Lý thuyết tích phân và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG XAYAPHET KEODAVANH LÝ THUYẾT TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số : 60.46.40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

XAYAPHET KEODAVANH

LÝ THUYẾT TÍCH PHÂN

VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số : 60.46.40

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2012

Công trình ñược hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS CAO VĂN NUÔI

Phản biện 1: GS TSKH Nguyễn Văn Mậu Phản biện 2: PGS TSKH Trần Quốc Chiến

Luận văn sẽ ñược bảo vệ trước Hội ñồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ toán học họp tại Đại học Đà Nẵng, vào ngày… tháng …… năm ……

Có thể tìm hiểu tại:

- Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

MỞ ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong chương trình toán của Lào, lý thuyết tích phân ñược học từ

lớp 10, 11, 12, vậy có thể nói lý thuyết tích phân ñóng một vai trò

khá quan trọng trong việc học và giảng dạy bộ môn toán Trong

chương trình toán ở bậc trung học, phần kiến thức về tích phân chiếm

một tỷ lệ lớn Trong quá trình giảng dạy ở trường phổ thông, tôi phát

hiện ra rằng thông thường các học sinh ñều cảm thấy lúng túng khi

giải các bài toán về tích phân, chính vì vậy tôi muốn nghiên cứu một

phần lý thuyết tích phân nhằm góp phần phục vụ cho công việc giảng

dạy ở trường phổ thông Đó là lý do ñể tôi chọn ñể tài “Lý thuyết tích

phân và ứng dụng” làm luận văn tốt nghiệp thạc sĩ của mình

II PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Dựa vào sự ứng dụng sau này của ñề tài nên chúng tôi sử dụng

các phương pháp giải quyết vấn ñề thiên về cách chứng minh của

toán sơ cấp Mặc dù thế trong một vài tinh huống ñặc biệt chúng tôi

cũng mạnh dạn mở rộng vấn ñề theo hướng toán học hiện ñại

Phương pháp chủ yếu ñược sử dụng trong luận văn này là kết hợp các

kết quả ñã có trong các tài liệu chuyên khảo có liên quan ñến ñề tài

và sự liên hệ ñến các ứng dụng của nó trong chương trình toán phổ

thông

III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Đối tượng mà chúng tôi tập trung nghiên cứu là lý thuyết tích

phân và sự ứng dụng của chúng ñể giải toán ở bậc phổ thong trung

học và có thể dùng ñể giảng dạy cho các sinh viên ñại học Ngoài ra

chứng tôi có xét một vài trường hợp mở rộng ñể chứng tỏ lĩnh vực này có thể phát triển xa hơn về mặt lý thuyết cũng như ứng dụng

IV NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

Nội dung nghiên cứu của luận văn này ñược giới hạn trong phạm

vi về lý thuyết tích phân theo ñộ ño, khuyếch ñộ ño và các ứng dụng của tích phân trong vật lý Sau ñó chúng tôi có ñưa ra một số ví dụ cụ thể trong chương cuối ñể minh họa cho việc ứng dụng của chúng ñến việc giải toán ở bậc trung học phổ thông

V Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI 5.1 Ý nghĩa khoa học: Hệ thống kiến thức về tiếp cận lý thuyết tích

phân và sử dụng tích phân vào việc giải một số bài toán thực tế

5.2 Ý nghĩa thực tiễn: Đề tài hoàn thành trở thành tài liệu tham

khảo bổ ích cho giáo viên, sinh viên ở các trường ñại học, cao ñẳng

và học sinh ở trường trung học phổ thông, các bạn yêu toán

VI CẤU TRÚC LUẬN VĂN

Luận văn gồm 3 chương với cấu trúc như sau:

• Mở ñầu

• Chương 1: Độ ño dương

• Chương 2: Lý thuyết tích phân

• Chương 3: Các ứng dụng của tích phân

• Kết luận

Chương 1- ĐỘ ĐO DƯƠNG 1.1 TẬP HỢP

Đị nh lý 1.1.1 [ ] 2 Nếu A = n, thì |P ( ) A |=2n

Đị nh lý 1.1.2 [ ] 2 Quan hệ bao hàm có các tính chất sau ñây

- Phản xạ: Với mọi tập A thì A⊂ A

- Phản ñối xứng: Với mọi tập A B, sao cho A B⊂ và B⊂ A thì A B=

- Bắc cầu: Với mọi tập A B C, , sao cho A⊂B và B⊂C thì A C ⊂

1.2 CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP

Cho các tập A và B Ta ñịnh nghĩa các phép toán sau:

• phép hiệu: Hiệu của A và B, ký hiệu A B\ là tập

{

\

A B= x x∈Avà x ∉ B }

• Phần bù: Cho tập X và A⊂ X Phần bù của A (trong X )

là tập ký hiệu bởi CX ( ) A và ñược xác ñịnh bởi:C AX( ) = X A \

• Phép hợp: Hợp của A và B, ký hiệu A∪B là tập ñược

xác ñịnh bởi: A∪ =B {x x∈A hoặc x ∈ B }

• Phép giao: Giao của A và B, ký hiệu A∩B là tập ñược

xác ñịnh bởi: A∩ =B {x x∈A và x ∈ B }

• Phân hoạch một tập hợp:

Nếu A B∩ =φ, ta nói A và B rời nhau Nếu các tập X X1, 2, ,X n

thỏa mãnvà chúng rời nhau từng ñôi một, ta nói { X X1, 2, , Xn}là

một phân hoạch của tập hợpA

Đị nh lý 1.2.1[ ] 2 Giả sử { X X1, 2, , Xn} là một phân hoạch của tập S Khi ñó: S = X1 + X2 + + Xn

• Hệ quả: A ∪ = B A + B − ∩ A B

Đị nh lý 1.2.2[ ] 2 Cho các tập A B C , , trong tập vũ trụ U, khi ñó ta có:

- Luật kết hợp:

∪ ∪ = ∪ ∪

∩ ∩ = ∩ ∩

- Luật giao hoán:

A B B A

A B B A

∪ = ∪

∩ = ∩

- Luật phân bố:

- Luật bù kép (ñối hợp):

A= A (trong ñó: A=U \ A)

- Luật ñối ngẫu De Morgan:

A∪ = ∩B A B , A∩ = ∪B A B

∪ ∪ ∪ = ∩ ∩ ∩

∩ ∩ ∩ = ∪ ∪ ∪

1.3 CÁC CẤU TRÚC TRONG DẠI SỐ TẬP HỢP 1.3.1 Vành Boole (Boole, Boolean ring)

Định nghĩa 1.3.1 [ ] 1 Một vành Boole (Boole, Boolean ring), các tập

hợp là một tập hợp ℜ Các tập hợp thỏa mãn nếu A∈ ℜ ∈ ℜ,B thì

Mệnh ñề 1.3.1[ ] 1 cho ℜ là một vành Boole, khi ñó φ∈ℜ, các

phép hiệu ñối xứng và giao của hai tập hợp là ñóng trong ℜ

1.3.2 Đại số Boole (Boolean algebra)

Định nghĩa 1.3.2 [ ] 1 Một lớp các tập hợp A ñược gọi là một ñại số

Boole nếu thỏa mãn:

/

a NếuA∈ ℜ và B∈ ℜ thì A∪ ∈ℜB

/

b NếuA∈ ℜ thì A c∈ℜ, (A c là phần bù của A)

Rõ rang mỗi ñại số Boole là một vành Boole vì:

A B\ = ∩A B c =(A c∪B)c

Mệnh ñề 1.3.2[ ] 1 cho ℜ là một vành Boole các tập con của X

Vành ℜ là một ñại số khi và chỉ khi X ∈ ℜ

1.4 VÀNH SINH (generated ring), σ- VÀNH (σ- ring )

Định nghĩa 1.4.1 [ ] 1 cho ε là một lớp các tập hợp Vành nhỏ nhất

chứaεñược gọi là vành sinh bởi lớp ε và ñược ký hiệu bởiR ( ) ε

Đị nh lý 1.4.1[ ] 1 Nếuε là lớp các tập hợp bất kỳ thì tồn tại một vành

sinh bởi lớp ε duy nhất R ( ) ε

Đị nh lý 1.4.2 [ ] 1 Nếu ε là một lớp bất kỳ các tập hợp thì mỗi tập

trong R ( ) ε ñược phủ bởi một họ hữu hạn các tập trong ε

Đị nh lý 1.4.3 [ ] 1 Nếu ε là một lớp ñếm ñược các tập hợp, thì ℜ ( ) ε

là ñếm ñược

Định nghĩa 1.4.2 [ ] 1 Một lợp không rỗng S các tập hợp ñược gọi là

σ- vành nếu nó thỏa mãn:

/

a NếuE∈S và F∈S thì E F\ ∈S /

b Nếu{ } En n N∈ ⊂ S thì n

n N

∈

∈

Định nghĩa 1.4.3[ ] 1 Cho một lớp bất kỳ các tâp hợp ε σ, - vành nhỏ nhất chứa lớp ε ñược gọi làσ - vành sinh bởi lớp ε là ñược ký hiệu bởi σ ε ( )

Đị nh lý 1.4.4 [ ] 1 Nếu ε là một lớp bất kỳ các tập hợp và E là một tập bất kỳ trongσ ε ( ) thì tồn tại một lớp ñếm ñược D của ε sao choE ∈ σ ( ) D

Đị nh lý 1.4.5[ ] 1 Nếu ε là lớp bất kỳ các tập hợp con của tập X và

A là tập con bất kỳ của X thì σ ε ( ) ∩ = A σ ε ( ∩ A )

1.5 CÁC LỚP ĐƠN ĐIỆU (monotone classes) 1.5.1 Giới hạn trên (the superior limit)

Định nghĩa 1.5.1 [ ] 1 Cho { } En n N∈ là một dãy các tập con của X, tập E∗ gồm tất cả các phần tử của X thuộc E n với vô hạn các giá trị của n ñược gọi là giới hạn trên của dãy { } En và ký hiệu:

lim sup n

n

1.5.2 Giới hạn dưới (the inferior limit)

Định nghĩa 1.5.2 [ ] 1 Cho { } En n N∈ là một dãy các tập con củaX, tập

E∗ gồm tất cả các phần tử của X thuộc mọi E n trừ một số hữu hạn

các giá trị của n ñược gọi là giới hạn dưới của dãy { } En và ký hiệu:

lim inf n

n

Nếu xảy ra trường hợp E∗=E∗ thì ta ký hiệu lim n

n

gọi là giới hạn của dãy { } En

- Dãy các tập hợp { } En ñược gọi là tăng (ñồng biến) nếu

1,

- Dãy các tập hợp { } En ñược gọi là giảm (nghịch biến) nếu

E + ⊂E ∀ ∈n N Một dãy các tập hợp tăng hay là giảm ñược

gọi dãy ñơn ñiệu (monotone)

Định nghĩa 1.5.3[ ] 1 Một lớp không rỗng M các tập ñược gọi là ñơn

ñiệu nếu mọi dãy ñơn ñiệu các tập { } En trong M ta có lim n

n E ∈ M

Định nghĩa 1.5.4 [ ] 1 Lớp ñơn ñiệu nhỏ nhất chứa lớp ε ñược gọi là

lớp ñơn ñiệu sinh bởi lớp ε và ñược ký hiệu bởi M ( ) ε

Đị nh lý 1.5.1[ ] 1 Một lớp ε là một σ - vành khi và chỉ khi nó là

vành ñơn ñiệu

1.6 ĐỘ ĐO; KHÔNG GIAN ĐO; ĐỘ ĐO ĐỦ; ĐỘ ĐO σ -

HỮU HẠN

Định nghĩa 1.6.1 [ ] 1 Ánh xạµ: A → [ 0, +∞ ]ñược gọi là một ñộ ño dương trên σ - ñại số A nếu với mọi họ ñếm ñược các tập ñôi một

không giao nhau { } Ak k N∈ , trong ñó A k∈ A với mọi k∈N, ta có:

( )

k N

k N

∈

∈

=

U  ∑ và µ φ ( ) = 0

Định nghĩa 1.6.2 [ ] 1 Tập X với σ - ñại số A các tập con của X và

ñộ ño dương µtrên A thì bộ ba ( X ,A,µ ) ñược gọi là một không gian ño

Định nghĩa 1.6.3 [ ] 1 Ta nói µlà σ- hữu hạn nếu Xlà hợp của một

họ ñếm ñược các tập có ñộ ño hữu hạn

Định nghĩa 1.6.4 [ ] 1 Nếu với mọi A∈A thỏa mãn µ ( ) A = 0 và với mọi A'⊂ A ta có: A'∈ A, thì ta nói rằng σ - ñại số A là µ− ñủ (tức là ñủ theo ñộ ño µ)

Định nghĩa 1.6.5 [ ] 1 Bộ ba ( X ,A,µ ) ñược gọi là một không gian

có ñộ ño ñủ, σ - hữu hạn nếu µlà ñộ ño dương σ - hữu hạn và A là

µ− ñủ

1.7 CÁC TÍNH CHẤT CỦA ĐỘ ĐO CẢM SINH 1.7.1 Độ ño ngoài

Định nghĩa 1.7.1.1[ ] 1 Một lớp không rỗng các tập hợp ε ñược gọi là lớp di truyền nếu với mọi tập E∈εvà F ⊂ E thì F∈ε

Định nghĩa 1.7.1.2[ ] 1 σ - vành di truyền nhỏ nhất chứa lớp εñược

gọi làσ -vành di truyền sinh ra bởi lớpεvà ñược ký hiệu bởi H ( ) ε

Định nghĩa 1.7.1.3 [ ] 1 Một hàm tập µ∗có giá trị trên tập số thực mở

rộng, xác ñịnh trên lớp ε ñược gọi là:

- Dưới cộng tính nếu với mọi tập E∈ε , F∈ε và E∪ ∈F ε

thì:µ∗( E ∪ F ) ≤ µ∗( ) E + µ∗( ) F

- Dưới công tính hữu hạn nếu với mọi hữu hạn tập E1, E2, ,E n

và

1

n

i

i

=

∈

1 1

i i

=

=

≤

- σ- dưới công tính (dưới cộng tính ñếm ñược) nếu với mọi dãy các

tập { } Ei mà

1

n i i

=

∈

1 1

i i

=

=

≤

- Đơn ñiệu nếu E∈ε , F∈ε và E ⊂F thì µ ( ) E ≤ µ ( ) F

Định nghĩa 1.7.1.4 [ ] 1 Một hàm tập µ∗ nhận giá trị trên tập số thực

mở rộng, xác ñịnh trên σ- vành di truyền H ñược gọi là một ñộ ño

ngoài nếu nó không âm, ñơn ñiệu, σ - dưới cộng tính và µ φ∗( ) = 0.

Đị nh lý 1.7.1.1[ ] 1 Nếu µlà một ñộ ño trên vành εvà nếu với mọi

tập E H ∈ ( ) ε ñặt: ( ) ( )

Thì µ∗ là một ñộ ño ngoài trên H ( ) ε và là một mở rộng của µ

Nếu µlà (hoàn toàn) σ - hữu hạn thì µ∗ cũng vậy Độ ño ngoài

µ∗ñược gọi là cảm sinh bởi ñộ ño µ

1.7.2 Các tập ño ñược

Định nghĩa 1.7.2.1 [ ] 1 Cho µ∗ là một ñộ ño ngoài trên σ - vành di truyền H Một tập E∈H ñược gọi là µ∗ ño ñược nếu với mọi tập

,

µ∗ =µ∗ ∩ +µ∗ ∩

c

E là phần bù của E

Đị nh lý 1.7.2.1[ ] 1 Nếu µ∗ là một ñộ ño ngoài trên một σ- vành di truyền H và nếu S là một lớp tất cả các tập µ∗- ño ñược thì S là một vành

Đị nh lý 1.7.2.2[ ] 1 Nếu µ∗ là một ñộ ño ngoài trên σ - vành di truyền H và nếu S là lớp tất cả các tập µ∗

ño ñược, thì Slà một

σ- vành Nếu A∈H và nếu { } En là dãy rời nhau các tập trong S

với

1

,

n n

∞

=

=

1

n n

=

Đị nh lý 1.7.2.3 [ ] 1 Nếu µ∗ là một ñộ ño ngoài trên σ - vành di truyền H và nếu S là lớp tất cả các tập µ∗- ño ñược, thì mỗi tập có

ñộ ño ngoài bằng 0 thuộc vào S và hàm tập µ xác ñịnh trên S ñược cho bởi µ ( )E =µ∗( )E , ∀ ∈E S là một ñộ ño ñủ trên S

Độ ño µ ñược gọi là ñộ ño cảm sinh bởi ñộ ño ngoài µ∗

Độ ño µ

là hạn chế của ñộ ño ngoài µ∗ trên S và ñược ký hiệu

S

µ µ = ∗

Đị nh lý 1.7.1 [ ] 1 Mọi tập trong σ ε ( ) là các tập µ∗ ño ñược

Đị nh lý 1.7.2 [ ] 1 Nếu E ∈ H ( ) ε thì:

Nghĩa là, ñộ ño ngoài cảm sinh bởi µ trên σ ε ( ) và ñộ ño ngoài

cảm sinh bởi µ trên S trùng nhau

Định nghĩa 1.7.1 [ ] 1 Tập F ∈ σ ε ( )ñược gọi là một phủ ño ñược của

tập E H E ∈ ( ) nếu mọi tập G ∈ σ ε ( ) mà G ⊂ F E \ thì µ ( )G =0

Đị nh lý 1.7.3 [ ] 1 Nếu một tập E ∈ H ( ) ε có ñộ ño ngoài σ - hữu

hạn thì tồn tại một phủ ño ñượcF ( ) ε ∈ σ ε ( )sao cho:µ∗( ) ( )E =µ F

Đị nh lý 1.7.4[ ] 1 Nếu F F1, 2 là các phủ ño ñược của E ∈ H ( ) ε thì

(F F1 2) 0

µ ∆ = , nếu F là phủ ño ñược của E thì µ∗( )E =µ ( )F

Đị nh lý 1.7.5[ ] 1 Nếu ñộ ño µ trên σ- vành ε là σ - hữu hạn thì

( )

σ ε

S

µ cũng σ- hữu hạn

1.8 KHUYẾCH , ĐẦY ĐỦ VÀ XẤP XỈ MỘT ĐỘ ĐO

Đị nh lý 1.8.1[ ] 1 Nếu µ là ñộ ño σ- hữu hạn trên vành ε , thì tồn tại một ñộ ño duy nhất µ trên σ- vành σ ε ( ) sao cho

ε

µ µ=

Đị nh lý 1.8.2[ ] 1 Cho µ là ñộ ño trên σ - vành K và ñặt:

( )

Khi ñó K là một σ - vành và hàm tập µ xác ñịnh bởi

(E N) ( )E

µ ∆ =µ là một ñộ ño ñủ trên K

Đị nh lý 1.8.3 [ ] 1 Nếu µlà ñộ ño σ - hữu hạn trên vành ε và µ∗

là

ñộ ño ngoài ñược cảm sinh bởi ñộ ñô µ thì tính ñủ của ñộ ño mở rộng của µ trên σ ε ( )ñồng nhất với tính ñủ của µ∗

trên lớp tất cả các tập µ∗- ño ñược

Đị nh lý 1.8.4[ ] 1 Nếu µlà ñộ ño σ - hữu hạn trên vành ε, thì với mọi tập E có ñộ ño hữu hạn trong σ ε ( ) và với mọi số dương ε , tồn tại tập E0∈ε sao cho µ ( E E ∆ 0) ≤ ε

1.9 ĐỘ ĐO TRONG (Inner measures)

Đị nh lý 1.9.1 [ ] 1 Nếu E ∈ H S ( ), thì:

( )E sup{ ( )F :E F S} (1.12)

Mặt khác do ñịnh lý 2.3.1 với mọi F ∈ S tồn tại tập G∈S sao cho

G⊂F và µ ( )F =µ ( )G Nên:

( )

1.13

E

µ∗

=

Từ ( 2.3.1 )và ( 2.3.2 ) suy ra ñiều phải chứng minh

Định nghĩa 1.9.1[ ] 1 Tập F∈S ñược gọi là hạt nhân ño ñược của

tậpE H S ∈ ( ) nếu F E⊂ và mọi tập G S ∈ mà G E F ⊂ \ thì µ ( ) G = 0

Đị nh lý 1.9.2 [ ] 1 Mọi tập E ∈ H S ( ) có một hạt nhân ño ñược

Đị nh lý 1.9.3[ ] 1 Nếu E ∈ H S ( ) và F là hạt nhân ño ñược của E

thì µ ( ) F = µ∗( ) E , nếu F1 và F2 ñều là các hạt nhân ño ñược của

E thì µ ( F F1∆ 2) = 0

Đị nh lý 1.9.4 [ ] 1 Nếu { } En là dãy các tập rời nhau trong H S ( )

thì: ( )

1 1

n n

=

=

≥

Đị nh lý 1.9.5[ ] 1 Nếu A ∈ H S ( ) và nếu { } En là dãy các tập rời

nhau với

1

n n

∞

=

=

1

n n

=

∩ =∑ ∩

Đị nh lý 1.9.6[ ] 1 Nếu E ⊂ S thì µ∗( )E µ ( )E µ ( )E

∗

Ngược lại nếu E ∈ H S ( ) và µ∗( ) E µ ( ) E

∗

= < ∞ thì E ∈ S

Đị nh lý 1.9.7 [ ] 1 Nếu E ∈ H S F ( ) ∈ H S ( ) và E∩ =F φ thì:

∗

Đị nh lý 1.9.8 [ ] 1 Nếu E ∈ S thì với mọi tập con A⊂X có:

1.10 ĐỘ ĐO LEBESGUE (Lebesgue measure)

Đị nh lý 1.10.1[ ] 1 Mỗi tập ñếm ñược trong ℜlà một tập Borel có ñộ

ño khong (tập A ñược gọi là có ñộ ño không nếu µ ( ) A = 0)

Đị nh lý 1.10.2 [ ] 1 Gọi ulà lớp tất cả các tập mở rộngℜ khi dó:

( ) P ( ) u

Đị nh lý 1.10.3[ ] 1 Nếu E⊂ ℜthì:µ∗( )E =inf{ µ ( )U :E⊂ ∈U u}

Đị nh lý 1.10.4 [ ] 1 Nếu T là một hàm từ ℜ ñược xác ñịnh bởi

( )

T x = ax + β , trong ñó α∈ ℜ ∈ℜ,β và α ≠0, thì:

( ) E ( ) E

µ∗ = α µ∗ và µ∗(T E( ) )= α µ ∗( )E

Chương 2- LÝ THUYẾT TÍCH PHÂN (The Theory of the Integral) 2.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ KHÁI NIỆM

Định nghĩa 2.1.1[ ] 3 Nếu f là ño ñược không âm trên không gian

ño ( χ :F:µ ) thì tích thân của f theo ñộ ño µ ñược xác ñịnh như sau: ( ) ( ) lim n( ) ( )

n

Suy ra: lim n( ) ( ) lim m( ) ( )

n ∫ f x µ dx = m ∫g x µ dx

Định nghĩa 2.1.2[ ] 3 Tích phân bất ñịnh của một hàm ño ñược f là

hàm tập xác ñịnh trên lớp các tập ño ñược E bởi v E( )=∫E f x( ) ( )µ dx

Định nghĩa 2.1.3 [ ] 3 Với f là hàm ño ñược ta ñặt f+ = max ( ) f ; 0

min ; 0

min ∫ f+µ dx : ∫ f−µ dx < ∞, ta xác ñịnh tích phân

của f theo ñộ ño bởi:∫ f x ( ) ( ) µ dx = ∫ f+( ) ( ) x µ dx − ∫ f−( ) ( ) x µ dx

Dãy cơ bản theo trung bình và sự hội tụ theo ñộ ño

Đị nh lý 2.1.1[ ] 3 Một dãy hàm cơ bản theo trung bình { } fn các hàm

khả tích cũng là dãy hàm cơ bản theo ñộ ño

Đị nh lý 2.1.2[ ] 3 Nếu { } fn là dãy cơ bản theo trung bình các hàm

ñơn giản khả tích và tích phân bất ñịnh của f n là v n n, ∈N thì

( ) lim n( )

n

v E = v E Tồn tại với mỗi tập ño ñược E và hàm tập v có

giá trị hữu hạn và cộng tính ñếm ñược (σ cộng tính)

Đị nh lý 2.1.3 [ ] 3 Nếu { } fn là dãy cơ bản theo trung bình các hàm

khả tích và tích phân bất ñịnh của f n là v n n, ∈N thì hàm tập v n là

liên tục tuyệt ñối ñều

Đị nh lý 2.1.4 [ ] 3 Nếu { } fn và { } gn là các dãy hàm cơ bản theo

trung bình các hàm ñơn giản khả tích hội tụ theo ñộ ño tới cùng một

giới hạn là hàm ño ñược f và nếu v n và λn lần lượt là các tích

phân bất ñịnh của f n và g n Với mỗi tập ño ñược E , ta ñặt:

( ) lim n( )

n

n

Thì các hàm tập v và λ trùng nhau

Đị nh lý 2.1.5 [ ] 3 Nếu { } fn là một dãy các hàm khả tích hội tụ theo trung bình tới f thì { } fn hội tụ tới f theo ñộ ño

2.2 CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN

Đị nh lý 2.2.1[ ] 3

a/ Nếu f là một hàm ño ñược và c là một hằng số thì:

b/Nếu f và g các hàm ño ñược và f ≤g thì:

Đị nh lý 2.2.2 [ ] 3

a/Nếu∫ f x( ) ( ) µ dx tồn tại thì∫ f x( ) ( ) µ dx ≤∫ f x( ) ( ) µ dx

b/ Nếu ∫ f x( ) ( ) µ dx tồn tại thì ∫ f x( ) ( ) ( ).χA x µ dx tồn tại với mỗi A∈χ; nếu∫ f x( ) ( ) µ dx hữu hạn thì∫ f x( ) ( ) ( ).χA x µ dx

cũng hữu hạn

c/ Nếu f và g là các hàm ño ñược không âm hay

( ) ( )

f x µ dx < ∞

∫ và ∫ g x( ) ( ) µ dx < ∞ thì:

Đị nh lý 2.2.3[ ] 3 Nếu f là một hàm khả tích không âm hẩu khắp

nơi, thì diều kiện cần và ñủ ñể ∫ f x( ) ( ) µ dx =0 là f =0 a e

Đị nh lý 2.2.4[ ] 3 Nếu f là hàm khả tích và dương hầu khắp nơi

trên tập ño ñược E và ( ) ( ) 0

E

∫ , thì µ ( ) E = 0

Đị nh lý 2.2.5 [ ] 3 Nếu f là hàm khả tích sao cho ( ) ( ) 0

F f x µ dx =

với mọi tập ño ñược f,thì f =0 hầu khắp nơi

Đị nh lý 2.2.6[ ] 3 Nếu f là một hàm khả tích thì

tập N f( )={x f x: ( )≠0}

có ñộ ño σ -hữu hạn

2.3 ĐÃY CÁC HÀM KHẢ TÍCH (Sequences of integrable function)

Đị nh lý 2.3.1[ ] 4 Nếu { } fn là dãy hàm cơ bản theo trung bình các

hàm ñơn giản khả tích hội tụ Theo ñộ ño tới hàm khả tích f thì:

(f f, n) f x( ) f n( ) ( )x dx 0

Đị nh lý 2.3.2 [ ] 4 Nếu { } fn là dãy hàm cơ bản khả tích tồn tại hàm

khả tích f sao cho ρ ( fn, f ) → 0

2.4 ĐỊNH LÝ VỀ HỘI TỤ BỊ CHẶN

Cho dãy ánh xạ ( fn : I → ℜ )n N∈ Nếu:

• Với mọi n thuộc N f, n liên tục từng khúc trên I

• ( ) fn n N∈ hội tụ ñơn trên I ñến một ánh xạ ký hiệu là f

• f liên tục từng khác trên I

• Có ϕ: I → ℜ liên tục từng khúc, không âm khả tích trên I

sao cho: ∀ ∈ n N f , n ≤ ϕ (giả thiết bị chặn) Thì:

• Với mọi n thuộc N , f n khả tích trên I

• f khả tích trên I

• ∫I fn( ) x dx n→∞→ ∫I f x dx ( )

Mệnh ñề 2.4.1 [ ] 4 Cho một dãy ánh xạ( n : )

n N

f I → K ∈ Nếu:

• Với mọi n thuộc N f, n liên tục và khả tích trên I

• ( ) fn n N∈ hội tụ ñều trên I ñến một ánh xạ ký hiệu là f

• I bị chặn Thì:

• f liên tục và khả tích trên I

2.5 HỘI TỤ ĐỀU VÀ LẤY TÍCH PHÂN TRÊN MỘT ĐOẠN

Đị nh lý2.5.1[ ] 4 Giả sử( ) 2

,

a b ∈ℜ sao cho a≤b và ( [ ] )

0

: ;

n n

f a b E

≥

→

là một chuỗi ánh xạ Nếu:

• Với mọi n∈N f, n liên tục trên [ ] a b ;

•

0

n n

f

≥

∑ hội tụ ñều trên [ ] a b ; Thì: