Luận văn về biểu diễn wigner cửa sổ

B GIO DC V O TO TRNG I HC s PH M H NI C h u T h H ng L am V B I U D I N W I G N E R - C A s Chuyờn ngnh: Toỏn Gii tớch Mó s: 60 46 01 02 Ngi hng dn: TS Bựi Kiờn Cng LUN VN THC S TON HC H N i - 2015 Li cm n Tụi xin by t lũng cm n sõu sc n T S B ự i K iờ n C n g , ngi thy ó tn tỡnh hng dn ng viờn tụi sut quỏ trỡnh hc v nghiờn cu khoa hc hon thnh lun ny Tụi xin cm n cỏc thy cụ giỏo t b mụn Toỏn Gii tớch, khoa Toỏn trng i hc S phm H Ni ó ging dy, giỳp v to iu kin cho tụi hon th n h t t lun ng thi, tụi cng xin gi li cm n n cỏc anh ch v cỏc bn lp cao hc ó giỳp tụi quỏ trỡnh nghiờn cu ca mỡnh Cui cựng, tụi xin c gi li cm n ti gia ỡnh, bn bố v cỏc ng nghip luụn ng viờn v chia s khú khn cựng tụi sut quỏ trỡnh hc v nghiờn cu H Ni, thỏng 12 nm 2015 H c v iờ n C h u T h H ng L am Li cam oan Lun t t nghip " V b i u d i n W i g n e r - c a s " c hon thnh di s hng dn tn tỡnh, nghiờm khc ca thy giỏo - TS Bựi Kiờn Cng Tụi xin cam oan lun ny l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi Trong quỏ trỡnh nghiờn cu v hon thnh lun tụi ó th a k nhng thnh qu khoa hc ca cỏc nh khoa hc v ng nghip vi s trõn trng v bit n H Ni, thỏng 12 nm 2015 H c v iờ n C h u T h H ng L am M c lc B n g k h i u v v i t t t M u M t s k h ỏ i n i m v k t q u b a n u 1.1 1.2 1.1.1 Khụng gian B a n a c h 1.1.2 Khng gian Lp 1.1.3 Khụng gian cỏc hm kim tra v i ngi1 1.1.4 Khụng gian Sobolev Bin i F o u rie r 1.2.1 Bin i Fourier v bin i Fourier ng c 1.2.2 Bin i Fourier thi gian ngn (STFT) 1.3 Biu din W ig n e r 1.4 Lp phõn b C o h e n 1.5 Biu din tớch phõn T -W ig n e r 1.6 Mt s khng gian hm 1.5.1 Cỏc inh n g h a 1.5.2 Mt s tớnh cht ca biu din T-Wigner Toỏn t gi vi phõn B i u d i n W ig n e r - c a s 2.1 Giao thoa biu din Wigner - ca s V 2.2 2.1.1 Biu din W igner - ca s 30 2.1.2 Gim bt giao thoa W 32 Toỏn t liờn kt vi biu din W igner - ca s 38 K t lu n 43 T i li u th a m k h o 44 B N G K í H I U V V I T TT N Tp s t nhiờn N* Tp s t nhiờn khỏc khụng Tp s thc r ; Tp s thc dng Tp s phc Tp s thc hoc phc s1 ng trũn n v vi tõm l gc ta Rn Khụng gian Euclide n - chiu (Rn) Khụng gian cỏc hm cú ly th a bc p kh tớch trờn Mn 00 (fi) Khụng gian cỏc hm kh vi vụ hn 0() Khụng gian cỏc hm kh vi vụ hn cú giỏ compact a L a ch s, a = (ô 1, , a n) N n Cp ca a , |a | = otj j= Kt thỳc chng minh |a | M u Lý chn ti Cho trc mt tớn hiu, tc l mt hm / G L 2(Md) ca bin thi gian X R d, phõn b nng lng ca tớn hiu ny theo thi gian v tn s c biu din c in bi 1/ ( 2;)|2 v |/ ( Ê ) |2 tng ng M t khỏc, phõn b Q f ( x , w ) xỏc nh trờn m t phng thi gian - tn s X lm sỏng t theo mt cỏch no ú s phõn b nng lng ca / c v thi gian v tn s v c gi l phõn b hay biu din thi gian - tn s Mt iu kin t nhiờn c yờu cu i vi biu din thi gian - tn s l - Tớnh dng, tc l Q f ( x , w) > vi mi X, w - T ớnh cht khụng tri, tc l Nu supp / c I vi mt khong I c R d th ỡ n ^ su p p ^ ( / ) c I ( U x l p h ộ p c h i u t r c g i a o tng t, nu supp / c J vi m t khong J c X Ơ M ^ ), v th ỡ n ^ su p p / c J - Tớnh cht l, tc l / Q ( f ) ( x , w ) d x = |/(ô ;) v f Q ( f ) ( x , w ) d w = d Rd l/(^ ) ớ2Tuy nhiờn, nguyờn lý khụng chc chn i vi gii tớch thi gian - tn s ó ch rng cỏc iu kin trờn khụng tng thớch, v iu ny ó ch vic phi phỏt trin mt khung cnh rng hn v gii tớch thi gian - tn s xp x nhng yờu cu trờn theo m t ngha no ú Mt lp rng hn ca cỏc biu din ton phng thi gian - tn s c bit n l lp Cohen Dng tng quỏt ca lp Cohen l Q , g ) = (i) Cho f , g l hai L - hm; ú \ \ W i9 ; R (f,9)\\L> ^ \\W ig(f,g)\\L > (2.10) 35 R -> 0 Hn na \\Wig*R, f ) \ \ L v \\Wig(f, f ) \ \ L khụng ph thuc vo (ii) X e m xột hai tn s Wo,W Ê R ngha l fw0(t) = e 27iWotX a b -(t) v f Wl(t) = e2*iWltx [aM{t), Vúi R c nh, \\WigR Woỡf W l ) \ \ L -> vi \wq Wi\to+oo Hn na, vi Iw0 W \ > R ta cú \\Wig;R( f w f Wl)\\L, < iR {b ~ j L = {wq - w i )2 - R (2.11) Chng minh, (i) Vi f , g E L 2(M) ta cú X[-R,R]{t)f{w + ) g { w - ) , ú, vỡ Wig*f R ( f , g ) = + ) M w - ) ta cú IIWig,R, g) \ \ 2Li = + )g(w - ) \ \ 2L (2 12) = [-,](*)\ ( w + ) ( w - ) \ d t d w Vỡ X [-R ,R ]{t)\f{w + I )g(w - f ) |2 tin n If ( w + I )g(w - f ) |2 hu khp ni v X[-R,R]{t)\f{w + ) g { w - ) \ < I { w + ) g ( w - ^ ) | G L ^ M 2) (2.13) vi mi R > 0, t nh lý hi t tri Lebesgue, ta suy \\Wig;R( f , g ) \ \ l -> ||/( + t/2)g(w / )||^ (2.14) Bõy gi, \ \ h w + ) { w - ) \ \ L* = \ t^ J { w + |)) (w - )\\L* = \\Wig{f,g){w - x ) \ \ L = \\Wig{f,g)\\L2 , (2.15) 36 v t (2.13) v (2.15) ta cú kt lun Bõy gi chỳng ta xem xột tớnh c lp ca chun \\W ig^R( f , f )\\ v \ \ Wi g ( f , f )\ \ i vi Ta ch i vi phộp dch chuyn v phộp xoay T0 v M , tng ng cho bi, vi tham s thc a v v hm / e L 2, Taf ( x ) = f ( x a) v M b f ( x ) = e2ibxf ( x ) Khi ú ta vit f (s ) = T ( 12 ) v nhng tớnh cht ca M X a b]{s) bin i Fourier ta cú I I ^ i ( / )/ a ) || = J X[-R,R]{t)\{TX[aớb])(w + ) ( T X[a,b])(w - ) \ 2dtdw [ t t = I *[-ô,ô](ớ)l(X[ô,6])(w - + ỡ i X a M ) ^ ~ ~ ) \ 2dtdw / = / x [ - f l , f l ] ( * ) l ( x [ ô 1ũ ] ) ( ^ + / ){x[a,b])(w - ) \ 2dtdw v nh vy \\Wig^R( f , f ) \ \ L khụng ph thuc ' Tng t, ta cng chng minh c cho \ \ W i g R ( f , f ) \ \ L khụng ph thuc Chỳ ý rng (2.10) cng ỳng vi hm / , g e L (Mn) ,n > 1, ly hm ht l hm cú dng ) = ớpR = X[-R,R\n (ii) T (2.12) ta cú V ViglR èL^LM * = U =J r {ỡ ) w 0{u t f R f -ớ + ) f w 0{u - )\\è2 ~ \U u + i U u i \ 2dwdt /- ^ ^ J_ s 1_ _ X T_ ~ Do ú, bi phộp i bin UJ + I = Ê v dựng tớnh cht c bn ca bin i Fourier ta cú / / R _ R R / \fw0{Ê)(Tt f Wl){0\2dt dt J oo r + oo / - IU ) ( M , u j m 2did t ( 16 ) R J oo ~ I ll*^7s->f(/w0 * {Mtfw i ))\\ l 2{R) ^ J R R / p + 00 /*+ 00 / R J 00 I(A * (M tf Wl))(s)\2dsdt, 37 ú g(x) = g(x) Bõy gi ta i tớnh (/ * (M ,/ 1))(S) = e~2*iyt'Wo~Wl ^Xa,b](y)Xa,b](s - v)dy Quan sỏt rng / nu X[ a , b] ( - y ) X[ a, b ] ( S - y ) = { X[-b,s-a]{y) [a b , b a] , ( f Wo *( nu s e [a b , b a] - [a b, 0] nu S G [ , - ], X[ s - b , - a ] { y ) ta cú l vi S s ) = Liờn h n trng hp khỏc, ta nhc li rng vi mi a < ò ta cú f e ~ 2liyzd y = e Tri(a ò ) z ( ò a ) s i n c ( i t ( ò a ) z ) */ a ú [a b, sincx l m rng liờn tc trờn M ca hm Do ú, vi s ] ta cú (/ô * {Mtf Wl)){s) = ^ èWoS [ J-b , - i i y ( w 0- w 1- t ]d y = - 1(8- - ) ( - 1- 1) ( _ a + Lp lun tng t vi s [0, b a - + b)(w - v s dng sincx wx - t)) l hm chn ta cú 2i ws ( / ô * ( M t / Wl) ) 0 = e 27iws e ri(s a b ) ( w0 W1 - - w + Wi)), ú ( p{ s ) = Ta cú t (2.16) rng nu s s + b nu s G [a s nu s G [0 , b a + b [a b , b a\ ử, ] a] (2.17) 38 w i g l R { f W, f Wl ) \ \ 2L > = [ \ > ( s ) s i n c ( T ( p ( s ) ) ( t w + W i ) \ 2d s d t J R J 00 R (w QWi) / r b a \(p(s)sinc(7(p(s)y)\2dsdy R(wqWi ) J ab (2.18) Vè hm + 0 ỏnh giỏ (2.11) c suy t (2.6), thc ra, vi Iw W i \ > R, L chun ca W i g ^ R ( f Wo, f Wl) cú th ỏnh giỏ nh sau / H - { W - W ij I'Da r b a / R ( w0 W i ) J a b ~ ^ dsay )* y/AiRib a) V (w - W1)2 - R2 2.2 Toỏn t lin kt vi biu din W igner - ca s Chỳng ta nhc li m t kt qu liờn quan n s tn ti ca mt song ỏnh gia cỏc toỏn t gi vi phõn v cỏc dng tuyn tớnh liờn hp M n h Cho E , E i , E l ba khụng gian Banach v gi s rng E l phn x (i) Gi s if : E i X E E l ỏnh x tuyn tớnh lch, b chn Khi ú tn 39 ti nht mt ỏnh x tuyn tớnh, b chn a e E* !-> Ta e B { E i , E D cho vi mi V e E2 (Tau ,v) = (a, (pVỡu), 'in e E (2.19) (ii) Gi s rng ỏnh x a G E* I Ta E B { E i , E ) l tuyn tớnh liờn tc, ú (2.19) xỏc nh mt ỏnh x tuyn tớnh lch b chn : E x E > E Quan sỏt thy rng cỏc khụng gian i ngu dựng c xem nh l nhng khụng gian cỏc phim hm liờn hp tuyn tớnh, vỡ th kớ hiu (.,.) cú th thỏc trin th n h m t tớch vụ hng L Q ua Mnh 2.2.1 ta cú th hn ch vo toỏn t liờn kt vi cỏc phõn b W v Wg^\ Chớnh xỏc hn, vit T v U l toỏn t tng ng liờn kt vi W v Wg* I, ta cú kt qu sau õy: M n h 2.2.2 Vi mi f , g L 2(Rd) v a [...]... tn s thc, cỏc tn s ny c gi l tn s o hoc tn s giao thoa iu ny to ra nhng khú khn trong vic gii thớch ý ngha vt lớ ca phõn b Wigner T ú, ngi ra m rng nghiờn cu phõn b T -Wigner ph thuc tham s T Ê [, 1] 1.5.1 C ỏ c n h n g h a n h n g h a 1.5.1 Vi T E [0,1], f , g & s (Kn), phõn b T -Wigner ca hm / kớ hiu W i g T ( / ) c nh ngha bi W ig T (f){x,uj) = J e ~ 2liu;tf ( x + T t ) f ( x - (1 - r ) t ) d t (1... Re (W ig T ( /)) 2 W i g T ( / ) - W t 0 i_T ( /) = 2 tlm (W t 0 T ( /) ) nh lý sau núi lờn mi quan h ca biu din T -Wigner vi biu din Rihaczek, Rihaczek liờn hp v vi phõn b Wigner n h lý 1.5.7 Vi cỏc biu din ó c a ra trong nh ngha 1.5.1 v nh ngha 1.5.2 chỳng ta cú 1 W igi = W i g (Phn b Wigner) 2 Wigo = R (Biu din Rihaczek) 21 3 W igi = R* (Biu din R liờn hp) Chng minh Bng cỏch thay ln lt r bng | ,... -^U-X)du (1 10) Rn = 2ne ^ xw(f,M2wT2xlg) = 2ne7ix-wvlgf{2x,2w) r>n 4i i x w / f H/ rp 'T\ Vi B |l.3.2| nhng c tớnh cú th d dng chuyn i t STFT sang biu din Wigner Cỏc c tớnh ú c xỏc nh y trong h qu sau: M n h 1.3.3 Vi f , g e L 2(Mn), biu din Wigner chộo cú cỏc tớnh cht sau: (a) w ( f , g ) l liờn tc u trong M2n v \\w,g)\\00 0 v u ầ M2n sao cho II Wig ( / ) ( X, (j) dxdc > ( 1 - e ) \\f\\) thỡ \u\ > (1 - ố ) 2 ~n T ớn h d n g T b 1.5.3 chỳng ta thy phõn b W igner tho m ón hu ht cỏc tớnh cht ca... 1.5.5 thỡ W i g i - r (c, x) = W i g T ( /) (X,UJ) Sau ú ỏp dng (1.24) c nỳng ta c J w ỡ 9t ( /) (x,u ))dx = W i g i - r (u j,-x )d u ) " I" /(-z ) = |/(s)|2- nh lý c chng minh n h lý 1.5.9 Biu din T -Wigner cú tớnh cht giỏ vi mi T Ê [0,1] Chng minh Nu W i g T ( / ) (Ê,u;) 0, t nh ngha ca T W igner tn ti t e R n sao cho X + Tt v X (1 r ) t nm trong supp / t 22 p = X + Tt v q = X (1 r ) t thỡ X... 11,supp W ớ 0 T ( / ) c H (supp / ) cú n wsupp W i g T ( / ) c H (supp f j ta ỏp dng nh lý 1.5.5 v chng minh tng t nh trờn B 1.5.10 Ta luụn cú f R2" e 2,Kèypd y d p = 1 n h lý 1.5.11 Biu din T -Wigner thuc lp Cohen, vụi mi T [0,1], ngha l W i g T ( / , g) (X,UJ) = (r * W i g ( f , g )) ( x , u ) , V f , g s (Mn) (1.25) vi |2r 1| ' ' 2 , T=| (1.26) Chng minh + Trng hp T = , theo nh lý 1.5.7