SKKN Sử dụng tham số để giải một số bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một biểu thức

SKKN Sử dụng tham số để giải một số bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một biểu thứcSKKN Sử dụng tham số để giải một số bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một biểu thứcSKKN Sử dụng tham số để giải một số bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một biểu thứcSKKN Sử dụng tham số để giải một số bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một biểu thứcSKKN Sử dụng tham số để giải một số bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một biểu thứcSKKN Sử dụng tham số để giải một số bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một biểu thứcSKKN Sử dụng tham số để giải một số bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một biểu thứcSKKN Sử dụng tham số để giải một số bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một biểu thứcSKKN Sử dụng tham số để giải một số bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một biểu thứcSKKN Sử dụng tham số để giải một số bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một biểu thứcSKKN Sử dụng tham số để giải một số bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một biểu thứcSKKN Sử dụng tham số để giải một số bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một biểu thứcSKKN Sử dụng tham số để giải một số bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một biểu thứcSKKN Sử dụng tham số để giải một số bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một biểu thức

A ĐẶT VẤN ĐỀ Bài toán tìm giá trị lớn (hoặc giá trị nhỏ nhất) biểu thức toán sử dụng nhiều kì thi tuyển sinh đại học cao đẳng, kì thi học sinh giỏi tỉnh, học sinh giỏi quốc gia, quốc tế Nhưng phần lớn học sinh “không tự tin” “gặp phải” toán em khó định hướng cách giải đa số giáo viên chưa thực ý đến việc định hướng tìm lời giải toán mà trọng đến việc đưa lời giải Đã có số tác giả đề cập đến vấn đề định hướng tìm lời giải toán chẳng hạn tác giả Trần Phương (Thể qua viết “Kĩ thuật chọn điểm rơi bất đẳng Cô-si” tạp chí Toán học tuổi trẻ tháng 7/2004) tác giả Nguyễn Ngọc Khoa (Thể qua viết “Sử dụng bất đẳng Cô-si toán cực trị” tạp chí Toán học tuổi trẻ tháng 7/2004) Tác giả Trần Phương đưa định hướng tìm lời giải là: dự đoán biểu thức đạt giá trị lớn (hoặc giá trị nhỏ nhất) biến áp dụng bất đẳng thức để đánh giá cho đẳng thức lần đánh giá phải xảy biến dự đoán Còn tác giả Nguyễn Ngọc Khoa đưa định hướng tìm lời giải là: đưa vào tham số đánh giá lần chọn tham số hợp lí Nhưng thực tế có toán dạng dự đoán biểu thức đạt giá trị lớn (hoặc giá trị nhỏ nhất) biến bao nhiêu; đồng thời phải đánh giá nhiều lần Khi vận dụng phương pháp biết khó tìm lời giải Vì chọn đề tài: “Sử dụng tham số để giải số toán tìm giá trị lớn (hoặc giá trị nhỏ nhất) biểu thức” nhằm trao đổi với quý thầy cô giáo đồng nghiệp kinh nghiệm thân Tuy nhiên, với khả có hạn thân, việc khai thác đề tài chưa đầy đủ nhiều thiếu sót Rất mong nhận góp ý quý thầy cô giáo đồng nghiệp! B NỘI DUNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC THƢỜNG DÙNG Bất đẳng thức Cô-si n số không âm (n  N*, n  2) Với n số thực không âm a1 , a2 , , an , ta có a1  a   a n n  a1 a a n (*) n Trang Đẳng thức xảy a1  a2   an Chú ý 1: i) (*)  a1  a2   an  n n a1 a2 an ii)  a  a2   an  (*)  a1 a2 an    n   n Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki 2n số thực (n  N*, n  2) Với 2n số thực a1 , a2 , , an , b1 , b2 , ,bn , ta có a    a22   an2 b12  b22   bn2  a1b1  a2 b2   an bn 2 (**) a a1 a2    n (Hai số b1 b2 bn Đẳng thức xảy b1 ; b2 ; ; bn  tỉ lệ với nhau) a1 ; a2 ; ; an  Chú ý 2: (**)  a1b1  a2b2   anbn  a   a22   an2 b12  b22   bn2  Với f(x) = ax2 + bx + c (a  0), ta có i) Nếu a > hàm số f(x) có giá trị nhỏ   b x =  4a 2a ii) Nếu a < hàm số f(x) có giá trị lớn   b x =  4a 2a II SỬ DỤNG THAM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT (HOẶC GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT) CỦA MỘT BIỂU THỨC Bài toán (Đề thi vào lớp 10 chuyên toán trường THPT Lê Hồng Phong, Nam Định, năm học 2009 – 2010) Tìm giá trị lớn biểu thức P  x   x  x Lời giải: Điều kiện  x  x  (*) Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có  ( P  4)  2.x  2  1  x  x Suy P    2 2    12 x  2   x  x  25  x2  4x  x   P 1   x  (thỏa mãn (*)) 2( x  2)   x  x   Vậy giá trị lớn biểu thức P Trang Nhận xét 1.1 Thường Giáo viên dừng lại cách giải mà không dẫn dắt học sinh tìm cách giải khác Nếu người hiểu sâu sắc bất đẳng thức nghĩ đến việc sử dụng bất đẳng thức Cô – si để đánh giá tìm lời giải sau: Lời giải 2: Điều kiện  x  x  (*) Áp dụng bất đẳng thức Cô – si, ta có  x  x  1.(1  x  x )  Suy P  x   x    4x  x x2   2x  2 x2 x2  1  2 1   x  x P 1   x  (thỏa mãn (*)) x0  Vậy giá trị lớn P Nhận xét 1.2 Nếu hiểu sâu sắc bất đẳng thức phải giải thích lời giải 2, áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm – 4x – x2 mà không áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm khác, chẳng hạn – 4x – x2 Có cách giải thích dựa vào lời giải đầu biết P đạt giá trị lớn x = nên ta phải áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho dấu xảy x = (Khi x = = 14x – x2) Nhưng vấn đề quan trọng đặt là: “Nếu chưa dự đoán P đạt giá trị nhỏ x ta giải thích lại áp dụng bất đẳng thức Cô – si hay không?” Câu trả lời sau: (Đây nội dung quan trọng đề tài) “Điều kiện  x  x  (*) Với x thỏa mãn (*), đưa vào tham số thực dương k áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có  4x  x  k Suy P  x  Xét f ( x)   k (1  x  x )  k k k (k   x  x )   x  2( k  1) k x  k k 1 k (k   x  x ) x  2( k  1) x  x  k 1 k Vì f(x) tam thức bậc hai (ẩn x) có a    k (1) k  nên f(x) đạt giá trị lớn 2( k  1) k  k    2    k Trang Do (2) f ( x)  f (2 k  2) Vậy P  f (2 k  2) Ta cần chọn số thực k cho đẳng thức (1) (2) đồng thời xảy tồn k   x  x k   x thỏa mãn  x   x  k 2 Vậy chọn k = ta tìm lời giải 2.” Đi tìm lời giải số toán cách làm tƣơng tự: Bài toán (Đề thi HSG Tỉnh, lớp 12 năm học 2006-2007)  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y  x   x2  2.1.1 Định hƣớng tìm lời giải 1: TXĐ hàm số D =   5;  Vì hàm số hàm số lẻ D nên cần tìm giá trị lớn biểu thức   A= y  x   x với x  D Đưa vào tham số thực dương k Với x  D, áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có   x2     k   x    1 k   x k k   (1) Suy           A  x   1 k   x    1 k   x x    1 k  k  k  k    x2 x2 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có k    x2 x2  k   x2  x2 k   2 (2) Do A k2 5     1 k  Chọn k cho tồn x  D để đẳng thức (1) (2) đồng thời xảy hay  k  k2  5  x2    x  k  k  3       2 x   x  2  2k 3  k  k  k   x  x 2 ( Vì k > ) Trang Do chọn k = 2.1.2 Lời giải 1: TXĐ hàm số D =   5;  Với x  D, áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có   x  3   x  3  13   x  =  x2   Suy y  x   x  x  x  x 8  x  (1.1) Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có 8  x x   x2  x2 4 (1.2) Từ (1.1) (1.2) suy y   8  y  y= chẳng hạn x = 2; y=-8 chẳng hạn x = -2 y  8; y  8 Vậy max D D 2.2.1 Định hƣớng tìm lời giải 2: Đưa vào tham số thực dương l Với x  D, ta có   A  y  x   x2  x    1 2l x  x  x  l x  x 2l 2l Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có   l x  x  l x   x Suy A 3x  Hay A    2 l x   x2 2l l 1 x  x  (Đẳng thức xảy l x   x ) 2l 2l Đặt t  x (t  0) , A  f (t )  l 1 t  3t  2l 2l l 1  f(t) tam thức bậc hai (ẩn t) đạt giá trị lớn 2l l 1 3l  hay l  (0;1) tồn t Do ta cần chọn số thực dương l cho 2l l 1 Nếu x thỏa mãn Trang   l x   x  x  l   x   3l   9l 2 x    l 1  l 1   ( Vì l  (0;1) )  Vì chọn l cho l  (0;1)   9l   l 2 l  l 1    Do chọn l = 2.2.2 Lời giải 2: TXĐ hàm số D =   5;    Ta có y  x   x  x  x  x = x   x  x2  Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có   x  x2  x2   x2 4 Suy 3 y   x2  x     x  2   4 Hay y   8  y  y= chẳng hạn x = 2; y=-8 chẳng hạn x = -2 y  8; y  8 Vậy max D D Nhận xét 2.1 Tổng quát hóa toán ta toán 2.1 Bài toán 2.1 (Bài toán tổng quát toán 2)   Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f ( x)  x a  b  x , a b số thực dương cho trước (Tương tự cách tìm lời giải toán ta tìm lời giải toán 2.1) Nhận xét 2.2 Đặc biệt hóa toán 2.1, chẳng hạn cho a=1993, b=1995 ta toán 2.2 Bài toán 2.2 (Đề thi HSGQG lớp 12 năm 1993) Trang  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f ( x)  x 1993  1995  x2  Bài toán Cho số thực thay đổi x, y Tìm giá trị lớn biểu thức A x y x  y2     3.1 Định hƣớng tìm lời giải: Nếu x + y > 0, Ta đưa vào tham số n, n  N* Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có      2   2 2 2  2 2 x  y    x          y    x  n  1  y  n n n n n n n n n                   n số hạng n số hạng 2 2  x  y    x  y  n  1  n n    (3) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có x  y   n  1 2 n x  y n  1 n  2   x  y  n  1   4 x  y n  1 n n  (4) Từ (3) (4) suy x   y  2  x  y n  1 n Khi n > từ (5) suy x  2 y 2   n x  y n  1 n n (5) (Vì x + y > 0) x y x y  x 2 y 2 x  y n  1 n n  A 8n  1 n n     Ta cần chọn n  N*, n  cho tồn x y thỏa mãn x + y > để đẳng thức (3) (4) đồng thời xảy hay Trang   x n     2  n  n   x  y  n  1  n y n   2 x  y  x  y     n  n    n  Do chọn n = 3.2 Lời giải: Nếu x  y  A  Nếu x + y > áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có 2  2     x  y    x        y    x   y  3  3 3        2 6   x  y    x  y  3     2 (6) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có x  y   x  y  2  6   4 x  y    x  y     (7) Từ (6) (7) suy x      y2   x 16 x  y    y  2  16 x  y  x y x y  x  2y  2 16 x  y   A  32 16 Do A  A 32 6 chẳng hạn x  y  32 Trang Vậy giá trị lớn biểu thức A ) 32 Nhận xét 3.1 Đặt u = -x v = -y, biểu thức A trở thành A u v uv  2 u 2 v 2 u  v2        Áp dụng kết toán 3, ta có: A   Do A   6 A   chẳng hạn u  v  32 32 6 A   chẳng hạn x  y   32 32 Vậy giá trị nhỏ biểu thức A  32 Từ ta có toán sau Bài toán 3.1 Cho số thực thay đổi x, y Tìm giá trị nhỏ biểu thức A x y x  y2     Nhận xét 3.2 Từ toán toán 3.1, ta có toán Bài toán 3.2 Cho số thực thay đổi x, y Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức A x y x  y2     Nhận xét 3.3 Tổng quát hóa toán 3.2, ta có toán 3.3 Bài toán 3.3 Cho số thực thay đổi x, y Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức A x y x  a y2  a    Trong a số thực dương cho trước Lời giải: (Tương tự cách tìm lời giải toán 1, ta tìm cách giải toán 3.3) Nếu x  y  A  Nếu x + y > áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có a a a  a a a 2a a     a x  a y  a   x        y    x   y  3  3 3        (1) Trang a 3a   =  x  y  3  Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có x  y   3a 2 x  y  3a  3a  3a   4 x  y    x  y    (2) Từ (1) (2) suy x  2y  2   A A 8a 3a  8a 3a x  y  3a 8a 3a 3a xy 8a Tương tự dễ dàng chứng minh A   Vậy giá trị lớn biểu thức A  3a 3a 3a A    x  y   8a 8a 3a ; giá trị nhỏ biểu thức A 8a 3a 8a Nhận xét 3.4 Đặc biệt hóa toán 3.3, chẳng hạn cho a = ta có toán 3.4 Bài toán 3.4 Cho số thực thay đổi x, y Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức A x y x  y2     Bài toán (Sách: Đề thi 0LYMPIC 30-4 lần thứ IX năm 2003 Toán 10) Cho số thực dương thay đổi a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức    1 1 A      15 a  b  c  7a  7b  7c a b c 4.1 Định hƣớng tìm lời giải: Vì vai trò b, c biểu thức A nên ta đưa vào tham số thực dương k áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có a    b  c 12  k  k  a  kb  kc  Trang 10  a2  b2  c2  a  kb  kc 2k  (Vì a  kb  kc  ) Suy  15   15k   15k  15 a  b  c  7a  7b  7c    a    b    c 2  2k    2k    2k   Nếu 15k 2k  (1)   (*)thì lại áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có  15   15k   15k   1   a    b    c      2   2k    2k    a b c   2k      15 2k   Suy A    7  15k 2k  15 2k  7  7   7  2k   15k 15k 2k  7   7  2k   (2) 15k Chọn số thực dương k (thỏa mãn (*)) cho tồn số thực dương a, b, c để đẳng thức (1) (2) đồng thời xảy hay     (I)       15    a   2k   a a b c   k k  15k    b   2k     b  15k    c   2k   c b  c  ka   15   15k     a    b   2k    2k    Thay b = ka từ đẳng thức đầu vào đẳng thức sau ta  15   15k    a    k a  2  2k    2k     15k      k 2 2k   2k   15    15k  k  2k   15  (Vì a > 0) (3) Ta chứng minh 0;  phương trình (3) có nghiệm k = (thỏa mãn (*)) Khi k = hệ (I) trở thành Trang 11 b c  a    b  c  2a 2    12a  3b  3c Vậy chọn k = 4.2 Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có a    b  c 12  2  2  a  2b  2c  a  b  c  a  2b  2c  15 a  b  c  a  7b  7c  5a  2b  2c   a  7b  7c  34a  b  c   1 1  1 1      15 a  b  c  7a  7b  7c  3   4a  b  c  a b c a b c   (3.1) Lại áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có  1   1 1 a  b c   16    4a  b  c    b c a b c  a  (3.2) Từ (3.1) (3.2) suy A  48 A  48 chẳng hạn a = 1, b = c = Vậy giá trị lớn biểu thức A 48 (Chứng minh 0;  phƣơng trình (3) có nghiệm k = Xét f (k )  15k  7k  1 2k   15 với k  0;  Ta có     4k k   45k 2k   14 3k  2k f ' (k )  45k  2k 2k    2k   2k     k 2k 45k 45k 1    2k   14 3k   k 2286 k  327 k  784  2k   14 3k    2k         143k  2 k 2025 k 2k   196 3k  45k 2k 2  2k  Dễ thấy phương trình 2286 x  327 x  784  có hai nghiệm  ,  thỏa mãn     1 Suy f ' (k )  45k 2286 k k   k     2k   143k  2 2k     2286 k k    k   k   45k   2k   143k  2 2k  f ' k    k  k   Trang 12 Dựa vào bảng biến thiên hàm số f(k) 0;  suy phương trình (3) có nghiệm k = 2) Bài toán (Bài T3/338 tạp chí Toán học tuổi trẻ tháng 10/2009) Tìm giá trị lớn biểu thức P  x 8 y x, y hai số không âm thỏa mãn 17 x  72 xy  90 y   (*) 5.1 Định hƣớng tìm lời giải: Đưa vào tham số thực k ( k  ) áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có  64     P   x  k y    32   x  k y k k      (1) Lại tiếp tục đưa vào tham số l ( l  ) áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có x  k y  2   k4  k2   1.x  ly   1   x  l y l l      64  k  Từ (1) (2) suy P     1  x  l y   k   l   (2) (3) Từ giả thiết (*), ta có 17 x  72 xy  90 y  Do ta chứng minh x  l y  17 x  72 xy  90 y (4) Mà (3)  16 x  72 xy  (90  l ) y  (5) (5) với x, y '  36  16(90  l )   l   (6) Khi từ (3), (4) (*) suy 64   P  9   k    k4  64   k   1    P  9   1   (Vì P  ) l  k   l    Chọn k, l (k l thỏa mãn (6) ; k  ; l  ) để tồn hai số không âm x, y thỏa mãn (*) cho đẳng thức (1), (2) (5) đồng thời xảy hay tồn hai số không âm x, y thỏa mãn Trang 13  x k y      k x5  x ly   y     k  k  2 l   72 y   l  3 x  32 17 x  72 xy  90 y  Vậy chọn k  2, l  3 , chẳng hạn chọn k = l = Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có  P  x  4.2 y x  y    3 2   x  y      16   1.x  y   1   x  y 9    Suy P  25 1    16  2  x  9y 9   Mà x  y  17 x  72 xy  90 y  4x  y 2  , với số thực x, y Từ suy P  25  P  5 Khi x  , y  (thỏa mãn giả thiết) P  5 Vậy giá trị lớn P 5 III PHƢƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT (HOẶC GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT) CỦA MỘT BIỂU THỨC KHI CHƢA DỰ ĐOÁN ĐƢỢC BIỂU THỨC ĐÓ ĐẠT GIÁ TRỊ LỚN NHẤT (HOẶC GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT) KHI CÁC BIẾN BẰNG BAO NHIÊU VÀ PHẢI ĐÁNH GIÁ NHIỀU LẦN 3.1 Từ cách tìm lời giải toán trên, ta rút phƣơng pháp giải toán : “Cho số thực thay đổi x, y thỏa mãn điều kiện (gọi điều kiện (*)) Tìm giá trị lớn biểu thức A = f(x,y).” 3.1.1) Tìm cách giải: Đưa vào (hoặc nhiều) tham số thực, dùng suy luận áp dụng bất đẳng thức biết (Bất đẳng thức Cô-si, bất đẳng thức Bu-nhi-acốp-xki, ) chứng minh A  A1 (1) A1  A2 (2) Trang 14 An1  An (n) Trong An biểu thức không chứa biến x y Chọn tham số cho tồn số thực x, y thỏa mãn điều kiện (*) để đẳng thức (1), (2), , (n) đồng thời xảy 3.1.2) Từ trình bày lời giải 3.2 Đối với toán: “Cho số thực thay đổi x, y thỏa mãn điều kiện (gọi điều kiện (*)) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = f(x,y).” Ta củng có phƣơng pháp giải nhƣ sau 3.2.1) Tìm cách giải: Đưa vào (hoặc nhiều) tham số thực, dùng suy luận áp dụng bất đẳng thức biết (Bất đẳng thức Cô-si, bất đẳng thức Bu-nhi-acốp-xki, ) chứng minh A  A1 (1) A1  A2 (2) An1  An (n) Trong An biểu thức không chứa biến x y Chọn tham số cho tồn số thực x, y thỏa mãn điều kiện (*) để đẳng thức (1), (2), , (n) đồng thời xảy 3.2.2) Từ trình bày lời giải 3.3 Đối với toán: “Cho số thực thay đổi x1 , x2 , , xn thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn (hoặc giá trị nhỏ nhất) biểu thức A = f( x1 , x2 , , xn ).” Ta củng có phƣơng pháp giải tƣơng tự 3.4 Đối với toán: “Tìm giá trị lớn (hoặc giá trị nhỏ nhất) hàm số y = f(x).” Ta củng có phƣơng pháp giải tƣơng tự Cuối vận dụng phƣơng pháp để giải toán khó đề thi học sinh giỏi Toán quốc tế năm 2006 Bài toán (Đề thi HSG Toán quốc tế năm 2006) Xác định số thực nhỏ M cho bất đẳng thức  ab(a  b )  bc(b  c )  ca (c  a )  M a  b  c  (1) thỏa mãn với số thực a, b, c 6.1 Định hƣớng tìm lời giải: Nếu a2 + b2 + c2 = hay a = b = c = (1) với M số thực tùy ý Nếu a2 + b2 + c2  Trang 15 (1)  ab(a  b )  bc(b  c )  ca (c  a )  a  b2  c2  (a  b  c)(a  b)(b  c)(c  a) a M M  b2  c2  (2) Gọi vế trái bất đẳng thức (2) f(a,b,c) Vì f(a,b,c) = f(-a,-b,-c); a2 + b2 + c2 = (-a)2 + (-b)2 + (-c)2 vai trò a, b, c bình đẳng nên số thực M cần tìm số thực nhỏ cho (2) với số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2  0; a + b + c  a  b  c ( điều kiện (*) ) Do số thực M cần tìm giá trị lớn biểu thức f(a,b,c) với số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện (*) Với số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện (*) ta có: (a  b  c)(a  b)(b  c)(c  a) = (a  b  c)(a  b)(b  c)(a  c) (3) Đưa vào số thực dương m, n, p, áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có  a  b  c  m(a  b)  n(b  c)  p(a  c)  (a  b  c).m(a  b).n(b  c) p(a  c)       (a  b  c)(a  b)(b  c)( a  c)  (m  p  1)a  (n  m  1)b  (1  n  p)c4 256 mnp (4) Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có (m  p  1)a  (n  m  1)b  (1  n  p)c    (m  p  1)  (n  m  1)  (1  n  p)  a  b  c  (5) Từ (3), (4) (5) suy (m  p  1) f(a,b,c)   (n  m  1)  (1  n  p) 256 mnp  Chọn m, n, p cho tồn số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện (*) để đẳng thức (4) (5) đồng thời xảy hay a  b  c  m(a  b)  n(b  c)  p(a  c) a b c (I)     m  p 1 n  m 1 1 n  p  Đặt a b c    k (Vì a  b  c  nên k  ) m  p 1 n  m 1 1 n  p Suy a  (m  p  l )k ; b  (n  m  l )k ; c  l  n  p)k Do đó, từ (I) suy Trang 16 3k  km(2m  p  n)  kn(2n  p  m)  kp(m  n  p) m ( m  p  n )  n ( n  p  m )    n(2n  p  m)  p (m  n  p ) (Vì k  )  p(m  n  p)     mn    n  2p  p   (Vì m, n, p  ) hệ (I) trở thành Khi m  n  , p    2  b a  1  a  b  c  ( a  b )  ( b  c )  ( a  c )        2a 2c   c  1  b b    23 23 2    tồn số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện (*) (chẳng hạn a   , b  2, c   ) để đẳng thức (4) (5) đồng thời xảy Do m  n  , p  Vậy chọn m  n  , p  2 6.2 Lời giải: +) Nếu a2 + b2 + c2 = hay a = b = c = (1) với M số thực tùy ý +) Nếu a2 + b2 + c2  (1)  ab(a  b )  bc(b  c )  ca (c  a )  a  b2  c2  (a  b  c)(a  b)(b  c)(c  a) a  b2  c2  M M (2) Gọi vế trái bất đẳng thức (2) f(a,b,c) Vì f(a,b,c) = f(-a,-b,-c); a2 + b2 + c2 = (-a)2 + (-b)2 + (-c)2 vai trò a, b, c bình đẳng nên số thực M cần tìm số thực nhỏ cho (2) với số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2  0; a + b + c  a  b  c ( điều kiện (*) ) Do số thực M cần tìm giá trị lớn biểu thức f(a,b,c) với số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện (*) Với số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện (*) ta có: Trang 17 (a  b  c)(a  b)(b  c)(c  a) = (a  b  c)(a  b)(b  c)(a  c) (3) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có   a  b  c  (a  b)  (b  c)  (a  c)   2  (a  b  c) (a  b) (b  c) (a  c)        (a  b  c)(a  b)(b  c)(a  c)      2  a  2b   c 8192 (4) Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có 2  a  2b  2  c  2     2   a 2   48 a  b  c 2 2  b2  c2   (5) Từ (4) (5) suy (a  b  c)(a  b)(b  c)(c  a)   2 a  b2  c2 32  (6) Từ (3) (6) suy  2 a  b2  c2 32 (a  b  c)( a  b)(b  c)(c  a)   32 a2  b2  c2 (a  b  c)( a  b)(b  c)(c  a )    f(a,b,c)  f(a,b,c)    với số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện (*) 32 chẳng hạn a   , b  2, c   ( Thỏa mãn điều kiện (*)) 32 Do giá trị lớn biểu thức f(a,b,c) với số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện (*) 32 Vậy số thực M cần tìm M = 32 IV MỘT SỐ BÀI TẬP Trang 18 (Vì khuôn khổ viết nên không trình bày lời giải Các bạn xem lời giải tài liệu toán) Bài toán (Tạp chí Toán học tuổi trẻ tháng 10/2001 ) x Tìm giá trị lớn biểu thức f ( x)    x  x Bài toán (Bài T5/320 tạp chí Toán học tuổi trẻ tháng 2/2004 ) Tìm giá trị lớn biểu thức A= 4x  x3  x  x3 với  x  Bài toán (Sách: Sáng tạo bất đẳng thức tác giả Phạm Kim Hùng- NXB Tri thức) Chứng minh với  x  ta có bất đẳng thức   x  x  13  x  16 Bài toán (Bài T10/320 tạp chí Toán học tuổi trẻ tháng 2/2004) Tìm giá trị lớn hàm số f ( x)  sin x  15  10 cos x Bài toán Tìm giá trị lớn hàm số y  13 sin x  cos2 x  cos x  (Hướng dẫn: giải tương tự toán đặt t  sin x áp dụng toán 3) Bài toán (Bài T11/333 tạp chí Toán học tuổi trẻ tháng 3/2005 ) Tìm giá trị lớn F=sinA.sin2B.sin3C A,B,C góc tam giác C KẾT LUẬN Để giải toán tìm giá trị lớn (hoặc giá trị nhỏ nhất) biểu thức đòi hỏi học sinh phải biết cách áp dụng bất biết cách “khéo léo” Đối với số toán dạng việc dự đoán biểu thức đạt giá trị lớn (hoặc giá trị nhỏ nhất) quan trọng việc áp dụng bất biết để tìm lời giải cho toán Nhưng lúc củng dễ dàng dự đoán điều mà nhiều phải mò mẫm, dự đoán, vạch định hướng, thực định hướng đó, từ tìm lời giải cho toán Phương pháp đề tài Đề tài tài liệu bổ ích để bồi dưỡng học sinh giỏi quốc gia, quốc tế góp phần bồi dưỡng nhân tài cho đất nước Trang 19 Không có phương pháp vạn để giải tất toán phương pháp củng không ngoại lệ, phương pháp có nhược điểm phải mò mẫm dự đoán nhiều; đôi lúc củng không thực (khi chọn tham số) Đối với toán ta dùng phương pháp điều phụ thuộc vào nhạy bén người làm toán củng vẻ đẹp toán dạng Trên kết tìm tòi, suy nghĩ, học hỏi trình thể thực mang lại hiệu đáng kể dạy học Tôi trực tiếp trao đổi với nhiều đồng nghiệp nội dung đề tài nhận phản hồi tốt đẹp Tuy nhiên, đề tài không tránh khỏi thiếu sót, có số chỗ chưa hẳn tìm tiếng nói chung Với tinh thần cầu thị, ý thức nghề nghiệp, muốn quý thầy cô giáo, đồng nghiệp Hội đồng khoa học trường, sở Giáo dục Đào tạo Nghệ An góp ý để đề tài tiếp tục hoàn thiện tính ứng dụng thiết thực Tôi xin chân thành cảm ơn! Vinh, tháng năm 2010 Người viết DƢƠNG VĂN SƠN Trang 20 ... hàm số f(x) có giá trị nhỏ   b x =  4a 2a ii) Nếu a < hàm số f(x) có giá trị lớn   b x =  4a 2a II SỬ DỤNG THAM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT (HOẶC GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT) CỦA... với số thực x, y Từ suy P  25  P  5 Khi x  , y  (thỏa mãn giả thiết) P  5 Vậy giá trị lớn P 5 III PHƢƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT (HOẶC GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT) CỦA MỘT BIỂU... Vậy giá trị nhỏ biểu thức A  32 Từ ta có toán sau Bài toán 3.1 Cho số thực thay đổi x, y Tìm giá trị nhỏ biểu thức A x y x  y2     Nhận xét 3.2 Từ toán toán 3.1, ta có toán Bài toán