Hệ bất phương trình toàn phương và ứng dụng vào lý thuyết tối ưu

LèI CÁM ƠN Lu¾n văn đưoc hồn thành tai trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i dưói sn hưóng dan cna PGS.TS.Nguyen Năng Tâm Tơi xin bày tó lòng cám ơn chân thành sâu sac tói PGS TS.Nguyen Năng Tâm, ngưòi ln quan tâm, đ®ng viên, giúp đõ tơi suot q trình tơi làm lu¾n văn Tơi xin gúi lòi cám ơn chân thành tói Ban giỏm hiắu trũng hoc s pham H Nđi 2, phòng sau đai hoc, thay giáo day cao hoc chun ngành Tốn giái tích tao đieu ki¾n thu¾n loi cho tơi q trình hoc t¾p nghiên cúu Tơi xin gúi lòi cám ơn tói ban giám hi¾u trưòng THPT Nhã Nam, só giáo duc đào tao Bac Giang, ban bè ngưòi thân tao đieu ki¾n cho tơi suot q trình theo hoc q trình hồn thi¾n bán lu¾n văn Hà N®i, tháng năm 2012 Tác giá Thân Văn Trung LèI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan bán lu¾n văn cơng trình nghiên cúu cna riêng tơi dưói sn hưóng dan cna PGS.TS Nguyen Năng Tâm So li¾u ket nghiên cúu lu¾n văn trung thnc khơng trùng l¾p vói đe tài khác Hà N®i, tháng năm 2012 Tác giá Thân Văn Trung Mnc lnc Báng ký hi¾u Má đau Chương M®T SO KIEN THÚC CƠ BÁN 1.1 1.2 1.3 1.4 Không gian Rn 1.1.1 Tích vơ hưóng 1.1.2 Chuan 1.1.3 Sn h®i tu cna dãy T¾p loi hàm loi 10 1.2.1 T¾p loi 10 1.2.2 T¾p mó, t¾p đóng 10 1.2.3 T¾p b% ch¾n t¾p Compact .11 1.2.4 Hàm loi 11 Dang tồn phương h¾ bat phương trình toàn phương 12 1.3.1 12 Dang toàn phương Bài toán toi ưu 14 1.4.1 Đ%nh nghĩa .14 Chương Hfi BAT PHƯƠNG TRÌNH TỒN PHƯƠNG VÀ ÚNG DUNG 2.1 16 Sn ton tai nghi¾m cna h¾ bat phương trình tồn phương loi úng dung 18 2.2 Úng dung 23 Chương Hfi BAT PHƯƠNG TRÌNH TỒN PHƯƠNG THUAN NHAT, TONG QT VÀ ÚNG DUNG 26 3.1 Sơ lưoc ve hàm toàn phương 26 3.2 Sn ton tai nghi¾m cna h¾ thuan nhat, h¾ tong quát 28 3.2.1 H¾ hai bat phương trình toàn phương 28 3.2.2 H¾ ba bat phương trình tồn phương 42 3.2.3 Đieu ki¾n toi ưu cho tốn "mien tin c¾y" 54 Ket lu¾n 58 Tài li¾u tham kháo 59 BÁNG KÝ HIfi rong xX x thuđc X x ∈/ X A\B A∪B A ∩B B x khơng thu®c t¾p X hi¾u cna t¾p A t¾p B hop cna t¾p A t¾p B giao cna t¾p A t¾p R t¾p hop so thnc Rn khơng gian vectơ n chieu R+ t¾p vectơ khơng âm cna Rn n intRn phan cna Rn+ Snìn cỏc ma trõn oi xỳng cừ n ì n Rmìn cỏc ma trắn cap m ì n ||x|| chuan cna x ∇f gradient cna f + < x, y > tích vơ hưóng cna hai vectơ x y xT chuyen v% cna x AT Q≥0 ma tr¾n chuyen v% cna A ma tr¾n Q núa xác đ%nh dương Mé ĐAU Lí chon đe tài Nhieu van đe Tốn hoc liên quan đen bat phương trình tồn phương Nhung bat phương trình tồn phương thưòng xuat hiắn mđt cỏch tn nhiờn nhieu lnh vnc cna Tốn hoc như: Toi ưu hóa, đieu khien toi ưu ky thu¾t Nhieu tác giá ngồi nưóc nghiên cúu h¾ nhung bat phương trình tồn phương vói nhung khía canh khác nhung úng dung cna chúng thu đưoc nhieu ket lý thú Sn ton tai nghi¾m cna h¾ bat phương trình tồn phương đóng vai trò quan trong vi¾c nghiên cúu tốn toi ưu xác đ%nh bói m®t hàm muc tiêu tồn phương Nh¾n biet đưoc vai trò quan cna nhung bat phương trình tồn phương, sau đưoc hoc nhung kien thúc cna chương trình cao hoc chun ngành Giái tích đưoc sn đ®ng viên cna PGS.TS Nguyen Năng Tâm quyet đ%nh chon đe tài “H¾ bat phương trình tồn phương Úng ding vào lý thuyet toi ưu” đe nghiên cúu Mnc đích nghiên cNu - Tìm hieu ve h¾ bat phương trình toàn phương - Áp dung nhung ket nghiên cúu biet ve h¾ bat phương trình tồn phương vào nghiên cúu tốn toi ưu tồn phương Nhi¾m nghiên cNu Nghiên cúu ve h¾ bat phương trình tồn phương loi úng dung cna vào nghiên cúu toán toi ưu Đoi tưang pham vi nghiên cNu - Đoi tưong: Các bat phương trình tồn phương tồn phương loi - Pham vi: Các bat phương trình tồn phương huu han chieu, sn ton tai nghi¾m cna chúng Phương pháp nghiên cNu - Sú dung phương pháp nghiên cúu cna giái tích tốn hoc dna nhung tài li¾u có liên quan đen bat phương trình tồn phương - Phân tích, tong hop ket q Đóng góp cúa lu¾n văn - Nghiên cúu làm rõ sn ton tai nghi¾m cna h¾ bat phương trình tồn phương loi, úng dung lí thuyet toi u - Tong hop, hắ thong mđt so ket đưoc nhà toán hoc nghiên cúu cơng bo ve bat phương trình tồn phương loi Chương M®T SO KIEN THÚC CƠ BÁN 1.1 Khơng gian Rn Đ%nh nghĩa 1.1.1 Vói R t¾p so thnc, ta kí hi¾u Rn t¾p tap cá b® đưoc sap n so thnc: x = (x1, x2, , xn); xi ∈ R, ≤ i ≤ n, xi đưoc goi toa đ® thú i cna x Vói c¾p phan tú Rn: x = (x1, x2, , xn), y = (y1, y2, ., yn) ta goi tong x + y phan tú Rn cho bói x + y = (x1 + y1, x2 + y2, , xn + yn) Vói moi λ ∈ R, x = (x1, x2, , xn) ∈ Rn ta goi tích cna x vói so vơ hưóng λ phan tú λx = (λx1, λx2, , λxn) Đ¾c bi¾t, ta kí hi¾u −x = (−x1, −x2, , −xn) = (0, 0, , 0) Ta có Rn vói hai phép tốn m®t khơng gian vectơ trưòng so thnc R Do đó, moi phan tú x ∈ Rn đưoc goi m®t n-vectơ hay m®t vectơ thnc n chieu 1.1.1 Tích vơ hưáng Vói moi c¾p vectơ x, y ∈ Rn ta đ%nh nghĩa tích vơ hưóng cna x y so thnc sau < x, y >= x1y1 + x2y2 + + xnyn Rõ ràng, tích vơ hưóng < , > l mđt ỏnh xa tự Rn ì Rn vào R Các tính chat cna tích vơ hưóng đưoc the hi¾n m¾nh đe sau M¾nh đe 1.1.1 Vói moi x, y, z ∈ Rn λ ∈ R ta có: a) < x, x >≥ b) < x, x >= ⇔ x = c) < x, y >=< y, x > d) < λx, y >=< x, λy >= λ < x, y > e) < x, y + z >=< x, y > + < x, z > Hai vectơ x y đưoc goi trnc giao vói đưoc kí hi¾u x ⊥ y neu < x, y >= 1.1.2 Chuan Vói moi vectơ x ∈ Rn, ta goi chuan cna x so thnc ||x|| đưoc đ%nh nghĩa bói √ ||x|| = < x, x > x1 + + + x n 2 x = Đ%nh lý 1.1.1 Vói moi x, y ∈ Rn ta có: a) ||x|| ≥ b) ||x|| = ⇔ x = c) ||λ|| = |λ|.||x|| d) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| 1.1.3 SN h®i tn cúa dãy Cho (xk)k N ∈ n ⊂ Rn m®t dãy vectơ Ta nói dãy h®i tu ve vectơ x ∈ R , kí hi¾u Neu dãy so thnc ||xk − x¯||k xk x= lim k→∞ ∈N h®i tu ve khơng Túc 10 x = lim xk ⇐⇒ lim ||xk − x¯||) = k→∞ k→∞ Ví dn 3.2.5 Cho n = K = R3 Xét h¾   2 f (x1, x2, x3) = 2x1x2 + x1 − 2x2 + 2x3   g(x1, x2, x3) = −2x +22x2     h(x1 , x2 , x3 ) = −2x1 x2 Khi ta có     2 0 −4 0 −2 0    Af =       , A =   −2 0 2 −4 0 , Ag = h        0 0 0 0 vói moi γ1, γ2, γ3 ∈ R, 2γ1 − 4γ2 2γ1 − 2γ3      γ1Af + γ2Ag + γ3Ah 2γ1 − 2γ3 −4γ1 + 4γ2    = 0 4γ1 Do đó, tính xác đ%nh dương cna ma tr¾n γ1Af + γ2Ag + γ3Ah kéo theo γ1 > 0, γ1 > 2γ2 γ1 < γ2 đieu la không the Do đó, khơng ton tai γ1, γ2, γ3 ∈ R cho γ1Af + γ2Ag + γ3Ah > Chú ý rang h¾    f (x)  Vì v¾y 2x1x2 + x2 − 2x2 + 2x2 = 2x2(x1 − x2) + x2 + x2 > 3 Đieu không the Cuoi thay rang ví du khơng thóa mãn ý ii) Đ%nh lí 3.2.6 Đe thay đưoc đieu ta se chí sn mâu thuan Giá sú ton tai (λ1, λ2, λ3) ∈ R+3 \{(0, 0, 0)} cho moi x = (x1, x2, x3) ∈ R3 ta có: λ1f (x) + λ2g(x) + λ3h(x) = (λ1 − 2λ2)x2 + 2(−λ1 + λ2)x2 + 2(λ1 − λ3)x1x2 + 2λ1x2 ≥ Do đó, ta phái có λ1 = λ2 = λ3 = đieu vô lớ Nh mđt hắ quỏ cna %nh lớ 3.2.6 ta cú oc mđt %nh lớ cho hắ ba bat phng trỡnh ton phng nghiờm ngắt v mđt bat phng trỡnh tuyen tính H¾ q 3.2.4 Cho a ∈ Rn vói n ≥ Cho f, g, h : Rn → R xác đ%nh bói:   T Af x + cf  f (x) x   = g(x) = xT Agx + cg    h(x) =2 xT Ah x Giá sú rang, ton tai γ1, γ+ γh3.∈ R cho γ1Af + γ2Ag + γ3Ah > 2, c m®t hai ket sau đúng: i) (∃x ∈ Rn)(f (x) < 0, g(x) < 0, h(x) < 0, aT x ≤ 0) n ii) (∃(λ1, λ2, λ3) ∈ R + \{(0, 0, 0)}), µ ≥ 0)(∀x ∈ R ) ta có λ1f (x) + λ2g(x) + λ3h(x) + µaT x ≥ Chúng minh Chí can chúng tó neu i) sai ii) Th¾t v¾y, giá sú rang i) sai Neu a = ket lu¾n ii) bang cách áp dung Đ%nh lí 3.2.6 Neu khơng, khơng mat tính tong qt ta có the giá sú a ƒ= 0, ton tai x ∈ Rn cho aT x = −1 cho K = {x ∈ Rn : aT x ≤ 0} Ta có K nón loi, liên tuc Rn vói dim(K ∪ (−K)) = dim(Rn) ≥ Tù i) sai theo Đ%nh lí 3.2.6 ton tai (λ1, λ2, λ3) ∈ R+3 \{(0, 0, 0)} cho ∀x ∈ K = {x ∈ Rn : aT x ≤ 0} ta có λ1f (x) + λ2g(x) + λ3h(x) ≥ Do [aT x ≤ ⇒ λ1f (x) + λ2g(x) + λ3h(x) ≥ 0] Chú ý rang aT x = −1 < Theo S-bo đe, ton tai µ ≥ cho moi x ∈ Rn ta có λ1f (x) + λ2g(x) + λ3h(x) + µaT x ≥ * Đieu ki¾n toi ưu cho tốn thuan nhat Xét toán thuan nhat sau (HOP )  T  min{ x Af x}    vói đieu ki¾n  T  x A gx ≤ 1  T   21 Ahx ≤ 1,  x n ó f, g, h : R → R vói n ≥ đưoc xác đ%nh bói   f (x) 21 T Af x x  =g(x) = xT A x − g    h(x) =2 xT Ah x −1 Bài tốn hi¾n đai dang (HOP ) phát sinh vien thơng đieu khien Ta có đieu ki¾n can đn cho tốn (HOP ) thóa mãn : γ Af + γ Ag + γ Ah > H¾ 3.2.5 Cho toán (HOP) Giá sú rang ton tai γ1, γ2, γ3 ∈ R cho γ1Af + γ2Ag + γ3Ah > Khi ú mđt nghiắm khỏ thi x l m®t giá tr% nhó nhat tồn cnc cúa (HOP) neu chí neu ton tai λ1 ≥ 0, λ2 ≥ cho ∇(f + λ1g + λ2h)(x) = 0; λ1g(x) = λ2h(x) = Af + λ1Ag + λ2Ah ≥ Chúng minh Giá sú x m®t nghi¾m cna (HOP) Ta xác đ%nh f˜(x) = f (x) − f (x) Khi h¾  f˜(x) <    g(x) <     h(x) < vơ nghi¾m Theo Đ%nh lí 3.2.6 ton tai (µ1, µ2, µ3) ∈ R3 \ {(0, 0, 0)} cho vói moi x ∈ Rn ta có µ1 f˜(x) + µ2 g(x) + µ3 h(x) = µ1 (f (x) − f (x)) + µ2 g(x) + µ3 h(x) ≥0 đó, µ2g(x) = µ3h(x) = (3.5) Vỡ vắy à1f + à2g + à3h at giỏ tr% nhó nhat tai x Rn Ta thay rang µ1 > neu khơng, µ2g(x) + µ3h(x) ≥ vói ∀x ∈ Rn Neu g(0) < 0, h(0) < µ2 = µ3 = Đieu mâu thuan vói thnc te (µ1, µ2µ3) ƒ= (0, 0, 0) Do f (x) + λ1g(x) + λ2h(x) ≥ f (x), λ1 = µ2 µ1 λ2 = µ3 µ1 Có nghĩa rang λ1g(x) = λ2h(x) = Vỡ vắy x l mđt nghiắm ton cuc cna f + λ1g + λ2h Rn Đieu cho ta ∇(f + λ1g + λ2h)(x) = ∇2(f + λ1g + λ2h)(x) = Af + λ1Ag + λ2Ah ≥ Ngưoc lai, giá sú rang ton tai (λ1, λ2) ∈ R2 +\ {(0, 0)} Sao cho   ∇(f + λ1 g + λ2 h)(x)  =0 λ1g(x) = λ2h(x) =     Af + λ1 Ag + λ2 Ah ≥ Cho hàm L : Rn → R đưoc xác đ%nh bói L(x) = f (x) + λ1g(x) + λ2h(x) Khi L(.) m®t hàm loi Rn ∇2L(x) = Af +λ1Ag +λ2Ah ≥ vói moi x ∈ Rn Bây giò, tù ∇L(x) = ∇(f +λ1 g +λ2h)(x) = thay rang x l mđt nghiắm cna L Do ú moi x ∈ Rn, ta có: f (x) + λ1g(x) + λ2h(x) = L(x) ≥ L(x) = f (x) + λ1g(x) + λ2h(x) = f (x) Do v¾y, f (x) ≤ f (x) vói moi x cho g(x) ≤ h(x) ≤ túc x nghi¾m cna (HOP) * H¾ khơng thuan nhat Cho f, g, h : Rn → R đưoc xác đ%nh bói:   T A f x + b T x + cf  f (x) f x   =g(x) = xT Agx + bT x + cg g    h(x) = xT A x + bT x + c h h h  vói Af , Ag, Ah ∈ Sn×n, bf , b g, bh ∈ Rn, cf , cg, ch ∈ R Chúng ta xác đ%nh Hf , Hg, Hh sau:      Ah Af bf Ag bg  , Hg =   , Hh =  Hf =  bgT bhT bf T 2cf 2cg 2ch bh (3.6) Ta nhắn oc, mđt dang cna đ%nh lí Gordan cho ba hàm tồn phương khơng thuan nhat bang cách đong nhat Đ%nh lý 3.2.7 Cho n ≥ hàm so f, g, h, ma tr¾n Hf , Hg, Hh đưoc xác đ%nh (3.6) Giá sú rang, ton tai γ1, γ2, γ3 ∈ R cho: γ1Hf + γ2Hg + γ3Hh > (3.7) Khi đó, m®t ket q sau đúng: i) Ton tai x ∈ Rn cho f (x) < 0, g(x) < 0, h(x) < ii) Ton tai (λ1, λ2, λ3) ∈ +\ {(0, 0, 0)}, ∀x ∈ Rn cho: R3 λ1f (x) + λ2g(x) + λ3h(x) ≥ (3.8) Chúng minh Ta chí rang neu i) khơng ii) Th¾t v¾y, ta có h¾    f (x) 