Luận văn về biểu diễn wigner cửa sổ

Biu din Wigner - ca s 1.1 Giao thoa biu din Wigner - ca s B GIO DC V O TO TRNG I HC s PHM H Mc lc NI Bng k hiu v vit tt Li cam cm oan n M u Chu Th Hng Lam Mt s khỏi nim v kt qu ban u 1.1 Mt s khng gian hm 1.1.1 Khụng gian Banach Lun "V din Wigner ca Cng, s" c honthy thnh Tụi xin bytttnghip lũng cm nbiu sõu sc n TS Bựi-Kiờn ngi ó 1.1.2 Khng gian L ptụi di s hng dn tn tỡnh, nghiờm khc sut ca thy TS Bựi v Kiờn Cng tn tỡnh hng dn ng viờn quỏ giỏo trỡnh - hc nghiờn cu 1.1.3oan Khụng gian cỏc hm kim tra v i ngi tụi V BIU DIN WIGNER - CA Tụihc xincam lun nyny l cụng trỡnh nghiờn cusca riờng khoa hon thnh lun 1.1.4 Khụng gian Sobolev Trong nghiờn v hon ó tớch, tha khoa k nhng Tụi xinquỏ cmtrỡnh n cỏc thy cu cụ giỏo trongthnh t b lun mụn Toỏntụi Gii Toỏn 1.2 Bin i Fourier thnh ca cỏc v dy, nggiỳp nghip vito s iu trõn kin trngcho v trngqu ikhoa hc hc S phm H nh Nikhoa ó hc ging v Chuyờn Giiv tớch Móis: 60 46 ng 01 02 Ngc i hng 1.2.1ngnh: Bin iToỏn Fourier bin Fourier bit n thnh tt lun ng thi, tụi cng xin gi li cm n n cỏc anh tụi hon dn: TS 1.2.2 Bin i Fourier thiBựi gianKiờn ngnCng (STFT) ch v cỏc bn lp cao hc ó giỳp tụi quỏ Hc trỡnhviờn nghiờn cu ca mỡnh H Ni, thỏng 12 nm 2015 1.3 Biu din Wigner Cui cựng, tụi xin c gi li cm n ti gia ỡnh, bn bố v cỏc ng 1.4 Lp phõn b Cohen nghip luụn ng viờn v chia s khú khn cựng tụi sut quỏ trỡnh hc 1.5 Biu din tớch phõn T-Wigner v nghiờn cu 1.5.1 Cỏc inh ngha Chu12Th Hng Lam H Ni, thỏng nm 2015 1.5.2 Mt s tớnh cht ca biu din T-Wigner LUN VN THC S TON HC Hc viờn 1.6 Toỏn t gi vi phõn Chu Th Hng Lam H Ni - 2015 64 93527 X8 plp Cohen l lp Cohen Dng tng quỏt ca l a n Vớ d ta 1.1.17 13 < Vúi pK 00, / gian LtMnh (Mn), ỏnh xx rng 2, kớ hiu l< ty yỡ) Vi mi aZ, phộp toỏn o hm l ỏnh tuyn tc t oo i tng nghiờn cu: tớch thi gian tn toỏn -tTgi vi phõn (1.6) |a| +{ 0dng, n Tớnh tc ltQ f(x , w) > vi mi X , w ò g){x,w) = e~27ợỹwợp(t) f{x + )g(x - )d t (3) II/IIL(è) = esssup I/,p (a:)| oo, (lCho +ca |;c|2) \D =0 vi Wiig f{ G) L (Rn) d u d x = I I/ II a ) N uDoab ht tớnh dng 6ca phõn m b Wigner v cỏc xy sau ú / s=thiu R2n R2n ó dn n vic nghiờn cu cỏc biu dinmthi b ) N u ab > thỡ Wig (/) * a b > vi i gian-tn G L (Msn).bc hai khỏc nh lớ lý 1.3.10 G i s 1.4 inh Lp phõn b Cohen 1.5.6 chol mt phiờn ca ) m trỡ cỏc dng dao ng qu ca 1.3.7 , giỏ chỳng taõmsuy mt yu a ca N uNh ab v u ầ M2n s ao cho Wigner vi mt hm ht nhõn nh lý 1.3.11 Wi g (/ ) ( X , ( j ) d x d c > ( - e ) \ \ f \ \ ) nh 1.4.1 2n Cohen l hp tt c cỏc biu din c (/) II gi a) G i sngha r ng vi Ta L 1lp n Lphõn (Mb ), chỳng ta cú hoc Q f c dng wig (/) (x, U)) (a;, ự) dxduỳ > thỡ \u\ > (1 -ố) ~n R2" Tớnh dng T b 1.5.3 chỳng ta thy phõn b Wigner tho hu ht Q liờn f = Wig (/) *tha m ón vụi m i f G L (M n) Khi cú(/)=l tc v cỏc tớnh cht ca mt biu din thi gian-tn s lớ tng Tuy nhiờn, gii vi e S' (M2n) c gi l hm ht nhõn thớch nh mt mt nng lng hay mt xỏc sut ng thi thỡ nú phi khụng sausca b Wigner Sau õm õy nh ta xột lý mt tớnhHudson cht cacho lpthy phõnphõn b Cohen Tớnhhu ht l khụng õm ngoi tr cỏc hm Gauss cht: 16 Cho f,g e L (Rn) ,ÊS' (Mn) thỡ lp phõn b Cohen cú cỏc tớnh cht sau: Qa { T xMuf) = T {XjU ;)Q f ng thc J J Q f (x, L ỳ ) dxduj = 11/11 ll2n R xy v ch J J (x, Cd) dxduỳ R2" Vi f , g eL (Mn), ú ( Q a f , Q a 9) L 2(R2n) = \ ( f , g } \ xy v ch |(7 (X, c) = hu khp ni C hng m inh T (1.12), chỳng ta suy Wig cT XMJ) = T MWig (/) Vỡ vy Qa (T xMuf) = Wig (T XMJ ) * = (T MWig))* = ( Wig (/) * a) = T a:jU )Q f Do ú tt c biu din thi gian tn s lp Cohen u l hip bin 1918 17 n c p B vi dng m iRihaczek f,ge1.3.7 L 2liờn (Rta ) hp (hoc m tdin ca Biu din ca hai hmmt /, g khụng kớ hiu gian l R* (/, g) trlự biu J Jdng Q af(x,uj)d xduj= (Wigf*cr xdc 2(M.n)) Kh ú tn ti m t) (x,cu)d hm suy r ng tng chm G [...]... xé2t Biểu 1.6.4 .diễn Từ các biểu -diễn Chương Wigner cửa khác sổ nhau của toán tử giả vi phân như phân tích bên trên (các công thức(|1.3Íj ), (Ịl.35 ) và (1.39)), chúng ta nhận thấy rằng toán tử giả vi phân có thể: Xem như là một toán tử giả vi phân với biểu trưng Kohn-Nirenberg ơ € «S'(K2n), hoặc Xem như là một toán tử tích phân với nhân к = Т а Т %а^ hoặc 2.1 Giao thoa trong biểu diễn Wigner - cửa sổ. .. (2.21) về các biểu diễn Wigner cửa sổ các chất cơ bản của D ifferentia l Oper ator : y Anal ys is , Appl icat ions and tịị s-L chúng Com puta tions ,e Basel, Springer, pp 275-288 T ỉfiu) R" °i(trong lý2 thuyết ìầ2(u xử ~ v)ý(u v) fiv)dv, • Hiện tượng giao= thoa lý tín ~hiệu khi sử dụng biểu diễn [3] P Boggiatto, E Carypis, A Oliaro (2013), "Windowed -Wigner Wigner - cửa trong đó ă 2 là biếnsổ đổi... chất của các biến điệu với phân bố ờ G Oliaro... năng lượng trưng trên đoạn [a,b] Xét theo biến đổi Wigner cổ điển, vì Wig(f,g) = cho cả wigị và ị (f)(x, w)dw = ậ X |/| 2(:r), ( b )wig Ị Wig^ Wig(g,f), ta có Sau đây, chúng(b’) tôi liệt kê các tính chất không trải, tính chất thuộc lớp Ị Wigị( f)(x,w)dw = \ f{w)\2ĩp(0) Wig(f J) = WigU uh) + mwig( iuh) + Wig(h,h) (2.7) Cohen của các biểu diễn Wigner - cửa sổ C hứng m inh Chúng bắt đầu chứng (a) và (a’)... với \ w 0 — W ị \ đủ lớn Khi đó ta kết luận được \\w ig; R(f,0,fw JII1, -m khi Iw 0 — W ị \ — > +00 Đánh giá (2.11) được suy ra từ (2.6), thực ra, với Iw 0 — W i \ > R, L 2 chuẩn của Wi g ^ ( f , f W l ) có thể đánh giá như sau — rb—a H-{W0-W ij I'D—a 1 / ~^ ds ay )* R—(w0 — R Wo / 7ĩ V (w0 - W Wi) 1 ) 2 - R2 □ 2.2 Toán tử liền kết với biểu diễn Wigner - cửa sổ Chúng ta nhắc lại một kết quả liên quan... đượ c s ử dùng để biểu thị toàn bộ lớp Cohen, nghĩa là m ọi bi ểu diễn c trong lớp C ohen có thể đượ c viế t dướ i dạng c (/) = o' * Wỉg T (/) vói ơ' G S' (M 2n) phù hợp C hứng m inh Giả sử c (/) = ơ * Wig (/) với ơ € S' (M2n) là biểu diễn của c (/) trong lớp Cohen Theo Định lý 1.7.5 thì Wig T (/) = ov * Wig (/) Mà ta có Ơ T * Ơ ị — T — ỗ Nên