Để giải những bài toán dạng này đòi hỏi HS phải nghiên cứu và làm nhiều lần mới có thể làm quen được.. Cơ sở thực tiễn: Thực tế hiện nay khi gặp những bài toán về tìm GTNN, GTLN, HS th
Trang 1PHẦN I: MỞ ĐẦU.
I Lí do chọn đề tài:
1 Cơ sở lí luận:
Bài toán tìm GTLN, GTNN là một dạng toán nâng cao khá phổ biến trong chương trình THCS Để giải những bài toán dạng này đòi hỏi HS phải nghiên cứu và làm nhiều lần mới có thể làm quen được
2 Cơ sở thực tiễn:
Thực tế hiện nay khi gặp những bài toán về tìm GTNN, GTLN, HS thường bối rối và không biết hướng giải Mặc dù hiện nay có nhiều tài liệu viết về chủ đề này
nhưng tôi thấy phần kiến thức này cần phải nghiên cứu nhiều hơn
Chính vì lẽ đó tôi chọn đề tài : “Một số dạng toán tìm GTNN, GTLN của biểu thức đại số”
II Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: Môn Đại Số lớp 8; lớp 9
III Mục đích nghiên cứu:
Giúp HS giải được bài toán “Tìm GTNN, GTLN của biểu thức đại số”
IV Điểm mới trong kết quả nghiên cứu:
Bài toán “Tìm GTNN, GTLN của biểu thức đại số” đã được nhiều tài liệu đề cập đến
nhưng chỉ là kiến thức một phần trong đề tài và chưa cụ thể Điểm mới ở đề tài này là đưa những kiến thức cơ bản vào trước và phát triển nó để nâng cao những bài tập khó hơn và làm rõ những sai lầm hay mắc phải của HS
Trang 2PHẦN II: NỘI DUNG.
I LÍ THUYẾT:
1 Cho biểu thức f(x,y,…)
Ta nói a là giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức f(x,y, ) kí hiệu là Max f(x,y,…) = a nếu đồng thời có 2 điều kiện sau được thõa mãn :
- Với mọi x, y,… để f(x, y,…) xác định thì : f(x,y,…) a ( a là hằng số)
- Tồn tại x0 , y0,… Sao cho f(x0,y0, ) = a
2 Cho biểu thức f(x,y,…)
Ta nói b là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x,y, )kí hiệu là Min f(x,y,…) = b nếu đồng thời có 2 điều kiện sau được thõa mãn :
- Với mọi x, y,… để f(x, y,…) xác định thì : f(x,y,…) b ( b là hằng số)
- Tồn tại x0 , y0,… Sao cho f(x0,y0, ) = b.
* Chú ý : Nếu chỉ xảy ra 1 trong 2 điều kiện trên thì không kết luận được về GTNN
hay GTLN
Trang 3II MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN :
Dạng 1: Tìm GTNN (GTLN) của tam thức bậc hai
A Lí thuyết: Xét tam thức bậc hai A = ax2 + bx + c (a 0) Khi đó:
A = ax2 + bx + c = a(x2 +
a
b
x)+ c = a(x2 + 2x
a
b
2 + 2
2
4a
b
) +(c -
a
b
4
2
) = a(x +
a
b
2 )2 + k với k = c -
a
b
4
2
Vì (x +
a
b
2 )2 0 nên :
- Nếu a > 0 a(x +
a
b
2 )2 0 A k Khi đó: Min A = k khi và chỉ khi x = -
a
b
2
- Nếu a < 0 a(x +
a
b
2 )2 0 A k Khi đó: Max A = k khi và chỉ khi x = -
a
b
2
B Ví dụ:
Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức: A = 2x2
+ 2 2x + 3
(Đề thi KSCL Học kì I năm học 2010 - 2011 Môn Toán 8 Huyện Cẩm Xuyên)
HD: A = 2(x2 + 2
2
2
x + 2
1 ) + 2 = 2(x +
2
2 )2 + 2
Vì 2(x +
2
2
)2 0 với mọi x nên A 2 với mọi x
Do đó Min A = 2 khi và chỉ khi x = -
2 2
* Tuy nhiên ở VD này ta có thể biến đổi như sau:
A = 2x2 + 2 2x + 3 = ( 2x )2 + 2 2x 1 + 1 + 2 = ( 2x + 1)2 + 2 2
Do đó Min A = 2 khi và chỉ khi x = -
2
2
- Từ VD này ta có thể phát triển thêm bài tập khác về tìm GTLN như sau:
Ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức: B = - 2x2
+ 2 2x + 3 HD: B = - 2x2 + 2 2x + 3 = - 2(x2 - 2
2
2
x + 2
1 ) + 4 = - 2(x -
2
2 )2 + 4
Vì - 2(x -
2 2 )2 0 với mọi x Do đó B 4 với mọi x
Trang 4Do đó MaxB = 4 khi và chỉ khi x =
2 2
*Ở dạng này cần lưu ý cho HS phải biến đổi A(x) k hoặc A(x) k ( k là hằng số)
Tránh sai sót: biến đổi A(x) B(x) hoặc A(x) B(x) rồi kết luận
Ví dụ: Tìm GTNN của A = x2
+ 1 Bài giải sai: Ta có: (x - 1)2 0 với mọi x
x2 - 2x + 1 0 x2 + 1 2x
Rồi kết luận Min A = 2x
C.Bài tập:
1 Tìm GTNN của các biểu thức:
a , A = 5x2 - 3x + 2;
b, B = 2x2 - 3x + 1
c, C = x(x - 3)
d, D = 7x2 + 3x + 1
4 2
2x xy x y với x 0 ;y 0
HD: Đặt xa; y b (với a > 0; b > 0) ta có :
E = 2a2 - ab - 2a +
4
2
2 1
2 2
a
………
Min E = 2011
4
1
y x
f, F = x 2 xy 3y 2 x 2013 , 5 với x 0 ;y 0
HD : Cách giải giống bài e
ĐS : Min F = 2012
4 1 4 9
y x
2 Tìm GTLN của biểu thức:
a, A = 5 - x2 + 3x
b, B = - 3x2 - 4x - 1
c, C = - (x - 2)2 - (2x - 1)2
d, D = 2 + 5x - x2
e, E = 2 - 5x2 - y2 - 4xy + 2x
HD: E = 3 - ( 2x + y)2 - ( x - 1)2 3
f, F = 2( x 1 + 1) - (x - 1)2
(Đề thi HSG Toán 9 Huyện Thạch Hà năm học 2001 - 2002)
Trang 5HD: Đặt x 1 = y ta có: y2 = x 12 = (x - 1)2 Khi đó : A = 2(y + 1) - y2
Bài toán đưa được về dạng 1
Dạng 2:Tìm GTNN (GTLN) của đa thức bậc cao:
Phương pháp: Biến đổi đa thức đó về dạng tam thức bậc hai
Ví dụ 1: Tìm GTNN của f(x) = x4
- 2x3 + 3x2 - 2x + 1
( Đề thi KSCL GV năm học 2009 - 2010 Huyện Cẩm Xuyên)
HD: - Trường hợp 1: Nếu x = 0 f(x) = 1
- Trường hợp 2: Nếu x 0 , chia 2 vế cho x2 ta được:
2
)
(
x
x
f
= x2 - 2x + 3 - 2
x
1 + 12
x = (x2 + 12
x + 2 ) - 2( x +
x
1 ) + 1
=
2
1
x
x - 2( x +
x
1 ) + 1 =
2
1 1
x x
f(x) = x2
2
1 1
x
x = x2
2 2
1
x
x x
= 2 2
1
x
2 2
4
3 2
1
2
4
3
16 9
Vậy Min f(x) =
16
9 khi và chỉ khi x =
2 1
*Lưu ý: - Tránh sai sót : Khi ta biến đổi f(x) = 2 2
1
x
x ta kết luận:
Vì 2 2
1
x
x 0 với mọi x nên Min f(x) = 0(Bài giải sai.Vì dấu “ = ” không xảy ra)
* Có những khi ta cần đổi biến để đưa về tam thức bậc hai
Ví dụ 2: Tìm GTNN của A = x(x - 2)(x - 3)(x - 5)
HD: A = x(x - 5)(x - 2)(x - 3) = ( x2 - 5x)( x 2 - 5x + 6)
Đặt y = x2
- 5x +3 ta có: A = ( y- 3)(y + 3) = y2 - 9 - 9 Min A = - 9 y = 0 x2 - 5x +3 = 0 x1 =
2
13
5
; x2 =
2
13
5
Bài tập: Tìm GTNN của các biểu thức sau:
a , A = x4 - 6x3 + 8x2 - 6x + 1
b, B = x( x - 2)(x - 5)( x- 7)
c, C = (x2 + x + 1)2
Dạng 3: Tìm GTNN( GTLN) của biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối:
A Lí thuyết: Với A là một biểu thức tùy ý, ta có:
A neáu A 0
A
A neáu A 0
Một số chú ý:
A B
B
A với mọi A, B
B A
B
A dấu “ = ” xảy ra A.B 0
B A
B
A dấu “ = ” xảy ra A.B 0
Trang 6B A
B
A dấu “ = ” xảy ra A B 0 hoặc A B 0
B A
B
A dấu “ = ” xảy ra A.B 0
B A
B
A dấu “ = ” xảy ra A.B 0
A
A với mọi A, dấu “ = ” xảy ra A 0
2
2
A
A với mọi A
A 0 với mọi A.dấu “ = ” xảy ra A = 0
- AA A với mọi A dấu “ = ” xảy ra A = 0
B Ví dụ:
Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức A = 23x 1- 4
HD: Ta có: 3x 1 0 với mọi x 23x 1- 4 - 4 với mọi x
Vậy MinA = - 4 3x - 1 = 0 hay x =
3
1
Từ bài tập 1 ta có thể ra cho HS bài tập 2:
Ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức : a, B = 4 - 2 3x 1
HD: Ta có: 3x 1 0 với mọi x - 2 3x 1 0 với mọi x 4 - 2 3x 1 4 Vậy Max B = 4 3x - 1 = 0 hay x =
3
1
Ví dụ 3: Tìm GTLN của C =
x
x 2 với x 0 ;x Z HD: Vì x Z nên :
- Với x - 2 x + 2 0 C 0
- Với x = -1 C = -1
- Với x 1 C =
x
x 2 =
x
x 2 = 1+
x
2
C lớn nhất khi
x
2 lớn nhất x nhỏ nhất Mà x 1 nên x nhỏ nhất khi x = 1 khi đó C
= 3
Vậy Max C = 3 khi x = 1
Ví dụ 4:
Tìm GTNN của A = 2x 2001 + 2004 2x
(Đề thi HSG Toán 7 Huyện Cẩm Xuyên năm học 2003- 2004)
HD: C/1: Áp dụng kiến thức: AB AB dấu “ = ” xảy ra A.B 0
Ta có: A = 2x 2001 + 2004 2x 2x 2001 2004 2x = 3 = 3
dấu “ = ” xảy ra (2x - 2001)(2004 - 2x) 0 1002
2
2001
Trang 7Vậy MinA = 3 khi 1002
2
2001 x
C/2: (Dùng phương pháp xét khoảng)
x
2
2001
1002 2x - 2001 - 0 + +
2004 - 2x + + 0 -
- Với x <
2
2001
ta có: A = 2001 - 2x + 2004 - 2x = 4005 - 4x
Vì x <
2
2001
4x < 4002 4005 - 4x > 4005 - 4002 = 3 hay A > 3
2
2001
x ta có: A = 2x - 2001 + 2004 - 2x = 3
- Với x > 1002 ta có: A = 2x - 2001 + 2x - 2004 = 4x - 4005
Vì x > 1002 4x > 4008 4x - 4005 > 4008 -4005 = 3 hay A > 3
Do đó Min A = 3 1002
2
2001 x
* Nếu bài toán có từ 3 hạng tử trở lên có chứa giá trị tuyệt đối thì ta dùng cách giải này
* Chú ý: Có nhiều bài toán ta cần sử dụng kiến thức: AB BA
Ví dụ 5: Tìm GTNN của biểu thức : f(x) = x 2 x 1+ x 2 x 1
(Đề thi HSG Toán 9 Huyện Cẩm Xuyên năm học 2010 - 2011)
HD: Đk: x 1 ta có :
f(x) = (x 1 ) 2 x 1 1 + (x 1 ) 2 x 1 1 = x 1 1 + x 1 1
= x 1 1 + 1 x 1
Đến đây ta giải tương tự như VD 1
Ví dụ 6 : Tìm GTLN của biểu thức A = x 1 x 5
HD: A = x 1 x 5 (x 1 ) (x 5 ) = 4
dấu “ = ” xảy ra (x - 1)(x - 5) 0 x 5 hoặc x 1
C Bài tập :
1.Tìm GTNN của các biểu thức sau :
a , A = 2 3x 2 1
b, B = 51 4x 1
c, C = x2 + 3 y 2 - 1
d, D = x + x
Trang 8e , E = 2x 1 + 2x 3;
f, F = x 1002+ x 1000
h, H = x 2 + 2x 3 + x 5
i, I =
3
6
x với x Z
k, K = x2 x 1 + x2 x 2
l, L = x 2 x 3 x 5
m, M = x 2 x 3 x 5+ x 7
Từ những bài tập về tìm GTNN như trên, ta có thể thay đổi dấu 1 số hạng tử để được bài toán về tìm GTLN
2 Tìm GTLN của các biểu thức sau :
a , A = 1 - 2 3x 2
b, B =
3 2
1
x
HD: x 2 0 với mọi x x 2 3 3
3 2
1
1
Vậy Max B =
3
1
x = 2
c, C = x - x
d , D = 2x 1 - 2x 3
HD:
Áp dụng kiến thức: AB AB dấu “ = ” xảy ra A B 0 hoặc A B 0
e, E = x 2 x 3
Dạng 4: Dạng phân thức:
1.Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai:
Ví dụ 1: Tìm GTLN của A =
3 2
1
2 x
x
(1)
HD: C/1: Từ (1) Ax2 + 2Ax + 3A - 1 = 0(*)
Để tồn tại giá trị lớn nhất của A thì pt (*) (ẩn x) phải có nghiệm Tức là:
/
= A2 - A(3A - 1) 0
2
1
0 A Vậy Max A =
2 1 khi x = -1
Trang 9C/2: A =
2 ) 1 (
1
2
x Vì (x + 1)2 0 với mọi x nên (x + 1)2 + 2 2 và 1 > 0
2
)
1
(
1
2
2 1
Dấu “=” xảy ra khi x +1 = 0 x = - 1.Do đó Max A =
2
1 khi x = - 1
* Lưu ý:
- Ta không lập luận : Phân thức trên có tử không đổi nên biểu thức đạt giá trị lớn nhất khi mẫu bé nhất mà chưa đưa ra nhận xét là tử và mẫu là những số dương
- Khi áp dụng tính chất: a b thì
b a
1
1 cần nhớ tới điều kiện là a, b cùng dấu
* Bài tập:
1.Tìm GTLN của : a, A 2 1
b, B 2 1
2.Phân thức có tử là nhị thức bậc nhất, mẫu là tam thức bậc hai:
Ví dụ 1: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: P =
6
1 2
2
x x
(Đề thi GVG Huyện Cẩm Xuyên năm học 2006 - 2007)
HD: C/1:
Ta có: P =
6
1 2
2
x
x Px2 - 2x + 6P - 1 = 0 (*)
Để P tồn tại GTLN,GTNN thì phương trình (*)(ẩn x) phải có nghiệm Tức là : / 0
- 6P2 + P + 1 0 6P2 - P - 1 0 …
2
1 3
1
P
Với P =
2
1
ta có :
6
1 2
2
x
x
= 2
1 x = 2
Với P =
3
1
ta có :
6
1 2
2
x
x
= 3
1
x = - 3
Vậy Max P =
2
1 khi x = 2 ; Min P =
3 1
khi x = - 3 C/2 :
P =
6
1
2
2
x
x
=
) 6 ( 2
) 1 2 ( 2
2
x
x
2
4 4 6
2
2 2
x
x x x
=
) 6 ( 2
4 4 )
6 ( 2
6
2 2 2
2
x
x x x
x
= 2
1
-
) 6 ( 2
2
2
2
x
x
Vì
)
6
(
2
2
2
2
x
x
0 với mọi x nên P
2
1
Vậy Max P =
2 1 khi x = 2
Trang 10Ta lại có : P =
6
1 2
2
x
x
=
) 6 ( 3
) 1 2 ( 3
2
x
x
=
) 6 ( 3
) 3 6 (
2
x
x
=
) 6 ( 3
) 9 6 ( ) 6 (
2
2 2
x
x x x
=
)
6
(
3
)
6
(
2
2
x
x
+
) 6 ( 3
9 6
2
2
x
x x
= 3 1
+
) 6 ( 3
) 3 (
2
2
x
x Vì
) 6 ( 3
) 3 (
2
2
x
x 0 với mọi x nên P
3 1
Vậy Min P =
3 1
khi x = - 3
* Bài tập:
1 Tìm GTNN, GTLN của các biểu thức:
a, A =
1
3
4
2
x
x
(Đề thi HSG Toán 8 Huyện Kì Anh năm học 2003 - 2004)
HD: Cách làm như C/2 ở VD trên
b, B =
1 4
3
5
2
x
x
;
c, C =
4
12
13
2
x
x
3.Phân thức có tử và mẫu là những tam thức bậc hai
Ví dụ: Tìm GTNN của A =
1 2
9 8 3
2
2
x x
x x
HD:
C/ 1: Tách tử thành nhóm có nhân tử chung với mẫu:
A =
1 2
9 8
3
2
2
x
x
x
x
2
) 1 (
4 ) 1 ( 2 ) 1 2 ( 3
x
x x
x
=
1
2 3
x + 2
) 1 (
4
x
=
2
1
2
x + 2
2
1
1
2
x +
4
1 + 4
11 =
2
2
1 1
2
4
11
4
11
Vậy Min A =
4
11 khi và chỉ khi
1
2
x =
2 1
x = - 5 C/2: Ta có thể đổi biến
HD : Ta thấy A =
1 2
9 8 3
2
2
x x
x x
=
2
2
1
9 8 3
x
x x
do đó Đặt y =
1
1
x Khi đó : x =
y
1
- 1
9 1
1 8 ) 1
1
(
y
2
3 2 4
y
y
=
4
11 16
1 4
1 2
y y
= 4
4
11 4
12
4
11 Dấu “=” xảy ra khi y =
4
1
x = - 4 - 1 = - 5
Vậy Min A =
4
11 khi x = - 5
C/3: Dùng công thức nghiệm để giải
Trang 11* Ngoài ra với những bài tập dạng này ta có thể viết biểu thức A thành tổng của một số với một phân thức không âm
Chú ý: Tất cả những dạng trên đều có chung một phương pháp là dùng điều kiện có
nghiệm của phương trình bậc hai để giải ( như VD 1 ) với cách giải này ta có thể tìm được GTLN và GTNN của biểu thức
* Bài tập:
1.Tìm GTNN của biểu thức:
2 2
2xy y
x
y x
;
b, B =
25 10
2 x
x
x
c,
2
2
2 2
C
2 3
x x
x x
d,
2
2 17
2 1
x x
D
x
e, E 6 34
3
x
2 Tìm GTNN và GTLN của:
a,
2 2
A
5 7
x
x x
b, B =
1
x
x
với x 0 HD: B =
4
3 2
12
x x
- Với x = 0 ta có B = 0
- Với x > 0 Ta có : B =
4
3 2
1 1
1 1
1 1
1
2
x x
x
Vì tử và mẫu đều dương và tử là hằng số nên B
3 4 4 3
1
Dấu “=” xảy ra khi
2
1
1
x x = 4
3
4
Trang 12và Min B = 0 x = 0
Dạng 5: Tìm GTLN, GTNN của đa thức hai biến và quan hệ ràng buộc giữa các biến:
* Phương pháp giải:
C/1( Thường sử dụng): Biến đổi đa thức f(x,y) thành tổng các số không âm hoặc tổng các số không dương và một hằng số
Tức là: f(x,y) = g x y 2 k
) , ( hoặc f(x,y) = -g x y 2 m
) , ( C/2: Sử dụng tính chất có nghiệm của tam thức bậc hai để đánh giá ẩn
Ví dụ 1: Tìm GTNN của A = x3
+ y3 + xy Biết x + y = 1 HD: A = (x + y)(x2 - xy + y2) + xy = … = x2
+ y2 Đến đây ta có các cách giải : C/1 : Sử dụng điều kiện đã cho để làm xuất hiện một biểu thức có chứa A
Vì x + y = 1 nên x2 +2xy + y2 = 1
Ta lại có : (x - y)2 = x2 - 2xy + y2 0 Do đó 2(x2 + y2) 1 x2 + y2
2 1
Vậy Min A =
2
1 x = y =
2 1
C/2 : Biểu thị y theo x rồi đưa về tam thức bậc hai đối với x
Thay y = 1 - x vào A ta được tam thức bậc hai đối với x Từ đó giải tiếp như dạng 1 C/3 : Sử dụng điều kiện có nghiệm để đổi biến
Đặt x =
2
1 + a ; y =
2
1 - a Khi đó : x2 + y2 =
2
1 + 2a2
2 1
Vậy Min A =
2
1 a = 0 x = y =
2 1
Bài tập :
1 Cho các số thực x, y thõa mãn: x2 + 2y2 + 2xy + 8(x + y) + 7 = 0(1)
Tìm Max, Min của S = x + y
(Đề thi tuyển sinh lớp 10 năm học 2008 - 2009 Tỉnh Hà Tĩnh)
HD: C/1: Từ S = x + y y = S - x Thay vào (1) ta được:
x2 + 2(S - x)2 + 2x (S - x) + 8S + 7 = 0
x2 - 2Sx + 2S2 + 8S + 7 = 0 (2) ( Phương trình bậc hai ẩn x)
/
= - S2 - 8S - 7
Để tồn tại Max, Min của S thì pt(2) phải có nghiệm tức là / 0 - S2 - 8S - 7 0
S2 + 8S + 7 0 - 7 S - 1
Vậy Min S = - 7
0
7
y
y x
0
7
y
x
( Với x + y = - 7 thay vào (1) tính được y = 0)
Max S = - 1
0
1
y
y x
0
1
y x
C/2: (1) (x + y)2 + 2(x + y).4 + 16 + y2 = 9