LI THUYET TICH PHAN VA UNG DUNG

Nghiên cứu lí thuyết tích phân và ứng dụng của nó. Luận văn có thể thu hẹp xuống áp dụng mạnh mẽ vào tích phân ở phổ thông. Là tài liệu tham khảo chuyên sâu về tích phân dành cho giáo viên muốn tìm hiểu sâu sắc về phần này

LỜI MỞ ĐẦU

Trong thực tiễn cuộc sống cũng như trong khoa học kĩ thuật, người ta cần phảitính diện tích của những hình phẳng cũng như thể tích của những vật thể phức tạp.Trước khi phép tính tích phân ra đời, với mỗi hình và mỗi vật thể như vậy người ta lạiphải nghĩ ra một cách để tính Sự ra đời của tích phân cho chúng ta một phương pháptổng quát để giải hàng loạt những bài toán tính diện tích, thể tích nói trên

Phép tính tích phân do hai nhà bác học lớn là Newton (1643-1727)- ngườiAnh và Leibnitz (1646-1716) - người Đức sáng tạo ra đồng thời và độc lập vớinhau Thực ra đây là một cuộc chạy tiếp sức của nhiều thế hệ các nhà bác học xuấtsắc trong nhiều thế kỉ Trước Newton và Leibnitz 2000 năm, nhà bác họcArchimedes đã có ý tưởng đầu tiên về phép tính tích phân Sau ông, nhiều nhà toánhọc khác cũng tham gia mở đường cho sự ra đời của tích phân, trong đó phải kể đếnnhững đóng góp xuất sắc của các nhà khoa học như: Kepler, Caralier, Fermat,Barrow

Tuy nhiên, trong bản luận văn này, do thời gian có hạn nên chúng tôi chỉhạn chế trong vấn đề nghiên cứu tích phân đối với những hàm bị chặn và trên mộtkhoảng đóng

Bản luận văn gồm có 2 chương

Chương 1: Lí thuyết tích phân

Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày cách xây dựng tích phân Riemann,các điều kiện khả tích, các lớp hàm khả tích, các tính chất cơ bản của tích phân xácđịnh và công thức Newton – Leibnitz Ngoài ra, còn phát biểu và chứng minh bấtđẳng thức Cauchy – Schwarz

Chương 2: Ứng dụng của tích phân xác định

Nội dung ở chương này là chúng tôi chứng minh một số định lí quan trọng,

từ đó áp dụng giải một số bài tập tìm giới hạn của dãy cho bởi số hạng tổng quát

Để hoàn thành đề tài này, tuy bản thân đã có nhiều nỗ lực và cố gắng songkhông thể tránh khỏi những sai sót, vì vậy tôi rất mong nhận được những ý kiếnnhận xét, góp ý, chỉ bảo của quý thầy cô giáo và những ý kiến, góp ý của các bạn.Tôi xin chân thành cảm ơn !

MỤC LỤC

Trang

Lời mở đầu 1

Mục lục 3

Chương 1: Lí thuyết tích phân 5

1 Định nghĩa tích phân xác định 5

1.1 Phép phân hoạch một đoạn Tổng tích phân Tổng Đácbu 5

1.1.1 Phép phân hoạch một đoạn 5

1.1.2 Dãy chuẩn tắc những phép phân hoạch 5

1.1.3 Tổng tích phân 6

1.1.4 Tổng Đácbu 6

1.2 Định nghĩa tích phân xác định 9

1.3 Ví dụ 10

2 Điều kiện khả tích 10

2.1 Điều kiện cần 10

2.2 Tích phân trên và tích phân dưới 12

2.3 Điều kiện cần và đủ để hàm khả tích 13

3 Các lớp hàm khả tích 14

3.1 Tính khả tích của hàm liên tục 14

3.2 Tính khả tích của hàm đơn điệu và bị chặn 15

3.3 Hệ thức Chasles 15

3.4 Tính khả tích của hàm bị chặn và gián đoạn 17

4 Các tính chất cơ bản của tích phân xác định 18

4.1 Tính khả tích của hàm trên một khoảng 18

4.2 Các phép tính trên các hàm khả tích 18

4.3 Tính đơn điệu của tích phân 21

4.4 Tính khả tích của hàm trị tuyệt đối 23

5 Các định lí về giá trị trung bình 23

5.1 Định lí về giá trị trung bình 23

5.2 Định lí về giá trị trung bình mở rộng 24

6 Nguyên hàm Quan hệ giữa tích phân xác định và nguyên hàm 26

6.1 Định nghĩa 26

6.2 Các định lí cơ bản 26

6.3 Công thức Newton – Leibnitz 27

6.4 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz 27

Chương 2: Ứng dụng của tích phân xác định 29

1 Một số định lí cơ bản của tích phân xác định 29

1.1 Định lí 1.1 29

1.2 Định lí 1.2 29

1.3 Định lí 1.3 31

2 Áp dụng một số định lí cơ bản của tích phân xác định tính giới hạn của dãy cho bởi số hạng tổng quát 34

2.1 Ví dụ 1 34

2.2 Ví dụ 2 34

2.3 Ví dụ 3 36

2.4 Ví dụ 4 37

2.5 Ví dụ 5 37

2.6 Ví dụ 6 38

Kết luận 40

Tài liệu tham khảo 41

CHƯƠNG I

LÍ THUYẾT TÍCH PHÂN

Tích phân xác định (Tích phân Riemann) có rất nhiều ứng dụng trong nghiêncứu cũng như thực tiễn cuộc sống Do đó để vận dụng lí thuyết tích phân vào giải cácbài toán thực tế, ở chương này chúng tôi sẽ trình bày về định nghĩa, các lớp hàm khảtích, một số tính chất của tích phân xác định Ngoài ra, ở cuối chương này công thứcNewton – Leibnitz sẽ cung cấp cho chúng ta một phương pháp lợi hại để tính tíchphân xác định mà không thông qua tổng Riemann đối với những hàm có cấu trúc đặcbiệt

1 Định nghĩa tích phân xác định ( Tích phân Riemann)

1.1 Phép phân hoạch một đoạn Tổng tích phân Tổng Đácbu(Darbuox)

1.1.1.Phép phân hoạch một đoạn

Định nghĩa 1.1.1

Giả sử f là một hàm số xác định trên đoạn [a,b] (a , b ∈ R, a < b) Chia đoạn

[a,b] thành các đoạn nhỏ bởi các điểm chia x x0, , ,1 x n, trong đó,

Giả sử P và P' là hai phép phân hoạch đoạn [a,b] Ta nói rằng P' mịn hơn P

nếu P ⊂ P’, tức là mỗi điểm chia của P đều là một điểm chia của P’

1.1.2 Dãy chuẩn tắc những phép phân hoạch

Định nghĩa 1.1.2

Giả sử { }P n là một dãy phép phân hoạch đoạn [a,b]

P a x n: = 0 < < <x1 x n k =b

{ }P n gọi là một dãy chuẩn tắc nếu lim ( ) 0n d P n

Giả sử f là một hàm số bị chặn trên đoạn [a,b], P và P’ là hai phép phân hoạchđoạn [a,b] Nếu P’ mịn hơn P thì s(P) ≤ s(P’)

( )

3

n

k k k

( )

3

n

k k k

Cho f x( ) = c, x∈[ ]a b, , trong đó c∈R là một hằng số Giả sử với phân hoạch

P, lấy các điểm bất kì ξk∈[x k−1,x k] , k =1,n Khi đó,

Giả sử ngược lại f x( ) không bị chặn trên [a,b] Khi đó, mọi phân hoạch P tồn tạiđoạn [x k−1,x k] để trên đó f x( ) không bị chặn.

Cho f(x) = 1 nếu x hữu tỷ Với ∀ ∈x [ ]0,1

0 nếu x vô tỷChứng minh không tồn tại

1 0

2

n

k k k

=

∆ − = − <

I = = =I I ∫ f x dx.

Ta có ∀ > ∃ >ε 0, δ 0 sao cho mọi phân hoạch P mà max∆ <k δ thì

I− <ε s P( )≤σ( )P ≤S P( )< +I ε ⇒σ( )P − <I ε.

Vậy ( )

b a

( )

b a

f x dx

Vậy f x( ) khả tích trên [a,b]

3.2 Tính khả tích của hàm đơn điệu và bị chặn

Định lí 3.2

Nếu f x( ) đơn điệu và bị chặn trên [a,b] thì f x( ) khả tích trên [a,b]

Chứng minh

Giả sử f x( ) đơn điệu tăng trên [a,b] Khi đó ta có ωk = f x( )k − f x( k−1)

Với mọi ε >0 cho trước, chọn δ =

Cho a,b,c ∈R và f x( ) là ánh xạ nhận giá trị thực, liên tục từng khúc trên một

đoạn chứa a,b,c Thế thì: ( ) ( ) ( )

⊕ Nếu a<b<c theo bổ đề 3.3 ta có f x( ) khả tích trên doạn[a,c]

Bây giờ ta chứng minh: ( ) ( ) ( )

I =∫ f x dx Chứng minh ( )

c a

I =∫ f x dx = +I1 I2.

Với ε > 0 tuỳ ý Do tồn tại ( ) 1 1 0

b a

=

∆ − <

⊕ Nếu b<a<c (b<c<a, c<a<b, c<b<a) chứng minh tương tự.

3.4 Tính khả tích của hàm bị chặn và gián đoạn

4 Các tính chất cơ bản của tích phân xác định

4.1 Tính khả tích của hàm trên một khoảng

P’ = PU{α β, } là một phép phân hoạch đoạn [a,b].

a) Chứng minh f + g khả tích trên [a, b]

Do f x( ), g x( ) khả tích trên [a,b] nên với ε > 0, ∃ >δ1 0, P mà max∆ <k δ1 thì

1 1

b) Chứng minh α f x( ) khả tích trên [a,b] và ( ) ( )

Vì f và g là hai hàm số khả tích trên [a,b] nên chúng bị chặn trên đoạn này Do

đó tồn tại hai số thực K và L sao cho f x( ) ≤K và g x( ) ≤L với mọi x∈[ ]a b, .

Giả sử { }P n là một dãy chuẩn tắc bất kì những phép phân hoạch đoạn [a,b]

Vì f và g khả tích trên [a,b ] nên vế phải của (1) dần đến 0 khi n→ ∞.

Do đó vế trái của (1) cũng dần đến 0 khi n→ ∞.

Vậy hàm số fg khả tích trên [a,b ]

4.3 Tính đơn điệu của tích phân

f x g x dx

⇒∫ − ≥ (Theo i)

a b

=

⇒ ∃ ∈I (Bổ đề Cantor)lim( n n) 0

Nếu f là một hàm số liên tục trên [a,b] thì tồn tại ít nhất một điểm c∈[ ]a b,sao cho ( ) ( )( )

b) g x( ) không đổi dấu trên [a,b],

thì tồn tại ít nhất một số thực λ ∈[m M, ] sao cho ( ) ( ) ( )

f x g x dx=

∫ Có thể lấy λ là một số bất kìcủa đoạn [m M, ]

b

a b

Nếu hàm số F là một nguyên hàm của hàm số f trên khoảng I thì các hàm số F +

C, trong đó C R∈ là một hằng số bất kì, là tất cả các nguyên hàm của hàm số f

trên I

Chứng minh

Giả sử hàm G là một nguyên hàm của hàm số f trên khoảng I.

x x

x x

f t dt x

x

f c x x

Mà theo định lí 6.2.2 ta cũng có G(x)= ( )

x a

b a

CHƯƠNG II ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Trước khi biết công thức Newton – Leibnitz ta đã từng tính tích phân xácđịnh bằng định nghĩa, tức là bằng cách tìm tổng σ( )P sau đó lấy giới hạn của tổng

khi n→ ∞ Trong thực tế việc tính tổng σ( )P thường rất khó, sau đó lại phải lấy

giới hạn nữa Vì vậy nhiều khi ta lại phải áp dụng ngược lại, dùng tích phân xácđịnh để tính tổng vô hạn Và đó là một ứng dụng quan trọng của tích phân xác định

1 Một số định lí cơ bản của tích phân xác định

k k m

n k

Cho f và g là hai hàm số liên tục trên [a,b].

Với ε >0 bất kì, ∃ >δ 0 sao cho với mọi phép phân hoạch P đoạn [a,b]:

I =∫ f x g x dx là tồn tại (Theo mệnh đề 4.2.2) nên với ε > 0 tuỳ ý, ∃ >δ1 0 sao

cho phân hoạch P mà max∆ <k δ1 thì

Do f liên tục trên [a,b] nên bị chặn trên đó tức là ∃ >M 0 : ( )f x <M .

g liên tục trên [a,b] nên liên tục đều trên đó Khi đó, với ε > 0, ∃ >δ2 0:

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

b n

n k

Cho f f1, , ,2 f m là các hàm số liên tục trên [a,b]

Với ε > 0 bất kì ∃ >δ 0 sao cho với mọi phép phân hoạch P đoạn [a,b]:

Tương tự, do f3 liên tục trên [a,b] nên nó liên tục đều trên đó Tức là với

Do f m liên tục trên [a,b] nên nó liên tục đều trên đó Tức với ε > ∃0, δm>0:

=+ , ta thấy f x( ) là hàm liên tục trên [0,2] nên khả tích trên đó.

k n n

01

x dx x

=+

n k u

n k u

1 ( ) 1

Xét

2

3 1

( ) 1

1 ( )

n n

k

k n v

k n n

=+

Ta có

3 1

1

n n l

l

dx v

1

0(2 2 1)(2 2 ) 2 (2 1)

Ta có u n

2

( ) 2 1

Ta thấy f x( ) và g x( ) là hai hàm số liên tục trên [ ]0,1

Phân hoạch đoạn [ ]0,1 thành n phần

( 1)lim lim

Ta thấy f x f x1( ), ( ), ,2 f x m( ) là các hàm số liên tục trên [0,1]

Phân hoạch đoạn [0,1] thành n phần

Phân hoạch đoạn k 1,k

11

01

KẾT LUẬN

Qua quá trình nghiên cứu đề tài “Lí thuyết tích phân và ứng dụng” tôi thấy, líthuyết tích phân có vai trò rất quan trọng trong toán học Bằng cách áp dụng địnhnghĩa và một số tính chất cơ bản của tích phân xác định ta có thể tìm được giới hạncủa một tổng vô hạn mà nếu dùng các thuật toán sơ cấp thì gặp rất nhiều khó khănthậm chí không tìm được Đồng thời cũng nhờ áp dụng công thức Newton- Leibnitztính tích phân xác định trở nên dễ dàng hơn

Luận văn đã thu được một số kết quả như sau:

* Luận văn đã trình bày và chứng minh tương đối chi tiết điều kiện cần và

đủ để hàm khả tích, lớp các hàm khả tích, một số tính chất, các định lí về giá trịtrung bình

* Luận văn đã chứng minh một số định lí cơ bản của tích phân xác định và ápdụng giải một số ví dụ tìm giới hạn của tổng vô hạn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Jean – Marie Monier, Giải tích tập 1, Nhà xuất bản giáo dục, 2005

[2] Phan Quốc Khánh, Phép tính vi tích phân, Tập 1, Nhà xuất bản giáo dục, 1996.[3] Nguyễn Văn Khuê (chủ biên ), Toán cao cấp, Tập 1, Nhà xuất bản khoa học và