các công thức tích phân và ứng dụng trong lí thuyết hàm nguyên

Trong giải tích phức các công thức tích phân có một vai trò quan trọng.. Các công thức này được sử dụng để nghiên cứu hàm nguyên, hàm phân hình, chỉ ra mối liên hệ của hàm nguyên và hàm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Lê Thanh Long

CÁC CÔNG THỨC TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TRONG LÍ THUYẾT HÀM NGUYÊN

Chuyên ngành : Toán giải tích

Mã số : 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS.ĐẬU THẾ CẤP

Thành phố Hồ Chí Minh - 2010

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là luận văn của tôi, do chính tôi làm

Tác giả luận văn

Lê Thanh Long

Trong giải tích phức các công thức tích phân có một vai trò quan trọng Các công thức này được sử dụng để nghiên cứu hàm nguyên, hàm phân hình, chỉ ra mối liên hệ của hàm nguyên và hàm phân hình với các không điểm và cực điểm của chúng

Vì vậy chúng tôi chọn đề tài này nhằm hệ thống lại các công thức tích phân thông dụng và một số ứng dụng của chúng

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận văn này là trình bày các công thức tích phân và ứng dụng vào lý thuyết hàm nguyên

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là các công thức tích phân và hàm nguyên

Phạm vi nghiên cứu: chứng minh các công thức tích phân và vận dụng vào lý thuyết hàm nguyên

4 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu

Lý thuyết hàm nguyên có nhiều ứng dụng trong toán học cũng như trong kĩ thuật

Cho hàm f(z) = u(x,y) +iv(x,y) với z= x+yi D với D là miền trong 

Hàm f được gọi là 2-khả vi tại z0 x0y i0 nếu các hàm hai biến thực u(x,y), v(x,y) khả vi tại

Hàm f xác định trong miền D , nhận giá trị trong  gọi là chỉnh hình tại z0D nếu tồn

tại r > 0 để f là  – khả vi tại mọi zB z r( , )0 D

Nếu f chỉnh hình tại mọi zD ta nói f chỉnh hình trên D Tập các hàm chỉnh hình trên D

kí hiệu A(D)

Nhận xét Ta có thể mở rộng định nghĩa trên tới trường hợp D là miền tùy ý trong  còn f là ánh

xạ từ D vào  như sau: khi z0 hữu hạn và f z( )0   ta nói f chỉnh hình tại z0 nếu 1

( )

f z chỉnh hình tại z0, còn khi z  0 ta nói f chỉnh hình tại z0 nếu f( )1

z chỉnh hình tại 0

Hàm chỉnh hình còn được gọi là hàm giải tích

Hàm chỉnh hình trên  được gọi là hàm nguyên

Giả sử f là hàm chỉnh hình trên miền D và z0D Khi đó với mọi chu tuyến  sao cho

D D ta có công thức tích phân Cauchy

0

0

( )2

( )2

Cho f là hàm liên tục trong miền đơn liên D và tích phân của f theo mọi chu tuyến nằm trong

D đều bằng 0 Khi đó f là một hàm chỉnh hình trên miền D

ii) Nếu f z( )0 z0 với z0 nào đó trong B(0,1) khác 0 thì f(z)=  z, trong đó   1

Cho tập con A của  và z  0 Ta gọi khoảng cách từ z0 đến A là ( , )0 inf 0

( )

!

k k

f z a

Từ định lí 1.1.12 ta có định nghĩa khác cho hàm nguyên: Hàm f(z) xác định trên , được biểu diễn dạng

0

n k

Nếu z0 là c- điểm thì bằng cách đặt f(z0) = c ta được hàm f chỉnh hình trên zz0 R Một

c – điểm với c0 gọi là điểm đều

Cho z0 là điểm bất thường cô lập của hàm f Khi đó

a) z0 là điểm bất thường cốt yếu ( ,f z0) 

b) z0 là -điểm 0( ,f z0) 

c) z0 là điểm đều ( ,f z0)0

d) z0 là 0-điểm ( ,f z0)0

Nếu z0 là -điểm thì số m = ( ,f z0) gọi là cấp của  - điểm z0; nếu z0 là 0 - điểm thì số

m = ( ,f z0) là bội của 0 - điểm z0

Định nghĩa 1.1.5

Giả sử z0 là điểm bất thường cô lập của hàm f Khi đó tồn tại R > 0 sao cho f chỉnh hình

trên hình tròn thủng 0  zz0 R Kí hiệu c là đường tròn tâm z0 bán kính  Ta gọi thặng dư

Hàm g trong định lí 1.2.1 gọi là logarit của hàm f, kí hiệu g log f Chú ý rằng logarit của một hàm là không duy nhất

Số phức w gọi là logarit của số phức z nếu e w  Kí hiệu tập tất cả các logarit của z là z Log z Ta có

L z z i zk  k  Đặt logzln z iargz

Định lí 1.2.3

Cho f là hàm chỉnh hình và f 0 trên miền đơn liên D Khi đó log f z( ) H D( )

Định lí 1.2.4

Nếu f U: 1U2 là toàn ánh chỉnh hình, U1, U2là tập mở trong  và h điều hoà trên U2 thì

h f điều hoà trên U1

 là cơ sở lân cận (của 0) trong X

Không gian lồi địa phương X gọi là không gian đếm được chuẩn nếu có tôpô xác định bởi một họ  đếm được chuẩn và thỏa mãn điều kiện tách : mọi x0, tồn tại p   sao cho p(x) > 0

z  , từ đó áp dụng định lí Cauchy với hàm chỉnh hình f( )2

r z

Nhân hai vế của (2.3) với 1

2sau đó trừ đi (2.4) ta được

2 2

2 0

1

2

i i

nên từ công thức Schwarz (2.1) ta có

2 2 2

2 0

1

2

i i

Cho hàm f chỉnh hình trên miền D trừ ra các điểm bất thường cô lập là các  - điểm của f

và  là chu tuyến không đi qua các không điểm và - điểm của f sao cho D  Khi đó D

    , trong đó N là số không điểm của f trong D (bội k được tính k lần ) và P là

số  - điểm của f trong D ( cấp k được tính k lần )

Chứng minh Hàm f '

f có các điểm bất thường cô lập là các 0- điểm và  - điểm của f Nếu

z = a là không điểm bội m thì f z( )z a m g z g z( ), ( )0, suy ra '( ) '( )

f z  za g z Vì g z ( ) 0

Chứng minh Nếu f (z) 0 trên đĩa z: z R thì log f (z) là hàm chỉnh hình trên đĩa

Định lí 2.1.6 (Công thức Poisson - Jensen)

Giả sử f là hàm phân hình f không đồng nhất bằng 0 trên z: z R và giả sử

(2.10) Chứng minh Xét trường hợp f không có không điểm và cực điểm trên đường

trònz: z R, trường hợp tổng quát ta xét hàm f(z)và cho   0

Giả sử f không có không điểm và cực điểm trong miềnz: z R thì áp dụng định lí

2 1

j

j j

R b

R b f

a f

2

(Re )1

2

it M

j

k j

f a

a f

 

2

2 1

 là chu tuyến ABCDEF bắt đầu tại z = il

R l

 

2

0 2

2

R i

Trước khi phát biểu và chứng minh định lí cơ bản thứ nhất của Nevanlinna, ta đưa ra một số

kí hiệu để viết công thức Jensen dưới dạng khác

x x x

Giả sử r1, r N là môđun các cực điểm b1, b N của f(z) trong z R Khi đó theo định nghĩa tích phân Stieljest ta có

j j

f  a  f t (2.17) Bây giờ ta đặt

Hàm T(R,f) được gọi là hàm đặc trưng Nevanlinna của f

Ta xét các tính chất đơn giản của hàm đặc trưng

Cho a1, ,a p là các số phức tuỳ ý thì

1 1

k k

k p

k k

p p

k k

Hiển nhiên rằng nếu f(z) là tổng hay tích của các hàm f k (z) thì bậc của cực điểm của f(z) tại z0 không

lớn hơn tổng bậc của cực điểm các hàm f k (z) tại z0 Từ đó ta có

p N

k k

p N

k k

trong đó ( , )a R log a log 2

Chứng minh Theo định nghĩa hàm T(r,f) ta có

Nếu cố định f , thay cho m R, 1 ,N R, 1 , ( ,n R 1 ), ( , )T R f

Trong mục này ta tiếp tục xem xét một số tính chất thông dụng của hàm đặc trưng

Chứng minh Thật vậy giả sử f là đa thức bậc p Khi đó f z( )  z pvới   0 nào đó và r đủ

lớn Suy ra T(r,f) = plogr+ O(1)

Ngược lại giả sử T(r,f) = plogr + O(1) Do định lí 2.2.2 ta có

logM f( )r  plogr hay M f( )r r p khi r đủ lớn

Theo bất đẳng thức Cauchy đối với đạo hàm

( ) p f

Định lí 3.1.1

Cho f là hàm nguyên khi đó

a) f là hàm hằng  là c- điểm của f

b) f là hàm đa thức  là - điểm của f

c) f là hàm siêu việt là điểm bất thường cốt yếu của f

Chứng minh

a) Nếu f là hàm hằng hiển nhiên  là c- điểm của f

Ngược lại nếu lim ( )

f z a z



 là một đa thức

c) suy ra từ a) và b) 

3.2 Cấp và kiểu của hàm nguyên

Chúng ta giới thiệu một số kí hiệu

Nếu h( r ) < g( r ) đúng với r đủ lớn thì chúng ta gọi là một bất đẳng thức tiệm cận và kí hiệu ( ) ( )

    Ta gọi  là cấp tăng (hay cấp) của

f (với quy ước inf   )

Nếu   thì f gọi là có cấp tăng hữu hạn, nếu    thì f gọi là có cấp tăng vô hạn

log log ( )log

n as

f

M r r

Vậy

log log ( )lim sup

log

f r

M r r

Ta gọi  là kiểu của hàm nguyên f Nếu 0   thì f gọi là có kiểu trung bình, nếu    thì f

gọi là có kiểu tối đa, nếu  0 thì f gọi là có kiểu tối thiểu

M r e xảy ra với r đủ lớn thì n

M r e   với mọi   0

Chứng minh Có thể coi giả thiết đúng với mọi n 0 Nếu z r thì

n n

e Ar

n e Ar n

n n

1log

n

n n

M r e  thực hiện với A=1 ta có ( )

as r f

n n

Vì với mọi hàm nguyên ta có limn 0

n

n c

1log

n

n n

n c

1log

n

n n

n c

Từ đó suy ra  Bởi vì  là số nguyên tuỳ ý,   nên ta có  

1log

n

n n

n c

n

n n c e





 

trong đó a a1, 2, là tất cả các nghiệm khác 0 của f(z), p, P z q( ) là đa thức của biến z bậc q

và m là số lần bội nghiệm 0 của f(z)

Chứng minh Từ công thức Poisson- Jensen ta có

2

2 0

log ( ) ,( ) log ( )

f

as f

Cho dãy  n , lim n

log

r

n r r

Chứng minh Kí hiệu K là số mũ hội tụ và lấy  K Do chuỗi

Số mũ hội tụ của dãy các không điểm của hàm nguyên không lớn hơn cấp tăng của nó

Chứng minh Do f chỉnh hình nên theo công thức Jensen

xảy ra, trong đó   ( ),   ( )là mật độ trên và mật độ dưới của dãy trong  với cấp , thì f(z) ≡ 0

Chứng minh Giả sử    ( ) e xảy ra Kí hiệu n r( )là hàm đếm của dãy  và đặt n(r) =

Nếu f không đồng nhất bằng 0 thì áp dụng công thức Jensen

as f

N r  M r O   r Suy ra

 , hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là e Lấy giá trị nhỏ nhất

vế phải theo biến  ta được    ( ) e, ta gặp mâu thuẫn Vậy f  0

Bây giờ giả sử   ( )  Với  0 ta có ( ) ( ) ( 2 )

as D

  , thì hệ là i k t

e đầy đủ trong không gian các hàm liên tục C , 

Chứng minh Nếu hệ không đầy đủ thì theo định lí F Riesz về dạng của phiếm hàm tuyến

tính trong không gian các hàm liên tục, tồn tại hàm( )t không là hàm hằng và có biến phân bị chặn

sao cho

suy ra 2 rO(1)  2rO(1),r , mâu thuẫn 

Sau đây ta xét đánh giá tích chính tắc

Cho  a n là dãy số phức, lim n

1 0

0 0

( ) log ( )

p p p

Cấp tăng  của tích chính tắc bằng với số mũ hội tụ của dãy các không điểm của nó

Chứng minh Giả sử p là số nguyên nhỏ nhất sao cho chuỗi 1

p

r

p p as p

M r r   q

Mặt khác theo định lí 3.4.3 1 và theo định lí Hadamard q mà không nguyên suy

ra q, vậy 1 

3.5 Sự đầy đủ của hệ hàm trong không gian đếm được chuẩn

Cho A(D) là không gian các hàm phức chỉnh hình trên miền đơn liên D Chúng ta chọn

dãy vét cạn các tập compact G G G1, 2, 3, ,G n trong D tức là với mọi m , G m G m1 và

1

m m

trong đó l là đường cong đóng bên ngoài D sao cho  là hàm chỉnh hình trên l và bên ngoài l

Chứng minh Theo tôpô sinh bởi chuẩn, phiếm hàm tuyến tính F f là liên tục nếu và chỉ  

nếu tồn tại số m  1 và một hằng số C sao cho

Do (3.3) hàm    tiến về hàm phức nào đó trên tập đóng \D’ Nếu   thì

  Mệnh đề ngược là hiển nhiên 

Bây giờ chúng ta vận dụng định lí 3.5.1 để nghiên cứu sự đầy đủ của dãy hàm n( )z F(n z) , trong đó F(z) là hàm nguyên và nlà dãy số phức Kết quả đầu tiên về tính đầy đủ của dãy hàm {F(n z)} đã được phát biểu bởi O Gelfond năm 1937 A I Markushevich đưa ra kết quả đầy đủ hơn

và   ( ) và  ( ) là mật độ trên và mật độ dưới của dãy với cấp 

Chứng minh Giả sử rằng dãy F(n z) không đầy đủ trong không gian

A( D), D = z z: R Theo định lí 3.5.1 tồn tại hàm  chỉnh hình bên ngoài đĩa z z: r, r <

R, ( )   0, không đồng nhất bằng 0 và thỏa

Suy ra kiểu của hàm  không lớn hơn r

Nếu dãy  thỏa mãn lim n

0

n n

b z

Do a  n 0với mọi n nên b  n 0với mọi n , vậy ( )z trùng 0, mâu thuẫn 

3.6 Đánh giá môđun trên và môđun dưới của hàm chỉnh hình

Cho hàm f z( ) u z( ) iv z( ) là hàm chỉnh hình trên đĩa z z: R

a) Bằng cách xét hàm – f(z), if(z) và –if(z) ta nhận được các đánh giá

tương tự, trong đó A( r ) thay bởi

min Re ( ), max Im ( ), min Im ( )

Trước tiên ta chứng minh định lí sau:

Định lí 3.6.3

Giả sử ( )r là hàm thực trên 0; R1 và giả sử

0 ( )r M , với 0 r R1 (3.8)

và

( ) ( )r C r

1, 2

r r thay cho r, R đồng thời trong (3.9) thì r1 thay R ta có

1 1 2 4

n n

Cho n  ta nhận được đánh giá cần thiết 

Bây giờ ta chứng minh định lí 3.6.3 (Định lí Schottky)

Giả sử g z1( )log ( ),f z g z2( )log(1 f z( ))

Các hàm này chỉnh hình trên z z: R Giả sử M r M r1( ), 2( ) lần lượt là maximum của các hàm

m m

Như vậy bất đẳng thức 3.15 cho ta

Bất đẳng thức này được chứng minh với giả thiết B r 1( ) 1

Trường hợp B r 1( ) 1 bất đẳng thức là hiển nhiên, bởi vì vế phải của nó không nhỏ hơn 1 Vậy thì trong mọi trường hợp bất đẳng thức (3.12) và (3.18) cho ta

2 1 1

1

( ) 32

Bởi vì K chỉ phụ thuộc vào g1(0)và g2(0) thì định lí được chứng minh 

Định lí Schottky dẫn đến định lí Picard sau về giá trị loại trừ của một hàm nguyên

Định lí 3.6.4 (Định lí Picard )

Hàm nguyên khác hằng số nhận mọi giá trị, trừ ra có thể một giá trị

Chứng minh Thật vậy giả sử tồn tại hàm nguyên f const không nhận hai giá trị khác nhau

Vậy f là hằng số trái giả thiết 

KẾT LUẬN

Từ các công thức tích phân, ta có thể chứng minh được nhiều định lí trong lý thuyết hàm chỉnh hình, hàm phân hình, cũng từ các công thức tích phân có thể tìm ra các kết quả mới cho lý thuyết hàm biến phức

Trong luận văn chúng tôi trình bày một số công thức tích phân và ứng dụng của chúng vào lý thuyết hàm nguyên và hàm chỉnh tổng quát Cụ thể chúng tôi đã xét cấp và kiểu của hàm nguyên, mật độ của dãy các không điểm của hàm nguyên Cuối cùng là đánh giá môđun trên và môđun dưới của hàm chỉnh hình, từ đó cho một chứng minh khác định lí Picard

Qua quá trình làm luận văn tôi đã thấy các kiến thức học được trong các môn học như: Giải tích phức nâng cao, Giải tích hàm nâng cao, Không gian véctơ tôpô,… đã giúp ích rất nhiều cho tôi trong việc hoàn thành luận văn này Bước đầu tôi đã học được phương pháp tự học và nghiên cứu

Tôi hy vọng sẽ được học tập và nghiên cứu thêm về đề tài này

TÀI LIỆU THAM KHẢO

 4 B.Ya Levin (1996), Lectures on entire functions, American Mathematical Society

 5 R Nevanlinna, V Paatero (1969), Introduction to complex Analysis, Addison – Wesley

Puplishing company