Về biểu diễn wigner cửa sổ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Chu Thị Hồng Lam VỀ BIỂU DIỄN WIGNER - CỬA SỔ Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 02 Người hướng dẫn: TS Bùi Kiên Cường LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2015 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến TS Bùi Kiên Cường, người thầy tận tình hướng dẫn động viên suốt trình học tập nghiên cứu khoa học để hoàn thành luận văn Tôi xin cảm ơn thầy cô giáo tổ môn Toán Giải tích, khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy, giúp đỡ tạo điều kiện cho hoàn thành tốt luận văn Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn đến anh chị bạn lớp cao học giúp đỡ trình nghiên cứu Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đồng nghiệp động viên chia sẻ khó khăn suốt trình học tập nghiên cứu Hà Nội, tháng 12 năm 2015 Học viên Chu Thị Hồng Lam Lời cam đoan Luận văn tốt nghiệp "Về biểu diễn Wigner - cửa sổ" hoàn thành hướng dẫn tận tình, nghiêm khắc thầy giáo - TS Bùi Kiên Cường Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng Trong trình nghiên cứu hoàn thành luận văn thừa kế thành khoa học nhà khoa học đồng nghiệp với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 12 năm 2015 Học viên Chu Thị Hồng Lam Mục lục Bảng ký hiệu viết tắt vi Mở đầu vii Một số khái niệm kết ban đầu 1.1 1.1.1 Không gian Banach 1.1.2 Không gian Lp 1.1.3 Không gian hàm kiểm tra đối ngẫu 1.1.4 Không gian Sobolev Biến đổi Fourier 1.2.1 Biến đổi Fourier biến đổi Fourier ngược 1.2.2 Biến đổi Fourier thời gian ngắn (STFT) 1.3 Biểu diễn Wigner 10 1.4 Lớp phân bố Cohen 15 1.5 Biểu diễn tích phân τ -Wigner 18 1.5.1 Các định nghĩa 18 1.5.2 Một số tính chất biểu diễn τ -Wigner 19 Toán tử giả vi phân 25 1.2 1.6 Một số không gian hàm Biểu diễn Wigner - cửa sổ 2.1 30 Giao thoa biểu diễn Wigner - cửa sổ iv 30 v 2.2 2.1.1 Biểu diễn Wigner - cửa sổ 30 2.1.2 Giảm bớt giao thoa W igψ∗ 32 Toán tử liên kết với biểu diễn Wigner - cửa sổ 38 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 BẢNG KÝ HIỆU VÀ VIẾT TẮT N Tập số tự nhiên N∗ Tập số tự nhiên khác không R Tập số thực R∗+ Tập số thực dương C Tập số phức K Tập số thực phức S1 Đường tròn đơn vị với tâm gốc tọa độ Rn Không gian Euclide n - chiều Lp (Rn ) Không gian hàm có lũy thừa bậc p khả tích Rn C ∞ (Ω) Không gian hàm khả vi vô hạn Ω C0∞ (Ω) Không gian hàm khả vi vô hạn có giá compact Ω α Là đa số, α = (α1 , · · · , αn ) ∈ N |α| Cấp α, |α| = n αj j=1 Kết thúc chứng minh Mở đầu Lý chọn đề tài Cho trước tín hiệu, tức hàm f ∈ L2 (Rd ) biến thời gian x ∈ Rd , phân bố lượng tín hiệu theo thời gian tần số biểu diễn cổ điển |f (x)|2 |fˆ(ξ)|2 tương ứng Mặt khác, phân bố Qf (x, w) xác định mặt phẳng thời gian - tần số Rxd × Rxd làm sáng tỏ theo cách phân bố lượng f thời gian tần số gọi phân bố hay biểu diễn thời gian - tần số Một điều kiện tự nhiên yêu cầu biểu diễn thời gian - tần số - Tính dương, tức Qf (x, w) ≥ với x, w - Tính chất không trải, tức Nếu supp f ⊆ I với khoảng I ⊆ Rd Πx supp Ψ(f ) ⊆ I (Πx phép chiếu trực giao Rdx × Rdw → Rdx ), tương tự, supp fˆ ⊆ J với khoảng J ⊆ Rd Πw supp fˆ ⊆ J - Tính chất lề, tức Q(f )(x, w)dx = |fˆ(w)|2 Q(f )(x, w)dw = |f (x)| Rd Rd Tuy nhiên, nguyên lý không chắn giải tích thời gian - tần số điều kiện không tương thích, điều việc phải phát triển khung cảnh rộng giải tích thời gian - tần số để xấp xỉ yêu cầu theo nghĩa Một lớp rộng biểu diễn toàn phương thời gian - tần số biết đến vii viii lớp Cohen Dạng tổng quát lớp Cohen Q(f, g) = σ ∗ W ig(f, g) (1) σ ∈ S (R2n ) nhân Wig biến đổi Wigner cổ điển W ig(f, g)(x, w) = t t e−2πitw f (x + )g(x − )dt 2 (2) với f, g ∈ S(Rn ) Với biểu diễn Wigner, tính chất không trải theo thời gian tần số thỏa mãn, lại gây tượng giao thoa hay tượng bóng ma cặp tần số thực mặt phẳng thời gian - tần số (xem [2], [3]) Đã có nhiều cố gắng tìm kiếm biểu diễn thời gian - tần số nhằm giảm thiểu tượng (xem [4]) Lớp Cohen cách để lọc biến đổi Wigner, chọn nhân σ phù hợp tượng giao thoa giảm ([4]) Ở đây, cách cải biên biến đổi Wigner hai biến đổi Wigner - cửa sổ xác định bởi: W igψ (f, g)(x, w) = t t e−2πitw ψ(t)f (x + )g(x − )dt 2 (3) W igψ∗ (f, g)(x, w) = t t g (w − )dt e2πitw ψ(t)fˆ(w + )ˆ 2 (4) với f, g, ψ ∈ S(Rn ) Trong công thức (3), ψ đóng vai trò hàm cửa sổ theo biến tần số biến đổi W igψ∗ Trong [2], [3], tác giả nghiên cứu tính chất giao thoa biến đổi Wigner - cửa sổ tính chất toán tử ẩn liên hệ với biến đổi Wigner - cửa sổ Với mong muốn hiểu biết lĩnh vực toán học lý thú để thực luận văn tốt nghiệp, hướng dẫn tiến sĩ Bùi Kiên Cường, mạnh dạn chọn đề tài Về biểu diễn Wigner - cửa sổ ix Mục đích nghiên cứu + Nắm khái niệm bản, tính chất số biểu diễn thời gian - tần số toán tử giả vi phân tương thích với số lớp giải tích thời gian - tần số + Hệ thống hóa việc giảm tượng giao thoa số biểu diễn thời gian - tần số tính chất số lớp toán tử giả vi phân tương thích với số lớp giải tích thời gian - tần số Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày tổng quan việc giảm tượng giao thoa số biểu diễn thời gian - tần số tính chất số lớp toán tử vi phân tương thích với lớp giải tích thời gian - tần số Đối tượng phạm vi nghiên cứu + Đối tượng nghiên cứu: giải tích thời gian - tần số, toán tử giả vi phân + Phạm vi nghiên cứu: Các báo tài liệu nước liên quan đến đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu + Sử dụng kiến thức phương pháp giải tích hàm, giải tích điều hòa để tiếp cận vấn đề + Thu thập nghiên cứu tài liệu có liên quan, đặc biệt báo nước vấn đề mà luận văn đề cập tới x Cấu trúc luận văn Luận văn gồm hai chương , cụ thể gồm chương sau: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Biểu diễn Wigner - cửa sổ Những đóng góp đề tài Luận văn công trình nghiên cứu tổng quan việc giảm tượng giao thoa số biểu diễn thời gian - tần số tính chất số lớp toán tử vi phân tương thích với lớp giải tích thời gian - tần số 31 Mệnh đề 2.1.3 Với f ∈ S(Rn ) ψ ∈ L1 (Rn ) cho ψˆ ∈ L1 (Rn ), có (a) W igψ (f )(x, w)dw = |f (x)|2 ψ(0), (a’) W igψ (f )(x, w)dw = ψˆ × |f |2 (x), (b) W igψ∗ (f )(x, w)dw = ψˆ˜ × |f |2 (x), (b’) W igψ∗ (f )(x, w)dw = |fˆ(w)|2 ψ(0) Chứng minh Chúng ta bắt đầu việc chứng minh (a) (a’) Quan ˆ ∈ S (Rn ), có: sát thấy với F, G ∈ S (Rn ) cho Fˆ , G F G(s)ds = Hơn nữa, ˆ Fˆ (s − t)G(t)dt = Fˆ (s)ds ˆ G(s)ds ˆ Φ(w)dw = Φ(0) với Φ ∈ S (Rn ), nên có W igψ (f )(x, w)dw = Ft→w ψ(t)f (x + t/2) f (x − t/2) dw = |f (x)|2 ˆ ψ(s)ds = |f (x)|2 ψ(0) Chúng ta có W igψ (f )(x, w)dw = e−2πitw ψ(t)f (x + t/2) f (x − t/2)dt dx = e−2πitw e2πit(η+ξ) e−2πit(η−ξ) ψ(t)fˆ(ξ)fˆ(η)dηdξdtdx = e−2πitw eπit(η+2ξ) e−2πixη ψ(t)fˆ(ξ)fˆ(η + ξ)dξdtdηdx = Fη→x e−2πitw eπit(η+2ξ) ψ(t)fˆ(ξ)fˆ(η + ξ)dξdt dx = eπit(w−ξ) ψ(t)|fˆ(ξ)|2 dξdt = (ψˆ ∗ |fˆ|2 )(w) Các công thức (b), (b’) suy trực tiếp nhờ công thức (2.3) công thức (a), (a’) 32 Hệ 2.1.4 Với f ∈ S(Rn ) ψ ∈ L1 (Rn ) cho ψˆ ∈ L1 (Rn ), có W igψ (f )(x, w)dxdw = W igψ∗ (f )(x, w)dxdw = f L2 ψ(0) Đặc biệt, ψ(0) = 1, có công thức bảo toàn lượng cho W igψ W igψ∗ Sau đây, liệt kê tính chất không trải, tính chất thuộc lớp Cohen biểu diễn Wigner - cửa sổ Mệnh đề 2.1.5 Với f ∈ S(Rn ), ψ ∈ S (Rn ), có ˆ Πx supp (W igψ (f )) ⊂ C(supp f ), Πw supp (W igψ (f )) ⊂ supp (ψ)+C(supp fˆ), ˜ˆ Πx supp (W igψ∗ (f )) ⊂ supp (ψ)+C(supp f ), Πw supp (W igψ∗ (f )) ⊂ C(supp fˆ) CΩ bao lồi Ω Mệnh đề 2.1.6 Các biểu diễn W igψ W igψ∗ thuộc lớp Cohen Cụ thể là, với f, g ∈ S(Rn ), ψ ∈ S (Rn ), có ˆ ∗ W ig(f, g) W igψ (f, g) = (δ ⊗ ψ) (2.4) W igψ∗ (f, g) = (ψˆ˜ ⊗ δ) ∗ W ig(f, g) (2.5) ˜ ψ(x) = ψ(−x) 2.1.2 Giảm bớt giao thoa W igψ∗ Trong mục này, đưa vài đặc tính liên quan đến giảm bớt giao thoa biểu diễn W igψ W igψ∗ Trong [1], [2] với lựa chọn đặc biệt ψ W igψ cho thấy không tượng "bóng ma" Cụ thể là, xem xét tín hiệu f với hai tần số ω0 33 ω1 hai khoảng thời gian không liền [h, h + β] [k, k + α], với k + α < h Ta viết f dạng f = f1 + f2 (2.6) với f1 (t) = e2πitω0 χ[k,k+α (t) f2 (t) = e2πitω1 χ[h,h+β (t), χ[a,b] hàm đặc trưng đoạn [a,b] Xét theo biến đổi Wigner cổ điển, W ig(f, g) = W ig(g, f ), ta có W ig(f, f ) = W ig(f1 , f1 ) + W ig(f1 , f2 ) + W ig(f2 , f2 ) (2.7) Sự giao thoa (bóng ma) biến đổi Wigner nằm hai tần số biểu diễn số hạng W ig(f1 , f2 ) Bây ta xem xét W igψ (f, f ) với ψ = χ[−R,R] Ta có kết sau: Mệnh đề 2.1.7 Giả sử h − k ≤ max{2α, β − α} (2.8) Khi tồn R > cho: (i) t t t t χ[−R,R] (t)fj (x + )(fj (x − ) = fj (x + fj (x − , j = 1, 2 2 với t, x ∈ R j = 1, (ii) t t χ[−R,R] (t)f1 (x + )(f2 (x − ) ≡ 2 Phát biểu mệnh đề chứng minh [2], biểu diễn hình học cho trước Bằng tính toán đơn giản ta có với f, g ∈ L2 W igψ (g, f ) = W igψˆ˜(f, g) ˜ := ψ(−t) Đặc biệt, đặt ψ = χ[−R,R] ta có ψ(t) W igψR (g, f ) = W igψR ˆ˜ (f, g) 34 Khi đó, với f (2.6), (2.7) thỏa mãn chọn R (2.1.7) ta có W igψR (f, f ) = W igψR (f1 , f1 ) + W igψR (f1 , f2 ) + W igψR (f2 , f2 ) = W ig(f1 , f1 ) + W ig(f2 , f2 ) (2.9) So sánh (2.9) (2.6) ta quan sát thấy tác động W igψ lớp tín hiệu để bỏ số hạng W ig(f1 , f2 ), thực tế đồ thị W igψ (f, f ) không tần số ma Bây ta xem xét biểu diễn W igψ∗ Vì W igψ∗ (f, g)(x, w) = W igψ (fˆ, gˆ)(w, −x) Áp dụng Mệnh đề (2.1.7) phương diện biến đổi Fourier kết luận tín hiệu f mà biến đổi Fourier chứa hai khoảng không liền kề [k, k + α] [h, h + β], điều kiện (2.7) thỏa mãn ta chọn ψR = χ[−R,R] với giá trị R phù hợp cho W igψ∗ không giao thoa biến đổi Fourier Mặt khác, yêu cầu biến đổi Fourier fˆ tín hiệu f có giá compact có nghĩa tín hiệu tự có giá compact theo thời gian không tín hiệu nghĩa Quan sát thấy điều kiện (2.7) có nghĩa khoảng lặng hai thành phầnf1 f2 tín hiệu phải đủ rộng (rộng khoảng thời gian tồn chúng) Chúng ta muốn quan sát tình hình tương tự tần số Khi đó, ta phân tích biểu diễn W igψ∗ tín hiệu chứa hai tần số khác nhau, có khoảng lặng đủ xa Ta xác định f0 (t) = e2πiσt χ[a,b] (t), với σ ∈ (R) cố định < a < b Ta có kết sau: Định lý 2.1.8 Cố định ψR (t) = χ[−R,R] , R > (i) Cho f, g hai L2 - hàm; ∗ W igψR (f, g) L2 → W ig(f, g) L2 (2.10) 35 ∗ (fσ , fσ ) R → ∞ Hơn W igσR L2 W ig(fσ , fσ ) L2 không phụ thuộc vào σ (ii) Xem xét hai tần số w0 , w1 ∈ R nghĩa fw0 (t) = e2πiw0 t χ[a,b] (t) ∗ fw1 (t) = e2πiw1 t χ[a,b] (t), Với R cố định, W igψR (fw0 , fw1 ) L2 → với |w0 − w1 |to+∞ Hơn nữa, với |w0 − w1 | > R ta có ∗ W igψR (fw0 , fw1 ) L2 ≤ 4R(b − a) π (w0 − w1 )2 − R2 (2.11) Chứng minh (i) Với f, g ∈ L2 (R) ta có t t χ[−R,R] (t)fˆ(w + )ˆ g (w − ), 2 đó, t t ∗ −1 W igψR (f, g) = Ft→x (χ[−R,R] (t)fˆ(w + ))ˆ g (w − ), 2 ta có ∗ W igψR (f, g) L2 t t g (w − ) 2L2 = χ[−R,R] (t)fˆ(w + )ˆ 2 t t = χ[−R,R] (t)|fˆ(w + )ˆ g (w − )|dtdw 2 (2.12) Vì χ[−R,R] (t)|fˆ(w + 2t )ˆ g (w − 2t )|2 tiến đến |fˆ(w + 2t )ˆ g (w − 2t )|2 hầu khắp nơi t t t t χ[−R,R] (t)|fˆ(w + )ˆ g (w − )|2 ≤ |fˆ(w + )ˆ g (w − )|2 ∈ L1 (R2 ) (2.13) 2 2 với R > 0, từ định lý hội tụ trội Lebesgue, ta suy W igψ∗ R (f, g) L2 → fˆ(w + t/2)ˆ g (w − t/2) L2 (2.14) Bây giờ, t t fˆ(w + )ˆ g (w − ) 2 L2 t t −1 ˆ = Ft→x f (w + ))ˆ g (w − ) L2 2 = W ig(fˆ, gˆ)(w − x) L2 = W ig(f, g) L2 , (2.15) 36 từ (2.13) (2.15) ta có kết luận Bây xem xét tính độc ∗ lập chuẩn ||W igψR (fσ , fσ )|| ||W ig(fσ , fσ )|| đối vơi σ Ta phép dịch chuyển phép xoay τa Mb tương ứng cho bởi, với tham số thực a b hàm f ∈ L2 , τa f (x) = f (x − a) Mb f (x) = e2πibx f (x) Khi ta viết fσ (s) = Mσ χ[a,b] (s) Từ (2.12) tính chất biến đổi Fourier ta có ∗ W igψR (fσ , fσ ) L2 = = = t t χ[−R,R] (t)|(τσ χˆ[a,b] )(w + )(τσ χˆ[a,b] )(w − )|2 dtdw 2 t t χ[−R,R] (t)|(χˆ[a,b] )(ω − σ + )(χˆ[a,b] )(ω − σ − )|2 dtdw 2 t t χ[−R,R] (t)|(χˆ[a,b] )(w + )(χˆ[a,b] )(w − )|2 dtdw 2 ∗ W igψR (fσ , fσ ) không phụ thuộc ψ Tương tự, ta L2 chứng minh cho W igψR (fσ , fσ ) L2 không phụ thuộc σ Chú ý (2.10) với hàm f, g ∈ L2 (Rn ), n ≥ 1, lấy hàm hạt hàm có dạng ψ = ψR = χ[−R,R]n (ii) Từ (2.12) ta có ∗ W igψR (fω0 , fω1 ) L2 t t = ψR (t)fw0 (ω + )fw0 (ω − ) 2L2 2 R ∞ t t = |fw0 (ω + )fw0 (ω )|2 dwdt 2 −R −∞ Do đó, phép đổi biến ω + t = ξ dùng tính chất biến đổi Fourier ta có R ∗ W igψR (fw0 , fw1 ) 2L2 +∞ |fw0 (ξ)(τt fw1 )(ξ)|2 dξdt = −R R −∞ +∞ |fw0 (ξ)(Mt fw1 )(ξ)|2 dξdt = −R R = −R R −∞ (2.16) ||Fs→ξ (fw0 ∗ (Mt fw1 ))||2L2 (Rξ ) dt +∞ |(fw0 ∗ (Mt fw1 ))(s)|2 dsdt, = −R −∞ 37 g˜(x) = g(x) Bây ta tính (fw0 ∗ (Mt fw1 ))(s) = e−2πiy(w0 −w1 −t) χ[a,b] (−y)χ[a,b] (s − y)dy Quan sát    s ∈ / [a − b, b − a]    χ[a,b] (−y)χ[a,b] (s − y) = χ[−b,s−a] (y) s ∈ [a − b, 0]     χ[s−b,−a] (y) s ∈ [0, b − a], ta có với s ∈ / [a − b, b − a], (fw0 ∗ (Mt fw1 ))(s) ≡ Liên hệ đến trường hợp khác, ta nhắc lại với α < β ta có β e−2πiyz dy = e−πi(α−β)z(β−α)sinc(π(β−α)z) , α sincx mở rộng liên tục R hàm sinx x Do đó, với s ∈ [a − b, 0] ta có s−a (fw0 ∗ (Mt fw1 ))(s) = e e−2πiy(w0 −w1 −t) dy 2πiw0 s −b = e2πiw0 s e−πi(s−a−b)(w0 −w1 −t) (s − a + b)sinc(π(s − a + b)(w0 − w1 − t)) Lập luận tương tự với s ∈ [0, b − a] sử dụng sincx hàm chẵn ta có (fw0 ∗ (Mt fw1 ))(s) = e2πiw0 s e−πi(s−a−b)(w0 −w1 −t) ϕ(s)(t − w0 + w1 )),    s ∈ / [a − b, b − a]    ϕ(s) = s − a + b s ∈ [a − b, 0]     −s − a + b s ∈ [0, b − a] Ta có từ (2.16) (2.17) 38 R ∗ W igψR (fw0 , fw1 ) 2L2 +∞ |ϕ(s)sinc(πϕ(s))(t − w0 + w1 )|2 dsdt = −R −∞ R−(w0 −w1 ) b−a |ϕ(s)sinc(πϕ(s)y)|2 dsdy = −R−(w0 −w1 ) a−b (2.18) hàm ϕ(s) có giá compact Quan sát thấy |ϕ(s)sinc(πϕ(s)y)|2 ∈ L1 (R2 ), lấy tập compact tùy ý K ∈ R2 tập [a − b, b − a] × [−R − (w0 − w1 ), R − (w0 − w1 )] không giao với |w0 − w1 | đủ lớn Khi ta kết luận ∗ ||W igψR (fw0 , fw1 )||2L2 → |w0 − w1 | → +∞ Đánh giá (2.11) suy từ (2.6), thực ra, với |w0 − w1 | > R, L2 ∗ - chuẩn W igψR (fw0 , fw1 ) đánh sau ∗ W igψR (fw0 , fw1 ) L2 R−(w0 −w1 ) ≤( −R−(w0 −w1 ) = 2.2 b−a a−b 1 dsdy) π2y2 4πR(b − a) π (w0 − w1 )2 − R2 Toán tử liên kết với biểu diễn Wigner - cửa sổ Chúng ta nhắc lại kết liên quan đến tồn song ánh toán tử giả vi phân dạng tuyến tính liên hợp Mệnh đề 2.2.1 Cho E, E1 , E2 ba không gian Banach giả sử E2 phản xạ (i) Giả sử ϕ : E1 ×E2 → E ánh xạ tuyến tính lệch, bị chặn Khi tồn 39 ánh xạ tuyến tính, bị chặn a ∈ E ∗ → Ta ∈ B(E1 , E2∗ ) cho với v ∈ E2 (Ta u, v) = (a, ϕv , u), ∀u ∈ E1 (2.19) (ii) Giả sử ánh xạ a ∈ E ∗ → Ta ∈ B(E1 , E2∗ ) tuyến tính liên tục, (2.19) xác định ánh xạ tuyến tính lệch bị chặn ϕ : E1 ×E2 → E Quan sát thấy không gian đối ngẫu dùng xem không gian phiếm hàm liên hợp tuyến tính, kí hiệu (., ) thác triển thành tích vô hướng L2 Qua Mệnh đề 2.2.1 ta hạn chế vào toán tử liên kết với phân bố W igψ W igψ∗ | Chính xác hơn, viết Tψa Uψa toán tử tương ứng liên kết với W igψ W igψ∗ |, ta có kết sau đây: Mệnh đề 2.2.2 Với f, g ∈ L2 (Rd ) a ∈ S(Rd ) ta có: (Tψa f, g) = (a, W igψ (g, f )), (2.20) u+v , w)ψ(u − v)e2πi(u−v)w f (v)dvdw (2.21) với Tψa f (u) = Liên quan đến a( R2n W igψ∗ ta có (Uψa f, g) = (a, W igψ∗ (f, g)) với Uψa f (m) = a(x, y)ψ(x − R3n s + m 2πiy(m−s) )e f (s)dsdydx Chứng minh Ta xem xét trường hợp W igψ Để có biểu diễn toán tử liên kết với W igψ ta bắt đầu cách viết rõ ràng bên tích 40 "vô hướng" (a, W igψ (g, f )), dùng phép đổi biến thích hợp ta có: a(x, w) R2n = 2n t t e−2πiwt ψ(t)g(x + )f (x − ) dxdw 2 e−2πiwt(2u−2x)w ψ(2u − 2x)g(u)f (2x − u)du dxdw a(x, w) R2n = 2n Rn a(x, w)ψ(2u − 2v)e2πiwt(u−v)w g(u)f (2x − u)dudxdw R3n a( = R3n v+u , w)ψ(u − v)e2πi(u−v)w f (v)g(u)dvdudw Khi Tψa f (u) = a( R2n u+v , w)ψ(u − v)e2πi(u−v)w f (v)dvdw toán tử mà tìm kiếm Bây xem xét trường hợp W igψ∗ (fˆ, gˆ) Như trước, bắt đầu việc viết rõ kết tích vô hướng (a, W ig ∗ (fˆ, gˆ)): ψ a(x, w) R2n = 2n t t e2πiwt ψ(t)ˆ g (w + )fˆ(w − dt) dxdw 2 e2πix(2u−2w) ψ(2u − 2w)ˆ g (u)fˆ(2w − u)du dxdw a(x, w) R2n Rn a(x, w)ψ(2u − 2w)e−2πix(2u−2w) gˆ(u)fˆ(2w − u)dudxdw = 2n R3n = a(x, R3n v+u )ψ(u − v)e−2πix(u−v) fˆ(v)ˆ g (u)dudvdx Bây giờ, để làm bật tích vô hướng toán tử hàm g, cần thiết để viết biểu thức fˆ gˆ; a(x, R5n v+u )ψ(u − v)e−2πix(u−v) e2πium f (s)g(m)dmdsdudvdx z z a(x, y)ψ(z)e−2πixz e−2πix(y− )s e2πi(y+ )m f (s)g(m)dmdsdudvdx = R5n sˆ + m 2πiy(m−s) = a(x, y)x − e f (s)g(m)dmdsdydx R5n 41 Cuối ta có Uψa f (m) = a(x, y)ψ(x − R3n s + m 2πiy(m−s) )e f (s)dsdydx toán tử liên kết với W igψ∗ Quan sát rằng, viết lại toán tử liên kết với W igψ∗ để tương ứng với toán tử Weyl Cụ thể hơn, giả sử a ∈ S(R2n ), ta đặt b(x, w) = a(−w, x) Khi (a, W igψ∗ (g, f )) = (b(w, −x), Wψfˆ,ˆg (w, −x)) e2πixt ψ(t)ˆ g (w + t/2)fˆ(w − t/2)dt dxdw b(w, −x) = R2n b(w, −x)ψ(2u − 2v)e−2πi(u−v)x gˆ(u)fˆ(2w − u)dudxdw = 2n R3n = b( R3n u+v g (u)dudvdx , −x)e2πi(u−v)(−x) ψ(u − v)fˆ(v)ˆ viết dạng gˆ(u), ta có toán tử liên kết cho biểu thức u+v , x)ψ(u − v)e2πi(u−v) fˆ(v)dvdxds, Uψa f (u) = b( (2.22) R3n b(x, w) = a(−w, x) Nhận xét 2.2.3 Nếu ψ ≡ f ∈ S(Rn ) → T a f (u) = u+v , w e2πi(u−v)w f (v)dvdw ∈ S(Rn ), a R2n toán tử giả vi phân Weyl Lấy ψ ≡ δ, liên quan tới W igψ , có toán tử liên kết Tψa f (v) = toán tử nhân với A(v) = a(v, w)f (v)dw = A(v)f (v) a(v, w)dw Liên hệ tới W igψ∗ , từ (2.22), chọn ψ ≡ δ, suy Uψa f (s) = B(u)e2πisu fˆ(u)du, b(u, x)e2πisu fˆ(u)dxdu = R2n Rn toán tử nhân Fourier liên kết với W igψ∗ với B(u) = b(u, x)dx 42 Mệnh đề 2.2.4 Cho a(x, w) hàm thỏa mãn a(x, w) = a1 (x)a2 (w) (a) Xem xét trường hợp W igψ Giả sử a1 ∈ L2 (Rd ), a2 ∈ Lr (Rd ) ψ ∈ Lq (Rd ), với r − q = 12 Khi toán tử Tψa ∈ B(L2 (Rd ), L2 (Rd )), với Tψa xác định (2.21) Hilbert-Schmidt (b) Xem xét trường hợp W igψ∗ Giả sử a2 ∈ L2 (Rd ), a1 ∈ Lr (Rd ) ψ ∈ Lq (Rd ), với r − 1q − 12 Khi toán tử Uψa ∈ B(L2 (Rd ), L2 (Rd )), với Uψa xác định (2.22) Hilbert-Schmidt Chứng minh Ta chứng minh (a), (b) tương tự Xét toán tử Tψa xác định (2.21) lấy tích phân theo biến w Ta có Tψa f (u) =∈Rn a1 ( u+v )ˇ a2 (u − v)ψ(u − v)f (v)dv, a ˇ2 biến đổi Fourie ngược a2 Dễ thấy hạt nhân K(u, v) = a1 ( u+v )ˇ a2 (u − v)ψ(u − v) thuộc không gian L2 a1 ∈ L2 (Rn ) a2 ψ ∈ L2 Nhưng việc sử dụng bất đẳng thức H¨older, chọn a ˇ2 ∈ Lp ψ ∈ Lq , với p r + − q q = = p Do ≤ Như vậy, lấy a2 ∈ Lr với điều kiện kết cần chứng minh hệ toán tử tích phân với nhân Schwartz L2 Hilbert-Schmidt Kết luận Luận văn công trình nghiên cứu tổng quan biểu diễn Wigner - cửa sổ Môt số vấn đề trình bày • Mở đầu toán tử giả vi phân giải tích điều hòa, tập trung vào biểu diễn Wigner τ −Wigner, lớp phân bố Cohen • Khái niệm biểu diễn Wigner - cửa sổ tính chất chúng • Hiện tượng giao thoa lý thuyết xử lý tín hiệu sử dụng biểu diễn Wigner - cửa sổ • Lớp toán tử liên kết với lớp biểu diễn Wigner - cửa sổ Với lực hạn chế thời gian có hạn, chắn luận văn không tránh khỏi thiếu sót Kính mong quý thầy cô bạn học góp ý để luận văn hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! 43 Tài liệu tham khảo [1] K Grochening (2001), Foundations of Time-Frequency Analysis, Birkhauser, Boston [2] P Boggiatto, E Carypis, A Oliaro (2011), "Wigner representations associated with linear transformations of the time-frequency plane", Operator Theory: Advances and Applications, vol.213, PseudoDifferential Operators: Analysis, Applications and Computations, Basel, Springer, pp 275-288 [3] P Boggiatto, E Carypis, A Oliaro (2013), "Windowed-Wigner representations in the Cohen class and uncertainty principles", J Geom Anal., Volume 23, Issue 4, pp 1753-1779 [4] P Boggiatto, G De Donno, A Oliaro (2010) "Time-Frequency representation of Wigner type and Pseudo-differential Operator",Trans Amer Math Soc., 362, 9, pp 4955-4981 [5] Paolo Boggiatto, Evanthia Carypis, Alessandro Oliaro (2012), " Windowed-Wigner representations, interferences and operators", Pliska Stud Math Bulga 21, pp 97-112 [6] L.Cohen(1995) "Time-Frequency Analysis", Prentice Hall Signal, Proc.series, New Jersey [7] Boggiatto, P., De Donno, G., Oliaro, A.(2006), "A class of quadratic time-frequency representations based on the short-time Fourier 44 45 transform", Operator Theory: AdvancesandApplications, vol 172, pp 235– 249 [...]... ig1−τ (f ) = 2iIm (W igτ (f )) Định lý sau nói lên mối quan hệ của biểu diễn τ -Wigner với biểu diễn Rihaczek, Rihaczek liên hợp và với phân bố Wigner Định lý 1.5.7 Với các biểu diễn đã được đưa ra trong Định nghĩa 1.5.1 và Định nghĩa 1.5.2 chúng ta có 1 W ig 21 = W ig (Phân bố Wigner) 2 W ig0 = R (Biểu diễn Rihaczek) 21 3 W ig1 = R∗ (Biểu diễn R liên hợp) Chứng minh Bằng cách thay lần lượt τ bằng 12 ,... f, g ∈ S (Rn ), chúng ta định nghĩa các biểu diễn sau: 1 Biểu diễn Rihaczek của hai hàm f, g kí hiệu là R (f, g) là biểu diễn có dạng R (f, g) (x, ω) = e−2πixω f (x) g (ω) (1.19) 19 2 Biểu diễn Rihaczek liên hợp của hai hàm f, g kí hiệu là R∗ (f, g) là biểu diễn có dạng R∗ (f, g) (x, ω) = R (g, f ) (x, ω) = e2πixω g (x)f (ω) (1.20) Định nghĩa 1.5.3 Một biểu diễn thời gian tần số Ψ (f ) (x, ω) được... γ) = 0 Khi đó với mọi hàm f ∈ L2 (Rn ), ta có f= 1.3 1 (γ, g) Vg f (x, w)Mw Tx γdwdx (1.8) R2 n Biểu diễn Wigner Định nghĩa 1.3.1 Biểu diễn Wigner W f của một hàm f ∈ L2 (Rn ) được xác định bởi t t f (x + )f (x − )e−2πiw.t dt 2 2 W f (x, w) = Rn Bằng sự phân cực biểu thức bậc hai này, ta nhận được biểu diễn Wigner chéo của f, g ∈ L2 (Rn ): t t f (x + )g(x − )e−2πiw.t dt 2 2 W (f, g)(x, w) = Rn Bổ đề... = W ig(f ) ∗ σ với mọi f ∈ S(Rn ) Biểu diễn tích phân τ -Wigner 1.5 Theo các kết quả đã nghiên cứu, biểu diễn Wigner cho ta thấy một tần số giả ở giữa bất kì hai tần số thực, các tần số này được gọi là tần số ảo hoặc tần số giao thoa Điều này tạo ra những khó khăn trong việc giải thích ý nghĩa vật lí của phân bố Wigner Từ đó, người ra mở rộng nghiên cứu phân bố τ -Wigner phụ thuộc tham số τ ∈ [0, 1]... thể được sử dùng để biểu thị toàn bộ lớp Cohen, nghĩa là mọi biểu diễn C trong lớp Cohen có thể được viết dưới dạng C (f ) = σ ∗ W igτ (f ) với σ ∈ S R2n phù hợp Chứng minh Giả sử C (f ) = σ ∗ W ig (f ) với σ ∈ S R2n là biểu diễn của C (f ) trong lớp Cohen Theo Định lý 1.7.5 thì W igτ (f ) = στ ∗ W ig (f ) Mà ta có στ ∗ σ1−τ = δ Nên σ1−τ ∗ W igτ (f ) = W ig (f ) Thay vào biểu diễn của C (f ) ta được... liên hợp) Chứng minh Bằng cách thay lần lượt τ bằng 12 , 0, 1 vào (1.17) và đổi biến lấy tích phân ta sẽ được điều phải chứng minh Sau đây chúng ta nghiên cứu một số tính chất của biểu diễn τ -Wigner Định lý 1.5.8 Biểu diễn τ -Wigner thỏa mãn điều kiện phân phối biên với mọi τ ∈ [0, 1] Chứng minh Với τ ∈ [0, 1] thì e−2πiωt f (x + τ t) f (x − (1 − τ ) t)dtdx W igτ (f ) (x, ω) dx = Rn R2n e−2πiωt f (y)... − 2x))e =2 du Rn = 2n e4πix.w f, M2w T2x Ig = 2n e4πix.w VIg f (2x, 2w) Với Bổ đề 1.3.2 những đặc tính có thể dễ dàng chuyển đổi từ STFT sang biểu diễn Wigner Các đặc tính đó được xác định đầy đủ trong hệ quả sau: Mệnh đề 1.3.3 Với f, g ∈ L2 (Rn ), biểu diễn Wigner chéo có các tính chất sau: (a) W (f, g) là liên tục đều trong R2n và W (f, g) ∞ ≤ 2n f 2 g 2 (b) W (f, g) = W (g, f ) Đặc biệt W f có giá... phân bố Wigner Bổ đề 1.3.8 Nếu ε ≥ 0 và U ⊆ R2n sao cho W ig (f ) (x, ω) dxdω ≥ (1 − ε) f 2 L2 U thì |U | ≥ (1 − ε) 2−n Tính dương Từ bổ đề 1.5.3 chúng ta thấy phân bố Wigner thoả mãn hầu hết các tính chất của một biểu diễn thời gian–tần số lí tưởng Tuy nhiên, để giải thích như một mật độ năng lượng hay mật độ xác suất đồng thời thì nó phải không âm Định lý sau của Hudson cho thấy phân bố Wigner hầu... lồi của supp f Giả sử Πx và Πω là những phép chiếu trực giao theo thành phần thứ nhất và thứ hai trong Rnx × Rnω tương ứng Một biểu diễn Ψ được gọi là có tính chất giá nếu Πx supp Ψ (f ) ⊆ H (supp f ) và Πω supp Ψ (f ) ⊆ H supp f 1.5.2 Một số tính chất của biểu diễn τ -Wigner Định lý 1.5.5 Với τ ∈ [0, 1] , f, g ∈ S (Rn ), chúng ta có 1 W ig1−τ (f, g) = W igτ (g, f ) 2 W ig1−τ f (ω, −x) = W igτ (f... bố Wigner không thể xem xét là phân bố năng lượng trên các tập bị chặn 1.4 Lớp phân bố Cohen Do sự thiếu hụt tính dương của phân bố Wigner và các vấn đề xảy ra sau đó đã dẫn đến việc nghiên cứu các biểu diễn thời gian–tần số bậc hai khác Định lí 1.5.6 cho ta một phiên bản đủ trơn của W ig(f ) mà trì hoãn các dao động địa phương và thoả mãn nguyên lí không chắc chắn Hệ thống hoá người ta xem xét các biểu