Sự tồn tại nghiệm của phương trình monge ampère phức trong các lớp năng lượng đa phức có trọng

I HC THI NGUYấN TRNG I HC S PHM - SHERLOR NENGZE S TN TI NGHIM CA PHNG TRèNH MONGE-AMPẩRE PHC TRONG CC LP NNG LNG A PHC Cể TRNG LUN VN THC S TON HC THI NGUYấN - 2017 I HC THI NGUYấN TRNG I HC S PHM - SHERLOR NENGZE S TN TI NGHIM CA PHNG TRèNH MONGE-AMPẩRE PHC TRONG CC LP NNG LNG A PHC Cể TRNG Chuyờn ngnh: TON GII TCH Mó s: 60.46.01.02 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc: PGS.TS Phm Hin Bng THI NGUYấN-2017 LI CAM OAN Tụi xin cam oan õy l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi Cỏc ti liu lun l trung thc Lun cha tng c cụng b bt c cụng trỡnh no Tỏc gi Sherlor Nengze i LI CM N Bn lun c hon thnh ti Trng i hc S phm - i hc Thỏi Nguyờn, Vit Nam di s hng dn tn tỡnh ca PGS.TS Phm Hin Bng Nhõn dp ny tụi xin cỏm n Thy v s hng dn hiu qu cựng nhng kinh nghim quỏ trỡnh hc tp, nghiờn cu v hon thnh lun Xin chõn thnh cm n Phũng Sau i hc, Ban ch nhim Khoa Toỏn, cỏc thy cụ giỏo Trng i hc S phm - i hc Thỏi Nguyờn, Vin Toỏn hc v Trng i hc S phm H Ni ó ging dy v to iu kin thun li cho tụi quỏ trỡnh hc v nghiờn cu khoa hc Xin chõn thnh cm n Ban giỏm hiu Trng THPT Lo - Vit nam (Th ụ Viờng Chn) cựng cỏc ng nghip ó to iu kin giỳp tụi v mi mt quỏ trỡnh hc v hon thnh bn lun ny Bn lun chc chn s khụng trỏnh nhng khim khuyt vỡ vy rt mong nhn c s úng gúp ý kin ca cỏc thy cụ giỏo v cỏc bn hc viờn lun ny c hon chnh hn Cui cựng xin cm n gia ỡnh v bn bố ó ng viờn, khớch l tụi thi gian hc tp, nghiờn cu v hon thnh lun Thỏng 05 nm 2017 Tỏc gi ii MC LC LI CAM OAN i LI CM N ii MC LC iii M U Chng CC KIN THC CHUN B 1.1 Hm a iu hũa di 1.2 Hm a iu hũa di cc i 1.3 Toỏn t Monge-Ampốre phc 14 1.4 Nguyờn lý so sỏnh Bedford-Taylor 16 1.5 Cỏc lp nng lng Cegrell 18 Chng S TN TI NGHIM CA PHNG TRèNH MONGE- 22 AMPẩRE PHC TRONG CC LP NNG LNG A PHC Cể TRNG 2.1 Cỏc lp nng lng v cỏc lp nng lng cú trng Ê n 22 2.2 S tn ti nghim lp Ec (W) 25 2.3 S tn ti nghim lp Ec ( f ) 28 2.4 S tn ti nghim lp F ( f ) 32 KT LUN 38 TI LIU THAM KHO 39 iii M U Lý chn ti Toỏn t Monge-Ampốre phc cho lp hm a iu hũa di b chn a phng, mt khỏi nim úng vai trũ quan trng trung tõm lý thuyt a th v ó c E Berfod v B.A Taylor xõy dng nm 1982 T ú tr i lý thuyt ny liờn tc phỏt trin v t c nhiu kt qu quan trng, ng thi tỡm thy nhiu ng dng vo cỏc lnh vc khỏc ca toỏn hc Nm 1998, Cegrell ó nh ngha cỏc lp nng lng E0(W), F p (W), Ep (W) trờn ú toỏn t Monge-Ampốre phc l xỏc nh Nm 2004, Cegrell ó nh ngha cỏc lp E(W), F (W) v ch rng lp E(W) l lp hm nh ngha t nhiờn ca toỏn t Monge-Ampốre phc ú l lp hm ln nht trờn ú toỏn t Monge-Ampốre xỏc nh, liờn tc di dóy gim cỏc hm a iu hũa di Tip tc m rng lp nng lng F (W) , nm 2009, S Benelkourchi ó a lp nng lng cú trng Ec (W) v nghiờn cu toỏn t Monge-Ampốre trờn lp nng lng a phc hu hn trng hp tng quỏt ng thi gii thớch cỏc lp ny theo ngha tc gim ca dung lng ca mc di v mụ t y giỏ tr ca toỏn t Monge-Ampốre (dd c )n cỏc lp Ec (W) Nghiờn cu cỏc lp ny dn n nhiu kt qu nh nguyờn lý so sỏnh, gii bi toỏn Dirichlet, Vi mong mun tỡm hiu sõu hn v toỏn t Monge-Ampốre v ỏp dng cỏc kt qu t c vic gii bi toỏn Dirichlet lp nng lng cú trng, chỳng tụi chn S tn ti nghim ca phng trỡnh Monge-Ampốre phc cỏc lp nng lng a phc cú trng lm ti nghiờn cu ca mỡnh Mc ớch v nhim v nghiờn cu 2.1 Mc ớch nghiờn cu Nghiờn cu cỏc lp nng lng a phc cú trng v s tn ti nghim ca phng trỡnh Monge-Ampốre phc cỏc lp ú 2.2 Nhim v nghiờn cu Lun trung vo cỏc nhim v chớnh sau õy: + Trỡnh by tng quan v h thng mt s kt qu c bn ca lý thuyt a th v phc + Trỡnh by li mt cỏch chi tit mt s kt qu ca S Benelkourchi v s tn ti nghim ca phng trỡnh Monge-Ampốre phc cỏc lp nng lng a phc cú trng Phng phỏp nghiờn cu S dng phng phỏp ca lý thuyt a th v phc B cc ca lun Ni dung lun gm 43 trang, ú cú phn m u, hai chng ni dung, phn kt lun v danh mc ti liu tham kho Ni dung ca lun c vit ch yu da trờn cỏc ti liu [1] v [5] Chng Trỡnh by tng quan v h thng cỏc kt qu v cỏc tớnh cht ca hm a iu ho di, hm a iu ho di cc i, toỏn t Monge-Ampốre v nguyờn lý so sỏnh Chng L ni dung chớnh ca lun Phn u ca chng trỡnh by mt s khỏi nim v kt qu v cỏc lp nng lng v cỏc lp nng lng cú trng Ê n Tip theo mc 2.2 nghiờn cu s tn ti nghim ca phng trỡnh Monge-Ampốre phc lp Ec (W) (nh lý 2.2.1) Mc 2.3 trỡnh by kt qu v s tn ti nghim ca phng trỡnh Monge-Ampốre phc lp Ec ( f ) (nh lý 2.3.6 v H qu 2.3.7) Cui cựng mc 2.4 trỡnh by s tn ti nghim ca phng trỡnh Monge-Ampốre phc lp F ( f ) (nh lý 2.4.1 v H qu 2.4.2) Cui cựng l phn kt lun trỡnh by túm tt kt qu t c Chng CC KIN THC CHUN B 1.1 Hm a iu ho di ng ngha 1.1.1 Gi s Wè Ê n l m, u : Wđ ộ- Ơ , + Ơ ờở ) l hm na liờn tc trờn, khụng ng nht bng - Ơ trờn moi thnh phn liờn thụng ca W Hm u gi l a iu ho di trờn W (vit u ẻ PSH (W) ) nu vi mi a ẻ W v b ẻ Ê n , hm l a u (a + l b) l iu ho di hoc bng - Ơ trờn mi thnh phn liờn thụng ca {l ẻ Ê : a + l b ẻ W} nh lý sau õy cho mt c trng ca tớnh a iu ho di i vi cỏc hm lp C trờn m Wè Ê n nh lý 1.1.2 Gi s Wè Ê n l m v u ẻ C 2(W) Khi ú u ẻ PSH (W) v ch Hessian H u (z ) = ( ả 2u ) ca u ti z xỏc nh dng, ngha l vi ả z j ả zk mi w = (w1, w2, , wn ) ẻ Ê n , ả 2u H u (z )( w, w) = (z )wj wk j ,k = ả z j ả z k n nh ngha 1.1.3 Tp hp E è u cú mt lõn cn V E ầV è {z ẻ V n c gi l a cc nu vi mi im a ẻ E ca a v mt hm u ẻ PSH (V ) cho : u (z ) = - Ơ } H qu 1.1.4 Cỏc a cc cú o (Lebesgue) khụng Di õy l mt s kt qu liờn quan ti tớnh a iu ho di qua gii hn v tớnh li ca h cỏc hm a iu ho di nh lý 1.1.5 Gi s W l m Ê n i ) Nu u, v ẻ PSH (W) thỡ m ax{u, v} ẻ PSH ( W) v nu a , b thỡ a u + b v ẻ PSH (W) Ngha l PSH (W) l nún li ii ) Nu {u j }j è PSH (W) l dóy gim thỡ u = lim u j hoc l hm a iu ho di trờn W hoc - Ơ iii ) Nu dóy {u j } è PSH (W) l dóy hi t u trờn mi compact ca W ti hm u : Wđ Ă thỡ u ẻ PSH (W) iv ) Gi s {ua }a ẻ I è PSH (W) cho u = sup {u a : a ẻ I } l b chn trờn a phng Khi ú chớnh quy hoỏ na liờn tc trờn u * ẻ PSH (W) Chng minh Cỏc khng nh i ) , ii ) , iii ) suy t nh ngha 1.1.1 v nh lý hi t n iu hay nh lý qua gii hn di du tớch phõn trng hp dóy hi t u Ta chng minh iv ) Ch cn chng t a ẻ W, b ẻ Ê n cho {a+ l b:l ẻ Ê , l Ê 1} è W thỡ u (a ) Ê 2p * 2p ũu * (a + e i qb)d q D thy vi mi z ẻ W, b ẻ Ê n cho {z + l b, l Ê 1} è W ta cú u (z ) Ê 2p 2p ũu * (z + e i qb)d q (4) tn ti mt hm b chn a phng F : ũ - c (u )d m Ê lim supt đ + Ơ F (t ) / t < v W { + đ + cho F (E c (u )), " u ẻ E0(W), (2.3) } v ú E0 (W) := u ẻ E0 (W) ; ũ - c (u )(dd cu )n Ê E c (u ) := W ũ - c (u )(dd u ) c n W ký hiu l c -nng lng ca u Cỏc chng minh (1) (3) (4) cú th tỡm thy [4] Cỏc chng minh (1) (2) ó c chng minh [6] Chng minh Ta bt u bng chng minh (1) ị (2) Gi s u , j ẻ Ec (W) Chỳ ý rng vi s > tựy ý ta cú : s s ) ẩ (j < - ) 2 (u < - s ) è (u < j - T ú ta cú ũ - c (u )(dd cj )n = W Ê ũ Ơ ũ Ơ (u < j - s ) (u < - s ) (dd cj )n ds + ũ c Â(- s ) ũ Ơ (j < - s ) (dd cj )n ds Ơ Ê 2ũ c Â(- 2s ) ũ (dd cj )n ds Ơ c Â(- s ) ũ - c Â(- s ) ũ (u < j - s ) (dd c j )n ds + 2ũ c Â(- 2s ) ũ (dd c j )n ds (2.4) (j < - s ) Tớnh li ca c kộo theo c Â(- 2s ) Ê M c Â(- s ), " s > (2.5) Theo nguyờn lý so sỏnh iu ú kộo theo ũ (u < j - s ) (dd cj )n Ê ũ (dd cu )n Ê (u < j - s ) ũ (dd cu )n (2.6) (u < - s ) vi mi s > T (2.4), (2.5) v (2.6) suy tn ti mt hng s C c lp vi u cho 29 ũ - c (u )(dd j ) c n Ê C W (ũ - c (u )(dd u ) c + n W ũ - c (j )(dd j ) c n W )< + Ơ , " u ẻ E0 (W) ( t C = C + ) ta nhn c c lng (2.1), ũ - c (j )(dd j ) c n W Bõy gi, Ta chng minh (3) ị (4) Gi s y ẻ E0 (W), theo trờn ta cú E c ( y ) := ũ - c ( y ) (dd c y )n W Nu y ẻ E0 (W), ngha l E c (y ) Ê 1, thỡ ũ - c (y )d m Ê C W Nu E c (y ) > Hm y c xỏc nh bi y ẻ E0 (W) E c ( y )1/ n y := Tht vy, t tớnh n iu ca c , ta cú ũ - c (E y 1n W c (y ) y )(dd c 1n )n Ê E c (y ) - c ( y )(dd c y )n = ũ E c (y ) W T (2.1) v tớnh li ca c suy ũ - c (y )d m W 1n Ê E c (y ) ũ - c (E W y 1n 1n (y ) c )d m Ê ẻ C 1.E c ( y ) T ú ta nhn c (2.2) vi C = max (1,C ) i vi chng minh (3) ị (4), ta xột F (t ) = C 2max(1, t 30 1n ) (4) ị (1) iu ú suy t [6] rng lp Ec (W) c trng cỏc a cc Khi ú, khng nh (2.3) kộo theo m trit tiờu trờn cỏc a cc T [9] iu ny suy tn ti u ẻ E0 (W) v f ẻ L1loc (dd cu )n cho m = f (dd cu )n Xột mj = min( f , j )(dd cu )n ú l mt o hu hn b chn trờn bi o Monge-Ampốre phc ca mt hm b chn Do ú, t [11] suy tn ti j j ẻ E0(W) cho: (dd cj j )n = min( f , j )(dd cu )n Theo nguyờn lý so sỏnh j j l mt dóy gim t j = lim j đ Ơ j j T (2.3) suy n nử ổ c c ữ ỗ c ( j )( dd j ) Ê F c ( j )( dd j ) ữ ỗỗốũW ũW j j j j ữ ứ Do ú: n sup ũ - c (j j )(dd cj j ) < Ơ j W Suy +Ơ sup ũ j t n c Â(- t )CapW({j j < - t })dt < + Ơ , iu ny kộo theo ũ +Ơ t n c Â(- t )CapW({j < - t })dt < + Ơ Khi ú j / - Ơ v ú j ẻ Ec (W) Bõy gi tớnh liờn tc ca toỏn t Monge-Ampốre phc cựng cỏc dóy gim, ta kt lun rng (dd cj )n = m Tớnh nht ca j suy t nguyờn lý so sỏnh 31 2.3 S tn ti nghim lp Ec ( f ) Gi s c : - đ - l mt hm khụng gim v f ẻ M (W) l mt hm a iu hũa di cc i nh ngha 2.3.1 Ec ( f ) (tng ng N ( f ) , F ( f ) , N a ( f ) , F a ( f ) ) l lp cỏc hm a iu hũa di u cho tn ti mt hm j ẻ Ec (W) (tng ng N (W) , F (W) , N a (W) , F a (W) ) tha j (z ) + f (z ) Ê u (z ) Ê f (z ), " z ẻ W nh lý 2.3.2 ([10]) Gi s f l hm cc i b chn, u ẻ N a ( f ) v v ẻ E(W) cho v Ê f - e Khi ú ũ (dd cv )n Ê (u < v ) ũ (dd cu )n (u < v ) H qu 2.3.3 Gi s u ẻ N a ( f ) v v ẻ E(W) cho v Ê f v (dd cu )n Ê (dd cv )n Khi ú u v c bit, nu (dd cu )n = (dd cv )n vi u , v ẻ N a ( f ) thỡ u = v B sau õy cho mt c lng ln ca mc di theo ngha ca lng Monge-Ampốre, s s dng v sau B 2.3.4 Gi s c : - đ - l mt hm khụng gim cho c / v j ẻ Ec ( f ) Khi ú vi mi s > v t > , ta cú t nCapW(j < - s - t + f ) Ê ũ n (dd cj ) (2.7) (j < - s + f ) Chng minh C nh s, t > Ly K è {j < f - s - t } l compact Khi ú CapW(K ) = ũ (dd u c W * n K ) = 32 ũ {j < f - s - t } (dd cu K* )n = ũ {j < f - s - tu *K } (dd cu K* ) Ê tn ũ n (dd cv ) , {j < v } ú u K* l hm cc tr tng i ca compact K v v = f - s + tuK* Khi ú t nh lý 2.3.2 suy tn ũ (dd c max(j , v ))n n ũ{j < m ax( j ,v )} t (dd cv )n = {j < v } Ê Ê tn ũ tn ũ (dd cj )n = {j < max( j ,v )} tn ũ (dd cj )n {j < f - s + tu K } (dd cj )n {j < f - s } Ly supremum theo K ta c bt ng thc cn chng minh Mnh 2.3.5 Gi s c : Ec ( f ) è - đ { u ẻ PSH (W) ; u Ê f v l mt hm tng Khi ú ta cú - ũ +Ơ s n c Â(- s )CapW(u < f - 2s )ds < + Ơ } c bit, nu c (t ) < 0, " t < , lỳc ú CapW(u < f - s ) < + Ơ vi mi s > v u ẻ Ec ( f ) Chng minh Gi s u ẻ Ec ( f ) Khi ú tn ti mt hm j ẻ Ec (W) cho j + f Ê u Do ú (u < f - s ) è (j < - s ) T B 2.3.4 suy ũ +Ơ s n c Â(- s )CapW(u < f - 2s )ds Ê Ê ũ +Ơ c Â(- s )ũ ũ +Ơ s n c Â(- s )CapW(j < - 2s )ds (dd cj )n ds = (j < - s ) ũ - c (j )(dd j ) c < Ơ n W nh lý 2.3.6 Gi s m l o khụng õm W, c : li tng cho c (- Ơ ) = - Ơ v f ẻ M 33 Ơ - đ - l mt hm l mt hm cc i b chn Khi ú, tn ti nht hm j ẻ Ec ( f ) cho m = (dd cj )n nu m tha mt nhng iu kin ca nh lý 2.2.1 Chng minh Gi s m = (dd cv )n vi v ẻ Ec (Wj ) j ẻ l mt dóy c bn cỏc gi li cht ca W v f j ẻ PSH (Wj + 1) ầ C (Wj + 1) l mt dóy cỏc hm cc i gim n f T [9] suy tn ti mt hm g ẻ E0 v mt hm q ẻ L1loc (dd cg)n cho n ( ) m = g dd c g Vi j ẻ N , t mj = 1W min(q, j )(dd cg)n , ú ký hiu 1W l hm c trng ca j j Wj Bõy gi xột bi toỏn Dirichlet cỏc gi li cht Wj , gi s tn ti cỏc hm u j , v j ẻ PSH (Wj ) ầ C (Wj ) cho (dd cv j )n = (dd cu j )n = mj v v j = 0, u j = f j trờn ả Wj Theo nguyờn lý so sỏnh, ta tỡm c cỏc dóy gim v j v u j cho v + f Ê v j + f j Ê u j Ê f j trờn Wj Cho j đ Ơ , ta c u = lim j đ Ơ u j ẻ Ec ( f ) Cui cựng, t tớnh liờn tc ca toỏn t Monge-Ampốre phc di cỏc dóy n iu, ta cú (dd cu )n = m Hm u l nht suy t nguyờn lý so sỏnh lp Ec ( f ) v H qu 2.3.3 H qu 2.3.7 Gi s m l mt o khụng õm W vi lng tng cng hu hn v f ẻ M Ơ l mt hm cc i b chn Khi ú tn ti nht mt hm j ẻ F a ( f ) cho (dd cj )n = m v ch m trit tiờu trờn tt c cỏc a cc 34 Chng minh T [9] suy tn ti mt hm y ẻ E0 v mt hm khụng õm f ẻ L1((dd c y )n ) cho m = f (dd c y )n Do [11], tn ti nht mt hm gj ẻ E0 cho (dd cgj )n = min( j , f )(dd c y )n Nguyờn lý so sỏnh cho cỏc hm b chn (xem [2]) kộo theo gj l dóy gim t g = lim g j T B 2.3.4 suy jđ + Ơ g / - Ơ Do ú g ẻ F Do tớnh liờn tc ca toỏn t Monge-Ampốre phc di dóy gim, ta cú (dd c g)n = m Bõy gi, vỡ (xem [6]) Fa = Ec , c li; c (0) 0, c (- Ơ ) = - Ơ nờn tn ti mt hm li c : - đ - vi c (0) v c (- Ơ ) = - Ơ cho g ẻ Ec Bõy gi theo nh lý 2.3.6, tn ti mt hm j ẻ Ec ( f ) è F aa ( f ) cho (dd cj )n = m Tớnh nht suy t nh lý 2.3.2 2.4 S tn ti nghim lp F ( f ) Trong sut phn ny, ta ký hiu m l o Borel dng c nh cú lng tng cng hu hn m(W) < + Ơ Xột bi toỏn Dirichlet (dd cj )n = m , vi j ẻ F ( f ),a v j ảW = f, v o l b chn, gi thit m b tri bi dung lng Monge-Ampốre, dự khong cỏch gia nghim j v d liu biờn ó cho ca f nh th no, Cỏc o b tri bi dung lng Monge-Ampốre ó c nghiờn cu bi S.Kolodziej [11,12,13] Kt qu chớnh nghiờn cu ca S.Kolodziej, t c [12], cú th phỏt biu nh sau C nh e : R đ ộờ0, Ơ ộờ l mt ở n hm liờn tc gim v t Fe (x ) = x ộờởe(- ln x / n )ự ỳ ỷ Nu vi tt c cỏc compact K è W, 35 m(K ) Ê Fe (CapW(K )) v ũ +Ơ e(t )dt < + Ơ , thỡ m = (dd cj )n i vi mt hm liờn tc j ẻ PSH (W) vi j | ả W= iu kin ũ +Ơ e(t )dt < + Ơ , ngha l e gim nhanh n khụng ti vụ cựng iu ny ó cho c lng nh lng v e (- ln CapW(K) / n ), ú CapW(K) đ m(K ) Khi ũ +Ơ e(t )dt = + Ơ , cú th xy m = (dd cj )n vi j ẻ F (af ) no ú nhng núi chung j khụng b chn nh lý 2.4.1 Cho m l mt o khụng õm vi lng tng cng hu hn Gi s m(K ) Ê Fe (CapW(K )) (2.8) vi mi compact K è W Khi ú tn ti nht mt hm j ẻ F (af ) cho m = (dd cj )n v CapW({j < f - s}) Ê exp(- nH - 1(s )), vi mi s > 0, x ú H - l hm nghch o ca H (x ) = e ũ e(t )dt + s 0( m) ( ) Núi riờng j ẻ Ec ( f ) vi - c (- t ) = exp nH - 1(t ) / Chng minh T H qu 2.3.7 suy tn ti mt hm j ẻ F (af ) cho m = (dd cj )n t a (s ) = - logC apW({j < f - s }), " s > n 36 Hm a tng v a (+ Ơ ) = + Ơ , vỡ CapW trit tiờu trờn cỏc a cc T B 2.3.4 v (5.1) suy t nCapW( j < ( f - s - t ) Ê m(j < f - s ) Ê Fe (CapW( {j < f - s })) vi mi s > v t > Do ú log t - log e a (s ) + a (s ) Ê a (s + t ) Ta xỏc nh mt dóy tng (s j ) j ẻ (2.9) bng quy np t s j + = s j + ee a (s j ), vi mi j ẻ La chn s Ta chn s ln cho a (s ) Ta cn bo m s = s ( m) cú th c chn c lp vi j T B 2.3.4 suy CapW({j < f - s }) Ê m(W) , " s > sn 1n T ú a (s ) log s - / n log m(W) Vỡ th a (s ) nu s m(W) tng ca s j Bõy gi ỏp dng (2.9) ta nhn c a (s j ) j + a (s ) j Suy lim j a (s j ) = + Ơ Xột hai trng hp sau: Trng hp th nht: s Ơ = lim s j ẻ + , ú a (s ) = + Ơ vi s > s Ơ , tc l CapW(j < f - s ) = 0, " s > s Ơ Do ú j b chn di bi f - s Ơ , núi riờng j ẻ Ec ( f ) vi mi c Trng hp th hai: Gi s s j đ + Ơ Vi mi s > , tn ti N = N s ẻ cho sN Ê s < sN + Ta cú th c lng s 37 N s, N s Ê sN + = N (s j + - s j ) + s = N e e a (s j ) + s 0 N Ê e e( j ) + s Ê e ũ e(t )dt + s = : H (N ), 0 ú s = s + e.e(0) Vỡ th H - 1(s ) Ê N Ê a (sN ) Ê a (s ) , T ú CapW(j < f - s ) Ê exp(- nH - 1(s )) t g(t ) = - c (- t ) = exp(nH - 1(t ) / 2) Khi ú ta cú ũ +Ơ Ê t n gÂ(t )CapW(j < f - t )dt Ê n +Ơ n t exp(- nH - 1(t ) / 2)dt ũ e(H (t )) + s Ê Cũ +Ơ (t + 1)n exp(n (a - 1)t )dt < + Ơ ( ) T ú suy j ẻ Ec ( f ) , ú c (t ) = - exp nH - 1( - t ) / Bõy gi xột trng hp m = fdl l liờn tc tuyt i i vi o Lebesgue Ký hiu G è Ê n l khụng gian thc ca Ê n cho G + J G = Ê n , ú J l cu trỳc phc thụng thng trờn Ê n G c trang b cu trỳc Euclid cm sinh v o Lebesgue tng ng c ký hiu l l G Xột khụng gian Orlicz L logn + a L(dl G ) , a > gm cỏc hm l G - o c g xỏc nh trờn Wầ G cho ũ (f ( ) / l ) logn + a + ( f / l ) dl G < Ơ , vi l > no ú Wầ G Trờn khụng gian L logn + a L (d m) ta nh ngha chun 38 f L logn + a L ỡù ỹ ù n+ a ù = inf l > 0; ũ ( f / l ) log e + ( f / l ) d l G < 1ùý ùù ùù W ợ ỵ ( ) Khụng gian i ngu vi LLog n + a L (d m) l lp m ExpL1/ n + a : ú l khụng gian vect ca cỏc hm m- o c ỡù ExpL1/ n + a = ùớ f : Wđ ùợù ổ ; $ l > : ũ (exp ỗỗ f / l W ố 1/ n + a ( ) ỹ ùù ữ 1) d m < Ơ ý ữ ữ ùỵ ứ ù c trang b chun f ExpL1/ n + a ùỡ = inf ùớ l > 0; ùợù ổ ổ ũWỗỗốỗexp ỗỗố f / l ( 1/ n + a ) ữ ữ ữ ứ 1ữ ữ ữd m < ứ ùỹ 1ùý ùỵ ù Khi ú, ta cú bt ng thc Hửlder sau ũ W fgd m Ê C n , a f LLogn + a L g ExpL1/ n + a (2.10) vi f ẻ LLog n + a L v g ẻ ExpL1/ n + a , ú C n ,a > l hng s dng ch ph thuc vo n v a Khi ú ta cú 1/ n + a ExpL (K ) H qu 2.4.2 Gi s = log n+ a (1 + / l G (K ) ) l mt o vi mt m = 1WầG gl G g ẻ LLog n + a L (Wầ G ), ú l G (2.11) o Lebesgue Khi ú tn ti nht mt hm b chn j ẻ F aa ( f ) ầ LƠ (W) cho (dd cj )n = m v 0Ê f - j Ê C g 1/ n LLogn + a L , ú C = C (n , a , W) > ch ph thuc vo n , a , W v G Chng minh Ta s chng minh tn ti mt hng s C > cho 39 ổ m(K ) Ê ỗỗC g ố n a+n n ữ ữ ữ (CapW(K ) ) , vi mi compact K è W (2.12) LL ogn + a L ứ 1/ n Tht vy, t cỏc bt ng thc Hửlder (2.10) v (2.11) suy m(K ) Ê g LLogn + a L logn + a (1 + / l G (K )) (2.13) Theo [7] ta cú ổ ữ ỗ ữ l G (K ) Ê C exp ỗỗữ vi mi compact K è W, 1/ n ỗố capW (K ) ữ ứ (2.14) ú C > l hng s ch ph thuc vo W v G Suy bt ng thc (2.12) nh kt hp (2.13) v (2.14) Khi ú ỏp dng nh lý 2.4.1 vi e(x ) = C g n+ a L log L C g 1/ n L logn + a L e- ax / n , Ta c x Ê f - j Ê e ũ e(t )dt + e e(0) + m(W)1/ n Ê C g 40 1/ n LLogn + a L KT LUN Lun ó trỡnh by: - Tng quan v h thng cỏc kt qu v cỏc tớnh cht ca hm a iu ho di, hm a iu ho di cc i, toỏn t Monge-Ampốre v nguyờn lý so sỏnh - Mt s kt qu ca S Benelkourchi v s tn ti nghim ca phng trỡnh Monge-Ampốre phc cỏc lp nng lng a phc cú trng C th l ó trỡnh by: + Mt s khỏi nim v kt qu v cỏc lp nng lng v cỏc lp nng lng cú trng Ê n + S tn ti nghim ca phng trỡnh Monge-Ampốre phc lp Ec (W) (nh lý 2.2.1) + S tn ti nghim ca phng trỡnh Monge-Ampốre phc lp Ec ( f ) (nh lý 2.3.6 v H qu 2.3.7) + S tn ti nghim ca phng trỡnh Monge-Ampốre phc lp F ( f ) (nh lý 2.4.1 v H qu 2.4.2) 41 TI LIU THAM KHO Ting Vit [1] Nguyn Quang Diu v Lờ Mu Hi (2009), C s lý thuyt a th v Nxb i hc s phm H Ni Ting Anh Anh [2] Bedford.E and Taylor B.A (1982), A new capacity for plurisubharmonic functions, Acta Math 149 (1982) , no - 2, - 40 [3] Benelkourchi.S , Jennane B and Zeriahi A (2005), Polias inequalities, global uniform intergrability and the size of plurisubharmonic lemniscates, Arkiv for Matematik Vol 43 No.1, pp.85-112 [4] Benelkourchi.S (2009), Weighted Pluricomplex Energy, Potential Analysis: Volume 31, Issuel 1-20 [5] Benelkourchi.S (2015), Weighted Pluricomplex Energy II, Hindawi Publishing Corporation International Journal of partial Differential Equations Volume 2015, Article ID 947819, pages [6] Benelkourchi.S, Guedj.V and Zeriahi.A (2006), Plurisubharmonic functions with weak singularities, In proceedings of the conference in honour of C Kiselman, Acta Univ Upsaliensis 86, 57-74 [7] Benelkourchi.S, Guedj.V and Zeriahi.A (2005), Polyas inequalities, global uniform integrability and the size of plurisubharmonic lemniscates, Ark Mat 43, No 1, 85-112 [8] Cegrell U (1998), Pluricomplex energy, Acta Math 180, no 2, 187-217 [9] Cegrell.U (2004), The general definition of the complex Monge- Ampốre operator, Ann Inst Fourier (Grenoble) 54, No.1,159-179 42 [10] Cegrell.U (2008), A general Dirichlet problem for of the complex Monge-Ampốre operator, Ann Polon Math 94 No 2,131-147 [11] Kolodziej.S (1994), The range of the complex Monge-Ampốre operator, Indiana Univ Math J 43, No.4, 1321-1338 [12] Kolodziej.S (1998), The complex Monge-Ampốre equation, Acta Math 180, No.1, 69-117 [13] Kolodziej.S (2005), The complex Monge-Ampốre equation and pluripotential theory, Mem Amer Math Soc 178, No.840, x+64pp 43 ... NGUYấN TRNG I HC S PHM - SHERLOR NENGZE S TN TI NGHIM CA PHNG TRèNH MONGE-AMPẩRE PHC TRONG CC LP NNG LNG A PHC Cể TRNG Chuyờn ngnh: TON GII TCH Mó s: 60.46.01.02 LUN VN THC S TON HC... Bedford-Taylor 16 1.5 Cỏc lp nng lng Cegrell 18 Chng S TN TI NGHIM CA PHNG TRèNH MONGE- 22 AMPẩRE PHC TRONG CC LP NNG LNG A PHC Cể TRNG 2.1 Cỏc lp nng lng v cỏc lp nng lng cú trng Ê n 22 2.2 S tn ti... + ey }) > {u < v + ey } v ta gp mõu thun W 24 CHNG S TN TI NGHIM CA PHNG TRèNH MONGE-AMPẩRE PHC TRONG CC LP NNG LNG A PHC Cể TRNG 2.1 Cỏc lp nng lng v cỏc lp nng lng cú trng Ê n Cho Wè chn n n