Về biểu diễn wigner cửa sổ

B GIO DC V O TO TRNG I HC s PHM H NI Chu Th Hng Lam V BIU DIN WIGNER - CA s Chuyờn Toỏn Gii tớch ngnh Mó 60 46 01 02 N g i h n gs: d n : TS Bựi Kiờn Cng LUN VN THC s TON HC H Ni - 2015 Li cm n Tụi xin by t lũng cm n sõu sc n TS Bựi Kiờn Cng, ngi thy ó tn tỡnh hng dn ng viờn tụi sut quỏ trỡnh hc v nghiờn cu khoa hc hon thnh lun ny Tụi xin cm n cỏc thy cụ giỏo t b mụn Toỏn Gii tớch, khoa Toỏn trng i hc S phm H Ni ó ging dy, giỳp v to iu kin cho tụi hon thnh tt lun ng thi, tụi cng xin gi li cm n n cỏc anh ch v cỏc bn lp cao hc ó giỳp tụi quỏ trỡnh nghiờn cu ca mỡnh Cui cựng, tụi xin c gi li cm n ti gia ỡnh, bn bố v cỏc ng nghip luụn ng viờn v chia s khú khn cựng tụi sut quỏ trỡnh hc v nghiờn cu H Ni, thỏng 12 nm 2015 Hc viờn Chu Th Hng Lam Li cam oan Lun tt nghip " v b i u d i n W i g n e r - c a s " c hon thnh di s hng dn tn tỡnh, nghiờm khc ca thy giỏo - TS Bựi Kiờn Cng Tụi xin cam oan lun ny l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi Trong quỏ trỡnh nghiờn cu v hon thnh lun tụi ó tha k nhng thnh qu khoa hc ca cỏc nh khoa hc v ng nghip vi s trõn trng v bit n H Ni, thỏng 12 nm 2015 Hc viờn Mc lc Bng ký hiu v vit tt Chu Th Hng Lam Mt s khỏi nim v kt qu ban u 1.1 Mt s khng gian hm 1.1.1 Khụng gian Banach 1.1.2 Khụng gian 1.1.3 Khụng gian cỏc hm kim tra v i ngu 1.1.4 Khụng gian Sobolev M u 1.2 Bin i Fourier 1.2.1 Bin i Fourier v bin i Fourier ngc 1.2.2 Bin i Fourier thi gian ngn (STFT) 1.3 Biu din Wigner 1.4 Lp phõn b Cohen 1.5 Biu din tớch phõn T-Wigner 1.5.1 Cỏc nh ngha 1.5.2 Mt s tớnh cht ca biu din T-Wigner 1.6 Toỏn t gi vi phõn Biu din Wigner - ca s 2.1 Giao thoa biu din Wigner - ca s vii 1 1 7 10 15 18 18 19 25 30 30 2.1.1 Biu din Wigner - ca s 2.1.2 Gim bt giao thoa W i g 2.2 Toỏn t liờn kt vi biu din Wigner - ca s 30 32 38 Kt lun 43 Ti liu tham kho 44 BNG Kí HIU V VIT TAT N Tp s t nhiờn N* Tp s t nhiờn khỏc khụng K Tp s thc R*+ Tp s thc dng c Tp s phc K Tp s thc hoc phc s1 ng trũn n v vi tõm l gc ta M" Khụng gian Euclide n - chiu (Mn) Khụng gian cỏc hm cú ly tha bc p kh tớch trờn c (ớỡ) Khụng gian cỏc hm kh vi vụ hn ầ } C ^ (ớỡ) Khụng gian cỏc hm kh vi vụ hn cú giỏ compact ầ } a L a ch s, a = (ôI, , a n ) G N |Cĩ| cp ca a , |Cĩ| = a j M" n =1 Kt thỳc chng minh M u Lý chn ti Cho trc mt tớn hiu, tc l mt hm / G L ( R d) ca bin thi gian X G Kd, phõn b nng lng ca tớn hiu ny theo thi gian v tn s c biu din c in bi 1/(012 v 1/(012 tng ng Mt khỏc, phõn b Q f ( x , w ) xỏc nh trờn mt phng thi gian - tn s X lm sỏng t theo mt cỏch no ú s phõn b nng lng ca / c v thi gian v tn s v c gi l phõn b hay biu din thi gian - tn s Mt iu kin t nhiờn c yờu cu i vi biu din thi gian - tn s l - Tớnh dng, tc l Q f { x , w ) > vi mi X , w - Tớnh cht khụng tri, tc l Nu supp / c / vi mt khong / c M d thỡ nxsupp \&(/) c I (nx l phộp chiu trc giao X ^ Md); v tng t, nu supp / c J vi mt khong J c Md thỡ n^supp / c J - Tớnh cht l, tc l f Q ( f ) ( x , w ) d x = |/(I;)|2 v f Q ( f ) ( x , w ) d w = Md Tuy nhiờn, nguyờn lý khụng chc chn i vi gii tớch thi gian - tn s ó ch rng cỏc iu kin trờn khụng tng thớch, v iu ny ó ch vic phi phỏt trin mt khung cnh rng hn v gii tớch thi gian - tn s xp x nhng yờu cu trờn theo mt ngha no ú Mt lp rng hn ca cỏc biu din ton phng thi gian - tn s c bit n l lp Cohen Dng tng quỏt ca lp Cohen l Q{f,g) = ) + C ( s u p p /), l w s u p p { W i g * f ) ) c C ( s u p p /) t r o n g ú C ỡ l b a o l i c a T Mnh 2.1.6 C ỏ c b i u d i n W i g ý v W i g t h u c l p C o h e n C t h l, vi mi f,g G S(Rn),4> S'(Rn), chỳng ta cú Wig{f,g) = (đ ) * Wig(f,g) Wig(f,g) = {đ)* Wig,g) (2.4) (2.5) ú Ip{x) = >(x) 2.1.2 Gim bt giao thoa W i g ^ Trong mc ny, chỳng ta a mt vi c tớnh liờn quan n s gim bt giao thoa ca biu din W i g v W i g ^ Trong [1], [2] ó ch rng vi s la chn c bit ca ỡ > W i g cho thy khụng cũn hin tng "búng ma" C th l, xem xột mt tớn hiu / vi hai tn s CJ v C1 hai khong thi gian khụng lin [ h , h + ò ] v [ k , k + a ] , vi k + a < h Ta cú th vit / di dng / = /1 + /2 vi /i(ớ) = e 27 i t u J X [ k , k + a { t ) v f 2{ t ) = e 27r i t u J l X [ h , h + ò { t ) , (2.6) ú XM] l hm c trng trờn on [a,b] Xột theo bin i Wigner c in, vỡ W i g { f , g ) = W i g ( g , f ) , ta cú W i g (/, /) = W i g { f u /i) + W V i g ( h , h ) + W i g , /2) (2.7) S giao thoa (búng ma) c ch bi bin i Wigner nm gia hai tn s c biu din s hng R W i g ( f i , /2) Bõy gi ta i xem xột W i g ( f , /) vi - = X [ - R , R ] - Ta cú kt qu sau: Mnh 2.1.7 G i s r n g h k < m a x { a , ò O'} (2.8) Khi ú tn ti R > cho: X [ - R , R } i t ) f x + ) X - ) = f X + f X ~ = M v i X mi t, G M v j = 1, (n) _ X[-fi,fi](ớ)/1(đ + ^>(/2(3: - ) = Phỏt biu ca mnh l mt chng minh [2], ú mt biu din hỡnh hc cng l cho trc Bng s tớnh toỏn n gin ta cú vi mi f , g e L Wig^igJ) = W i g s , g ) ú p ( t ) := p ( t ) c bit, t ỡ > = X [ - R R ] t cú WigR{gJ) = Wig^R(f,g) Khi ú, vi mi / nh (2.6), nu (2.7) tha v chn R nh (2.1.7) ta cú W g R { f , /) = W g R { h , h ) + 2t o W i g + M , f ) + W i g + M , /2) = Wig(f1J1) + Wig(f2,f) (2.9) So sỏnh (2.9) v (2.6) ta quan sỏt thy tỏc ng ca W i g ^ p trờn lp tớn hiu ny l b s hng t W i g ( f i , /2), v trờn thc t th ca W i g ( f , /) khụng cũn tn s ma Bõy gi ta i xem xột biu din W i g Vỡ Wi9è{f,9){x,w) = Wig{f,g){w, -X ) p dng Mnh (2.1.7) trờn phng din bin i Fourier v kt lun c rng tớn hiu / m bin i Fourier ca nú c cha trờn hai khong khụng lin k [ k , k + a \ v [ h , h + / ] , nu iu kin { / ) l tha thỡ ta chn > R = X [ - R R ] vi mt giỏ tr R phự hp cho W i g khụng cũn giao thoa bin i Fourier Mt khỏc, yờu cu bin i Fourier / ca tớn hiu / cú giỏ compact cú ngha l mt tớn hiu t nú khụng th cú giỏ compact theo thi gian v ú nú khụng l mt tớn hiu ỳng ngha Quan sỏt thy rng iu kin { / ) cú ngha l khong lng gia hai thnh phn/i v /2 ca tớn hiu phi rng (rng hn khong thi gian tn ti ca chỳng) Chỳng ta mun quan sỏt tỡnh hỡnh tng t i vi tn s Khi ú, ta phõn tớch biu din W g / i vi mt tớn hiu cha hai tn s khỏc nhau, cú khong lng xa Ta xỏc nh /o(ớ) = e M x l c M (ớ), vi e { R ) c nh v < a < b Ta cú kt qu sau: nh lý 2.1.8 c n h i > R { t ) = X [ - R R ] R > (i) Cho f,g l hai L2 - hm; ú \\Wig;R,9)\\L> k h i 00 H n n a \ \ W i g * R { f , / )|| L \\Wig{f,g)\\L> v \\Wig{f, f (2.10) )\ \ L khụng ph thuc vo ( i i ) X e m x ộ t h a i t n s W Q , W G K n g h a l f w { t ) = e 27 i W o t X a b](ớ) v /uii(ớ) = Vfft R c n h , \ \ W i g ^ R ( f W o , f |u>0 u>i|to+oo H n n a , v i \ w o W \ > R t a c ú W l )\ \ L -> vt /4*(6~2=- WWigiAU'.Uh* < (2.11) C h n g m i n h , (i) Vi /, g G L2(M) ta cú X[-R,R]{t){w + )g{w - ), ú, vỡ WigĂ,R{f,g) = F^AX-RM^H + ))g{w - ), ta cú \\Wig;R{f,g )\\2L2 = ||x[-JR,JR](ớ)/(w + ) g { w - \ = t - )\ \ L 2 t (2 12 ) J X [ - R , R ] { t ) \ { w + ^ ) g { w - - ) \ d t d w Vỡ X [ - R , R ] { t ) \ f { w + ) g { w - ) \ tin n If ( w + ) g { w - ) \ hu khp ni v X[-*,ô](ớ)l/> + Ê(R2) (2.13) )g(*> - )\2 < I/(ằ + )(v - )\2 vi mi R > 0, t nh lý hi t tri Lebesgue, ta suy \\Wig^R{f,g )\\2L2 \\f(w + t/2)g(w-t/2)\\2L2 (2.14) Bõy gi, ll/(w + ) g ( w - ) \ U2 = ll^/( + gM - ) \ \ L > = IIW i g { f , g ) { w - x ) \ \ L = \\Wig(f,g)\\L , (2.15) e v t (2.13) v (2.15) ta cú kt lun Bõy gi chỳng ta xem xột tớnh c lp ca chun \ \ W i g R ( f , f ) II v IIW i g ( f , f ) II i vi Ta ch i vi phộp dch chuyn v phộp xoay T a v M b tng ng cho bi, vi tham s thc a v b v hm / L , T a f ( x ) = f ( x a ) v M b f ( x ) = e l i h x f { x ) Khi ú ta vit f ( s ) = M X [ a b](s) T (2.12) v nhng tớnh cht ca bin i Fourier ta cú W g ^ R { f ỡ f )\\2L2 = X [ - R , R ] { t ) \ i T ^ X [ a , b ] ) { w + ) { ^ X [ a , b ] ) i w - ) \ d t d w =J X[- J R l J R ](ớ )| (X [a 16])(w /t = - + ^)(X [a , 6])(w ~~ -)\dtdw t~ X[-JRlJR](ớ)|(X[a16])(^ + ^)(x[a,6])(w - - ) \ d t d w Vr / T - I - r ỡ I ^ v nh vy \\Wig^ R (fa, fa)\\ L khụng ph thuc > Tng t, ta cng chng minh c cho \\Wig ỡ p R {f , /< )|| khụng ph thuc /wi)lli* MO>o(w + ) f w { u R r r J = ll? - pỡỡh \fWo(u + fWo(^)\2dwdt R J oa Do i ú, bi phộp r /ớ /* + oo \\Wig;R(UJWl)\\l= / \UmrtU,m\2dt J R J oa P li r + oa c i =// J n R J oa R R /* + 00 - bin LO + I = Ê v dựng tớnh cht bn ca bin Fourier ta cú (2.16) II+S-+/160 * {^dtfw1))\\L2(Rớ)dt J R nR p + oa / J / \{fw0 * {MtfWl))(s)\2dsdt, R J oo ú g ( x ) = g ( x ) Bõy gi ta i tớnh (/ô * (,))W = - y)dy Quan sỏt rng nu S [ a b , b X[a,b](-y)X[a,b](s - y ) = < X[-b,s-a]{y) X[sớ>, a] (y) a \ nu s [a b , 0] nu s [0, b a], ta cú l vi s [ a b , b a ] , (f W a * (M t f W l ) ) ( s ) = Liờn h n trng hp khỏc, ta nhc li rng vi mi a < ( ta cú ú s i n c x l m rng liờn tc trờn K ca hm Do ú, vi s [ a b , 0] ta cú (/ * (M,/,))(s) = e2"* / J-b = e^ose-,i{s-a-b)(Wo-Wl-t)s _ a + -a + b){w0 - Wl - ớ)) Lp lun tng t vi s E [0, b a \ v s dng s i n c x l hm chn ta cú (L * {s)){t - Wo J R J 00 /R - ( w - w ) r b - a \tp{s)snc{'Kfp{s)y)dsdy R ( w W ) J a b vỡ hm (s) cú giỏ compact Quan sỏt thy rng \ t p { s ) s n c { ' K < p { s ) y ) \ G L^M2), v ly mt compact tựy ý K G K2 v [ a b , b a ] X R ( W Q w i), R ( W Q u>i)] khụng giao vi |u>0 w i| ln Khi ú ta kt lun c \\wig;R(fWojwM>^Q |u>0 W \ > +00 ỏnh giỏ (2.11) c suy t (215), thc ra, vi |ui0 W \ > R , L - chun ca W i g ^ R ( f W a , f W l ) cú th ỏnh giỏ nh sau /R - ( w - w ) r b - a - / -^dsdyý R (w0Wi) J a b y y/A.T[R{b a) Ky/{w - W1) - R2 2.2 Toỏn t liờn kt vi biu din Wigner - ca s Chỳng ta nhc li mt kt qu liờn quan n s tn ti ca mt song ỏnh gia cỏc toỏn t gi vi phõn v cỏc dng tuyn tớnh liờn hp Mnh 2.2.1 C h o E , E 1, E l b a k h ụ n g g i a n B a n a c h v g i s r n g E2 l phn x ( i ) G i s p : E X E > E l ỏ n h x t u y n t n h l c h , b c h n Khi ú tnti nht mt ỏnh x tuyn tớnh, b chn a E* !-ằ T a B ( E , E l ) s a o c h o v i m i V E ( T a u , v ) = { a , ( p v , u ) , V u e E (2.19) ( i i ) G i s r n g ỏ n h x a E * !-ằ T a B ( E , E l ) l t u y n t n h l i n tc, ú (2.19) xỏc nh mt ỏnh x tuyn tớnh lch b chn ip : E X E2 > E Quan sỏt thy rng cỏc khụng gian i ngu dựng c xem nh l nhng khụng gian cỏc phim hm liờn hp tuyn tớnh, vỡ th kớ hiu cú th thỏc trin thnh mt tớch vụ hng L Qua Mnh 2.2.1 ta cú th hn ch vo toỏn t liờn kt vi cỏc phõn b W i g p v W i g \ Chớnh xỏc hn, vit T ý v U ý l toỏn t tng ng liờn kt vi W i g v W i g I, ta cú kt qu sau õy: Mnh 2.2.2 V i m i f , g L ( R d) v a G { t ) g ( x + - ) f ( x -) J K2n \ J d Jx dKw2" u + V w ) > { f(v)dvdw u v)e è 2Ux ) g ( u ) f ( x u ) d u = n a ( x , w ) ( / e - ' i w t ( u - x ) w > j,2\ fu> ( V W dxdw ) J K" \ ( u 2i f(v)g(u)dvdudw v)w l toỏn t m chỳng ta tỡm kim Bõy gi xem xột trng hp W i g ( f , g ) Nh trc, chỳng ta bt u bng vic vit rừ kt qu ca tớch vụ hng (a, W i g ( f , g ) ) : a ( x , w ) [ / e27ri'0(t) + - ) f ( w - d t ) d x d w J M2" \ J 2 n / a ( x , w ) / e 2m x { 2u - 2w ) } ^ 2u w ) g ( u ) f ( w u ) d u j d x d w J M2" \ J 1" ) nAp2nix u v ( - ) f(v)g(u)dudvdx Bõy gi, lm ni bt tớch vụ hng gia toỏn t v hm g , cn thit vit biu thc ca / v g \ ú V / ô( J M5na { x , + uy 2iix{u l i u m )4>(u v)2iium e f(s)g(m)dmdsdudvdx v)e a ( x , y ) ^ ( z ) -2itixz -2itix(y- )s 2iti(y+ )m f Sn jR (s)g(m)dmdsdudvdx s + m a(x,y)x_,2wiy(m / J M" s) (s)g(m)dmdsdydx Cui cựng ta cú ,f{m)= a{x,y)ý{x - s + m)e2niy{m~s) f{s)dsdydx J K3n l toỏn t liờn kt vi W i g Quan sỏt rng, cú th vit li toỏn t liờn kt vi W i g ch tng ng vi toỏn t Weyl C th hn, gi s a G { t ) J M2" \ J = 2" / b ( w , x ) > ( u - 2v)t J M3" (b(w, -x), (/e l i x t > { t ) g { w + t / ) f ( w s = JM" dxdw ^u~v)xJ{u){2w - u)dudxdw x)e27i(u~v'>('~x'>p(u v)f(v)g(u)dudvdx v vit dng hin ca g ( u ) , ta cú toỏn t liờn kt c cho bi biu thc f ( u ) = [ - v ) e l i { u ~ v ) f { v ) d v d x d s , (2.22) ú b ( x , w ) = a ( w , x ) u+V a( - , w e 2v )i rwi ( u f ( v ) dnv d w G [...]... 1.5 Biu din tớch phõn T -Wigner Theo cỏc kt qu ó nghiờn cu, biu din Wigner cho ta thy mt tn s gi gia bt kỡ hai tn s thc, cỏc tn s ny c gi l tn s o hoc tn s giao thoa iu ny to ra nhng khú khn trong vic gii thớch ý ngha vt lớ ca phõn b Wigner T ú, ngi ra m rng nghiờn cu phõn b T -Wigner ph thuc tham s r G [0,1] 1.5.1 Cỏc nh ngha nh ngha 1.5.1 Vi r G [0,1] , /, g G S' (Kn), phõn b r -Wigner ca hm / kớ hiu... T -Wigner vi biu din Rihaczek, Rihaczek liờn hp v vi phõn b Wigner nh lý 1.5.7 Vi cỏc biu din ó c a ra trong nh ngha 1.5.1 v nh ngha 1.5.2 chỳng ta cú 1 Wigk = Wig (Phn b Wigner) 2 Wig 0 = R (Biu din Rihaczek) 3 Wigi = R* (Biu din R liờn hp) C h n g m i n h Bng cỏch thay ln lt r bng 1,0,1 vo (1.17) v i bin ly tớch phõn ta s c iu phi chng minh Sau õy chỳng ta nghiờn cu mt s tớnh cht ca biu din T -Wigner. .. lý khụng chc chn cho phõn b Wigner B 1.3.8 N u Ê > 0 v U ầ M2n s a o c h o JJ Wig (/) (z, C) dxduj > (1 - e) \\f \\2L2 u thỡ \u\ > (1 - e ) 2 ~ n Tớnh dng T b 1.5.3 chỳng ta thy phõn b Wigner tho món hu ht cỏc tớnh cht ca mt biu din thi gian-tn s lớ tng Tuy nhiờn, gii thớch nh mt mt nng lng hay mt xỏc sut ng thi thỡ nú phi khụng õm nh lý sau ca Hudson cho thy phõn b Wigner hu ht l khụng õm ngoi... b Wigner khụng th xem xột l phõn b nng lng trờn cỏc tp b chn 1.4 Lp phõn b Cohen Do s thiu ht tớnh dng ca phõn b Wigner v cỏc vn xy ra sau ú ó dn n vic nghiờn cu cỏc biu din thi gian-tn s bc hai khỏc nh lớ 1.5.6 cho ta mt phiờn bn trn ca W i g ( f ) m trỡ hoón cỏc dao ng a phng v tho món nguyờn lớ khụng chc chn H thng hoỏ ngi ta xem xột cỏc biu din thi gian-tn s bc hai di dng tớch chp ca phõn b Wigner. .. ( ( x , w ) Trong biu din Wigner chộo cú mt nhõn t tng t nhõn t ca STFT trong b (1.3.2) t Ts l phộp i ta i xng xỏc nh bi T s F ( x , t) = F(x + , X |) v t F 2 bin i Fourier theo bin th hai B 1.3.4 Cho f , g e L 2 {R n ) Khi ú W { f , g ) = F 2 T S { đ g ) Tip theo chỳng ta s nghiờn cu tớnh cht giỏ v mt biờn ca phõn b Wigner hiu ti sao phõn b Wigner li c coi l biu din thi gian-tn... w - { u - x ) du = 2 n e^ i x - w {f,M 2 w T 2 x lg) = 2 n e 7 i x w V I g f{2x,2w) (1-10) Vi B 1.3.2 nhng c tớnh cú th d dng chuyn i t STFT sang biu din Wigner Cỏc c tớnh ú c xỏc nh y trong h qu sau: Mnh 1.3.3 Vi f,g L 2 (R n ), biu din Wigner chộo cú cỏc tớnh cht sau: (a) W ( f , g ) l liờn tc u trong M2n v \\W(f,g)\\ o 0 vi mi (cr, c) G K2n khi v ch khi f mt hm Gauss tng quỏt dng f{x) = e õy A G GL (n, C) l mt ma trn kh nghch cp n X n trờn c vi phn thc xỏc nh dng v b G C", c G c gii quyt tớnh dng ca phõn b Wigner ngi ta ly giỏ tr trung bỡnh ti tng im thụng qua tớch chp ca W i g ( f ) vi mt hm trn cú tõm ti (0,0) c xem nh l giỏ tr trung bỡnh ca W i g ( f ) ti (z,c) Rt khú xỏc nh