Lý thuyết tích phân và ứng dụng

1 Cơng trình hồn thành BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG XAYAPHET KEODAVANH Người hướng dẫn khoa học: TS CAO VĂN NUÔI Phản biện 1: GS TSKH Nguyễn Văn Mậu LÝ THUYẾT TÍCH PHÂN Phản biện 2: PGS TSKH Trần Quốc Chiến VÀ ỨNG DỤNG Luận văn ñược bảo vệ trước Hội ñồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ toán học họp Đại học Đà Nẵng, vào ngày… tháng …… Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp năm …… Mã số : 60.46.40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Có thể tìm hiểu tại: - Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng Đà Nẵng – Năm 2012 MỞ ĐẦU chứng tơi có xét vài trường hợp mở rộng ñể chứng tỏ lĩnh vực I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình tốn Lào, lý thuyết tích phân học từ phát triển xa mặt lý thuyết ứng dụng IV NỘI DUNG NGHIÊN CỨU lớp 10, 11, 12, nói lý thuyết tích phân đóng vai trò Nội dung nghiên cứu luận văn ñược giới hạn phạm quan trọng việc học giảng dạy mơn tốn Trong vi lý thuyết tích phân theo độ đo, khuyếch độ đo ứng dụng chương trình tốn bậc trung học, phần kiến thức tích phân chiếm tích phân vật lý Sau chúng tơi có ñưa số ví dụ cụ tỷ lệ lớn Trong q trình giảng dạy trường phổ thơng, tơi phát thể chương cuối để minh họa cho việc ứng dụng chúng đến thơng thường học sinh ñều cảm thấy lúng túng việc giải tốn bậc trung học phổ thơng giải tốn tích phân, tơi muốn nghiên cứu V Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI phần lý thuyết tích phân nhằm góp phần phục vụ cho cơng việc giảng 5.1 Ý nghĩa khoa học: Hệ thống kiến thức tiếp cận lý thuyết tích dạy trường phổ thơng Đó lý để tơi chọn để tài “Lý thuyết tích phân sử dụng tích phân vào việc giải số toán thực tế phân ứng dụng” làm luận văn tốt nghiệp thạc sĩ 5.2 Ý nghĩa thực tiễn: Đề tài hoàn thành trở thành tài liệu tham II PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU khảo bổ ích cho giáo viên, sinh viên trường ñại học, cao ñẳng Dựa vào ứng dụng sau đề tài nên chúng tơi sử dụng phương pháp giải vấn ñề thiên cách chứng minh toán sơ cấp Mặc dù vài tinh đặc biệt chúng tơi học sinh trường trung học phổ thơng, bạn u tốn VI CẤU TRÚC LUẬN VĂN Luận văn gồm chương với cấu trúc sau: mạnh dạn mở rộng vấn đề theo hướng tốn học đại • Mở đầu Phương pháp chủ yếu ñược sử dụng luận văn kết hợp • Chương 1: Độ đo dương kết có tài liệu chun khảo có liên quan đến đề tài • Chương 2: Lý thuyết tích phân liên hệ đến ứng dụng chương trình tốn phổ • Chương 3: Các ứng dụng tích phân thơng • Kết luận III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Đối tượng mà chúng tơi tập trung nghiên cứu lý thuyết tích phân ứng dụng chúng để giải tốn bậc phổ thong trung học dùng ñể giảng dạy cho sinh viên ñại học Ngoài Định lý 1.2.1 [ 2] Giả sử { X , X , , X n } phân hoạch Chương 1- ĐỘ ĐO DƯƠNG 1.1 TẬP HỢP Định lý 1.1.1 [ 2] Nếu A = n , |P tập S Khi ñó: S = X + X + + X n ( A) | = 2n Định lý 1.1.2 [ 2] Quan hệ bao hàm có tính chất sau - Phản xạ: Với tập A A ⊂ A - Phản đối xứng: Với tập A, B cho A⊂B B ⊂ A A = B • Hệ quả: A ∪ B = A + B − A ∩ B Định lý 1.2.2 [ 2] Cho tập A, B,C tập vũ trụ U, ta có: - Luật kết hợp: ( A ∪ B) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) ( A ∩ B) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) - Bắc cầu: Với tập A, BC , cho A ⊂ B B ⊂ C A⊂C 1.2 CÁC PHÉP TỐN TẬP HỢP Cho tập A B Ta ñịnh nghĩa phép tốn sau: • } • Phần bù: Cho tập X A ⊂ X Phần bù A (trong X ) tập ký hiệu C X ( A ) ñược xác ñịnh bởi: CX ( A) = X \ A Phép hợp: Hợp A B , ký hiệu A ∪ B tập ñược { xác ñịnh bởi: A ∪ B = x x ∈ A x ∈ B} • Phép giao: Giao A B , ký hiệu A ∩ B tập ñược { xác ñịnh bởi: A ∩ B = x x ∈ A x ∈ B} • A∪ B = B ∪ A phép hiệu: Hiệu A B , ký hiệu A \ B tập A \ B = { x x ∈ A x ∉ B • - Luật giao hoán: Phân hoạch tập hợp: Nếu A∩B=φ, ta nói A B rời Nếu tập X1, X2 , , Xn thỏa mãnvà chúng rời đơi một, ta nói { X , X , , X n } phân hoạch tập hợp A A∩ B = B ∩ A - Luật phân bố: A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C ) A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C ) - Luật bù kép (ñối hợp): A= A ) (trong ñó: A = U \ A - Luật ñối ngẫu De Morgan: A∪ B = A∩ B, A∩ B = A∪ B A1 ∪ A2 ∪ ∪ An = A1 ∩ A2 ∩ ∩ An A1 ∩ A2 ∩ ∩ An = A1 ∪ A2 ∪ ∪ An 1.3 CÁC CẤU TRÚC TRONG DẠI SỐ TẬP HỢP 1.3.1 Vành Boole (Boole, Boolean ring) Định nghĩa 1.3.1 [1] Một vành Boole (Boole, Boolean ring), tập hợp tập hợp ℜ Các tập hợp thỏa mãn A ∈ ℜ, B ∈ ℜ Định lý 1.4.3 [1] Nếu ε lớp đếm tập hợp, ℜ ( ε ) A ∪ B ∈ ℜ A \ B ∈ ℜ ñếm ñược Mệnh ñề 1.3.1 [1] cho ℜ vành Boole, φ ∈ ℜ , phép hiệu ñối xứng giao hai tập hợp đóng ℜ 1.3.2 Đại số Boole (Boolean algebra) Định nghĩa 1.3.2 [1] Một lớp tập hợp A ñược gọi ñại số Boole thỏa mãn: Định nghĩa 1.4.2 [1] Một lợp khơng rỗng S tập hợp gọi σ - vành thỏa mãn: a / Nếu E ∈ S F ∈ S E \ F ∈ S b / Nếu { En }n∈N ⊂ S UE n∈N n ∈S a / Nếu A ∈ ℜ B ∈ ℜ A ∪ B ∈ ℜ Định nghĩa 1.4.3 [1] Cho lớp tâp hợp ε , σ - vành nhỏ b / Nếu A ∈ ℜ Ac ∈ ℜ , ( Ac phần bù A ) chứa lớp ε ñược gọi σ - vành sinh lớp ε ñược ký hiệu Rõ rang đại số Boole vành Boole vì: ( ) c A \ B = A ∩ B c = Ac ∪ B σ ( ε ) Định lý 1.4.4 [1] Nếu ε lớp tập hợp E Mệnh ñề 1.3.2 [1] cho ℜ vành Boole tập X tập σ ( ε ) tồn lớp đếm ñược D ε Vành ℜ ñại số X ∈ ℜ cho E ∈ σ ( D ) 1.4 VÀNH SINH (generated ring), σ - VÀNH ( σ - ring ) Định nghĩa 1.4.1 [1] cho ε lớp tập hợp Vành nhỏ chứa ε ñược gọi vành sinh lớp ε ñược ký hiệu R ( ε ) Định lý 1.4.5 [1] Nếu ε lớp tập hợp tập X A tập X σ ( ε ) ∩ A = σ ( ε ∩ A ) 1.5 CÁC LỚP ĐƠN ĐIỆU (monotone classes) Định lý 1.4.1 [1] Nếu ε lớp tập hợp tồn vành 1.5.1 Giới hạn (the superior limit) sinh lớp ε R ( ε ) Định nghĩa 1.5.1 [1] Cho { En }n∈N dãy tập X , Định lý 1.4.2 [1] Nếu ε lớp tập hợp tập tập E ∗ gồm tất phần tử X thuộc En với vô hạn giá R ( ε ) ñược phủ họ hữu hạn tập ε trị n ñược gọi giới hạn dãy { En } ký hiệu: E ∗ = lim sup En n 10 1.5.2 Giới hạn (the inferior limit) Định nghĩa 1.5.2 [1] Cho { En }n∈N dãy tập X , tập Định nghĩa 1.6.1 [1] Ánh xạ µ : A → [ 0, +∞ ] ñược gọi ñộ ño dương σ - ñại số A với họ ñếm ñược tập ñôi E∗ gồm tất phần tử X thuộc En trừ số hữu hạn không giao { Ak }k∈N , Ak ∈ A với k ∈ N , ta có: giá trị n gọi giới hạn dãy { En } ký hiệu: µ  U  k∈N E∗ = lim inf En n Nếu xảy trường hợp E ∗ = E∗ ta ký hiệu E ∗ = E∗ = lim En n gọi giới hạn dãy { En }  Ak  =  ∑ µ (A ) k∈N k µ (φ ) = Định nghĩa 1.6.2 [1] Tập X với σ - ñại số A tập X độ đo dương µ A ba ( X , A, µ ) gọi khơng gian đo - Dãy tập hợp { En } ñược gọi tăng (ñồng biến) Định nghĩa 1.6.3 [1] Ta nói µ σ - hữu hạn X hợp En ⊂ En +1, ∀n ∈ N họ đếm tập có ñộ ño hữu hạn - Dãy tập hợp { En } ñược gọi giảm (nghịch biến) En +1 ⊂ En , ∀n ∈ N Một dãy tập hợp tăng giảm ñược gọi dãy ñơn ñiệu (monotone) Định nghĩa 1.5.3 [1] Một lớp không rỗng M tập ñược gọi ñơn ñiệu dãy ñơn ñiệu tập { En } M ta có lim En ∈ M n Định nghĩa 1.6.4 [1] Nếu với A∈ A thỏa mãn µ ( A) = với A' ⊂ A ta có: A' ∈ A, ta nói σ - đại số A µ − đủ (tức ñủ theo ñộ ño µ ) Định nghĩa 1.6.5 [1] Bộ ba ( X , A, µ ) gọi khơng gian có độ đo đủ, σ - hữu hạn µ độ đo dương σ - hữu hạn A µ − đủ Định nghĩa 1.5.4 [1] Lớp ñơn ñiệu nhỏ chứa lớp ε ñược gọi 1.7 CÁC TÍNH CHẤT CỦA ĐỘ ĐO CẢM SINH lớp ñơn ñiệu sinh lớp ε ñược ký hiệu M ( ε ) 1.7.1 Độ đo ngồi Định lý 1.5.1 [1] Một lớp ε σ - vành vành đơn điệu 1.6 ĐỘ ĐO; KHƠNG GIAN ĐO; ĐỘ ĐO ĐỦ; ĐỘ ĐO σ HỮU HẠN Định nghĩa 1.7.1.1 [1] Một lớp không rỗng tập hợp ε ñược gọi lớp di truyền với tập E ∈ ε F ⊂ E F ∈ ε 11 12 Định nghĩa 1.7.1.2 [1] σ - vành di truyền nhỏ chứa lớp ε Nếu µ (hồn tồn) σ - hữu hạn µ ∗ Độ đo ngồi gọi σ -vành di truyền sinh lớp ε ñược ký hiệu H ( ε ) µ ∗ ñược gọi cảm sinh ñộ ño µ Định nghĩa 1.7.1.3 [1] Một hàm tập µ ∗ có giá trị tập số thực mở 1.7.2 Các tập ño ñược rộng, xác ñịnh lớp ε ñược gọi là: Định nghĩa 1.7.2.1 [1] Cho µ ∗ độ đo ngồi σ - vành di - Dưới cộng tính với tập E ∈ ε , F ∈ ε E ∪ F ∈ ε truyền H Một tập E ∈ H ñược gọi µ ∗ đo với tập thì: µ ∗ ( E ∪ F ) ≤ µ ∗ ( E ) + µ ∗ ( F ) A ∈ H , ta có: µ ∗ ( A) = µ ∗ ( A ∩ E ) + µ ∗ A ∩ E c ( - Dưới công tính hữu hạn với hữu hạn tập E1 , E2 , , En  n n  n  i =1 i =1  i =1 - σ - cơng tính (dưới cộng tính đếm ñược) với dãy tập { Ei } mà n UE ∈ ε i =1 i  ∞ ∞  E  ≤ ∑ µ ( E ) U   thì: µ ∗  i =1 i ∗ i =1 i - Đơn ñiệu E ∈ ε , F ∈ ε E ⊂ F µ ( E ) ≤ µ ( F ) Định nghĩa 1.7.1.4 [1] Một hàm tập µ ∗ nhận giá trị tập số thực mở rộng, xác ñịnh σ - vành di truyền H ñược gọi độ đo ngồi khơng âm, đơn điệu, σ - cộng tính µ ∗ (φ ) = Định lý 1.7.1.1 [1] Nếu µ ñộ ño vành ε với ∞ tập E ∈ H ( ε ) đặt: µ ∗ ( E ) = inf ∑ µ ( Ei ) : Ei ∈ ε ,  i =1 E c phần bù E Định lý 1.7.2.1 [1] Nếu µ ∗ độ đo ngồi σ - vành di µ ∗  U Ei  ≤ ∑ µ ∗ ( Ei ) U Ei ∈ ε thì: ) ∞  ∀i : E ⊂ UEi  i =1  Thì µ ∗ ñộ ño H ( ε ) mở rộng µ truyền H S lớp tất tập µ ∗ - đo S vành Định lý 1.7.2.2 [1] Nếu µ ∗ độ đo ngồi σ - vành di truyền H S lớp tất tập µ ∗ đo được, S σ - vành Nếu A ∈ H { En } dãy rời tập S với ∞ ∞ n =1 n =1 U En = E , thì: µ ∗ ( A ∩ E ) = ∑ µ ∗ ( A ∩ En ) Định lý 1.7.2.3 [1] Nếu µ ∗ độ đo ngồi σ - vành di truyền H S lớp tất tập µ ∗ - đo được, tập có độ đo ngồi thuộc vào S hàm tập µ xác định S cho µ ( E ) = µ ∗ ( E ) , ∀E ∈ S ñộ ño ñủ S 13 14 Độ đo µ gọi độ đo cảm sinh độ đo ngồi µ ∗ Độ đo µ Định lý 1.8.1 [1] Nếu µ ñộ ño σ - hữu hạn vành ε , tồn hạn chế độ đo ngồi µ ∗ S ñược ký hiệu µ = µ ∗ ñộ ño µ σ - vành σ ( ε ) cho µ = µ Định lý 1.7.1 [1] Mọi tập σ ( ε ) tập µ ∗ ño ñược Định lý 1.8.2 [1] Cho µ ñộ ño σ - vành K ñặt: S Định lý 1.7.2 [1] Nếu E ∈ H ( ε ) thì: { } = inf {µ ( F ) : E ⊂ F ∈ σ ( ε )} µ ∗ ( E ) = inf µ ( E ) : E ⊂ F ∈ S ε K = { E ∆N : E ∈ K , ∃B ∈ K , N ⊂ B, µ ( B ) = 0} Khi K σ - vành hàm tập µ xác định µ ( E ∆N ) = µ ( E ) độ đo đủ K Nghĩa là, độ đo ngồi cảm sinh µ σ ( ε ) độ đo ngồi Định lý 1.8.3 [1] Nếu µ độ đo σ - hữu hạn vành ε µ ∗ cảm sinh µ S trùng độ đo ngồi cảm sinh độ µ tính đủ độ đo mở Định nghĩa 1.7.1 [1] Tập F∈σ ( ε ) ñược gọi phủ ño ñược rộng µ σ ( ε ) đồng với tính đủ µ ∗ lớp tất tập E∈H ( E) tập G ∈σ ( ε ) mà G ⊂ F \ E µ ( G ) = tập µ ∗ - đo Định lý 1.7.3 [1] Nếu tập E ∈ H ( ε ) có độ đo ngồi σ - hữu hạn tồn phủ ño ñược F ( ε ) ∈ σ ( ε ) cho: µ∗ ( E) = µ( F) Định lý 1.7.4 [1] Nếu F1 , F2 phủ ño ñược E ∈ H ( ε ) µ ( F1∆F2 ) = , F phủ đo E µ ∗ ( E ) = µ ( F ) Định lý 1.7.5 [1] Nếu độ đo µ σ - vành ε σ - hữu hạn µ σ (ε ) µ S σ - hữu hạn 1.8 KHUYẾCH , ĐẦY ĐỦ VÀ XẤP XỈ MỘT ĐỘ ĐO Định lý 1.8.4 [1] Nếu µ độ ño σ - hữu hạn vành ε , với tập E có độ đo hữu hạn σ ( ε ) với số dương ε , tồn tập E0 ∈ ε cho µ ( E ∆E0 ) ≤ ε 1.9 ĐỘ ĐO TRONG (Inner measures) Định lý 1.9.1 [1] Nếu E ∈ H ( S ) , thì: { µ∗ ( E ) ≤ sup µ ( F ) : E ⊃ F ∈ S } (1.12 ) Mặt khác ñịnh lý 2.3.1 với F ∈ S tồn tập G ∈ S cho G ⊂ F µ ( F ) = µ ( G ) Nên: 15 { 16 } sup µ ( F ) : E ⊃ F ∈ S = sup {µ ( G ) : E ⊃ G ∈ S} = µ∗ ( E ) Định lý 1.9.8 [1] Nếu E ∈ S với tập A ⊂ X có: (1.13) µ ( A ∩ E ) + µ ∗ ( Ac ∩ E ) = µ ( E ) Từ ( 2.3.1) ( 2.3.2 ) suy ñiều phải chứng minh 1.10 ĐỘ ĐO LEBESGUE (Lebesgue measure) Định nghĩa 1.9.1 [1] Tập F ∈ S ñược gọi hạt nhân ño ñược Định lý 1.10.1 [1] Mỗi tập đếm ℜ tập Borel có ñộ tập E∈H ( S ) F ⊂Evà tập G ∈S mà G ⊂ E \ F µ ( G) = ño khong (tập A gọi có độ đo khơng µ ( A ) = ) Định lý 1.9.2 [1] Mọi tập E ∈ H ( S ) có hạt nhân ño ñược Định lý 1.10.2 [1] Gọi u lớp tất tập mở rộng ℜ dó: σ ( P ) = σ (u ) Định lý 1.9.3 [1] Nếu E ∈ H ( S ) F hạt nhân ño ñược E µ ( F ) = µ∗ ( E ) , F1 F2 ñều hạt nhân ño ñược Định lý 1.10.3 [1] Nếu E ⊂ ℜ thì: µ ∗ ( E ) = inf {µ (U ) : E ⊂ U ∈ u} E µ ( F1∆F2 ) = Định lý 1.10.4 [1] Nếu T hàm từ ℜ ñược xác ñịnh Định lý 1.9.4 [1] Nếu {En } thì: µ∗  U En  ≥ ∑ µ∗ ( En )  dãy tập rời H ( S ) ∞  n =1  ∞  n =1 T ( x ) = ax + β , α ∈ ℜ, β ∈ ℜ α ≠ , thì: µ ∗ ( E ) = α µ ∗ ( E ) µ∗ (T ( E ) ) = α µ∗ ( E ) Định lý 1.9.5 [1] Nếu A ∈ H ( S ) { En } dãy tập rời ∞ với (The Theory of the Integral) ∞ UE n =1 Chương 2- LÝ THUYẾT TÍCH PHÂN n = E thì: µ∗ ( A ∩ E ) = ∑ µ∗ ( A ∩ En ) n =1 Định lý 1.9.6 [1] Nếu E ⊂ S µ ∗ ( E ) = µ∗ ( E ) = µ ( E ) Ngược lại E ∈ H ( S ) µ ∗ ( E ) = µ∗ ( E ) < ∞ E ∈ S Định lý 1.9.7 [1] Nếu E ∈ H ( S ) F ∈ H ( S ) E ∩ F = φ thì: µ ( E ∪ F ) ≤ µ∗ ( E ) + µ ∗ ( F ) ≤ µ ∗ ( E ∪ F ) 2.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ KHÁI NIỆM Định nghĩa 2.1.1 [3] Nếu f ño ñược khơng âm khơng gian đo ( χ :F: µ ) tích thân f theo độ đo µ ñược xác ñịnh sau: ∫ f ( x )µ ( dx ) = lim ∫ f ( x ) µ ( dx ) Suy ra: n n lim ∫ f n ( x ) µ ( dx ) = lim ∫ g m ( x ) µ ( dx ) n m 17 18 Định nghĩa 2.1.2 [3] Tích phân bất định hàm đo f v ( E ) = lim ( E ) λ ( E ) = lim λn ( E ) n n hàm tập xác ñịnh lớp tập ño ñược E v ( E) = ∫ f ( x)µ ( dx) Thì hàm tập v λ trùng Định nghĩa 2.1.3 [3] Với f hàm ño ñược ta ñặt f + = max ( f ;0 ) Định lý 2.1.5 [3] Nếu f −1 = − ( f ;0 ) trung bình tới f E Giả sử (∫ f + ) µ ( dx ) : ∫ f −1µ ( dx ) < ∞ , ta xác định tích phân f theo độ đo bởi: f ( x)µ( dx) = f ∫ ( x) µ( dx) −∫ f ( x)µ( dx) ∫ + − { f n } hàm { f n } dãy theo trung bình hàm ñơn giản khả tích tích phân bất ñịnh f n , n ∈ N a / Nếu f hàm ño ñược c số thì: ∫ c f ( x )µ ( dx ) = c.∫ f ( x )µ ( dx ) b / Nếu f g hàm đo f ≤ g thì: ∫ f ( x )µ ( dx ) ≤ ∫ g ( x )µ ( dx ) Định lý 2.2.2 [3] v ( E ) = lim ( E ) Tồn với tập ño ñược E hàm tập v có a / Nếu ∫ f ( x )µ ( dx ) tồn giá trị hữu hạn cộng tính đếm ( σ cộng tính) b / Nếu n Định lý 2.1.3 [3] Nếu { fn } dãy theo trung bình hàm khả tích tích phân bất định f n , n ∈ N hàm tập ∫ f ( x ) µ ( dx ) ≤ ∫ f ( x ) µ ( dx ) ∫ f ( x )µ ( dx ) tồn ∫ f ( x ).χ ( x ) µ ( dx ) tồn A với A ∈ χ ; f ( x )µ ( dx ) hữu hạn f ( x ).χ A ( x ) µ ( dx ) ∫ ∫ hữu hạn c / Nếu f g hàm đo khơng âm hay liên tục tuyệt ñối ñều Định lý 2.1.4 [3] Nếu f theo ñộ ño Định lý 2.2.1 [3] khả tích dãy hàm theo ñộ ño Định lý 2.1.2 [3] Nếu { f n } hội tụ tới 2.2 CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN Dãy theo trung bình hội tụ theo độ đo Định lý 2.1.1 [3] Một dãy hàm theo trung bình { f n } dãy hàm khả tích hội tụ theo { fn } {gn } dãy hàm theo trung bình hàm đơn giản khả tích hội tụ theo độ đo tới giới hạn hàm ño ñược f λn tích phân bất ñịnh f n g n Với tập ño ñược E , ta ñặt: ∫ f ( x ) µ ( dx ) < ∞ ∫ g ( x ) µ ( dx ) < ∞ thì: ∫  f ( x ) + g ( x ) µ ( dx ) = ∫ f ( x )µ ( dx ) + ∫ g ( x )µ ( dx ) Định lý 2.2.3 [3] Nếu f hàm khả tích khơng âm hẩu khắp 19 20 ∫ f ( x )µ ( dx ) = nơi, diều kiện cần đủ để • f = a e cho: ∀n ∈ N , f n ≤ ϕ (giả thiết bị chặn) Định lý 2.2.4 [3] Nếu f hàm khả tích dương hầu khắp nơi Thì: tập đo E f ( x )µ ( dx ) = , µ ( E ) = ∫ • E Định lý 2.2.5 [3] Nếu f hàm khả tích cho ∫ f ( x )µ ( dx ) = lý 2.2.6 [3] Nếu f { hàm khả tích } tập N ( f ) = x : f ( x) ≠ Với n thuộc N , f n khả tích I • f khả tích I • ∫ f ( x )dx → ∫ f ( x ) dx F với tập đo f , f = hầu khắp nơi Định Có ϕ : I → ℜ liên tục khúc, khơng âm khả tích I I n →∞ n I Mệnh ñề 2.4.1 [ 4] Cho dãy ánh xạ ( f n : I → K )n∈N Nếu: • Với n thuộc N , f n liên tục khả tích I có độ đo σ -hữu hạn • ( f n )n∈N 2.3 ĐÃY CÁC HÀM KHẢ TÍCH (Sequences of integrable function) • I bị chặn Định lý 2.3.1 [ 4] Nếu { fn } dãy hàm theo trung bình hàm đơn giản khả tích hội tụ Theo độ đo tới hàm khả tích f thì: ρ ( f , f n ) = ∫ f ( x ) − f n ( x ) µ ( dx ) → n → ∞ Định lý 2.3.2 [ 4] Nếu { f n } dãy hàm khả tích tồn hàm khả tích f cho ρ ( f n , f ) → ( f n : I → ℜ )n∈N Thì: • f liên tục khả tích I • ∫ f ( x ) dx → ∫ f ( x ) dx I n →∞ n I 2.5 HỘI TỤ ĐỀU VÀ LẤY TÍCH PHÂN TRÊN MỘT ĐOẠN Định lý2.5.1 [ 4] Giả sử ( a, b ) ∈ ℜ2 cho a ≤ b ∑( f : [a; b] → E) n≥0 chuỗi ánh xạ Nếu: 2.4 ĐỊNH LÝ VỀ HỘI TỤ BỊ CHẶN Cho dãy ánh xạ hội tụ ñều I ñến ánh xạ ký hiệu f Nếu: • Với n thuộc N , f n liên tục khúc I • ( f n )n∈N • f liên tục khác I hội tụ ñơn I ñến ánh xạ ký hiệu f • Với n ∈ N , f n liên tục [ a; b ] • ∑f n≥0 Thì: n hội tụ [ a; b ] n 21 • +∞ ∑f n =0 • • b a n≥0 f n ( x ) dx +∞   ∫  ∑ f ( x )  dx = ∑ ∫ a n=0 n n=0 b a b hội tụ chuẩn tắc [ a; b ] Khi đó, +∞ ∑f n =0 a ∑ n ≥0 ( ak )0≤k ≤ N ∑ ( f : [ a; b ] → E ) n≥0 f n hội tụ ℜ , ∑f n =0 n ( ) ∫ g(t) dt b ) n∈N ∀x ∈]0; +∞[ , ∫ ϕ ( t )e dt = ∑λk ∫ a ánh xạ bậc thang [ a; b ] Định lý 3.1.2 [5] Với ánh xạ f : [ a; b ] → E lien tục, có dãy n n∈N b−a Ký hiệu bk+1 ak k=0 eixak+1 − eixak e dt = ∑λk ix k=0 N−1 ixt N −1 ixt Trong đó: M = Max λk Vì N cổ định nên có x0 ∈ ]0; +∞[ 0≤ k ≤ N cho : ∀x ∈ ] x0 ; +∞[ , ta có: ∫ f (t ) e b ixt a ánh xạ afin khúc liên tục, hội tụ NM ≤ ε Khi đó, với x thuộc [ x0 ; +∞[ x dt ≤ ∫ ( f (t ) − ϕ (t )) e b a ≤ (b − a ) f − ϕ tụ ñến f [ a; b ] ( ϕ : [ a; b ] → E ) ε a Định lý 3.1.1 [5] Với ánh xạ f : [ a; b ] → E liên tục khúc, ( ≤ eixak +1 − eixak NM ≤ Từ ñó : ∀x ∈ ]0; +∞[ , ∫ ϕ ( t ) e dt = ∑ λk a x x k =0 Chương 3- CÁC ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN có dãy en : [ a; b ] → E ta có: N−1 ixt b n =0 Nhắc lại, nhận xét với g ∈C [ a;b] , E , ta kýhiệu: g = N1 ( g) = ∞ mọt phần hoạch [ a; b ] tương thích với ϕ λk b +∞ ≤ ∑ fn dt  → Cho ε > Theo định lý 3.1.1, có x →+∞ giá trị ϕ ]ak ; ak +1 [ với k thuộc {0, , N − 1} Khi đó, n +∞ n ixt ánh xạ bậc thang ϕ : [ a; b ] → N cho f − ϕ f n ( x ) dx Mệnh ñề 2.5.1 [ 4] Cho chuỗi ánh xạ liên tục liên tục [ a; b ] ∫ f ( t )e ) hội tụ E +∞ b Cho f : [ a; b ] → C liên tục khúc liên tục [ a; b ] n ∑(∫ 22 ∞ ixt dt + ∫ ϕ (t ) e b a ixt dt + ε ≤ 2ε Vậy, ta ñã chứng minh: ∀ε > 0, ∃x0 ∈ ]0; +∞[ , ∀x ∈ ] x0 ; +∞[ , ∫ f ( t )e ∫ f (t ) e b a ixt dt ≤ ε ñều ñến f [ a; b ] Tức là: 3.1 ĐỊNH LÝ RIEMANN-LEBESGUE TRÊN MỘT ĐOẠN 3.2 ĐỊNH LÝ RIEMANN-LEBESGUE TRÊN MỘT KHOẢNG b ixt a Bồ ñề Lebesgue: dt  →0 x →+∞ 23 24 Cho ( a, b ) ∈ ℜ2 cho a ≤ b, f : [ a; b ] → C liên tục khúc ∫ f ( t )e b Khi ñó: a iλ t dt  →0 λ →+∞ ∫ a hiệu: ∫ b f a [ a; b] c/ Cuối cùng, cho f : [ a; b ] → C liên tục khúc, cho ε > , có ánh xạ bậc thang e : [ a; b ] → C cho f − e ta có: ∀λ ∈ℜ+ , ∫ b a < ε Khi ∞ ( f ( t ) − e ( t ) ) eiλt dt ≤ ∫ f ( t ) − e ( t ) dt ≤ ( b − a) ε b  ∫ e( t ) e b a iλt dt ≤ ε   ∫ a ∫( b a ) ∫ f ( t ) − e ( t ) eiλt dt + b a e ( t ) eiλt dt Nó chứng tỏ λ →0 λ ∫ f ( t )e dt  a ∫[ hay: a ,b ] f hay: b b a a i t →+∞ 3.3 TÍCH PHÂN TRÊN MỘT ĐOẠN MỘT ÁNH XẠ LIÊN TỤC TỪNG KHÚC Mệnh ñề 3.3.1 [ 4] Cho f : [ a, b ] → ℜ , liên tục khúc Các ∫ f ( x )dx b a f = Sup ϕ∈E ( a ,b ) ϕ ≤≤ f n −1 Số thực ∑ (a i =0 i +1 (∫ ϕ ) = b a Inf ψ ∈E ( a ,b ) f ≤ψ (∫ ψ ) b a − )λi khơng phụ thuộc phân hoạch s tương tích với e số thực gọi tích phân e [ a, b ] ñược ký ∫ b a e hay ∫ e ( x )dx b a 3.4 Các tịnh chất ñại số Mệnh ñề 3.4.1 Ánh xạ CM  →ℜ dạng tuyền tính, b fa ≤ (1 + ( b − a ) ) ε b a e , với i ∈ {0, , ( n − 1)} , λi giá trị e ]ai , +1 [ hiệu Vậy với λ ∈ ℜ+ cho λ ≥ λ0 , ta có: f ( t ) eiλt dt ≤ a Mệnh ñề 3.3.2 Cho e ∈ E ( a, b ) , s = ( )0≤i ≤ n ∈ S , tương thích với a Mặt khác, có ∀λ0 ∈ ℜ+ cho: ∀λ ∈ℜ+ , λ ≥ λ0 ⇒ b b ∫ f ( x )dx = ∫ b/ sử dụng hệ thức Chasles , suy từ tính chất ñúng f hàm bậc thang b Ta gọi biên chung tích phân f (trên [ a, b ] ) ký ei λ b − e i λ a ≤ → iλ λ λ →+∞ eiλt dt = {∫ ϕ;ϕ ∈ E ( a,b) ,ϕ ≤ f } {∫ ψ ;ψ ∈E ( a,b) , f ≤ψ} theo thứ tự biên Biên ℜ , biên a/ Tính chất tức khắc f = , vì: b phận ℜ : ∫a f ( x )dx nghĩa là: ∀( f , g) ∈( CM )2 ∀λ ∈ℜ, ∫ ( λ f ( x) dx + g ( x) dx) = λ∫ f ( x) dx + ∫ g ( x) dx b b b a a a 3.5 CÁC ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG VẬT LÝ 3.5.1 Tích phân mặt ur Định nghĩa 3.5.1.1 [5] Giả sử D compăc ℜ F : D→ℜ3 25 26 lớp tham số hóa thuộc lớp C1 f : D → ℜ ánh xạ uuur ñiểm G thuộc ℜ3 xác ñịnh bởi: OG = thuộc lớp C1 Ta gọi tích phân kép: ∫∫ D ur ur ∂F ∂F ∧ f ( u, v ) dudv ∂u ∂v uuuur σ ( M)OMdS ∫∫ µ( S,σ ) S 3.5.5 Moment quán tính ghềnh tích phân mặt Định nghĩa 3.5.5.1 [5] Giả sử H ñường thẳng mặt phẳng ℜ3 , với M thuộc ℜ3 ta ký hiệu d ( M , H ) 3.5.2 Diện tích phần mặt khoảng cách từ M ñến H Moment quán tính ghềnh Định nghĩa 3.5.2 [5] Giả sử S mặt có biểu diễn tham số ( S,σ ) ñối với H số thực IH xác ñịnh bởi: IH = ∫∫sσ ( M) ( d ( M, H) ) ur F : D → ℜ3 thuộc lớp C1 Ta gọi số thực ký hiệu là: ur ur ∂F ∂F diện tích S A ( S ) = ∫∫ ∧ dudv D ∂u ∂v dS , Trong M chạy S dS yếu tố diện tích S KẾT LUẬN 3.5.3 Khối lượng ghềnh Định nghĩa 3.5.3.1 [5] Ta gọi, số thực µ xác định tích phân mặt: µ = ∫∫ σ ( M )dS , S M điểm chạy S dS yếu tố diện tích, khối lượng ghềnh ( S , σ ) ur ℜ3 Như vậy, S có biểu diễn tham số F : D → ℜ3 ( u ,v ) a F ( u ,v ) ( ur µ = ∫∫ σ F ( u, v ) D hợp cách chặc chẽ Luận văn ñã thực ñược nội dung sau: Trình bày cấu trúc tập hợp σ - vành, σ - đại số, vành đơn điệu… Trình bày lý thuyết ñộ ño vấn ñề liên quan Trình bày lý thuyết tích phân ứng dụng chúng khối lượng ( S , σ ) Sẽ là: Luận văn trình bày lý thuyết tích phân dựa lý thuyết tập ) ur ur ∂F ∂F ∧ dudv ∂u ∂v 3.5.4 Tâm quán tính ghềnh Định nghĩa 3.5.4.1 [5] Tâm quán tính ghềnh ( S , σ ) Thời gian thực luận văn có hạn nên nhiều vấn đề sâu sắc chưa đề cập chắn khơng tránh khỏi kiếm khuyết, chúng tơi mong nhận đóng góp ý kiến q thầy giao ñồng nghiệp  ... - vành, σ - ñại số, vành ñơn ñiệu… Trình bày lý thuyết độ đo vấn đề liên quan Trình bày lý thuyết tích phân ứng dụng chúng khối lượng ( S , σ ) Sẽ là: Luận văn ñã trình bày lý thuyết tích phân. .. thống kiến thức tiếp cận lý thuyết tích dạy trường phổ thơng Đó lý để tơi chọn để tài ? ?Lý thuyết tích phân sử dụng tích phân vào việc giải số toán thực tế phân ứng dụng? ?? làm luận văn tốt nghiệp thạc...3 MỞ ĐẦU chứng tơi có xét vài trường hợp mở rộng ñể chứng tỏ lĩnh vực I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình tốn Lào, lý thuyết tích phân học từ phát triển xa mặt lý thuyết ứng dụng IV NỘI DUNG