3 MỘT SỐ HƯỚNG MỞ RỘNG BÀI TOÁN (P)
3.3.2 Bài toán với hàm mục tiêu lõm
Một hướng mở rộng khác của bài toán (P) là xét hàm mục tiêu có dạng:
h =
n
X
j=1
hj yj →min,
trong đó hj (.) là các hàm lõm của một biến số trên đoạn [0, m]. Giả thiết lõm phản ánh tính chất: chi phí tổ chức lớp học trên một người học giảm khi số người học gia tăng. Hàm mục tiêu nêu trên biểu thị tổng chi phí cho việc tổ chức tất cả các chuyên đề có người học.
Chẳng hạn, các hàm hj có dạng: hj(y) =
0 nếu y = 0, dj +cjy nếu y > 0
với cj, dj là các hằng số dương cho trước ( dj biểu thị “chi phí cố định” cho việc tổ chức lớp học, chi phí này không phụ thuộc số người theo học) Như vậy, ta xét bài toán: Tìm cực tiểu của hàm lõm
h(x) = n X j=1 hj m X i=1 xij ! →min (3.23)
với các điều kiện
n
X
j=1
xij = pi, i = 1,2, ..., m, (3.24)
xij ∈ {0,1}, xij 6 aij,∀i = 1,2, ..., m;j = 1,2, ..., n (3.25) trong đó aij ∈ {0,1}, pi ∈ {1,2, ..., m} là những hằng số cho trước.
Có thể chứng minh rằng hj(yj) = hj m P i=1 xij cũng là hàm lõm theo các biến xij(i = 1,2, ..., m). Vì thế, bài toán (3.23)-(3.25) có thể xem như bài toán quy hoạch lõm với các biến nguyên 0,1. Bài toán này cũng có dạng tương tự như bài toán sản xuất - vận tải với cước phí lõm đã được một số tác giả xét trong tối ưu toàn cục. Tuy nhiên, bài toán được xét ở đây phức tạp hơn do có ràng buộc cận trên xij 6 1.
Ký hiệu D là tập các điểm x = {xij} thỏa mãn các điều kiện (3.24), (3.25) và xét tập ràng buộc nới lỏng: M = x : n X j=1 xij = pi, ∀i, 0 6 xij 6 1, xij 6 aij, ∀i, j . (3.26) Ta công nhận các bổ đề sau:
Bổ đề 3.1. D chính là tập đỉnh của đa diện M.
Giả sử x ∈ D, theo bổ đề trên thì x là một đỉnh của M. Với mỗi i = 1,2, ..., m ta ký hiệu:
Ji+ = j : xij = 1 , Ji0 = {j : aij −xij = 1} ≡ {j : aij = 1, xij = 0}. Dễ thấy rằng Ji+ = pi và Ji0 = ai −pi, ∀i = 1,2, ..., m. Khi đó, ta có các bổ đề tiếp theo sau đây:
Bổ đề 3.2. Với mỗi i0 ∈ {1,2, ..., m} thỏa mãn Ji00 6= ∅, ta chọn
s ∈ Ji+0, r ∈ Ji00. Khi đó y = {yij} với yij = xij, ∀i, j trừ ra yi0s = 0 và
yi0r = 1 sẽ là một đỉnh của M kề x.
Bổ đề 3.3. Số đỉnh của M kề x bằng m(x) = Q
ai>pi
pi(ai−pi).
Như đã biết, cực tiểu của một hàm lõm trên một đa diện lồi đạt tại ít nhất một đỉnh của đa diện. Vì thế, thay cho bài toán (3.23) – (3.25) ta có thể xét bài toán nới lỏng:
min{h(x) : x ∈ M}. (3.27) Hiện nay, đã có nhiều phương pháp khác nhau để giải bài toán (3.27). Tuy nhiên cần nghiên cứu đề xuất phương pháp có hiệu quả để tìm cực tiểu toàn cục của bài này, nhờ triệt để khai thác cấu trúc đặc thù của tập M. Sau đây, chúng tôi đề xuất một phương pháp tìm cực tiểu địa phương của bài toán (3.27) theo nghĩa tìm một đỉnh của M tại đó giá trị hàm mục tiêu (3.25) không lớn hơn giá trị hàm mục tiêu tại mọi đỉnh của M kề với đỉnh này. Một đỉnh như thế sẽ thuộc D (bổ đề 3.1) và sẽ là lời giải “tốt” của bài toán (3.23) – (3.25).
Thuật toán C:
Bước 1: Xuất phát từ một điểm bất kỳx1 ∈ D. Một điểm như thế có thể tìm chẳng hạn như ở bước 1 của thuật toán A. Đặt k = 1.
Bước 2: Dùng bổ đề 3.2 tìm các đỉnh của M kề xk : y1, y2, ..., ym(xk). Bước 3: Tính giá trị hàm mục tiêu h yi và
γk = minh yi : i = 1,2, ..., m xk .
3a. Nếu h xk6 γk thì dừng: xk là điểm cực tiểu địa phương cần tìm. 3b. Nếu trái lại, ta chọn bất kỳyk = arg minh yi: i = 1,2, ..., m xk và đặt xk+1 = yk. Tăng k lên 1 và trở lại bước 2.
Do số đỉnh của M là hữu hạn nên thuật toán đã nêu phải dừng ở tình huống 3a sau một số hữu hạn bước lặp.