Lý thuyết tích phân và ứng dụng

Header Page of 126 Công trình ñược hoàn thành BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG XAYAPHET KEODAVANH Người hướng dẫn khoa học: TS CAO VĂN NUÔI Phản biện 1: GS TSKH Nguyễn Văn Mậu LÝ THUYẾT TÍCH PHÂN Phản biện 2: PGS TSKH Trần Quốc Chiến VÀ ỨNG DỤNG Luận văn ñược bảo vệ trước Hội ñồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ toán học họp Đại học Đà Nẵng, vào ngày… tháng …… Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp năm …… Mã số : 60.46.40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Có thể tìm hiểu tại: - Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng Đà Nẵng – Năm 2012 Footer Page of 126 Header Page of 126 MỞ ĐẦU chứng có xét vài trường hợp mở rộng ñể chứng tỏ lĩnh vực I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình toán Lào, lý thuyết tích phân ñược học từ phát triển xa mặt lý thuyết ứng dụng IV NỘI DUNG NGHIÊN CỨU lớp 10, 11, 12, nói lý thuyết tích phân ñóng vai trò Nội dung nghiên cứu luận văn ñược giới hạn phạm quan trọng việc học giảng dạy môn toán Trong vi lý thuyết tích phân theo ñộ ño, khuyếch ñộ ño ứng dụng chương trình toán bậc trung học, phần kiến thức tích phân chiếm tích phân vật lý Sau ñó có ñưa số ví dụ cụ tỷ lệ lớn Trong trình giảng dạy trường phổ thông, phát thể chương cuối ñể minh họa cho việc ứng dụng chúng ñến thông thường học sinh ñều cảm thấy lúng túng việc giải toán bậc trung học phổ thông giải toán tích phân, muốn nghiên cứu V Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI phần lý thuyết tích phân nhằm góp phần phục vụ cho công việc giảng 5.1 Ý nghĩa khoa học: Hệ thống kiến thức tiếp cận lý thuyết tích dạy trường phổ thông Đó lý ñể chọn ñể tài “Lý thuyết tích phân sử dụng tích phân vào việc giải số toán thực tế phân ứng dụng” làm luận văn tốt nghiệp thạc sĩ 5.2 Ý nghĩa thực tiễn: Đề tài hoàn thành trở thành tài liệu tham II PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU khảo bổ ích cho giáo viên, sinh viên trường ñại học, cao ñẳng Dựa vào ứng dụng sau ñề tài nên sử dụng phương pháp giải vấn ñề thiên cách chứng minh toán sơ cấp Mặc dù vài tinh ñặc biệt học sinh trường trung học phổ thông, bạn yêu toán VI CẤU TRÚC LUẬN VĂN Luận văn gồm chương với cấu trúc sau: mạnh dạn mở rộng vấn ñề theo hướng toán học ñại • Mở ñầu Phương pháp chủ yếu ñược sử dụng luận văn kết hợp • Chương 1: Độ ño dương kết ñã có tài liệu chuyên khảo có liên quan ñến ñề tài • Chương 2: Lý thuyết tích phân liên hệ ñến ứng dụng chương trình toán phổ • Chương 3: Các ứng dụng tích phân thông • Kết luận III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Đối tượng mà tập trung nghiên cứu lý thuyết tích phân ứng dụng chúng ñể giải toán bậc phổ thong trung học dùng ñể giảng dạy cho sinh viên ñại học Ngoài Footer Page of 126 5 Header Page of 126 Định lý 1.2.1 [ 2] Giả sử { X , X , , X n } phân hoạch Chương 1- ĐỘ ĐO DƯƠNG 1.1 TẬP HỢP Định lý 1.1.1 [ 2] Nếu A = n , |P tập S Khi ñó: S = X + X + + X n ( A) | = 2n Định lý 1.1.2 [ 2] Quan hệ bao hàm có tính chất sau ñây - Phản xạ: Với tập A A ⊂ A - Phản ñối xứng: Với tập A, B cho A⊂B B ⊂ A A = B • Hệ quả: A ∪ B = A + B − A ∩ B Định lý 1.2.2 [ 2] Cho tập A, B,C tập vũ trụ U, ñó ta có: - Luật kết hợp: ( A ∪ B) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) ( A ∩ B) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) - Bắc cầu: Với tập A, BC , cho A ⊂ B B ⊂ C A⊂C 1.2 CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP Cho tập A B Ta ñịnh nghĩa phép toán sau: • } • Phần bù: Cho tập X A ⊂ X Phần bù A (trong X ) tập ký hiệu C X ( A ) ñược xác ñịnh bởi: CX ( A) = X \ A Phép hợp: Hợp A B , ký hiệu A ∪ B tập ñược { xác ñịnh bởi: A ∪ B = x x ∈ A x ∈ B} • Phép giao: Giao A B , ký hiệu A ∩ B tập ñược { xác ñịnh bởi: A ∩ B = x x ∈ A x ∈ B} • A∪ B = B ∪ A phép hiệu: Hiệu A B , ký hiệu A \ B tập A \ B = { x x ∈ A x ∉ B • - Luật giao hoán: Phân hoạch tập hợp: Nếu A∩B=φ, ta nói A B rời Nếu tập X1, X2 , , Xn thỏa mãnvà chúng rời ñôi một, ta nói { X , X , , X n } phân hoạch tập hợp A Footer Page of 126 A∩ B = B ∩ A - Luật phân bố: A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C ) A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C ) - Luật bù kép (ñối hợp): A= A ) (trong ñó: A = U \ A - Luật ñối ngẫu De Morgan: A∪ B = A∩ B, A∩ B = A∪ B A1 ∪ A2 ∪ ∪ An = A1 ∩ A2 ∩ ∩ An A1 ∩ A2 ∩ ∩ An = A1 ∪ A2 ∪ ∪ An 1.3 CÁC CẤU TRÚC TRONG DẠI SỐ TẬP HỢP 1.3.1 Vành Boole (Boole, Boolean ring) Định nghĩa 1.3.1 [1] Một vành Boole (Boole, Boolean ring), tập hợp tập hợp ℜ Các tập hợp thỏa mãn A ∈ ℜ, B ∈ ℜ Định lý 1.4.3 [1] Nếu ε lớp ñếm ñược tập hợp, ℜ ( ε ) A ∪ B ∈ ℜ A \ B ∈ ℜ ñếm ñược Header Page of 126 Mệnh ñề 1.3.1 [1] cho ℜ vành Boole, ñó φ ∈ ℜ , phép hiệu ñối xứng giao hai tập hợp ñóng ℜ 1.3.2 Đại số Boole (Boolean algebra) Định nghĩa 1.3.2 [1] Một lớp tập hợp A ñược gọi ñại số Boole thỏa mãn: Định nghĩa 1.4.2 [1] Một lợp không rỗng S tập hợp ñược gọi σ - vành thỏa mãn: a / Nếu E ∈ S F ∈ S E \ F ∈ S b / Nếu { En }n∈N ⊂ S UE n∈N n ∈S a / Nếu A ∈ ℜ B ∈ ℜ A ∪ B ∈ ℜ Định nghĩa 1.4.3 [1] Cho lớp tâp hợp ε , σ - vành nhỏ b / Nếu A ∈ ℜ Ac ∈ ℜ , ( Ac phần bù A ) chứa lớp ε ñược gọi σ - vành sinh lớp ε ñược ký hiệu Rõ rang ñại số Boole vành Boole vì: ( ) c A \ B = A ∩ B c = Ac ∪ B σ ( ε ) Định lý 1.4.4 [1] Nếu ε lớp tập hợp E Mệnh ñề 1.3.2 [1] cho ℜ vành Boole tập X tập σ ( ε ) tồn lớp ñếm ñược D ε Vành ℜ ñại số X ∈ ℜ cho E ∈ σ ( D ) 1.4 VÀNH SINH (generated ring), σ - VÀNH ( σ - ring ) Định nghĩa 1.4.1 [1] cho ε lớp tập hợp Vành nhỏ chứa ε ñược gọi vành sinh lớp ε ñược ký hiệu R ( ε ) Định lý 1.4.5 [1] Nếu ε lớp tập hợp tập X A tập X σ ( ε ) ∩ A = σ ( ε ∩ A ) 1.5 CÁC LỚP ĐƠN ĐIỆU (monotone classes) Định lý 1.4.1 [1] Nếu ε lớp tập hợp tồn vành 1.5.1 Giới hạn (the superior limit) sinh lớp ε R ( ε ) Định nghĩa 1.5.1 [1] Cho { En }n∈N dãy tập X , Định lý 1.4.2 [1] Nếu ε lớp tập hợp tập tập E ∗ gồm tất phần tử X thuộc En với vô hạn giá R ( ε ) ñược phủ họ hữu hạn tập ε trị n ñược gọi giới hạn dãy { En } ký hiệu: E ∗ = lim sup En n Footer Page of 126 9 Header Page of 126 10 1.5.2 Giới hạn (the inferior limit) Định nghĩa 1.5.2 [1] Cho { En }n∈N dãy tập X , tập Định nghĩa 1.6.1 [1] Ánh xạ µ : A → [ 0, +∞ ] ñược gọi ñộ ño dương σ - ñại số A với họ ñếm ñược tập ñôi E∗ gồm tất phần tử X thuộc En trừ số hữu hạn không giao { Ak }k∈N , ñó Ak ∈ A với k ∈ N , ta có: giá trị n ñược gọi giới hạn dãy { En } ký hiệu: µ  U  k∈N E∗ = lim inf En n Nếu xảy trường hợp E ∗ = E∗ ta ký hiệu E ∗ = E∗ = lim En n gọi giới hạn dãy { En }  Ak  =  ∑ µ (A ) k∈N k µ (φ ) = Định nghĩa 1.6.2 [1] Tập X với σ - ñại số A tập X ñộ ño dương µ A ba ( X , A, µ ) ñược gọi không gian ño - Dãy tập hợp { En } ñược gọi tăng (ñồng biến) Định nghĩa 1.6.3 [1] Ta nói µ σ - hữu hạn X hợp En ⊂ En +1, ∀n ∈ N họ ñếm ñược tập có ñộ ño hữu hạn - Dãy tập hợp { En } ñược gọi giảm (nghịch biến) En +1 ⊂ En , ∀n ∈ N Một dãy tập hợp tăng giảm ñược gọi dãy ñơn ñiệu (monotone) Định nghĩa 1.5.3 [1] Một lớp không rỗng M tập ñược gọi ñơn ñiệu dãy ñơn ñiệu tập { En } M ta có lim En ∈ M n Định nghĩa 1.6.4 [1] Nếu với A∈ A thỏa mãn µ ( A) = với A' ⊂ A ta có: A' ∈ A, ta nói σ - ñại số A µ − ñủ (tức ñủ theo ñộ ño µ ) Định nghĩa 1.6.5 [1] Bộ ba ( X , A, µ ) ñược gọi không gian có ñộ ño ñủ, σ - hữu hạn µ ñộ ño dương σ - hữu hạn A µ − ñủ Định nghĩa 1.5.4 [1] Lớp ñơn ñiệu nhỏ chứa lớp ε ñược gọi 1.7 CÁC TÍNH CHẤT CỦA ĐỘ ĐO CẢM SINH lớp ñơn ñiệu sinh lớp ε ñược ký hiệu M ( ε ) 1.7.1 Độ ño Định lý 1.5.1 [1] Một lớp ε σ - vành vành ñơn ñiệu 1.6 ĐỘ ĐO; KHÔNG GIAN ĐO; ĐỘ ĐO ĐỦ; ĐỘ ĐO σ HỮU HẠN Footer Page of 126 Định nghĩa 1.7.1.1 [1] Một lớp không rỗng tập hợp ε ñược gọi lớp di truyền với tập E ∈ ε F ⊂ E F ∈ ε 11 12 Định nghĩa 1.7.1.2 [1] σ - vành di truyền nhỏ chứa lớp ε ñược Nếu µ (hoàn toàn) σ - hữu hạn µ ∗ Độ ño gọi σ -vành di truyền sinh lớp ε ñược ký hiệu H ( ε ) µ ∗ ñược gọi cảm sinh ñộ ño µ Định nghĩa 1.7.1.3 [1] Một hàm tập µ ∗ có giá trị tập số thực mở 1.7.2 Các tập ño ñược Header Page of 126 rộng, xác ñịnh lớp ε ñược gọi là: Định nghĩa 1.7.2.1 [1] Cho µ ∗ ñộ ño σ - vành di - Dưới cộng tính với tập E ∈ ε , F ∈ ε E ∪ F ∈ ε truyền H Một tập E ∈ H ñược gọi µ ∗ ño ñược với tập thì: µ ∗ ( E ∪ F ) ≤ µ ∗ ( E ) + µ ∗ ( F ) A ∈ H , ta có: µ ∗ ( A) = µ ∗ ( A ∩ E ) + µ ∗ A ∩ E c ( - Dưới công tính hữu hạn với hữu hạn tập E1 , E2 , , En  n n  n  i =1 i =1  i =1 - σ - công tính (dưới cộng tính ñếm ñược) với dãy tập { Ei } mà n UE ∈ ε i =1 i  ∞ ∞  E  ≤ ∑ µ ( E ) U   thì: µ ∗  i =1 i ∗ i =1 i - Đơn ñiệu E ∈ ε , F ∈ ε E ⊂ F µ ( E ) ≤ µ ( F ) Định nghĩa 1.7.1.4 [1] Một hàm tập µ ∗ nhận giá trị tập số thực mở rộng, xác ñịnh σ - vành di truyền H ñược gọi ñộ ño không âm, ñơn ñiệu, σ - cộng tính µ ∗ (φ ) = Định lý 1.7.1.1 [1] Nếu µ ñộ ño vành ε với ∞ tập E ∈ H ( ε ) ñặt: µ ∗ ( E ) = inf ∑ µ ( Ei ) : Ei ∈ ε ,  i =1 ∞  ∀i : E ⊂ UEi  i =1  Thì µ ∗ ñộ ño H ( ε ) mở rộng µ Footer Page of 126 E c phần bù E Định lý 1.7.2.1 [1] Nếu µ ∗ ñộ ño σ - vành di µ ∗  U Ei  ≤ ∑ µ ∗ ( Ei ) U Ei ∈ ε thì: ) truyền H S lớp tất tập µ ∗ - ño ñược S vành Định lý 1.7.2.2 [1] Nếu µ ∗ ñộ ño σ - vành di truyền H S lớp tất tập µ ∗ ño ñược, S σ - vành Nếu A ∈ H { En } dãy rời tập S với ∞ ∞ n =1 n =1 U En = E , thì: µ ∗ ( A ∩ E ) = ∑ µ ∗ ( A ∩ En ) Định lý 1.7.2.3 [1] Nếu µ ∗ ñộ ño σ - vành di truyền H S lớp tất tập µ ∗ - ño ñược, tập có ñộ ño thuộc vào S hàm tập µ xác ñịnh S ñược cho µ ( E ) = µ ∗ ( E ) , ∀E ∈ S ñộ ño ñủ S 13 14 Độ ño µ ñược gọi ñộ ño cảm sinh ñộ ño µ ∗ Độ ño µ Định lý 1.8.1 [1] Nếu µ ñộ ño σ - hữu hạn vành ε , tồn hạn chế ñộ ño µ ∗ S ñược ký hiệu µ = µ ∗ ñộ ño µ σ - vành σ ( ε ) cho µ = µ Định lý 1.7.1 [1] Mọi tập σ ( ε ) tập µ ∗ ño ñược Định lý 1.8.2 [1] Cho µ ñộ ño σ - vành K ñặt: Header Page of 126 S Định lý 1.7.2 [1] Nếu E ∈ H ( ε ) thì: { } = inf {µ ( F ) : E ⊂ F ∈ σ ( ε )} µ ∗ ( E ) = inf µ ( E ) : E ⊂ F ∈ S ε K = { E ∆N : E ∈ K , ∃B ∈ K , N ⊂ B, µ ( B ) = 0} Khi ñó K σ - vành hàm tập µ xác ñịnh µ ( E ∆N ) = µ ( E ) ñộ ño ñủ K Nghĩa là, ñộ ño cảm sinh µ σ ( ε ) ñộ ño Định lý 1.8.3 [1] Nếu µ ñộ ño σ - hữu hạn vành ε µ ∗ cảm sinh µ S trùng ñộ ño ñược cảm sinh ñộ ñô µ tính ñủ ñộ ño mở Định nghĩa 1.7.1 [1] Tập F∈σ ( ε ) ñược gọi phủ ño ñược rộng µ σ ( ε ) ñồng với tính ñủ µ ∗ lớp tất tập E∈H ( E) tập G ∈σ ( ε ) mà G ⊂ F \ E µ ( G ) = tập µ ∗ - ño ñược Định lý 1.7.3 [1] Nếu tập E ∈ H ( ε ) có ñộ ño σ - hữu hạn tồn phủ ño ñược F ( ε ) ∈ σ ( ε ) cho: µ∗ ( E) = µ( F) Định lý 1.7.4 [1] Nếu F1 , F2 phủ ño ñược E ∈ H ( ε ) µ ( F1∆F2 ) = , F phủ ño ñược E µ ∗ ( E ) = µ ( F ) Định lý 1.7.5 [1] Nếu ñộ ño µ σ - vành ε σ - hữu hạn µ σ (ε ) µ S σ - hữu hạn 1.8 KHUYẾCH , ĐẦY ĐỦ VÀ XẤP XỈ MỘT ĐỘ ĐO Footer Page of 126 Định lý 1.8.4 [1] Nếu µ ñộ ño σ - hữu hạn vành ε , với tập E có ñộ ño hữu hạn σ ( ε ) với số dương ε , tồn tập E0 ∈ ε cho µ ( E ∆E0 ) ≤ ε 1.9 ĐỘ ĐO TRONG (Inner measures) Định lý 1.9.1 [1] Nếu E ∈ H ( S ) , thì: { µ∗ ( E ) ≤ sup µ ( F ) : E ⊃ F ∈ S } (1.12 ) Mặt khác ñịnh lý 2.3.1 với F ∈ S tồn tập G ∈ S cho G ⊂ F µ ( F ) = µ ( G ) Nên: 15 Header Page of 126 { 16 } sup µ ( F ) : E ⊃ F ∈ S = sup {µ ( G ) : E ⊃ G ∈ S} = µ∗ ( E ) Định lý 1.9.8 [1] Nếu E ∈ S với tập A ⊂ X có: (1.13) µ ( A ∩ E ) + µ ∗ ( Ac ∩ E ) = µ ( E ) Từ ( 2.3.1) ( 2.3.2 ) suy ñiều phải chứng minh 1.10 ĐỘ ĐO LEBESGUE (Lebesgue measure) Định nghĩa 1.9.1 [1] Tập F ∈ S ñược gọi hạt nhân ño ñược Định lý 1.10.1 [1] Mỗi tập ñếm ñược ℜ tập Borel có ñộ tập E∈H ( S ) F ⊂Evà tập G ∈S mà G ⊂ E \ F µ ( G) = ño khong (tập A ñược gọi có ñộ ño không µ ( A ) = ) Định lý 1.9.2 [1] Mọi tập E ∈ H ( S ) có hạt nhân ño ñược Định lý 1.10.2 [1] Gọi u lớp tất tập mở rộng ℜ dó: σ ( P ) = σ (u ) Định lý 1.9.3 [1] Nếu E ∈ H ( S ) F hạt nhân ño ñược E µ ( F ) = µ∗ ( E ) , F1 F2 ñều hạt nhân ño ñược Định lý 1.10.3 [1] Nếu E ⊂ ℜ thì: µ ∗ ( E ) = inf {µ (U ) : E ⊂ U ∈ u} E µ ( F1∆F2 ) = Định lý 1.10.4 [1] Nếu T hàm từ ℜ ñược xác ñịnh Định lý 1.9.4 [1] Nếu {En } thì: µ∗  U En  ≥ ∑ µ∗ ( En )  dãy tập rời H ( S ) ∞  n =1  ∞  n =1 T ( x ) = ax + β , ñó α ∈ ℜ, β ∈ ℜ α ≠ , thì: µ ∗ ( E ) = α µ ∗ ( E ) µ∗ (T ( E ) ) = α µ∗ ( E ) Định lý 1.9.5 [1] Nếu A ∈ H ( S ) { En } dãy tập rời ∞ với (The Theory of the Integral) ∞ UE n =1 Chương 2- LÝ THUYẾT TÍCH PHÂN n = E thì: µ∗ ( A ∩ E ) = ∑ µ∗ ( A ∩ En ) n =1 Định lý 1.9.6 [1] Nếu E ⊂ S µ ∗ ( E ) = µ∗ ( E ) = µ ( E ) Ngược lại E ∈ H ( S ) µ ∗ ( E ) = µ∗ ( E ) < ∞ E ∈ S Định lý 1.9.7 [1] Nếu E ∈ H ( S ) F ∈ H ( S ) E ∩ F = φ thì: µ ( E ∪ F ) ≤ µ∗ ( E ) + µ ∗ ( F ) ≤ µ ∗ ( E ∪ F ) Footer Page of 126 2.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ KHÁI NIỆM Định nghĩa 2.1.1 [3] Nếu f ño ñược không âm không gian ño ( χ :F: µ ) tích thân f theo ñộ ño µ ñược xác ñịnh sau: ∫ f ( x )µ ( dx ) = lim ∫ f ( x ) µ ( dx ) Suy ra: n n lim ∫ f n ( x ) µ ( dx ) = lim ∫ g m ( x ) µ ( dx ) n m 17 18 Định nghĩa 2.1.2 [3] Tích phân bất ñịnh hàm ño ñược f v ( E ) = lim ( E ) λ ( E ) = lim λn ( E ) Header Page of 126 n n hàm tập xác ñịnh lớp tập ño ñược E v ( E) = ∫ f ( x)µ ( dx) Thì hàm tập v λ trùng Định nghĩa 2.1.3 [3] Với f hàm ño ñược ta ñặt f + = max ( f ;0 ) Định lý 2.1.5 [3] Nếu f −1 = − ( f ;0 ) trung bình tới f E Giả sử (∫ f + ) µ ( dx ) : ∫ f −1µ ( dx ) < ∞ , ta xác ñịnh tích phân f theo ñộ ño bởi: f ( x)µ( dx) = f ∫ ( x) µ( dx) −∫ f ( x)µ( dx) ∫ + − { f n } hàm { f n } dãy theo trung bình hàm ñơn giản khả tích tích phân bất ñịnh f n , n ∈ N a / Nếu f hàm ño ñược c số thì: ∫ c f ( x )µ ( dx ) = c.∫ f ( x )µ ( dx ) b / Nếu f g hàm ño ñược f ≤ g thì: ∫ f ( x )µ ( dx ) ≤ ∫ g ( x )µ ( dx ) Định lý 2.2.2 [3] v ( E ) = lim ( E ) Tồn với tập ño ñược E hàm tập v có a / Nếu ∫ f ( x )µ ( dx ) tồn giá trị hữu hạn cộng tính ñếm ñược ( σ cộng tính) b / Nếu n Định lý 2.1.3 [3] Nếu { fn } dãy theo trung bình hàm khả tích tích phân bất ñịnh f n , n ∈ N hàm tập { fn } {gn } dãy hàm theo trung bình hàm ñơn giản khả tích hội tụ theo ñộ ño tới giới hạn hàm ño ñược f λn tích phân bất ñịnh f n g n Với tập ño ñược E , ta ñặt: Footer Page of 126 ∫ f ( x ) µ ( dx ) ≤ ∫ f ( x ) µ ( dx ) ∫ f ( x )µ ( dx ) tồn ∫ f ( x ).χ ( x ) µ ( dx ) tồn A với A ∈ χ ; f ( x )µ ( dx ) hữu hạn f ( x ).χ A ( x ) µ ( dx ) ∫ ∫ hữu hạn c / Nếu f g hàm ño ñược không âm hay liên tục tuyệt ñối ñều Định lý 2.1.4 [3] Nếu f theo ñộ ño Định lý 2.2.1 [3] khả tích dãy hàm theo ñộ ño Định lý 2.1.2 [3] Nếu { f n } hội tụ tới 2.2 CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN Dãy theo trung bình hội tụ theo ñộ ño Định lý 2.1.1 [3] Một dãy hàm theo trung bình { f n } dãy hàm khả tích hội tụ theo ∫ f ( x ) µ ( dx ) < ∞ ∫ g ( x ) µ ( dx ) < ∞ thì: ∫  f ( x ) + g ( x ) µ ( dx ) = ∫ f ( x )µ ( dx ) + ∫ g ( x )µ ( dx ) Định lý 2.2.3 [3] Nếu f hàm khả tích không âm hẩu khắp 19 Header Page 10 of 126 20 ∫ f ( x )µ ( dx ) = nơi, diều kiện cần ñủ ñể • f = a e cho: ∀n ∈ N , f n ≤ ϕ (giả thiết bị chặn) Định lý 2.2.4 [3] Nếu f hàm khả tích dương hầu khắp nơi Thì: tập ño ñược E f ( x )µ ( dx ) = , µ ( E ) = ∫ • E Định lý 2.2.5 [3] Nếu f hàm khả tích cho ∫ f ( x )µ ( dx ) = lý 2.2.6 [3] Nếu f { hàm khả tích } tập N ( f ) = x : f ( x) ≠ Với n thuộc N , f n khả tích I • f khả tích I • ∫ f ( x )dx → ∫ f ( x ) dx F với tập ño ñược f , f = hầu khắp nơi Định Có ϕ : I → ℜ liên tục khúc, không âm khả tích I I n →∞ n I Mệnh ñề 2.4.1 [ 4] Cho dãy ánh xạ ( f n : I → K )n∈N Nếu: • Với n thuộc N , f n liên tục khả tích I có ñộ ño σ -hữu hạn • ( f n )n∈N 2.3 ĐÃY CÁC HÀM KHẢ TÍCH (Sequences of integrable function) • I bị chặn Định lý 2.3.1 [ 4] Nếu { fn } dãy hàm theo trung bình hàm ñơn giản khả tích hội tụ Theo ñộ ño tới hàm khả tích f thì: ρ ( f , f n ) = ∫ f ( x ) − f n ( x ) µ ( dx ) → n → ∞ Định lý 2.3.2 [ 4] Nếu { f n } dãy hàm khả tích tồn hàm khả tích f cho ρ ( f n , f ) → ( f n : I → ℜ )n∈N • f liên tục khả tích I • ∫ f ( x ) dx → ∫ f ( x ) dx I n →∞ n I 2.5 HỘI TỤ ĐỀU VÀ LẤY TÍCH PHÂN TRÊN MỘT ĐOẠN Định lý2.5.1 [ 4] Giả sử ( a, b ) ∈ ℜ2 cho a ≤ b chuỗi ánh xạ Nếu: Nếu: • Với n thuộc N , f n liên tục khúc I • ( f n )n∈N • f liên tục khác I hội tụ ñơn I ñến ánh xạ ký hiệu f Footer Page 10 of 126 Thì: ∑( f : [a; b] → E) n≥0 2.4 ĐỊNH LÝ VỀ HỘI TỤ BỊ CHẶN Cho dãy ánh xạ hội tụ ñều I ñến ánh xạ ký hiệu f • Với n ∈ N , f n liên tục [ a; b ] • ∑f n≥0 Thì: n hội tụ ñều [ a; b ] n 21 Header Page 11 of 126 • +∞ ∑f n =0 • • b a n≥0 f n ( x ) dx +∞   ∫  ∑ f ( x )  dx = ∑ ∫ a n=0 n n=0 b a b hội tụ chuẩn tắc [ a; b ] Khi ñó, +∞ ∑f n =0 a ∑ n ≥0 ( ak )0≤k ≤ N ∑ ( f : [ a; b ] → E ) n≥0 f n hội tụ ℜ , ∑f n =0 n ( ) ∫ g(t) dt b ) n∈N ∀x ∈]0; +∞[ , ∫ ϕ ( t )e dt = ∑λk ∫ a ánh xạ bậc thang [ a; b ] Định lý 3.1.2 [5] Với ánh xạ f : [ a; b ] → E lien tục, có dãy n n∈N b−a Ký hiệu bk+1 ak k=0 eixak+1 − eixak e dt = ∑λk ix k=0 N−1 ixt N −1 ixt Trong ñó: M = Max λk Vì N cổ ñịnh nên có x0 ∈ ]0; +∞[ 0≤ k ≤ N cho : ∀x ∈ ] x0 ; +∞[ , ta có: ∫ f (t ) e b ixt a ánh xạ afin khúc liên tục, hội tụ NM ≤ ε Khi ñó, với x thuộc [ x0 ; +∞[ x dt ≤ ∫ ( f (t ) − ϕ (t )) e b a ≤ (b − a ) f − ϕ hôi tụ ñều ñến f [ a; b ] ( ϕ : [ a; b ] → E ) ε a Định lý 3.1.1 [5] Với ánh xạ f : [ a; b ] → E liên tục khúc, ( ≤ eixak +1 − eixak NM ≤ Từ ñó : ∀x ∈ ]0; +∞[ , ∫ ϕ ( t ) e dt = ∑ λk a x x k =0 Chương 3- CÁC ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN có dãy en : [ a; b ] → E ta có: N−1 ixt b n =0 Nhắc lại, nhận xét với g ∈C [ a;b] , E , ta kýhiệu: g = N1 ( g) = ∞ mọt phần hoạch [ a; b ] tương thích với ϕ λk b +∞ ≤ ∑ fn dt  → Cho ε > Theo ñịnh lý 3.1.1, có x →+∞ giá trị ϕ ]ak ; ak +1 [ với k thuộc {0, , N − 1} Khi ñó, n +∞ n ixt ánh xạ bậc thang ϕ : [ a; b ] → N cho f − ϕ f n ( x ) dx Mệnh ñề 2.5.1 [ 4] Cho chuỗi ánh xạ liên tục liên tục [ a; b ] ∫ f ( t )e ) hội tụ E +∞ b Cho f : [ a; b ] → C liên tục khúc liên tục [ a; b ] n ∑(∫ 22 ∞ ixt dt + ∫ ϕ (t ) e b a ixt dt + ε ≤ 2ε Vậy, ta ñã chứng minh: ∀ε > 0, ∃x0 ∈ ]0; +∞[ , ∀x ∈ ] x0 ; +∞[ , ∫ f ( t )e ∫ f (t ) e b a ixt dt ≤ ε ñều ñến f [ a; b ] Tức là: 3.1 ĐỊNH LÝ RIEMANN-LEBESGUE TRÊN MỘT ĐOẠN 3.2 ĐỊNH LÝ RIEMANN-LEBESGUE TRÊN MỘT KHOẢNG b ixt a Bồ ñề Lebesgue: Footer Page 11 of 126 dt  →0 x →+∞ 23 Header Page 12 of 126 24 Cho ( a, b ) ∈ ℜ2 cho a ≤ b, f : [ a; b ] → C liên tục khúc ∫ f ( t )e b Khi ñó: a iλ t dt  →0 λ →+∞ ∫ a hiệu: ∫ b f a [ a; b] c/ Cuối cùng, cho f : [ a; b ] → C liên tục khúc, cho ε > , có ánh xạ bậc thang e : [ a; b ] → C cho f − e ta có: ∀λ ∈ℜ+ , ∫ b a < ε Khi ñó ∞ ( f ( t ) − e ( t ) ) eiλt dt ≤ ∫ f ( t ) − e ( t ) dt ≤ ( b − a) ε b  ∫ e( t ) e b a iλt dt ≤ ε   ∫ a ∫( b a ) ∫ f ( t ) − e ( t ) eiλt dt + b a e ( t ) eiλt dt Nó chứng tỏ λ →0 λ ∫ f ( t )e dt  a i t →+∞ 3.3 TÍCH PHÂN TRÊN MỘT ĐOẠN MỘT ÁNH XẠ LIÊN TỤC TỪNG KHÚC Mệnh ñề 3.3.1 [ 4] Cho f : [ a, b ] → ℜ , liên tục khúc Các Footer Page 12 of 126 ∫[ hay: a ,b ] f hay: b b a a ∫ f ( x )dx b a f = Sup ϕ∈E ( a ,b ) ϕ ≤≤ f n −1 Số thực ∑ (a i =0 i +1 (∫ ϕ ) = b a Inf ψ ∈E ( a ,b ) f ≤ψ (∫ ψ ) b a − )λi không phụ thuộc phân hoạch s tương tích với e số thực ñược gọi tích phân e [ a, b ] ñược ký ∫ b a e hay ∫ e ( x )dx b a 3.4 Các tịnh chất ñại số Mệnh ñề 3.4.1 Ánh xạ CM  →ℜ dạng tuyền tính, b fa ≤ (1 + ( b − a ) ) ε b a e , với i ∈ {0, , ( n − 1)} , λi giá trị e ]ai , +1 [ hiệu Vậy với λ ∈ ℜ+ cho λ ≥ λ0 , ta có: f ( t ) eiλt dt ≤ a Mệnh ñề 3.3.2 Cho e ∈ E ( a, b ) , s = ( )0≤i ≤ n ∈ S , tương thích với a Mặt khác, có ∀λ0 ∈ ℜ+ cho: ∀λ ∈ℜ+ , λ ≥ λ0 ⇒ b b ∫ f ( x )dx = ∫ b/ sử dụng hệ thức Chasles , suy từ ñó tính chất ñúng f hàm bậc thang b Ta gọi biên chung ñó tích phân f (trên [ a, b ] ) ký ei λ b − e i λ a ≤ → iλ λ λ →+∞ eiλt dt = {∫ ϕ;ϕ ∈ E ( a,b) ,ϕ ≤ f } {∫ ψ ;ψ ∈E ( a,b) , f ≤ψ} theo thứ tự biên Biên ℜ , biên ñó a/ Tính chất ñó tức khắc f = , vì: b phận ℜ : ∫a f ( x )dx nghĩa là: ∀( f , g) ∈( CM )2 ∀λ ∈ℜ, ∫ ( λ f ( x) dx + g ( x) dx) = λ∫ f ( x) dx + ∫ g ( x) dx b b b a a a 3.5 CÁC ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG VẬT LÝ 3.5.1 Tích phân mặt ur Định nghĩa 3.5.1.1 [5] Giả sử D compăc ℜ F : D→ℜ3 25 Header Page 13 of 126 26 lớp tham số hóa thuộc lớp C1 f : D → ℜ ánh xạ uuur ñiểm G thuộc ℜ3 xác ñịnh bởi: OG = thuộc lớp C1 Ta gọi tích phân kép: ∫∫ D ur ur ∂F ∂F ∧ f ( u, v ) dudv ∂u ∂v uuuur σ ( M)OMdS ∫∫ µ( S,σ ) S 3.5.5 Moment quán tính ghềnh tích phân mặt Định nghĩa 3.5.5.1 [5] Giả sử H ñường thẳng mặt phẳng ℜ3 , với M thuộc ℜ3 ta ký hiệu d ( M , H ) 3.5.2 Diện tích phần mặt khoảng cách từ M ñến H Moment quán tính ghềnh Định nghĩa 3.5.2 [5] Giả sử S mặt có biểu diễn tham số ( S,σ ) ñối với H số thực IH xác ñịnh bởi: IH = ∫∫sσ ( M) ( d ( M, H) ) ur F : D → ℜ3 thuộc lớp C1 Ta gọi số thực ký hiệu là: ur ur ∂F ∂F diện tích S A ( S ) = ∫∫ ∧ dudv D ∂u ∂v dS , Trong ñó M chạy S dS yếu tố diện tích S KẾT LUẬN 3.5.3 Khối lượng ghềnh Định nghĩa 3.5.3.1 [5] Ta gọi, số thực µ xác ñịnh tích phân mặt: µ = ∫∫ σ ( M )dS , ñó S M ñiểm chạy S dS yếu tố diện tích, khối lượng ghềnh ( S , σ ) ur ℜ3 Như vậy, S có biểu diễn tham số F : D → ℜ3 ( u ,v ) a F ( u ,v ) ( ur µ = ∫∫ σ F ( u, v ) D ) ur ur ∂F ∂F ∧ dudv ∂u ∂v 3.5.4 Tâm quán tính ghềnh Định nghĩa 3.5.4.1 [5] Tâm quán tính ghềnh ( S , σ ) Footer Page 13 of 126 hợp cách chặc chẽ Luận văn ñã thực ñược nội dung sau: Trình bày cấu trúc tập hợp σ - vành, σ - ñại số, vành ñơn ñiệu… Trình bày lý thuyết ñộ ño vấn ñề liên quan Trình bày lý thuyết tích phân ứng dụng chúng khối lượng ( S , σ ) Sẽ là: Luận văn ñã trình bày lý thuyết tích phân dựa lý thuyết tập Thời gian thực luận văn có hạn nên nhiều vấn ñề sâu sắc chưa ñược ñề cập chắn không tránh khỏi kiếm khuyết, mong nhận ñược ñóng góp ý kiến quý thầy cô giao ñồng nghiệp  ... - vành, σ - ñại số, vành ñơn ñiệu… Trình bày lý thuyết ñộ ño vấn ñề liên quan Trình bày lý thuyết tích phân ứng dụng chúng khối lượng ( S , σ ) Sẽ là: Luận văn ñã trình bày lý thuyết tích phân. .. thống kiến thức tiếp cận lý thuyết tích dạy trường phổ thông Đó lý ñể chọn ñể tài Lý thuyết tích phân sử dụng tích phân vào việc giải số toán thực tế phân ứng dụng làm luận văn tốt nghiệp thạc... 126 MỞ ĐẦU chứng có xét vài trường hợp mở rộng ñể chứng tỏ lĩnh vực I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình toán Lào, lý thuyết tích phân ñược học từ phát triển xa mặt lý thuyết ứng dụng IV NỘI