục á ể , nêu trong bổ đề tiếp theo.
6 2 Bổ đề 2.8. Giả sử là tập hút toàn cục của nửa nhóm Brusselator {5 (í))í > 0 trong H. Khi đó tồn tại một hằng số Kị > 0 sao cho
6 3 ||Vw | | 2 < K\, với bất kì w € sé.
(2.43) -=f- = dỉAU + 2и (í) V (í) и + и2(í) y - (b + 1) и, ot
6 4 C H Ứ N G M I N H . Trong (2.5), A : D ( A ) (= w) — > H là toán tử quạt dương và F € C F I P (E , H ). Do điều kiện nghiệm mạnh đã đưa ra trong phần 2.1, U
€ C ([0, rmax)\ H ) DL2 ([0, rmax) ;£), v ớ i bất kì w0 € .c/, có một T 0 E ^0,0 sao cho s ( T O ) W O € E . Vì Ỉ É c /í là compact và bất biến, S ( T ) Á Ể = S Đ , bởi lí thuyết nghiệm trong [9, Phần 4.7], ta có
6 5 (2.47)
S(-)woeC([ío,~],E)nCí0j((ío,~),£)nC((fo,~)>W)
6 6 0 — 1 cÓC( ’ 2 thay cho không gian của hàm liên tục mạnh với số mũ Yới bất kì
6 7 W € S Ể và bất kì t > 1 , đặc biệt có wo € S Ể sao cho W = S (í) wo, tập hũt toàn
6 8 cục có tính đều S É C E . Nhưng điều này không có nghĩa nói chung rằng S É
6 9 là tập hút bị chặn liên quan đến chuẩn của E .
7 0 Tiếp theo chúng ta chứng minh Á Ể là tập bị chặn trong E . Giả sử ngược
7 1 lại. Do có tồn tại chuỗi { N I } c (0,°o), với N I > L và {w/} c Ỉ É , sao cho 7 2 ||VW/||>ty, /=1 ,2 ,...
7 3 Giả sử € S Ẩ được đưa vào sao cho W I = S (N I ) W Ũ R Do (2.47), có một hằng SỐ HÕLDER CO > 0 SAO CHO
7 4 7 5 7 6 7 7 7 8 7 9 8 0 8 1 8 2 8 3
VS(í)wị’|2> [ N I , với t £ l ị = [ N i — \ , N Ị + ỉ V
2 j + Điều này cho thấy rằng
[Ni+\ _____ n 2
* VS(t)w? JN
,-I
d , T > N ì -7= I — > C oo
V y ỉ ĩ ) +
Điều này là vô lí vì, với bất kì wo € SỂ, do (2.9),
b2\£i\\ b z \ a
, khi oo.
\ B 2|*c.|
1 H ----7—, với bất kì T > 0, J t II V v ( 5 ) \ \ 2 d s < C l = ^-( K 0 +
và do (2.11)
nt-\- 1
\ d -2 d \
I <*1 f t + l _ 9 1
\ms)\\ d s < c2 2 = j - 3 K 0 - C \ y + 2a |fì|
8 4 8 5 8 6
8 7 với bất kì T > 0, ở đó Cị và C2 là các hằng số. Do đó, kết luận được chứng 8 8 minh.
8 9 Bây giờ chúng ta có thể chứng minh tính hữu hạn chiều của tập hút toàn cục.
9 0 Định lí 2.4.1. Tập hút toàn cục sẩ đối vối hệ Brusselator có số chiều Hausdorff và số chiều fractal hữu hạn.
9 1 C H Ứ N G M I N H . Do Bổ đề 2.7, chúng ta sẽ ư ớ c lượng T R ( A + F ' ( S ( T ) Wo)) o Q M (t).Tọì bất kì thời điểm T > 0, giả sử [ Q ) J (T) : j = 1,... ,m}
là MỘT cơ sở TRỰC GIAO H CỦA KHÔNG GIAN CON
9 2 Q M { T ) H = Span { ) > 1 (t) ,... , Y M (t)} ,
9 3 ở đó Y ( T ) = Cyi (T), . . . , Y M ( T ) ) thỏa mãn (2.46) với y(0) = § = (§!, 9 4 và không làm mất tính tổng quát ta giả định rằng {ệi,..., Ẹ M } là một tập hợp độc lập tuyến tính trong H .
9 5 Bởi quá trình trực giao hóa Gram-Schmidt, (Ọj (T) = (T) ,( P J (T) J € E 96 với j — 1, từ Ji (t) , ... ,ym (t) e E với T > 0, và <Pj (t) là đo được mạnh trong T.
Giả sử do = min {dị, ú?2}. Khi đó ta có
9 7 Tr ( A + F ’ ( S (T) Wo)) o Qm( T ) 9 8 m
9 9 E { A ( P J (T),(T)>+ £( F ’ { S { T) Wo) Ọ J (T), C P J (t))
1 0 0
< Ễ / 2|M(-T)| |v(-r)| (T)|2+ |<pj (T)| |<p?(-r)Q
□
(2.48
m
ở 5
1 0 1 CHƯƠNG 2. TẬP HÚT TOÀN CỤCĐỐl VỚI HỆ
BRUSSELATOR J2=Ế / “2(T) 1 0 2 - Ẻ / “2(т)|ф](т)| PjM
1 0 3 7=1 ^
1 0 4 và
1 0 5 J
3 = Ễ / (- (b + 1) I <р] M |2 + ^
< Ễ / b<P}(T:)4>j(T:)dx.
1 0 6 j=l n
1 0 7 Ta có thể ước tính một trong ba điều kiện như sau. Đầu tiên, do bất đẳng thức Hôlder suy rộng và phép nhúng Sobolev E L4 (£1) X L4 (£1), với N
<
3 và sử dụng Bổ đề 2.8, ta nhận được 1 0 8 (2.49)
1 0 9
1 1 0 7, <2 1 / НиМЫКт^Ц^Чт)
< 4 £ ||S(T)wollỉ* ||<Pj W||Ỉ4 < 4Ỗ Ể ||VS(ĩ)w0||2 Mil 1 1 1 j =1 j=l
1 1 2 <4^lỄl|<ÍP;W||Ỉ4, 1 1 3
1 1 4 ở đó ỗ là hệ số nhúng được đưa ra trong (2.39). Bây giò ta áp dụng bất đẳng thức nội suy Garliardo-Nirenberg, xem [9, Định lí В.З]
1 1 5 ||<Pllw^ <C||<pCmJ<p||è7ỡ, với Ẹ € ww’ô
(fì), với điều kiện P , Q , R > 1,0 < 6 < 1, và
1 1 6 --- K < 9 ( M ) — (1 — ỡ) -, ở đó и = ---dim il.
1 1 7 p V qj r
1 1 8 Ở đõyvới wfc’p (Ê2) = L4 (n), wm’ô (n)
= Яо1(£2) ,Lr (£2) = L2 (fí) và 0 =
1 1 9 n/4 < 3 /4 , từ (2.49) ta có điều sau
5
L
2
L
1 2 0 (2.50)từ II ( Ọ J (т) II = 1, ở đó С là hằng số. Thay (2.50) vào (2.49) ta thu được
(2.51) J \ < i ỗ K i C2 ||V<Pj (т)||*.
1 2 1 j = 1
1 2 2 Tương tự, bởi bất đẳng thức Hôlder suy rộng, ta có thể thu được (2.52) J 2 < Ỗ K I £ ||ft-(ĩ)||Ị T < S K ^ Ỵ ||vft-(ĩ)||‘.
1 2 3 j = 1
j = 1 1 2 4 Hơn nữa, ta có
(2.53) J ị < ỵ b \ \ ẹ j ( T) \ \ 2 = b m . 1 2 5 j = 1
1 2 6 Thay (2.51), (2.52) và (2.53) vào (2.48), ta thu được 1 2 7 Tr (A + F'CS № wo)) ° e-(T)<
< -doỄ |^(Т)||2 + 55^С2|; ||V<Ị>,.(ĩ)||‘ + ỉ,m.
1 2 8 j=l j=l
1 2 9 Bởi bất đẳng thức Young, với N < 3, ta có
1 3 0 5^с2£ ||V<Pj(T)||? < ||V^.(T)||2 + í:2Wm,
1 3 1 j=l j=l
1 3 2 ở đó K 2 (N ) là một hằng số chỉ phụ thuộc vào N = dim (£1). Vì vậy, 1 3 3 T R ( A + F ' ( S { T ) W 0 ) ) O Q M (T) < ậ Ê ||\797 -(т) | | 2 + (^2(ô) +
Ь)т.
1 3 4 z j=i
1 3 5 Theo bất đẳng thức Sobolev-Lieb-Thiring suy rộng [12, Phụ lục, Hệ quả 4.1], từ {<Pi (t) , • • • , (Ọm (t)} là một tập hợp trực chuẩn trong H, vì thế tồn tại một hằng số K3 > 0 chỉ phụ thuộc vào hình dạng và số chiều của £1, sao cho
1 3 6 m n
1 3 7 £||У,>,.(Т)||7 2 >*3^.
1 3 8 7=1
|ò|"
1 3 9 Do đó, có
5
1 4 0 TR{A + F' (S(T) Wo)) °QM (т) < - ^ ОКЗ2 m1 +" + (^2 (и) + B)M.
1 4 1 21Л1-
5
1 4 2 Khi đó ta có thể kết luận rằng
1 4 3 Q M (í) = sup € A sup ( Ị F T R ( A + F F ( S (t) w0)) O Q M (t) D X )
1 4 4 $€H \\i\\ = l \ t J 0 J 1 4 5 ỉ—1,"',m
< —\ M +] ằ + { K . 2 (n) + B ) M , với bất kỡ T > 0 , 1 4 6 2|fì|-
1 4 7 vì vậy
1 4 8 qm = limsupạ™ (í) < -mỉ+l+ (K2(n) + b)m < 0, 1 4 9 í->0°2|Í2|"
1 5 0 nếu số nguyên M thỏa mãn điều kiện sau,
1 5 1 (2.54) m - l < ( 2t e } * \+ b )) \ \
1 5 2 V d0K3 ) 1 1
1 5 3 Theo Bổ đề 2.7, ta đã chỉ ra rằng số chiều Hausdorff và số chiều fractal của TẬP HŨT TOÀN CỤC sẩ LÀ HỮU HẠN VÀ CẬN TRÊN CỦA CHÚNG ĐƯỢC CHO BỞI
1 5 4 №) < dp {■sể) < 2 m, 1 5 5 ở đó M thỏa mãn (2.54).
1 5 6 Do đó định lý đã được chứng minh cho nửa nhóm Brusselator.
□
5
<