Phương pháp hàm phạt điểm trong giải bài toán cân bằng giả đơn điệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC DƯƠNG HỒNG PHÚC PHƯƠNG PHÁP HÀM PHẠT ĐIỂM TRONG GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2010 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC DƯƠNG HỒNG PHÚC PHƯƠNG PHÁP HÀM PHẠT ĐIỂM TRONG GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS PHẠM NGỌC ANH Thái Nguyên - Năm 2010 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mục lục i Lời cảm ơn iii Một số kí hiệu chữ viết tắt iv Lời nói đầu 1 Bài toán cân 1.1 1.2 Các kiến thức 1.1.1 Tập lồi phép toán tập lồi 1.1.2 Hàm lồi vi phân Bài toán cân 10 1.2.1 Phát biểu toán 10 1.2.2 Sự tồn nghiệm 13 Phương pháp hàm phạt điểm 2.1 15 Phương pháp hàm phạt điểm ([2]) 15 2.1.1 Ý tưởng 15 2.1.2 Phương pháp hàm phạt điểm 16 2.2 Hàm toàn phương logarit ([3]) 19 2.3 Mô tả thuật toán hội tụ ([3]) 23 2.4 Thuật toán bỏ qua điều kiện Lipschitz ([3]) 30 Một số ứng dụng 3.1 36 Bài toán bất đẳng thức biến phân ([3]) 36 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii 3.2 Thuật toán điểm gần kề giải toán (M V I ) 39 3.2.1 Sơ phương pháp kiểu điểm gần kề 40 3.2.2 Đề xuất thuật toán 44 3.2.3 Sự hội tụ phương pháp 46 3.2.4 Áp dụng thuật toán ánh xạ co Banach cho (M V I ) 50 Kết luận 54 Danh mục công trình có liên quan đến luận văn 54 Tài liệu tham khảo 56 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn iii Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy TS Phạm Ngọc Anh (Học viện Công nghệ Bưu Viễn thông), thầy trực tiếp hướng dẫn tận tình động viên tác giả suốt thời gian nghiên cứu viết luận văn vừa qua Xin chân thành cảm ơn thầy, cô giáo Bộ môn Toán-Tin, Phòng Đào tạo khoa học Quan hệ quốc tế, bạn học viên lớp Cao học Toán K2 trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên bạn đồng nghiệp tạo điều kiện thuận lợi, động viên tác giả trình học tập nghiên cứu trường Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình người thân khuyến khích động viên tác giả suốt trình học cao học viết luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu xót hạn chế Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn Thái Nguyên, tháng 11 - 2010 Tác giả Dương Hồng Phúc 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn iv Một số kí hiệu chữ viết tắt Rn |β| x := y ∀x ∃x x x, y A⊂B A⊆B A∪B A∩B A×B không gian Euclide n-chiều trị tuyệt đối số thực β x định nghĩa y với x tồn x chuẩn véc tơ x tích vô hướng hai véc tơ x, y tập A tập thực tập B tập A tập tập B A hợp với B A giao với B tích Đề-các hai tập A B argmin{f (x) | x ∈ C} tập điểm cực tiểu hàm f C AT ma trận chuyển vị ma trận A k x →x dãy {xk } hội tụ mạnh tới x V IP toán bất đẳng thức biến phân đơn trị MV I toán bất đẳng thức biến phân đa trị EP toán cân t.ư tương ứng 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời nói đầu Bài toán cân bằng, viết tắt (EP ), toán tổng quát hóa nhiều toán khác như: Bài toán tối ưu, toán bất đẳng thức biến phân, toán bù phi tuyến, toán Nash trò chơi hợp tác, · · · Bài toán có nhiều ứng dụng khoa học, kỹ thuật, kinh tế, viễn thông, vật lý, · · · Do vậy, toán cân nhiều tác giả quan tâm, nghiên cứu lý thuyết tồn nghiệm thuật toán để giải Luận văn nhằm giới thiệu toán cân trình bày phương pháp hàm phạt điểm để giải toán (EP ) với giả thiết hàm f giả đơn điệu tập lồi đa diện C ứng dụng với toán bất đẳng thức biến phân đa trị Luận văn gồm mục lục, ba chương, phần kết luận tài liệu tham khảo Chương có tiêu đề "Bài toán cân bằng" Chương nhắc lại kiến thức tập lồi hàm lồi, mà kết sử dụng chương sau Phần cuối chương giới thiệu toán cân bằng, số ví dụ tồn nghiệm toán cân Chương gồm hai phần chính: Phần đầu trình bày phương pháp hàm phạt điểm giải toán cân bằng cách sử dụng hàm toàn phương logarit kết hợp với điều kiện Lipschitz biết Để tránh điều kiện Lipschitz, phần hai trình bày phương pháp hàm phạt điểm giải toán cân bằng cách kết hợp hàm toàn phương logarit với kỹ thuật tìm kiếm theo tia Chương phần ứng dụng Phần trình bày kết nghiên cứu toán bất đẳng thức biến phân số kết tính toán 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Bài toán cân 1.1 Các kiến thức Giải tích lồi đóng vài trò quan trọng việc nghiên cứu xây dựng thuật toán giải toán cân Trong phần này, ta nhắc lại kiến thức giải tích lồi, định lí, mệnh đề hệ không chứng minh Cho x = (x1 , x2 , · · · , xn )T y = (y1 , y2 , · · · , yn )T hai véc tơ Rn , tích vô hướng x y xác định n x, y = xi y i , i=1 kí hiệu ||x|| chuẩn Euclide x, nghĩa ||x|| = x, x Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng Rn , khoảng cách từ x tới tập C ⊆ Rn , kí hiệu d(x, C), xác định d(x, C) := inf{||y − x|| : y ∈ C} 1.1.1 Tập lồi phép toán tập lồi Phần nhắc lại số kiến thức giải tích lồi sử dụng chương Định nghĩa 1.1 ([8]) Cho a, b ∈ Rn (i) Tập hợp điểm {x := λa + (1 − λ)b : ≤ λ ≤ 1} gọi đoạn nối hai điểm a b, kí hiệu [a, b] 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (ii) Tập C ⊆ Rn gọi tập lồi chứa đoạn thẳng nối hai điểm nó; nghĩa là, λa + (1 − λ)b ∈ C ∀a, b ∈ C, λ ∈ [0, 1] Tập lồi đóng với phép giao, phép cộng, phép nhân với số phép lấy tổ hợp tuyến tính (xem, [2]) Tức là, A B hai tập lồi Rn tập sau tập lồi: (i) A ∩ B := {x : x ∈ A, x ∈ B}, (ii) αA + βB := {x = αa + βb : a ∈ A, b ∈ B} Một tập C ⊂ Rn gọi tập lồi đa diện (xem, [8]) giao họ hữu hạn nửa không gian đóng Nói cụ thể hơn, tập lồi đa diện tập nghiệm họ hữu hạn bất phương trình tuyến tính dạng , x ≤ b i , i = 1, · · · , m (1.1) dạng ma trận Ax ≤ b, (1.2) A ma trận cỡ m × n có hàng b ∈ Rm Vì phương trình tuyến tính biểu diễn thành hai bất phương trình tuyến tính nên tập lồi đa diện tập nghiệm hệ phương trình bất phương trình tuyến tính dạng , x aj , x = bi , ≤ bj , i = 1, · · · , m1 j = m1 + 1, · · · , m (1.3) Hạng hệ bất phương trình tuyến tính (1.2) định nghĩa hạng ma trận A Định nghĩa 1.2 ([3]) Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng Rn , cho f : C × C → R ∪ {+∞} Song hàm f gọi (i) đơn điệu mạnh C với số τ > với x, y ∈ C , ta có f (x, y) + f (y, x) ≤ −τ ||x − y||2 (ii) đơn điệu chặt C với x, y ∈ C, x = y , ta có f (x, y) + f (y, x) < 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (iii) đơn điệu C với x, y ∈ C , ta có f (x, y) + f (y, x) ≤ (iv) giả đơn điệu C với x, y ∈ C , f (x, y) ≥ kéo theo f (y, x) ≤ Từ định nghĩa ta có mối quan hệ sau: Nếu hàm f đơn điệu mạnh ⇒ f đơn điệu chặt ⇒ f đơn điệu ⇒ f giả đơn điệu Trong trường hợp tổng quát, chiều ngược lại không Ví dụ 1.1 Trong không gian R2 xét hàm số f : R+ × R+ −→ R (x, y) −→ f (x, y) = −x2 + xy Khi f hàm đơn điệu mạnh với số < τ ≤ Thật vậy, f (y, x) = −y + xy , nên ta có f (x, y) + f (y, x) = −(x − y)2 ≤ −τ (x − y)2 , f hàm đơn điệu mạnh với số < τ ≤ Tính đơn điệu chặt, đơn điệu, giả đơn điệu dễ dàng kiểm tra định nghĩa Định nghĩa 1.3 Tập C ⊆ Rn gọi nón, λx ∈ C ∀x ∈ C, λ ≥ Tập C ∈ Rn gọi nón lồi vừa nón vừa tập lồi, tức λ1 x + λ2 y ∈ C ∀x, y ∈ C, λ1 , λ2 ≥ Ví dụ 1.2 Rn+ nón lồi Định nghĩa 1.4 ([3]) Cho C ⊆ Rn tập lồi x ∈ C , nón pháp tuyến C x0 (hay gọi nón lồi đóng), kí hiệu NC (x0 ), xác định công thức NC (x0 ) := {p ∈ Rn : p, x − x0 ≤ 10Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ∀x ∈ C} http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... vậy, toán cân nhiều tác giả quan tâm, nghiên cứu lý thuyết tồn nghiệm thuật toán để giải Luận văn nhằm giới thiệu toán cân trình bày phương pháp hàm phạt điểm để giải toán (EP ) với giả thiết hàm. .. ĐẠI HỌC KHOA HỌC DƯƠNG HỒNG PHÚC PHƯƠNG PHÁP HÀM PHẠT ĐIỂM TRONG GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:... lồi hàm lồi, mà kết sử dụng chương sau Phần cuối chương giới thiệu toán cân bằng, số ví dụ tồn nghiệm toán cân Chương gồm hai phần chính: Phần đầu trình bày phương pháp hàm phạt điểm giải toán cân