Điều kiện fritz john và karush kuhn tucker cho nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ qua dưới vi phân suy rộng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– AN VĂN LONG ĐIỀU KIỆN FRITZ JOHN VÀ KARUSH-KUHN-TUCKER CHO NGHIỆM HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ QUA DƯỚI VI PHÂN SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, 5/2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– AN VĂN LONG ĐIỀU KIỆN FRITZ JOHN VÀ KARUSH-KUHN-TUCKER CHO NGHIỆM HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ QUA DƯỚI VI PHÂN SUY RỘNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN PGS.TS ĐỖ VĂN LƯU THÁI NGUYÊN, 5/2018 Mục lục Bảng ký hiệu i Mở đầu Chương Dưới vi phân suy rộng 1.1 Dưới vi phân suy rộng vi phân Clarke, Michel–Penot 1.2 Dưới vi phân quy 11 1.3 Quy tắc tính vi phân suy rộng 14 Chương Điều kiện cần điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu địa phương 17 2.1 Các khái niệm kết bổ trợ 17 2.2 Điều kiện cần Fritz John cho nghiệm hữu hiệu địa phương 19 2.3 Điều kiện cần Karush–Kuhn–Tucker cho nghiệm hữu hiệu địa phương 27 2.4 Điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu yếu 31 Chương Áp dụng 36 3.1 Điều kiện tối ưu cho toán bất đẳng thức biến phân vectơ 36 3.2 Điều kiện tối ưu cho toán tối ưu vectơ 38 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 42 i Bảng ký hiệu convM bao lồi tập M clconvM coneM bao lồi đóng tập M nón lồi sinh M X∗ không gian đối ngẫu tô pô không gian X T (C, x) N (C, x) nón tiếp tuyến Clarke C x nón pháp tuyến Clarke C x f − (x, d) f + (x, d) đạo hàm Dini f x theo phương d đạo hàm Dini f x theo phương d f (x, d) f ♦ (x, d) đạo hàm suy rộng Clarke f x theo phương d đạo hàm Michel–Penot f x theo phương d ∂f (x) ∂ ♦ f (x) vi phân Clarke f x vi phân Michel–Penot hàm f x ∂ ∗ f (x) ∂∗ f (x) vi phân suy rộng f x vi phân suy rộng f x (V EP ) toán cân vectơ (CV EP ) (CV V I) tốn cân vectơ có ràng buộc tốn bất đẳng thức biến phân vectơ có ràng buộc (CV OP ) tốn tối ưu vectơ có ràng buộc Mở đầu Lí chọn đề tài Bài toán cân vectơ bao gồm nhiều lớp toán tối ưu, có tốn bất đẳng thức biến phân vectơ toán tối ưu vectơ Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu toán cân vectơ phận quan trọng tối ưu hóa Năm 1999, V Jeyakummar D.T Luc [5] đưa khái niệm vi phân suy rộng đóng khơng lồi (convexificator) cho hàm vơ hướng Dưới vi phân suy rộng tổng quát hóa khái niệm vi phân Clarke, Michel - Penot, Mordukhovich, Treiman Dưới vi phân suy rộng công cụ hữu hiệu để thiết lập điều kiện tối ưu Khi dẫn điều kiện tối ưu qua vi phân người ta thường phải giả thiết hàm ràng buộc đẳng thức khả vi Fréchet Đ.V Lưu ([6], 2016) thiết lập điều kiện cần Fritz John, điều kiện cần đủ Karush–Kuhn–Tucker cho nghiệm hữu hiệu tốn cân vectơ có ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức ràng buộc tập qua vi phân suy rộng, hàm ràng buộc đẳng thức không khả vi Fréchet, mà hàm Lipschitz địa phương Đây đề tài nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Chính vậy, chọn đề tài: "Điều kiện Fritz John Karush–Kuhn–Tucker cho nghiệm hữu hiệu toán cân vectơ qua vi phân suy rộng" Mục đích đề tài Luận văn trình bày điều kiện cần Fritz John, điều kiện cần đủ Karush–Kuhn–Tucker cho nghiệm hữu hiệu toán cân vectơ qua vi phân suy rộng Đ.V Lưu [6] đăng tạp chí J Optim.Theory Appl 171 (2016), 643 - 665 Một số áp dụng cho toán bất đẳng thức biến phân vectơ toán tối ưu vectơ trình bày luận văn Nội dung luận văn Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương " Dưới vi phân suy rộng" trình bày số kiến thức vi phân suy rộng không compact cho hàm giá trị thực mở rộng, bao gồm: khái niệm vi phân suy rộng dưới, vi phân suy rộng quy vi phân suy rộng tối thiểu, quy tắc tính vi phân suy rộng, định lý giá trị trung bình Chương "Điều kiện cần điều kiện đủ" trình bày điều kiện cần Fritz John Karush–Kuhn–Tucker cho nghiệm hữu hiệu địa phương quy theo nghĩa Ioffe điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu yếu tốn cân vectơ có ràng buộc khơng gian Banach D V Luu [6] Chương "Áp dụng": sử dụng kết trình bày chương 2, chúng tơi trình bày điều kiện tối ưu cho toán bất đẳng thức biến phân vectơ (CVVI) toán tối ưu vectơ (CVOP) Luận văn thực Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn PGS.TS Đỗ Văn Lưu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người thầy hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình đầy trách nhiệm để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả học tập nhiều kiến thức chuyên ngành bổ ích cho công tác nghiên cứu thân Nhân dịp tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo, cô giáo tham gia giảng dạy lớp cao học Toán K10Y, nhà trường phịng chức Trường, khoa Tốn - Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Cuối tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp động viên, ủng hộ tạo điều kiện cho tác giả suốt thời gian nghiên cứu học tập Thái Nguyên, tháng năm 2018 Tác giả luận văn An Văn Long Chương Dưới vi phân suy rộng Chương trình bày số kiến thức vi phân suy rộng không compact cho hàm giá trị thực mở rộng, bao gồm: khái niệm vi phân suy rộng dưới, vi phân suy rộng quy vi phân suy rộng tối thiểu, quy tắc tính vi phân suy rộng, định lý giá trị trung bình Các kiến thức trình bày chương tham khảo [1], [5] 1.1 Dưới vi phân suy rộng vi phân Clarke, Michel–Penot Trong phần này, ta trình bày khái niệm vi phân suy rộng, vi phân suy rộng quy cho hàm giá trị thực mở rộng Giả sử X không gian Banach f : X → R hàm giá trị thực mở rộng, R := R ∪ {±∞} Khơng gian đối ngẫu X kí hiệu X ∗ X ∗ trang bị tô pô yếu∗ Bao lồi bao lồi đóng tập A X ∗ kí hiệu tương ứng conv(A) conv(A) Giả sử x ∈ X f hữu hạn Đạo hàm theo phương Dini f x theo phương v định nghĩa tương ứng f − (x, v) := lim inf f (x + tv) − f (x) , t f + (x, v) := lim sup f (x + tv) − f (xt) t t↓0 t↓0 Trong trường hợp f + (x; v) = f − (x; v), giá trị chung chúng ký hiệu f (x; v) gọi đạo hàm Dini f x theo phương v Hàm f gọi khả vi Dini x đạo hàm Dini x tồn theo tất phương Theo [5], hàm f : X −→ R gọi có vi phân suy rộng ∂ ∗ f (x) x ∂ ∗ f (x) ⊂ X ∗ đóng yếu∗ với v ∈ X, f − (x, v) ≤ sup x∗ , v x∗ ∈∂ ∗ f (x) Hàm f : X −→ R gọi có vi phân suy rộng ∂∗ f (x) x ∂∗ f (x) ⊂ X ∗ đóng yếu∗ với v ∈ X, f + (x, v) ≥ inf x∗ ∈∂∗ f (x) x∗ , v Hàm f : X −→ R gọi có vi phân suy rộng ∂ ∗ f (x) x đồng thời vi phân suy rộng hàm f x Điều có nghĩa hàm f có vi phân suy rộng ∂ ∗ f (x) đóng yếu∗ với v ∈ X, f − (x, v) ≤ sup x∗ , v , x∗ ∈∂ ∗ f (x) f + (x, v) ≥ inf x∗ ∈∂ ∗ f (x) x∗ , v Chú ý vi phân suy rộng không thiết lồi compắc yếu∗ Điều cho phép ta áp dụng cho lớp rộng tốn với hàm liên tục khơng trơn Ví dụ 1.1 Cho hàm f : R → R xác định bởi: √ x, x ≥ 0, f (x) = √ − −x, x < Hàm f có vi phân suy rộng khơng compắc có dạng [α, ∞) với α ∈ R Hàm f cho có vi phân suy rộng nửa quy (dưới) ∂ ∗ f (x) (tương ứng ∂∗ f (x)) x ∂ ∗ f (x) (tương ứng ∂∗ f (x)) đóng yếu∗ với v ∈ X, f + (x; v) sup ξ∈∂ ∗ f (x) ξ, v tương ứng f − (x; v) inf ξ, v ξ∈∂∗ f (x) Giả sử f : X −→ R hữu hạn điểm x ∈ X Nếu f nửa liên tục x đạo hàm Clarke–Rockafellar f x theo phương v định nghĩa f x + tv − f x , t v →v f ↑ (x, v) = lim sup inf x →f x t↓0 x →f x có nghĩa x → x f (x ) → f (x) Nếu f nửa liên tục x đạo hàm Clarke–Rockafellar f x với phương v xác định f (x + tv ) − f (x ) t v →v f ↓ (x, v) = lim inf sup x →f x t↓0 Nếu f liên tục x x →f x định nghĩa viết đơn giản x → x Các vi phân suy rộng f x cho công thức: ∂ ↑ f (x) = x∗ ∈ X ∗ : x∗ , v ≤ f ↑ (x, v), ∀v ∈ X , ∂ ↓ f (x) = x∗ ∈ X ∗ : x∗ , v ≤ f ↓ (x, v), ∀v ∈ X Nếu f ↑ (x, 0) > −∞ ∂ ↑ f (x) tập đóng yếu∗ , lồi, khác rỗng X ∗ với v ∈ X, f ↑ (x, v) = sup x∗ , v x∗ ∈∂ ↑ f (x) Tương tự, f ↓ (x, 0) < ∞ ∂ ↓ f (x) tập đóng yếu∗ , lồi, khác rỗng X ∗ với v ∈ X, f ↓ (x, v) = inf x∗ ∈∂ ↓ f (x) x∗ , v Nếu f Lipschitz địa phương x f ↑ (x; v) = f ◦ (x, v) , f ↓ (x; v) = f◦ (x, v) , 28 ∂ ∗ gi (x), ∀i ∈ I(x)); χk , v0 −bk (∀χk ∈ ∂ ∗ fk (x), ∀k ∈ J, k = s) Đặt As := k∈J\{s} conv ∂ ∗ fk (x), B := quy (CQ1)trong [3] sau: ∂ ∗ gi (x), Điều kiện i∈I(x) conv A0s ∩ B ∩ TC (x) = ∅, A0s := {v ∈ Rp : ξ, v < ∀ξ ∈ As } Bởi ∂ ∗ fk (x) (k ∈ J) ∂ ∗ gi (x)(i ∈ I(x)) đóng bị chặn, chúng com pắc As B com pắc Dễ thấy (CQ1)trong [3] tương đương với (SMFCQ) trường hợp Chúng ta phát biểu điều kiện cần Karush-Kuhn-Tucker cho nghiệm hữu hiệu địa phương (CVEP) Định lí 2.3 Giả sử x nghiệm hữu hiệu địa phương (CVEP); giả thiết Định lý 2.2 điều kiện quy (MFCQ) Khi đó, tồn λk (∀k ∈ J), khơng đồng thời khơng, µi (∀i ∈ I(x)), γ j ∈ R (∀j ∈ L) cho λk conv ∂ ∗ Fk,x (x) + ∈cl k∈J µi conv ∂ ∗ gi (x) i∈I(x) (2.10) ∗ + γ j conv ∂ hj (x) + NC (x) j∈L Chứng minh Với giả thiết Định lý 2.2, ta suy tồn λk (∀k ∈ J), µi (∀i ∈ I(x)), γ j ∈ R (∀j ∈ L) cho k∈J λk + i∈I(x) µi = λk conv ∂ ∗ Fk,x (x) + ∈cl k∈J µi conv ∂ ∗ gi (x) i∈I(x) γ j conv ∂ ∗ hj (x) + NC (x) + j∈L Nếu λk = (∀k ∈ J), (n) I(x)), ηj (n) i∈I(x) µi = Do đó, tồn ξi ∈ cl ∂ ∗ gi (x) (∀i ∈ ∈ conv ∂ ∗ hj (x) (∀j ∈ L) ζ (n) ∈ NC (x) cho (n) = lim µi ξi n→∞ i∈I(x) (n) γ j ηj + ζ (n) + j∈J (2.11) 29 Từ (2.11) suy (n) = lim (n) γ j ηj , v0 + ζ (n) , v0 µi ξi , v0 + n→∞ j∈J i∈I(x) i∈I(x) µi Mặt khác, = 1, (MFCQ), ta có (n) (n) γ j ηj , v0 + ζ (n) , v0 µi ξi , v0 + lim n→∞ j∈J i∈I(x) (n) lim (n) µi ξi , v0 + n→∞ γ j ηj , v0 j∈J i∈I(x) − (2.12) µi < 0, i∈I(x) Điều mâu thuẫn với (2.12) Bằng lý luận tương tự với chứng minh Định lý 2.3, với điều kiện quy (SMFCQ), ta có định lý sau Định lí 2.4 Giả sử x nghiệm hữu hiệu địa phương (CVEP); giả thiết Định lý 2.2 điều kiện quy (SMFCQ) (với s ∈ J) Khi đó, (∀k ∈ J, k = s), µi tồn λs > 0, λk cho (∀i ∈ I(x)), γ j ∈ R (∀j ∈ L) λk conv ∂ ∗ Fk,x (x) + ∈cl k∈J µi conv ∂ ∗ gi (x) i∈I(x) (2.13) ∗ + γ j conv ∂ hj (x) + NC (x) j∈L Nhận xét 2.6 (a) Nếu (SMFCQ) với s ∈ J, ta suy tồn λk > (∀k ∈ J), µi (∀i ∈ I(x)), γ j ∈ R (∀j ∈ L) cho (2.13) (s) (s) Thật vậy, theo Định lý 2.4 với s ∈ J, tồn λs > 0, λk (s) (s) (∀k ∈ J, k = s), µi (∀i ∈ I(x)) γj ∈ R (∀j ∈ L) cho (s) (s) µi conv ∂ ∗ gi (x) λk conv ∂ ∗ Fk,x (x) + ∈cl k∈J i∈I(x) (s) γj conv + j∈L ∗ ∂ hj (x) + N (C; x) (2.14) 30 Bởi clA + clB ⊆ cl(A + B), lấy s = 1, , m (2.14) cộng hai vế bao hàm thức nhận ta có 0∈ (s) λk conv ∂ ∗ Fk,x (x) cl s∈J k∈J (s) µi conv + (s) γj conv ∂ ∗ hj (x) + N (C; x) ∂ ∗ gi (x) + j∈L i∈I(x) λk conv ∂ ∗ Fk,x (x) ⊆ cl k∈J µi conv ∂ ∗ gi (x) + + γ j conv ∂ ∗ hj (x) + N (C; x) , j∈L i∈I(x) (s) (s) s∈J,s=k λk > (∀k (s) s∈J γj ∈ R (∀j ∈ L) λk = λs + (∀i ∈ I(x)) γ j = ∈ J), µi = (s) s∈J µi (b) Định lý 2.4 khơng thể so sánh với Định lý [3], kết Nhận xét 2.6(a) kéo theo Định lý [3].Thật vậy, trường hợp X = Rp , với tốn (CVOP) khơng có ràng buộc đẳng thức, nghiệm hữu hiệu địa phương (CVOP) điểm quy theo nghĩa Ioffe Do Nhận xét 2.5, đặt h ≡ (CVOP), (SMFCQ) trở thành (CQ1) [3] (với s ∈ J) Do đó, ta suy kết luận phải chứng minh Trong trường hợp dim X < ∞, điều kiện cần Karush–Kuhn–Tucker cho nghiệm hữu hiệu địa phương (CVEP) suy từ Định lý 2.3 sau: Hệ 2.1 Giả sử dim X < ∞ x nghiệm hữu hiệu địa phương (CVEP); giả thiết 2.1, 2.2 điều kiện quy (MFCQ) Khi đó, tồn λk (∀k ∈ J), khơng đồng thời khơng, µi (∀i ∈ I(x)), γ j ∈ R (∀j ∈ L) cho λk conv ∂ ∗ Fk,x (x) + ∈cl k∈J + µi conv ∂ ∗ gi (x) i∈I(x) γ j ∂hj (x) + NC (x) , j∈L ∂hj (x) vi phân Clarke x hj 31 Chứng minh Vì dim X < ∞, với hàm Lipschitz địa phương hj , ánh xạ ∂hj nửa liên tục x (∀j ∈ L) (xem [2]) Áp dụng Định lý 2.3 ta suy tồn λk (∀k ∈ J), không đồng thời khơng, µi R (∀j ∈ L) cho kết luận 2.4 (∀i ∈ I(x)), γ j ∈ Điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu yếu Giả sử f hàm xác định X có vi phân suy rộng ∂ ∗ f (x) Phù hợp với định nghĩa hàm giả lồi tiệm cận [7], [8] ta đưa vào định nghĩa sau Định nghĩa 2.1 Hàm f gọi giả lồi tiệm cận x theo C với x ∈ C, Với dãy x∗n ∈ conv ∂ ∗ f (x), lim x∗n , x − x n→∞ =⇒ f (x) f (x) Định nghĩa 2.2 Hàm f gọi tựa lồi tiệm cận x theo C với x ∈ C, f (x) f (x) =⇒ Với dãy x∗n ∈ conv ∂ ∗ f (x), lim x∗n , x − x n→∞ Hàm f gọi tựa lõm tiệm cận x theo C −f tựa lồi tiệm cận x theo C Định nghĩa 2.3 Hàm f gọi tựa tuyến tính tiệm cận x theo C f tựa lồi tiệm cận tựa lõm tiệm cận x theo C Sau đây, ta đưa điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu yếu (CVEP) Định lí 2.5 Giả sử x ∈ M1 ; giả thiết 2.1 2.2 đúng; Fx (x) = Giả sử tồn λk (∀k ∈ J), không đồng thời khơng, µi (∀i ∈ I(x)), τj (∀ j ∈ L), j∈L τ j = r > cho hàm Mr (x) định 32 (2.4) giả lồi tiệm cận x theo M1 λk conv ∂ ∗ Fk,x (x) + ∈cl k∈J µi conv ∂ ∗ gi (x) i∈I(x) τ j conv ∂ ∗ (| hj (x) |) + ∂dC (x) +r (2.15) j∈L Khi đó, x nghiệm hữu hiệu yếu (CVEP) Chứng minh Bởi λk I(x)), ta có (∀k ∈ J) khơng đồng thời khơng µi k∈J λk + i∈I(x) µi = Do đó, từ (2.15) suy ∂ ∗ gi (x) ∂ ∗ Fk,x (x) ∈ cl conv (∀i ∈ k∈J i∈I(x) ∂ ∗ (| hj (x) |) + r∂dC (x) + rconv j∈L ∂ ∗ Fk,x (x) = clconv k∈J ∂ ∗ gi (x) i∈I(x) ∂ ∗ (| hj (x) |) + ∂dC (x) +r j∈L Vì C lồi nên hàm dC lồi Do đó, dC quy theo nghĩa Clarke x Vì vậy, ∂dC (x) vi phân suy rộng quy dC x Do đó, tập sau vi phân suy rộng Mr x: ∂ ∗ gi (x) + r ∂ ∗ Fk,x (x) k∈J ∂ ∗ (| hj (x) |) + ∂dC (x) j∈L i∈I(x) Do đó, ∈ clconv ∂ ∗ Mr (x) Từ suy tồn dãy {x∗n } ⊆ conv ∂ ∗ Mr (x) cho lim x∗n = n→∞ Vì vậy, với x ∈ C, lim x∗n , x − x = n→∞ (2.16) 33 Do tính giả lồi tiệm cận Mr x, (2.16) kéo theo Mr (x) Mr (x) (∀x ∈ M ) Sử dụng Mệnh đề 1.1(ii), ta suy x cực tiểu toán (Ps ) với s ∈ J Do đó, x cực tiểu yếu tốn (MP) Vì Fx (x) = 0, x nghiệm hữu hiệu yếu (CVEP) Dưới đây, ta trình bày điều kiện đủ khác cho nghiệm hữu hiệu yếu Định lí 2.6 Giả sử x ∈ M1 ; Fx (x) = (∀k ∈ J), khơng đồng thời khơng, µi (i) Tồn λk (∀i ∈ I(x)), γ j ∈ R (∀j ∈ L) cho λk conv ∂ ∗ Fk,x (x) + ∈cl k∈J µi conv ∂ ∗ gi (x) i∈I(x) (2.17) γ j conv ∂ ∗ hj (x) + NC (x) + j∈L (ii) Tất vi phân suy rộng ∂ ∗ Fk,x (x) (k ∈ J)(có thể trừ một) quy x; hàm λFx (.) := i∈J λk Fk,x (.) giả lồi tiệm cận x theo M1 ; hàm gi tựa lồi tiệm cận x theo M1 (∀i ∈ I(x)); hàm hj tựa tuyến tính tiệm cận x theo M1 (∀j ∈ L); C lồi Khi đó, x nghiệm hữu hiệu yếu (CVEP) Chứng minh (n) (n) Từ (2.17) suy tồn χk ∈ conv ∂ ∗ Fk,x (x), ξi (n) ηj ∈ conv ∂ ∗ hj (x), ζ (n) ∈ NC (x) cho (n) = lim n→∞ (n) λk χ k + k∈J µi ξi ∈ conv ∂ ∗ gi (x), (n) γ j ηj + ζ (n) + j∈L i∈I(x) Do đó, với x ∈ M1 , (n) n→∞ (n) λk χk , x − x + lim k∈J i∈I(x) (n) γ j ηj , x + j∈L µi ξi , x − x −x + ζ (n) (2.18) ,x − x = 34 Bây giờ, với x ∈ M1 , gi (x) = gi (x) (∀i ∈ I(x)) Do tính tựa lồi tiệm cận gi x, ta suy với x ∈ M1 , (n) lim ξi , x − x n→∞ (2.19) Do hj (x) = = hj (x) (∀x ∈ M1 ) tính tựa tuyến tính tiệm cận hj (∀j ∈ L), ta có với x ∈ M1 , (n) lim ηj , x − x = (2.20) n→∞ Vì C lồi, x − x ∈ TC (x) (∀x ∈ C) Vì vậy, với x ∈ C, lim ζ (n) , x − x n→∞ (2.21) Bởi tất vi phân suy rộng (có thể trừ một) ∂ ∗ Fk,x (x) (k ∈ J) quy trên, theo Quy tắc 2.4 [5], k∈J λk ∂ ∗ Fk,x (x) vi phân suy rộng hàm k∈J λk Fk,x (.) x Kết hợp (2.18)–(2.21) ta suy với x ∈ M1 , (n) λk χk , x − x lim n→∞ k∈J Do tính giả lồi tiệm cận λFx (.) at x, ta khẳng định với x ∈ M1 , λFx (x) λFx (x) = Do đó, x cực tiểu hàm λFx (.) tập M1 , nghiệm hữu hiệu yếu (CVEP) Chứng minh tương tự Định lý 2.6 ta nhận điều kiện đủ khác cho (CVEP) Định lí 2.7 Giả sử x ∈ M1 ; Fx (x) = (i) Tồn λs > 0, λk 0(∀k ∈ J, k = s), µi 0(∀i ∈ I(x)), γ j ∈ R (∀j ∈ L) cho λk conv ∂ ∗ Fk,x (x) + ∈cl k∈J µi conv ∂ ∗ gi (x) i∈I(x) γ j conv ∂ ∗ hj (x) + NC (x) + j∈L 35 (ii) Hàm Fs,x (.) giả lồi tiệm cận x theo M1 ; hàm Fk,x (.) gi tựa lồi tiệm cận x theo M1 (∀k ∈ J, k = s; ∀i ∈ I(x)); hàm hj tựa tuyến tính tiệm cận x theo M1 (∀j ∈ L); C lồi Khi đó, x nghiệm hữu hiệu yếu (CVEP) Nhận xét 2.7 Định lý 2.7 kéo theo Định lý [3] (trường hợp nghiệm hữu hiệu yếu) tính ∂ ∗ -giả lồi tính ∂ ∗ -tựa lồi tương ứng kéo theo tính giả lồi tiệm cận tính tựa lồi tiệm cận 36 Chương Áp dụng Trong chương này, sử dụng kết trình bày chương trước ta trình bày điều kiện tối ưu cho toán bất đẳng thức biến phân vectơ (CVVI) tốn tối ưu vectơ (CVOP) Các kết trình bày chương D V Luu [6] 3.1 Điều kiện tối ưu cho toán bất đẳng thức biến phân vectơ Để trình bày điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu địa phương (CVVI) ta đưa vào giả thiết sau Giả thiết 3.1 Các hàm h1 , , h Lipschitz địa phương x; hj có vi phân suy rộng ∂ ∗ hj (x) x gần x (∀j ∈ L); với j ∈ L, ánh xạ vi phân suy rộng ∂ ∗ hj nửa liên tục x; hàm gi (i ∈ I(x)) liên tục C lồi Giả thiết 3.2 Các hàm gi có vi phân suy rộng ∂ ∗ gi (x) (i ∈ I(x)) x; hàm | hj | (j ∈ L) quy theo nghĩa Clarke x Một điều kiện cần tối ưu Fritz John cho (CVVI) phát biểu sau Định lí 3.1 37 Giả sử x nghiệm hữu hiệu địa phương (CVVI); x điểm quy theo Ioffe h theo C Hơn nữa, giả sử Giả thiết 3.1 3.2 thỏa mãn Khi đó, tồn λk 0(∀k ∈ J), µi (∀i ∈ I(x)), γj ∈ R cho k∈J λk + i∈I(x) µi ∈cl = µi conv ∂ ∗ gi (x) λk T (x)k + k∈J i∈I(x) (3.1) ∗ γ j conv ∂ hj (x) + NC (x) + j∈L Chứng minh Vì ánh xạ T (x)(.) tuyến tính liên tục khả vi chặt Lipschit địa phương Do đó, hàm T (x)k (.) có vi phân suy rộng x {T (x)k } (∀k ∈ J) Đặt F (x, y) = T (x)(y − x), ta có Fx (x) = Do đó, với Giả thiết 3.1, 3.2, giả thiết Định lý 2.2 thỏa mãn cho toán (CVVI) Áp dụng Định lý 2.2 cho toán (CVVI) ta suy ra tồn λk (∀k ∈ J), µi (∀i ∈ I(x)), γj ∈ R cho (3.1) k∈J λk + i∈I(x) µi = Sau đây, ta trình bày điều kiện cần Karush-Kuhn-Tucker cho nghiệm hữu hiệu toán (CVVI) Định lí 3.2 Giả sử x nghiệm hữu hiệu địa phương (CVVI); giả thiết Định lý 3.1 điều kiện quy (MFCQ) Khi đó, tồn λk cho 0(∀k ∈ J) không đồng thời 0, µi ∈cl µi conv ∂ ∗ gi (x) + λk T (x)k + k∈J (∀i ∈ I(x)), γj ∈ R i∈I(x) γ j conv ∂ ∗ hj (x) j∈L (3.2) + NC (x) Chứng minh: Bằng lý luận tương tự chứng minh Định lý 2.3 sử dụng Định lý 3.1 ta nhận điều kiện cần Karush–Kuhn–Tucker (3.2) cho (CVVI) ✷ 38 Từ Định lý 2.6 ta nhận điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu yếu toán (CVVI) sau Định lí 3.3 Cho x ∈ M1 Giả sử (∀k ∈ J) không đồng thời khơng, µi (i) Tồn λk (∀i ∈ I(x)), γ j ∈ R (∀j ∈ L) cho ∈cl µi conv ∂ ∗ gi (x) λk T (x)k + k∈J i∈I(x) γ j conv ∂ ∗ hj (x) + NC (x) + j∈L (ii) Mỗi hàm gi tựa lồi tiệm cận x theo M1 (∀i ∈ I(x)); hàm hj tựa tuyến tính tiệm cận x theo M1 (∀j ∈ L); C lồi Khi đó, x nghiệm hữu hiệu yếu (CVVI) Chứng minh Vì ánh xạ T (x)(.) tuyến tính liên tục khả vi chặt Lipschitz địa phương Do đó, hàm T (x)k (.) có vi phân suy rộng quy x {T (x)k }(∀k ∈ J) Rõ ràng hàm λT (x)(.) := i∈J λk T (x)k (.) giả lồi tiệm cận x theo M1 Như vậy, giả thiết Định lý 2.6 thỏa mãn Áp dụng định lí 2.6 cho (CVVI) ta suy kết luận phải chứng minh 3.2 Điều kiện tối ưu cho tốn tối ưu vectơ Để trình bày điều kiện tối ưu cho cực tiểu Pareto địa phương x (CVOP), ta đưa vào giả thiết sau Giả thiết 3.3 Hàm fs (với s ∈ J) hàm h1 , , h Lipschitz địa phương x; hj có vi phân suy rộng ∂ ∗ hj (x) x gần x (∀j ∈ L); với j ∈ L, ánh xạ vi phân suy rộng ∂ ∗ hj nửa liên tục x;fk (k ∈ J, k = s) gi (i ∈ I(x)) liên tục; C lồi Giả thiết 3.4 39 Các hàm fk gi có vi phân suy rộng tương ứng ∂ ∗ fk (x) (k ∈ J, k = s) ∂ ∗ gi (x) (i ∈ I(x)) at x; hàm | Fj | (j ∈ L) quy theo nghĩa Clarke x Với giả thiết 3.3 3.4, ta nhận điều kiện cần tối ưu Fritz John cho (CVOP) sau Định lí 3.4 Cho x cực tiểu Pareto địa phương (CVOP) Giả sử x điểm quy theo nghĩa Ioffe h theo C Hơn nữa, giả sử giả thiết 3.3 3.4 thỏa mãn Khi đó, tồn λk (∀k ∈ J), µi I(x)), γj ∈ R cho k∈J λk + i∈I(x) µi = λk conv ∂ ∗ fk (x) + ∈cl k∈J (∀i ∈ µi conv ∂ ∗ gi (x) i∈I(x) γ j conv ∂ ∗ hj (x) + NC (x) + j∈L Chứng minh Với giả thiết 3.3, 3.4, giả thiết Định lý 2.2 thỏa mãn cho toán (CVOP) với F (x, y) = f (y) − f (x) Áp dụng Định lý 2.2 cho toán (CVOP) ta nhận điều phải chứng minh Với điều kiện (MFCQ) ta trình bày điệu kiện Karush-Kuhn-Tucker cho cực tiểu Pareto địa phương tốn (CVOP) Định lí 3.5 Giả sử x cực tiểu Pareto địa phương (CVOP); giả thiết định lý 3.4 điều kiện quy ràng buộc (MFCQ) Khi đó, tồn λk (∀k ∈ J), khơng đồng thời khơng, µi (∀i ∈ I(x)), γ j ∈ R (∀j ∈ L) cho λk conv ∂ ∗ fk (x) + ∈cl k∈J γ j conv ∂ hj (x) + NC (x) j∈L Chứng minh i∈I(x) ∗ + µi conv ∂ ∗ gi (x) (3.3) 40 Ta thấy giả thiết Định lý 3.4 thỏa mãn Với lý luận tương tự chứng minh Định lý 2.3 cách sử dụng Định lý 3.4, suy kết thỏa mãn yêu cầu Một điều kiện tối ưu đủ cho toán tối ưu vectơ (CVOP) phát biểu sau Định lí 3.6 Cho x ∈ M1 Giả sử (i) Tồn λk (∀k ∈ J) không đồng thời khơng, µi (∀i ∈ I(x)), γ j ∈ R (∀j ∈ L) cho λk conv ∂ ∗ fk (x) + ∈cl k∈J µi conv ∂ ∗ gi (x) i∈I(x) γ j conv ∂ ∗ hj (x) + NC (x) + j∈L (ii) Tất vi phân suy rộng (có thể trừ một) ∂ ∗ fk (x) (k ∈ J) quy x; hàm λf := i∈J λk fk giả lồi tiệm cận x theo M1 ; hàm gi tựa lồi tiệm cận x theo M1 (∀i ∈ I(x)); hàm hj tựa tuyến tính tiệm cận x theo M1 (∀j ∈ L); C lồi Khi x cực tiểu yếu (CVOP) Chứng minh Áp dụng Định lý 2.6 cho F (x, y) = f (y) − f (x) ta nhận điều cần phải chứng minh ✷ 41 Kết luận Luận văn trình bày điều kiện cần Fritz John, điều kiện cần đủ Karush–Kuhn–Tucker cho nghiệm hữu hiệu toán cân vectơ qua vi phân suy rộng Đ.V Lưu ([6], 2016) Nội dung luận văn bao gồm: - Một số kiến thức vi phân suy rộng không compắc cho hàm giá trị thực mở rộng - Các điều kiện cần Fritz John Karush–Kuhn–Tucker cho nghiệm hữu hiệu địa phương quy theo nghĩa Ioffe điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu yếu tốn cân vectơ có ràng buộc không gian Banach D V Luu [6] - Các điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu yếu với số giả thiết tính lồi suy rộng - Các điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu toán bất đẳng thức biến phân vectơ (CVVI) toán tối ưu vectơ (CVOP) Điều kiện cần đủ cho nghiệm hữu hiệu toán cân vectơ không trơn đề tài nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu 42 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, NXB Khoa học kĩ thuật, Hà Nội Tiếng Anh [2] F.H Clarke (1983), Optimization and Nonsmooth Analysis, Wiley Interscience, New York [3] M Golestani, S Nobakhtian (2012)," Convexificators and strong Kuhn–Tucker conditions", Comp Math Appl 64, 550–557 [4] A.D Ioffe (1979), "Necessary and sufficient conditions for a local minimum 1: A reduction theorem and first order conditions", SIAM J Control and Optimization 17, 245-250 [5] V Jeyakumar, D.T Luc (1999), "Nonsmooth Calculus, minimality and monotonicity of convexificators", J Optim Theory Appl 101, 599 - 621 [6] D.V Luu (2016), "Optimality problems via convexificators and applications", J Optim Theory Appl 171, 643 - 665 [7] D.V Luu (2014), "Necessary and sufficient conditions for efficiency via convexificators", J Optim Theory Appl 160, 510-526 [8] X.Q Yang (2005), "Continuous generalized convex functions and their characterizations", Optimization 54, 495-506 ... VĂN LONG ĐIỀU KIỆN FRITZ JOHN VÀ KARUSH- KUHN- TUCKER CHO NGHIỆM HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ QUA DƯỚI VI PHÂN SUY RỘNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC... Chương Dưới vi phân suy rộng Chương trình bày số kiến thức vi phân suy rộng không compact cho hàm giá trị thực mở rộng, bao gồm: khái niệm vi phân suy rộng dưới, vi phân suy rộng quy vi phân suy rộng. .. thiết tính lồi suy rộng - Các điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu toán bất đẳng thức biến phân vectơ (CVVI) toán tối ưu vectơ (CVOP) Điều kiện cần đủ cho nghiệm hữu hiệu toán cân vectơ không trơn