Sử dụng phần mềm mathematica giải một số bài toán nhiễu loạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ====== PHẠM TUẤN ANH SỬ DỤNG PHẦN MỀM MATHEMATICA GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN NHIỄU LOẠN Chun ngành: Vật lí lí thuyết Vật lí tốn Mã số: 60 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC VẬT CHẤT Người hướng dẫn khoa học: TS TRẦN THÁI HOA HÀ NỘI, 2017 LỜI CẢM ƠN Trước hết tơi xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới TS Trần Thái Hoa – Người thầy tận tình bảo, hướng dẫn giúp đỡ nhiều thời gian vừa qua Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn thầy cô giáo khoa Vật lý trường ĐHSP Hà Nội trang bị kiến thức cho hai năm học tạo tiền đề cho tơi hồn thành luận văn Cuối xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè quan nơi công tác động viên giúp đỡ thời gian vừa qua Hà Nội, tháng năm 2017 Tác giả Phạm Tuấn Anh LỜI CAM ĐOAN Tên học viên Phạm Tuấn Anh - Cao học K19 Trường ĐHSP Hà Nội Tôi xin cam đoan đề tài: “Sử dụng phần mềm Mathematica giải số toán nhiễu”, kết nghiên cứu riêng tôi, đề tài không trùng với kết tác giả khác Nếu có khơng trung thực tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm trước hội đồng khoa học Hà Nội, tháng năm 2017 Tác giả Phạm Tuấn Anh Mục lục Mở đầu 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu .2 Đối tượng nghiên cứu .2 Phương pháp nghiên cứu Chương 1: Một vài nét phần mềm mathematica 1.1 Giới thiệu sơ phần mềm Mathematica .3 1.2 Giao diện tương tác Mathematica 1.3 Các tính Mathematica Chương 2: Lí thuyết nhiễu loạn dừng 2.1 Giới thiệu lí thuyết nhiễu loạn 2.1.1 Nhiễu loạn dừng khơng có suy biến .9 2.1.2 Nhiễu loạn có suy biến 12 2.2 Các bổ lượng hàm sóng 14 2.2.1 Bổ bậc cho lượng 14 2.2.2 Bổ bậc cho lượng hàm sóng .16 2.2.3 Bổ bậc cho lượng hàm sóng .18 Chương 3: Xây dựng chương trình phần mềm mathematica để chạy số toán nhiễu loạn 19 3.1 Bài toán 19 3.2 Bài toán 26 3.3 Bài toán 33 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong học lượng tử việc giải phương trình Schrodinger để tìm lượng hàm sóng ngun tắc ta hồn tồn tìm Tuy nhiên, thực tế với nhiều trường hợp việc giải phương trình gặp nhiều khó khăn giải phức tạp Ta biết trạng thái dừng hệ mơ tả nghiệm phương trình Schrodinger dừng: ˆ    H (1) Ở đây, Hˆ toán tử Hamilton E lượng hệ [1], [2] Nghiệm xác phương trình tìm số tương đối nhỏ trường hợp đơn giản (trường colomb, trường đàn hồi, trường điện từ đều, ….) tương ứng với hệ lý tưởng hóa phương trình (1) cho Sự phức tạp việc giải phương trình phụ thuộc vào dạng số chiều không gian toán cần giải Phần lớn toán học lượng tử dẫn tới phương trình phức tạp dạng tốn học, khơng thể giải nghiệm xác Do đó, nghiên cứu hệ thực nói chung phương trình (1) khơng cho nghiệm xác Bởi phải ứng dụng phương pháp gần để giải toán, phương pháp tìm cách giải gần hàm riêng trị riêng – gọi lí thuyết nhiễu loạn mà nội dung là: đưa toán phức tạp tốn đơn giản tìm nghiệm xác sau tìm hiệu chỉnh tương ứng Vì vậy, có xuất máy tính điện tử nên phương pháp giải gần số toán học lượng tử có tầm quan trọng Cụ thể, việc đưa máy tính vào để nghiên cứu q trình tính tốn vật lí, sử dụng cơng cụ tính toán giúp cho việc xử lý toán vật lí nhanh chóng thuận tiện [7] Để đáp ứng nhu cầu việc ứng dụng phần mềm tốn học Mathematica cơng cụ hữu ích, giải pháp tối ưu bậc đại học Phần mềm dễ học, dễ sử dụng, độ xác cao, đáp ứng nhu cầu đa số giáo viên, giảng viên công tác giảng dạy Năm 1988, hãng Wolfram cho đời phầm mềm Mathematica phiên Mathematica ngơn ngữ tích hợp đầy đủ tính tốn kỹ thuật, [6], [7] dạng ngôn ngữ dựa nguyên lý xử lý số liệu đặc trưng Dựa vào khả mơ hình hóa mơ phỏng, Mathematica khơng ứng dụng tốn học, kỹ thuật, vật lý mà mở rộng ứng dụng nhiều lĩnh vực phức tạp khác Hiện nay, Mathematica cải tiến hoàn thiện qua nhiều phiên bản, phiên Mathematica 11.0.1 Trong viết này, muốn nhấn mạnh việc sử dụng phần mềm toán học chạy số [5] - Mathematica - cơng cụ để giải tốn nhiễu loạn Vì vậy, tơi chọn đề tài “Sử dụng phần mềm Mathematica giải số toán nhiễu loạn” làm luận văn tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu  Lí thuyết nhiễu loạn;  Tìm hiểu cách sử dụng phần mềm Mathematica vào việc giải số toán nhiễu loạn Nhiệm vụ nghiên cứu  Tập trung tư liệu, nghiên cứu lý thuyết;  Lập trình Mathematica để giải tốn nhiễu loạn Đối tượng nghiên cứu  Cơ học lượng tử;  Lí thuyết nhiễu loạn học lượng tử Phương pháp nghiên cứu  Đọc tìm hiểu phần mềm chạy số đặc trưng, ngơn ngữ lập trình Mathematica, lí thuyết nhiễu loạn;  Sử dụng phần mềm toán học chạy số để giải số toán nhiễu loạn Chương Một vài nét phần mềm Mathematica 1.1 Giới thiệu sơ phần mềm Mathematica Mathematica ngôn ngữ tích hợp đầy đủ tính tốn kỹ thuật, dạng ngôn ngữ dựa nguyên lý xử lý liệu tượng trưng Khởi thủy nguyên lý ngơn ngữ LIPS – ngơn ngữ nghiên cứu trí tuệ – nghiên cứu vấn đề xử lý tiếng nói tự nhiên, hệ chuyên gia, vấn đề logic kĩ thuật robot, điều khiển tự động hóa [7] Thế hệ ngơn ngữ giải tích Macsyms, Reduce… đời từ năm 60 kỉ XX Các ngôn ngữ chủ yếu dùng cho toán vật lý lượng cao Nhược điểm chúng chủ yếu định hướng chạy máy tính lớn Thế hệ thứ hai ngôn ngữ Maple so với hệ trước có ưu điểm chạy nhanh chấp nhận nhớ nhỏ hơn, [6] bổ sung nhiều khả đại số, đồ thị chạy máy tính cá nhân Thế hệ thứ ba dạng ngơn ngữ ngơn ngữ Mathematica MatLab, Mathematica có ưu điểm vượt trội giao diện thân thiện, khả vẽ đồ thị siêu việt khả xử lý liệu khơng thua mơi trương ngơn ngữ tính tốn khác [7] Nhờ khả siêu việt mình, Mathematica không ứng dụng lĩnh vực vật lý, kỹ thuật tính tốn mà mở rộng lĩnh vực phức tạp khác khoa học xã hội, sinh học, … Phiên Mathematica phát hành 23/6/1988 Bản 2.0 phát hành năm 1991 Hiện nay, Mathematica 11.0.1 1.2 Giao diện tương tác Mathematica Mathematica đưa giao diện thân thiện với người dùng đặt tên ghi (Notebook - thường gọi tắt nb) Các ghi dạng cửa sổ biểu diễn lượt sử dụng Mathematica bao gồm đầy đủ ghi chép chương trình nguồn, kết thực ghi ghi lại dạng file riêng Mathematica có nb Các ghi tổ chức thành (cells) cách có trật tự thứ bậc Ta nhóm lại cho thấy đầu nhóm (với số nhóm lồng tùy ý) Mathematica đưa giao diện phụ bảng lệnh mục Palettes nút lệnh Button Người sử dụng đơn giản cần nhấp chuột tùy biến theo ý 1.3 Các tính Mathematica 1.3.1 Khả tính tốn a Khả tính tốn số Mathematica cho phép tính cách trực tiếp giống dùng calculator với độ xác biểu thức cách viết biểu thức cần tính bấm tổ hợp phím Shift + Enter Mathematica có khả chấp nhận liệu lớn xử lý thời gian vài giây nhanh [5] Ví dụ, ta tính biểu thức sau nhanh chóng: 8100 = 2037035976334486086268445688409378161051468393665936250636 140449354381299736336706183397376 50!= 3041409320171337804361260816606476884437764156896051200000 0000000 b Khả tính tốn với biến tượng trưng 31 V[x_] := a - α p0 = psi[0, Print["Ham p1 = psi[1, Print["Ham pn = psi[n, Print["Ham MucE[n] x2 ; x]; song Psi_0 =", p0] x]; song Psi_1 =", p1] x]; song Psi_n =", pn] Ham song Psi_0 = Ham song Psi_1 = - m x2 ω 2ℏ  mℏω  1/4 π1/4 - m x2 ω 2ℏ 3/4 x  mℏω  π1/4 Ham song Psi_n = - m 2x ℏ ω  π1/4  m ω 1/4  HermiteHn, x ℏ mω   ℏ 2n n !  MucE[n] Tính bổ cho mức n = a Bổ bậc cho thái chân không n = mω t1 := Assumptions  Reα +  > 0; ℏ V100 = Integrate[psi[0, x] ^ V[x], {x, -∞, ∞}, t1] mω ℏ a α+ mω ℏ b Bổ bậc cho thái chân không n = 32 (MucE[0] - MucE[1]) (Integrate[psi[0, x] V[x] psi[1, x], {x, -∞, ∞}, t1])2; E202 = (Integrate[psi[0, (MucE[0] - MucE[2]) V[x] psi[2, x], {x, -∞, ∞}, t1])2; E203 = (Integrate[psi[0, (MucE[0] - MucE[3]) V[x] psi[3, x], {x, -∞, ∞}, t1])2; E204 = (Integrate[psi[0, (MucE[0] - MucE[4]) V[x] psi[4, x], {x, -∞, ∞}, t1])2; E205 = (Integrate[psi[0, (MucE[0] - MucE[5]) V[x] psi[5, x], {x, -∞, ∞}, t1])2; E206 = (MucE[0] - MucE[6]) (Integrate[psi[0, x] V[x] psi[6, x], {x, -∞, ∞}, t1])2; E02 = E201 + E202 + E203 + E204; E0 = MucE[0] + V100 + E02; E201 = x] x] x] x] Print"Bo chinh bac cho muc nang luong E0=", MucE[0], " la V100 = ", V100 Print["Bo chinh bac cho muc nang luong E0=", MucE[0], " la" ] Print"E201 = ", E201 Print"E202 = ", E202 Print"E203 = ", E203 Print"E204 = ", E204 Print"E205 = E206 = = ", E205 33 Print[ "Sau da bo chinh, nang luong E0= ", E0] Clear[V100, E0, E02, E201, E202, E203, E204, E205, E206] Bo chinh bac cho muc nang luong E0= ωℏ la mω ℏ a V100 = α+ mω ℏ Bo chinh bac cho muc nang luong E0= E201 = E202 = - E203 = E204 = - ωℏ la a2 m α2 α + mω  ℏ (m ω + α ℏ)2 a2 m α 32 α + mω  ℏ ℏ2 E205 = E206 = = mω ℏ a Sau da bo chinh, nang luong E0= α+ a2 m α4 ωℏ a2 m α2 + mω 2 α + mℏω  (m ω + α ℏ)2 32 α + ℏ  ℏ Tính bổ cho mức n = a Bổ bậc cho thái chân không n = mω ℏ - 34 V111 = Integratepsi[1, x] ^ a - α a  mℏω  α + x2 , {x, -∞, ∞}, t1 3/2 m ω 3/2  ℏ b Bổ bậc cho thái chân khơng n = 1 (MucE[1] - MucE[0]) (Integrate[psi[1, x] V[x] psi[0, {x, -∞, ∞}, t1])2; E212 = (MucE[1] - MucE[2]) (Integrate[psi[1, x] V[x] psi[2, {x, -∞, ∞}, t1])2; E213 = (MucE[1] - MucE[3]) (Integrate[psi[1, x] V[x] psi[3, {x, -∞, ∞}, t1])2; E214 = (MucE[1] - MucE[4]) (Integrate[psi[1, x] V[x] psi[4, {x, -∞, ∞}, t1])2; E215 = (MucE[1] - MucE[5]) (Integrate[psi[1, x] V[x] psi[5, {x, -∞, ∞}, t1])2; E216 = (MucE[1] - MucE[6]) (Integrate[psi[1, x] V[x] psi[6, {x, -∞, ∞}, t1])2; E217 = (MucE[1] - MucE[7]) E210 = x], x], x], x], x], x], 35 (Integrate[psi[1, x] V[x] psi[7, x], {x, -∞, ∞}, t1])2; E12 = E210 + E212 + E213 + E214 + E215; E1 = MucE[1] + V111 + E12; Print"Bo chinh bac cho muc nang luong E1=", MucE[1], " la V111 = ", V111 Print["Bo chinh bac cho muc nang luong E1=", MucE[1], " la" ] Print"E210 = ", E210 Print"E212 = ", E212 Print"E213 = ", E213 Print"E214 = ", E214 Print"E215 = ", E215 Print"E216 = E217 = = ", E216 Print[ "Sau da bo chinh, nang luong E1= ", E1] Bo chinh bac cho muc nang luong E1= 3ωℏ la V111 = a  mℏω  α + 3/2 m ω 3/2  ℏ Bo chinh bac cho muc nang luong E1= E210 = E212 = E213 = - E214 = E215 = - a2 m3 α2 ω2 α + mω  ℏ (m ω + α ℏ)4 15 a2 m3 α4 ω2 32 α + mω  ℏ ℏ4 3ωℏ la 36 E216 = E217 = = Sau da bo chinh, nang luong E1= 3/2 a  mℏω  α + m ω 3/2  ℏ - 15 a2 m3 α4 ω2 32 α + mω  ℏ + ℏ4 3ωℏ a2 m3 α2 ω2 α + mℏω  (m ω + α ℏ)4 3.1.2 Kết Hiệu chỉnh cho lượng thái n = dao động tử điều hòa phi tuyến chiều là: ΔE = - a2 mα4 32 α + mω  ℏ ℏ2 - a2 mα2 α + mω  (mω + αℏ)2 ℏ + mω ℏ a α+ mω ℏ Hiệu chỉnh cho lượng thái n = dao động tử điều hòa phi tuyến chiều là: ΔE = - 15 a2 m3 α4 ω2 32 α + mω  ℏ ℏ4 - a2 m3 α2 ω2 α + mω  (mω + αℏ)4 ℏ + a  mω  ℏ α + 3/2 mω 3/2  ℏ (******************************************************* ********************************************) Clear["Global`*"]; 37 3.3 Bài toán Hạt có khối lượng m0 giếng vng góc chiều bề rộng d có thành cao vơ hạn, chịu nhiễu loạn V (x) = aCos πx d  a d số, a nhỏ Xác định lượng hiệu chỉnh đến bậc trạng thái dừng E1, E2, En≥3 3.3.1 Xây dựng chạy phần mềm Mathematica Khai báo hàm sóng hàm sóng trạng thái, mức lượng, toán tử nhiễu loạn a Hàm sóng nπx Sin ; d d psi[n_, x_] := b Năng lượng bậc n chưa nhiễu loạn LE[n_] := n2 π2 ℏ2 m0 d2 c Toán tử nhiễu loạn V[x_] := a Cos ; 2πx ; d Kiểm tra a Khai báo n max nmax = 4; b Xây dựng bảng có nmax, hàm sóng ψ_n, không in nϵ[1, nmax]; Bpsi = Table[psi[n, x], {n, 1, nmax}]; BLE = Table[LE[n], {n, 1, nmax}]; c In lệnh sử dụng lệnh Do, ý số đếm lệnh Do khoảng chạy đầu 38 Print[ "ψ_n(x) = ", psi[n, x], "; E_n =", LE[n]]; Print[ "**********************************"]; Do[Print[ "n=", n, "; ψ_", n, "(x)=", Part[Bpsi, n], "; E_", n, "=", Part[BLE, n]], {n, 1, nmax}]; Clear[nmax, Bpsi, BLE]; (******************************************) d In kết ψ_n(x) = nπx n2 π2 ℏ2 Sin ; E_n = d d d2 m0 ********************************** π2 ℏ2 n=1; ψ_1(x)= πx Sin ; d d n=2; ψ_2(x)= 2πx Sin ; d d E_2= n=3; ψ_3(x)= 3πx Sin ; d d E_3= n=4; ψ_4(x)= 4πx Sin ; d d E_1= d2 m0 E_4= π2 ℏ2 d2 m0 π2 ℏ2 d2 m0 π2 ℏ2 d2 m0 t2 := Re  > 0; d Bổ bậc cho thái chân khơng n = Vì tích phân khác n = ± m ± ; n, m ≥1 ⇒ m = nên: 39 (LE[1] - LE[3]) (Assuming[t2, Integrate[psi[1, x] V[x] psi[3, x], {x, 0, d}]])2; E12 = E213; a E1 = LE[1] - + E12; Print[ "Bo chinh bac cho muc nang luong E1=", LE[1], "la" ] Print"E213 = ", E213 Print[ "Sau da bo chinh, nang luong E1= ", E1] Clear[E1, E12, E213] E213 = In kết Bo chinh bac cho muc nang luong E1= E213 = - π2 ℏ2 d2 m0 a2 d2 m0 16 π2 ℏ2 Sau da bo chinh, nang luong E1= a a2 d2 m0 π ℏ2 - + 16 π2 ℏ2 d2 m0 Bổ bậc cho thái chân khơng n = Vì tích phân khác m = ± n ± ; n, n ≥1 ⇒ m = nên: la 40 (LE[2] - LE[4]) (Assuming[t2, Integrate[psi[2, x] V[x] psi[4, x], {x, 0, d}]])2; E22 = E224; E2 = LE[2] + E22; E224 = Print["Bo chinh bac cho muc nang luong E2=", LE[2], "la" ] Print"E224 = ", E224 Print[ "Sau da bo chinh, nang luong E2= ", E2] Clear[E2, E22, E224] In kết Bo chinh bac cho muc nang luong E2= E224 = - a2 d2 π2 ℏ2 d2 la m0 m0 24 π2 ℏ2 Sau da bo chinh, nang luong E2= - a2 d2 m0 π2 ℏ2 + 24 π2 ℏ2 d2 m0 Bổ bậc cho thái chân khơng n ≥3 Vì tích phân khác m = ± n ± ; n, m ≥1 ⇒ m = n±2 nên: 41 (LE[n] - LE[n - 2]) (Assuming[{t2, n ∈ Integers}, Integrate[psi[ n, x] V[x] psi[n - 2, x], {x, 0, d}]])2; E2n2 = (Assuming[ (LE[n] - LE[n + 2]) {t2, n ∈ Integers}, Integrate[psi[n, x] V[x] psi[n + 2, x], {x, 0, d}]])2; En2 = Simplify[E2n1] + Simplify[E2n2]; En = LE[n] + Simplify[En2]; E2n1 = Print["Bo chinh bac cho muc nang luong En=", LE[n], "la" ] Print"E2nn-2 = ", Simplify[E2n1] Print"E2nn+2 = ", Simplify[E2n2] Print[ "Sau da bo chinh, nang luong En= ", En] Clear[psi, LE, V, En, En2, E2n1, E2n2] In kết Bo chinh bac cho muc nang luong En= E2nn-2 E2nn+2 = = - a2 d2 m0 (-1 + n) π2 ℏ2 a2 d2 m0 (1 + n) π2 ℏ2 Sau da bo chinh, nang luong En= a2 d2 m0 -1 + n2 π2 ℏ2 + n2 π2 ℏ2 d2 m0 3.3.2 Kết Năng lượng hiệu chỉnh bậc khi: Trạng thái dừng n = 1, lượng E1 : n2 π2 ℏ2 d2 m0 la 42 E1 = - a - a2 d2 m0 16 π2 ℏ2 + π2 ℏ 2 d2 m0 Trạng thái dừng n = 2, lượng E2 : E2 = - a2 d2 m0 24 π2 ℏ2 + π2 ℏ2 d2 m0 Trạng thái dừng n, lượng En : En = a2 d2 m0 n2 - 1 π2 ℏ2 + n π2 ℏ 2 d2 m0 (******************************************************* ********************************************) Clear["Global`*"]; 43 KẾT LUẬN Với đề tài: “Sử dụng phần mềm Mathematica giải số tốn nhiễu loạn”, tơi hồn thành nhiệm vụ nghiên cứu đề sau: 1, Tìm hiểu trình bày lại nội dung sơ phần mềm Mathematica số tính bản; 2, Tìm hiểu trình bày cách tổng quát lý thuyết nhiễu loạn; 3, Dùng phần mềm Mathematica lập trình để giải số tập nhiễu loạn cách nhanh chóng Bài tốn nhiễu loạn khó khăn tính tốn tay với giúp đỡ Mathematica giải nhanh xác Đề tài rõ vai trò cơng cụ Mathematica quan trọng việc giải tốn nhiễu loạn Do thời gian có hạn, nên số lượng tốn nhiễu loạn tơi đưa chưa nhiều chưa có nhiều tốn mức độ khó Tôi hi vọng đề tài nhiều bạn quan tâm, đem lại cho bạn sinh viên, học viên người yêu thích mơn vật lý có thêm cơng cụ tốn hữu ích trình nghiên cứu khoa học 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO Trần Thái Hoa (2005), Cơ Học Lượng Tử, NXBĐHSP Hà Nội Nguyễn Xuân Hy (1976), Cơ Học Lượng Tử Là Gì, NXB Giáo Dục Nguyễn Hữu Mình, Tạ Duy Lợi, Đỗ Đình Thanh, Lê Trọng Tường (1990), Bài tập vật lý lý thuyết tập 2, NXB Giáo Dục Phạm Quý Tư, Đỗ Đình Thanh (1995), Cơ học lượng tử, NXB giáo dục Hà Nội GS.TS Tơn Tích Ái (2001), Phương pháp số, NXBĐHQG Hà Nội GS.TS Tơn Tích Ái (2005), Phần mềm toán cho kỹ sư, NXBĐHQG Hà Nội PGS Vũ Ngọc Tước (2000), Ngơn ngữ lập trình Mathematica 3.0, NXB khoa học & kỹ thuật, Hà Nội 45 KẾ HOẠCH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI Thời gian thực Nội dung  Đăng ký tên đề tài;  Sưu tầm tài liệu; Từ 1/3/2016 – 1/6/2016  Xây dựng đề cương;  Nghiên cứu tổng quan vấn đề nghiên cứu đề tài Từ 2/6/2016 – 30/8/2016  Nghiên cứu nội dung chương I;  Hoàn thành chương I  Nghiên cứu nội dung chương II; Từ 1/9/2016 – 30/11/2016  Trình bày seminar theo nhóm;  Bảo vệ đề cương luận văn thạc sĩ;  Hoàn thành chương II  Nghiên cứu nội dung chương III; Từ 1/12/2017 – 30/2/2017  Trình bày seminar theo nhóm;  Hoàn thành chương III Từ 1/3/2017 – 1/4/2017  Hoàn thành luận văn 6/2017  Bảo vệ luận văn ... muốn nhấn mạnh việc sử dụng phần mềm toán học chạy số [5] - Mathematica - công cụ để giải tốn nhiễu loạn Vì vậy, tơi chọn đề tài Sử dụng phần mềm Mathematica giải số toán nhiễu loạn làm luận văn... Mathematica, lí thuyết nhiễu loạn;  Sử dụng phần mềm toán học chạy số để giải số toán nhiễu loạn 4 Chương Một vài nét phần mềm Mathematica 1.1 Giới thiệu sơ phần mềm Mathematica Mathematica ngơn ngữ... nhiễu loạn;  Tìm hiểu cách sử dụng phần mềm Mathematica vào việc giải số toán nhiễu loạn Nhiệm vụ nghiên cứu  Tập trung tư liệu, nghiên cứu lý thuyết;  Lập trình Mathematica để giải toán nhiễu