Về điều kiện tối ưu cấp cao trong tối ưu không trơn

Về điều kiện tối ưu cấp cao trong tối ưu không trơn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

-

Nguyễn Thị Xuân Mai

VỀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP CAO TRONG TỐI ƯU KHÔNG TRƠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

-

Nguyễn Thị Xuân Mai

VỀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP CAO TRONG TỐI ƯU KHÔNG TRƠN

Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số : 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS TS ĐỖ VĂN LƯU

MỤC LỤC

Trang

MỤC LỤC………1 MỞ ĐẦU……… 2 Chương I

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP CAO CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐƠN MỤC TIÊU KHÔNG TRƠN KHÔNG CÓ RÀNG BUỘC

1.1 Đạo hàm theo phương cấp cao Ginchev và điều kiện tối ưu cấp cao….4 1.2 Xấp xỉ đa thức và điều kiện đủ tối ưu……… 13 1.3 Điều kiện tối ưu cấp hai……… 19 1.4 Cực tiểu cô lập……… 26

KẾT LUẬN………55 TÀI LIỆU THAM KHẢO………56

MỞ ĐẦU

Do nhu cầu của kinh tế và kỹ thuật, lý thuyết tối ưu hoá đã phát triển mạnh mẽ và ngày càng thu được nhiều kết quả quan trọng Lý thuyết các điều kiện tối ưu là một bộ phận quan trọng của lý thuyết tối ưu hoá Các điều kiện tối ưu cấp cao được nghiên cứu bởi nhiều tác giả và dưới nhiều ngôn ngữ đạo hàm hoặc đạo hàm theo phương khác nhau ( xem chẳng hạn [2] – [10] )

Năm 2002, I.Ginchev [5] đưa ra khái niệm đạo hàm theo phương cấp cao cho một hàm giá trị thực mở rộng và thiết lập các điều kiện tối ưu cấp cao cho bài toán tối ưu không trơn không ràng buộc B.Jiménez ( [6] , 2002 ) đưa

ra khái niệm cực tiểu Pareto địa phương chặt cấp m và cực tiểu Pareto địa

phương chặt cho bài toán tối ưu đa mục tiêu Sử dụng các khái niệm cực tiểu chặt của Jiménez [6], Đ.V.Lưu và P.T.Kiên [7] đã dẫn các điều kiện cần và đủ

cho cực tiểu Pareto địa phương chặt cấp m và cực tiểu Pareto địa phương chặt

của bài toán tối ưu đa mục tiêu không trơn với ràng buộc tập trong không gian định chuẩn, dưới ngôn ngữ đạo hàm theo phương cấp cao của Ginchev [5]

Luận văn tập trung trình bày các điều kiện tối ưu cấp cao dưới ngôn ngữ đạo hàm theo phương cấp cao của I.Ginchev trên và dưới cho bài toán tối ưu đơn mục tiêu không trơn không có ràng buộc và bài toán đa mục tiêu không trơn với ràng buộc tập

Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo

Chương I trình bày các điều kiện tối ưu cấp cao của I.Ginchev [5] cho bài toán tối ưu đơn mục tiêu không trơn, không có ràng buộc trong không gian Banach Kết quả chỉ ra rằng với các điểm cực tiểu cô lập, điều kiện đủ cũng là điều kiện cần, và như vậy ta nhận được một điều kiện đặc trưng cho cực tiểu cô lập

Chương II trình bày các nghiên cứu về các điểm cực tiểu Pareto địa

phương chặt cấp m và cực tiểu Pareto địa phương chặt của B.Jiménez [6] và

các điều kiện cần và đủ cho các điểm cực tiểu yếu, cực tiểu Pareto địa phương

chặt cấp m và cực tiểu Pareto địa phương chặt của Đ.V.Lưu và P.T.Kiên [7]

cho bài toán tối ưu đa mục tiêu không trơn trong không gian định chuẩn với ràng buộc tập, dưới ngôn ngữ đạo hàm theo phương cấp cao của I.Ginchev [5]

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS.TS.Đỗ Văn Lưu, người đã tận tình hướng dẫn, tạo mọi điều kiện giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sau đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán – Trường ĐH Sư phạm – ĐH Thái Nguyên cùng các thầy giáo, cô giáo đã tham gia giảng dạy khoá học, xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp và các bạn cùng lớp cao học Toán K15 đã luôn quan tâm, động viên và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và làm luận văn

1.1 ĐẠO HÀM THEO PHƯƠNG CẤP CAO GINCHEV VÀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP CAO

Giả sử E là không gian Banach thực, là tập các số thực và

      Ta sẽ đưa vào đạo hàm theo phương cấp cao cho hàm không trơn f E:  tại điểm x0E để dẫn điều kiện tối ưu cấp cao cho bài toán tối ưu :

( )

Ở đây ta xét hàm f không trơn, thậm chí f không nhất thiết liên tục

Nhắc lại: điểm x0E gọi là điểm cực tiểu địa phương của f nếu tồn tại lân cận U của x0 sao cho

f x  f x  x U

Nếu bất đẳng thức này chặt với x x0 thì x0 được gọi là cực tiểu địa phương chặt

Ký hiệu B và S tương ứng là hình cầu đơn vị xE: x 1 và mặt cầu đơn vị xE: x 1 trong E Ta chỉ cần xét các phần tử của S thay cho các phương ( khác 0 ) trong E Ký hiệu S là tôpô trên S Tôpô S được dùng để

định nghĩa đạo hàm theo phương của f Ta chỉ hạn chế xét tôpô mạnh, tôpô

yếu, tôpô rời rạc và tôpô phản rời rạc ( tôpô tầm thường ) Tôpô mạnh và tôpô yếu trên S cảm sinh tương ứng từ tôpô mạnh ( tôpô chuẩn ) và tôpô yếu trên E Mỗi tập con của S là mở đối với tôpô rời rạc, còn đối với tôpô phản rời rạc trên S, chỉ có hai tập mở là S và tập rỗng

Lấy uS Ta định nghĩa đạo hàm dưới cấp không của f tại x0 theo

phương u bởi công thức

Với mỗi số nguyên dương n và mỗi phương uS, ta thừa nhận rằng:

đạo hàm dưới cấp n ( )0

( , )

f x u theo phương u tồn tại và là một phần tử của

khi và chỉ khi các đạo hàm f( )i ( , )x u0 , i = 0, 1, , n – 1 tồn tại trong Ta

định nghĩa đạo hàm theo phương dưới cấp n như sau :

nt uu

Ta sẽ dùng khái niệm đã đưa vào để dẫn điều kiện tối ưu cấp cao Liên quan đến tính tối ưu không trơn, các điều kiện cấp cao sau đây là quan trọng

Ở đây uS là một phương cố định và n là một số dương

và n = n(u) là số nguyên không âm tuỳ ý sao cho tất cả các đạo hàmf( )i (x u0, ), i = 0, , n, tồn tại

Chứng minh

Lấy  > 0 sao cho

x E và uS sao cho tồn tại một số

Từ định nghĩa của f(0)(x u0, ) suy ra tồn tại   ( )u 0 và lân cận U =

U(u)  S của u sao cho

f x tu   f x với mọi 0 < t <  và u'U(u)

n 

Định lý 1.2 ( Điều kiện đủ cấp cao)

Giả sử hàm f E:  ,x0Evà S là compact đối với tôpô S Giả sử với mỗi uS, tồn tại số nguyên không âm n = n(u) sao cho điều kiện

f x tu  f x với mọi 0 < t < ( ) u và u'U(u)

Do S compact cho nên S nằm trong hợp một số hữu hạn các lân cận

U(u), tức là S  ( U(u1)   U(us)) với u1, , us nào đó Đặt 0 = min ( ( )u1 , ,( )us )

S Hàm f E:  và đạo hàm dưới của f được xác định theo tôpô S Giả sử với mỗi uS, tồn tại số nguyên không âm n = n(u) sao cho điều kiện

Hiển nhiên x0 = 0 là điểm cực tiểu chặt của f

Giả sử S là tôpô phản rời rạc trên S Khi đó mặt cầu đơn vị S là

compact Với mỗi phương uS ta có

f u   f và f(1)(0, ) 1 0u  

0

Chú ý rằng với các cách chọn tôpô S khác, chẳng hạn nếu không gian E trong ví dụ 1.1 là vô hạn chiều và tôpô mạnh thay thế cho tôpô phản rời rạc

thì điểm x0 = 0 không là cực tiểu bởi vì mặt cầu S không compact

Giả sử S là tôpô rời rạc Vì tập một điểm là mở, sự hội tụ ( , ')t u  ( 0, )u có nghĩa đơn giản là t  0 và ta nhận được đạo hàm Dini Tuy nhiên, đối với tôpô rời rạc, S là compact chỉ nếu S là tập hữu hạn, nghĩa là chỉ trong trường hợp một chiều Ngoài trường hợp một chiều, đạo hàm theo phương dưới Dini không thể sử dụng được điều kiện đủ của định lý 1.2 Đạo hàm Dini hữu ích trong điều kiện cần của định lý 1.1 bởi vì việc tính toán giới hạn t 0 thuận tiện hơn so với giới hạn ( , ')t u  ( 0, )u

Trong trường hợp tôpô S trên S là tôpô mạnh, ta sử dụng đạo hàm theo phương dưới Hadamard Hệ quả 1.1 cho thấy rằng đạo hàm Hadamard là hữu ích cho các điều kiện đủ trong không gian Banach hữu hạn chiều

  

Với mỗi x , đặt x  x1 , x2 , , xn , 

Lấy c = ( c1, , cn , ) là một vectơ cố định trong l2 mà tất cả các thành

phần đều dương Trên l2 xét hàm

f xc xc x

  ,

( ở đây < , > là tích vô hướng trên l2)

Hiển nhiên x0 = 0 là điểm cực tiểu chặt của f

Với mỗi u = ( u1, , un , ) cố định thuộc mặt cầu đơn vị S l2, các điều sau thoả mãn:

1) f(0)( , )x u0 0 đối với mọi tôpô S trên S

2) f(1)(x u0, )c u,  nếu S là các tôpô rời rạc, mạnh hoặc yếu trên S và f(1)( , )x u0 0 nếu S là tôpô phản rời rạc

Chứng minh

Lấy u'( ', ,u1 un', )S và t > 0 Ta có

0 < f x( 0 tu') = t c u, '   t c Từ đó suy ra f(0)(x u0, ) = 0

Sự hội tụ k

u u theo tôpô rời rạc nghĩa là u trùng với ku từ một lúc nào đó trở đi Khi đó ta có kết luận 2) cho đạo hàm Dini Kết luận cũng như thế cho đạo hàm Hadamard, bởi vì phép toán x x và tích vô hướng là liên tục theo tôpô mạnh

Do đó,

u uk 2   uu uk, uk   2 u u,   2 2 u u, k   u uk, k 2

= 2 – 2u u, k  0 Điều đó nghĩa là k

u u theo tôpô mạnh Do vậy đạo hàm f(1)( , )x u0 theo tôpô yếu và tôpô mạnh trên S là trùng nhau

Lấy > 0 Do c  l2 nên tồn tại số nguyên dương k sao cho

ii k

c 

Nếu u'S mà ui' = 0 với i < k thì c u, '   Do đó, f(1)( , )x u0 = 0, nếu S

Ví dụ trên đã đặt ra câu hỏi sau đây:

Với một hàm bất kỳ f E:  có x0 là cực tiểu chặt, có luôn tồn tại hay không một tôpô S sao cho mặt cầu đơn vị S là compact theo tôpô S và x0

là điểm cực tiểu chặt được nhận biết theo định lý 1.2 ( xác định các đạo hàm

của f theo S )?

Câu trả lời là phủ định ở trong mục 1.4 Kết quả khẳng định rằng nếu x0

là điểm cực tiểu theo tôpô S nào đó thì nó cũng là điểm cực tiểu theo tôpô

phản rời rạc Một cách chính xác hơn, ta thấy rằng định lý 1.2 chỉ đặc trưng cho điểm cực tiểu cô lập

Ví dụ 1.3

Lấy E = và f x( ) xm với m là số nguyên không âm nào đó và

0 <  < 1

Hiển nhiên x0 = 0 là điểm cực tiểu chặt

Các đạo hàm Dini dưới là

1) f( )i (0,1) f( )i (0, 1) = 0, i = 0, , m

2) f(m1)(0,1) f(m1)(0, 1)  

Do đó, x0 = 0 là điểm cực tiểu địa phương chặt cấp m + 1 theo điều kiện đủ

của định lý 1.2

1.2 XẤP XỈ ĐA THỨC VÀ ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU

Trong mục này, ta mô tả đạo hàm theo phương dưới của hàm

f E dưới ngôn ngữ của phép xấp xỉ đa thức địa phương và dẫn các

điều kiện tối ưu Ký hiệu Pn , n = 0, 1, là tập các đa thức một biến bậc n

Chia hai vế bất đẳng thức (1.2) cho tk và qua giới hạn khi t 0, ta

được ak  bk Từ đó ta suy ra điều phải chứng minh 

Ta nói đa thức  là cận dưới bậc n của f E:  tại x0 theo phương

uS nếu với mỗi > 0, tồn tại > 0 và lân cận U = U(u) của u trong S sao

theo phương u tồn tại và khi đó cận này là đa thức Taylor dưới

Sử dụng định lý 1.4, các điều kiện cần và đủ tối ưu của mục 1.1 có thể được biểu diễn dưới ngôn ngữ của phép xấp xỉ đa thức Ở đây, ta chỉ phát biểu lại điều kiện đủ tối ưu của định lý 1.2

Định lý 1.5

Cho hàm f E:  và x0E Giả sử S là tập compact đối với tôpô S

( )

niiita t

f xia

 

( )0

( , )

n

và bất đẳng thức tương ứng với i = n là chặt Khi đó, x0 là điểm cực tiểu địa phương chặt của f

trong đó Tn Tn( ,f x u t0, , ) là đa thức Taylor dưới duy nhất cấp n

So sánh hệ số của  và Tn ta thấy điều kiện  0 

mãn

Giả sử f( )k (x u0, ) vô hạn với k nào đó Đa thức  là một cận dưới bậc

k – 1 và so sánh hệ số của nó với hệ số của đa thức Taylor dưới cấp k – 1, ta

sẽ thu được điều kiện cần  0 

N x u, i = 0, , k – 1

Nếu một bất đẳng thức chặt nào đó trong số các điều kiện này đúng và

m là chỉ số i đầu tiên thoả mãn tính chất này thì điều kiện này thực chất chính

Với mỗi trường hợp đưa ra, điều kiện đủ của định lý 1.2 đều thoả mãn

Do đó, x0 là điểm cực tiểu địa phương chặt 

Ví dụ 1.4

Lấy E = và f x( ) xm với m là số nguyên không âm nào đó và

0 <   1 ( so sánh với ví dụ 1.3.) Khi đó, đa thức

1( )

hiển nhiên là cận dưới bậc m + 1 của f tại x0 = 0 theo cả hai phương u = 1 và

cực tiểu địa phương chặt của f

Nếu  > 0 thì điểm cực tiểu chặt x0 = 0 có thể tìm được bằng cách áp

dụng định lý 1.5 khi lấy phương u = 1, u = – 1 và đa thức ( ) 1 22

Trường hợp < 0, ta có x0 không phải là điểm cực tiểu

Tiếp theo ta chỉ ra rằng đạo hàm theo phương cấp cao có thể biểu diễn dưới ngôn ngữ hiệu chia

Giả sử f E:  Ta nhắc lại: miền hữu hiệu của hàm f là tập

dom f  xE f x: ( )  

Lấy x0E và u0, , un S là các phương cho trước Giả sử t0, , tn là các biến thực dương khác nhau và u' , , '0 un S là các biến phương

Ta định nghĩa hiệu chia cấp n nf  nf x u( , ' , , ' , , , )0 0 unt0 tn như sau:

j i



Tính chất sau đây là một trong số các tính chất chính của hiệu chia và được sử dụng khi chứng minh biểu diễn lại đạo hàm theo phương qua hiệu chia

f x uu tt  t

Định lý 1.6 ( [5] )

( , )

dưới ngôn ngữ hiệu chia cùng với dãy các số A0, , An như sau

2) x0 t uisisdom f với i = 0, 1, , n – 1, 3) Ai = i ( 0, 0s, , is, , , )0sis

lim inff xtufx ut

hạn, u u1', 2'  S và  là số thực dương thoả mãn x0 tu1' dom f

Với giả thiết f(0)( , )x u0 và f(1)( , )x u0 hữu hạn, ta nhận được biểu diễn

sau đây cho đạo hàm dưới cấp hai f(2)( , )x u0 :

= 

t lim inff xtufx ut

( , , , ' , ' , )

ft uuuu

lim inflim suptx uu ut

(A) Điều kiện cần: Giả sử x0

là điểm cực tiểu địa phương của f, uS

Khi đó, một trong ba điều kiện sau đây được thoả mãn: (a0) f(0)( , )x u0  f x( 0),

(a1) Nếu f(0)( , )x u0  f x( 0) thì f(1)( , )x u0 0,

(a2) Nếu f(0)( , )x u0  f x( 0) và f(1)( , )x u0 0 thì f(2)( , )x u0 0

(B) Điều kiện đủ:Giả sử S compact đối với tôpô S Giả sử với mỗi uS,

một trong ba điều kiện sau được thoả mãn: (b0) f(0)( , )x u0  f x( 0),

(b1) f(0)( , )x u0  f x( 0) và f(1)( , )x u0 0,

(b2) f(0)( , )x u0  f x( 0), f(1)( , )x u0 0 và f(2)( , )x u0 0 Khi đó x0

là điểm cực tiểu địa phương chặt của f

trong đó ( , )r  là toạ độ cực của x , nghĩa là x = (x1, x2) = (rcos,rsin)

Hiển nhiên x0 = (0,0) là điểm cực tiểu chặt của f(x) Ta có thể áp dụng điều kiện đủ của định lý 1.7 để suy ra x0

là cực tiểu

Chứng minh

Trong trường hợp nếu u = ( 1, 0) ta được f(1)( , )x u0 0 và do đó

điều kiện cấp hai phải sử dụng để thiết lập tính tối ưu của x0

Xét trường hợp u = (1, 0) Phương đơn vị v = (cos,sin) với  0

đủ nhỏ gần u tuỳ ý Các điểm tv và tvcó toạ độ cực lần lượt là ( , )t  và ( , ) t Do đó với 0 t sin và 0  1 ta có

f x tv   ttsin, và

f x tv   t  tsin Do đó 12 f ( , ,tx v v u0, , , ) 1

t    

Bây giờ ta chỉ ra rằng điều kiện cấp hai trong định lý 1.7 thoả mãn Với

u = (1, 0) , ta lấy lân cận của các vectơ đơn vị W = w = (cosw,sinw) :w 2,

V = v = (cosv,sinv) :v 1, trong đó 0  1 2

Chọn t < sin2 và lấy 0 < < 1 Nếu v  V , ta có



( , )( 0, )

( , , , , , )

Do tính đối xứng nên ta cũng có đẳng thức như vậy với phương

u = ( –1, 0 ) Do đó, các điều kiện đủ của định lý 1.7 thoả mãn Như vậy, tính

Ta so sánh kết quả trên với một số kết quả khác

Giả sử :f E  với E là không gian hữu hạn chiều, f liên tục và tại

với v, z  S tuỳ ý Đạo hàm fBZ(1)(x v0, ) là đạo hàm theo phương thông thường cấp một, fBZ(2)(x v z0, , ) là đạo hàm parabolic cấp hai theo nghĩa BenTal – Zowe [3]

Định lý sau đây cho ta các điều kiện cần dưới ngôn ngữ các đạo hàm parabolic

Định lý 1.8 ( [3] )

Nếu x0

(BZ1) fBZ(1)( , )x v0 0 với mọi v  S,

(BZ2) fBZ(1)( , )x v0 0 kéo theo fBZ(2)( , , )x v z0 0 với mọi z  S

Ta chỉ ra rằng với lớp các hàm đã xét, định lý 1.7 kéo theo định lý 1.8 Thật vậy, giả sử các điều kiện trong định lý 1.7 thoả mãn

Bây giờ ta giả sử fBZ(1)( , )x v0 0 Từ các bất đẳng thức

 0(0)0(1)02

Do đó, bất đẳng thức f(2)( , )x v0 0 kéo theo fBZ(2)( , , )x v z0 0, hay điều kiện (BZ2) thoả mãn

Ví dụ sau đây chỉ ra rằng các điều kiện cần (BZ1) và (BZ2) của định lý 1.8 không kéo theo các điều kiện cần (a0) – (a2) của định lý 1.7

Hiển nhiên, x0 = (0, 0) không là điểm cực tiểu

1.4 CỰC TIỂU CÔ LẬP

Trong mục này, ta mô tả điểm cực tiểu thoả mãn các điều kiện đủ của định lý 1.2 và trả lời câu hỏi đã đặt ra sau ví dụ 1.2

Giả sử f E:  và n0 là một số nguyên không âm

Nhắc lại [10]: điểm cực tiểu x0E của f gọi là cực tiểu địa phương cô lập cấp n0 của f nếu tồn tại lân cận U của x0 và hằng số  > 0 sao cho

Ta nói x0 là điểm cực tiểu địa phương cô lập của f có nghĩa là x0 là

điểm cực tiểu địa phương cô lập cấp n0 của f với n0 là một số nguyên không âm nào đó

f E Khi đó, với u  S bất kỳ, tồn tại số nguyên không âm n(u) n0