MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT docx

MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT. Bài 1 : Cho các số dương x, y, z thoa mãn: 1/x + 1/y + 1/z = 4 Tìm max của: P= 1/(2x + y + z) + 1/(x + 2y + z) + 1/(x + y + 2z) Với a,b > 0 ta có bđt : 1/(a + b) ≤ 1/4.(1/a + 1/b) (*) Áp dụng bđt (*) với a = (x + y) > 0 ; b = (x + z) > 0 ta có : 1/(2x + y + z) = 1/ [ (x + y) + (x + z) ] ≤ 1/4.[ 1/(x + y) + 1/(x + z) ] Lại áp dụng bđt (*) ta có : . 1/(x + y) ≤ 1/4(1/x + 1/y) . 1/(x + z) ≤ 1/4(1/x + 1/z) > 1/(2x + y + z) ≤ 1/16.(2/x + 1/y + 1/z) Tương tự ta có : . 1/(x + 2y + z) ≤ 1/16.(1/x + 2/y + 1/z) . 1/(x + y + 2z) ≤ 1/16.(1/x + 1/y + 2/z) > 1/(2x + y + z) + 1/(x + 2y + z) + 1/(x + y + 2z) ≤ 1/16.(4/x + 4/y + 4/z) > P ≤ 1/4.(1/x + 1/y + 1/z) = 1 (do 1/x + 1/y + 1/z = 4) > đ.p c.m . Dấu " = " xảy ra <=> x = y = z = 3/4 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - CM (*) , ta có (*) <=> 1/(a + b) ≤ (a + b)/4ab <=> 4ab ≤ (a + b)² <=> 4ab ≤ a² + 2ab + b² <=> 0 ≤ a² - 2ab + b² <=> 0 ≤ (a - b)² > luôn đúng > (*) được CM Dấu " = " xảy ra <=> a = b Cach kh¸c: giả sử u và v là hai số dương ta có: (u+v)(1/u + 1/v) >=4 <=> 4/(u+v) <= 1/u + 1/v có 1/(2x+y+z) = 1/[(x+y)+(x+z)] <=(1/4)*(1/(x+y) + 1/(x+z)) <=(1/16)*(2/x+1/y+1/z) làm tương tự cho hai biểu thức còn lại và cộng các vế của 3 BĐT ta được VT<=(1/16)*(4/x + 4/y + 4/z) = 1 Bài 2:Cho tam giác ABC cố định vuông tại A, đường cao AD. Vẽ đường tròn tâm (O1) ngoại tiếp tam giác ABD và đường tròn (O2) ngoại tiếp tam giác ACD. Qua A kẻ đường thẳng d bất kì không cắt đoạn thẳng BC. Gọi giao điểm của d với (O1) là E, với (O2) là F. Gọi giao điểm của DE với AB là M, giao điểm của DF với AC là N Hãy xác định vị trí của EF để chu vi của tứ giác BEFC đạt giá trị lớn nhất? @ 3 câu hỏi trước cho biết khi d quay quanh A tỉ số (BE+EA)/(AF+FC) luôn không đổi và MN//EF BC cố định nên chỉ cần xác định vị trí EF sao cho : BE+EA+AF+FC lớn nhất. Gọi góc EAB = α, AB=c, AC=b khi đó BE+EA = c(sinα+cosα), (1) ∡ BAC vuông nên ∡ ACF = α => AF+FC = b(sinα+cosα). (2) BE+EA+AF+FC = (sinα+cosα)(b+c) = (b+c) √2.cos(45-α) => α =45 độ BE+EA+AF+FC lớn nhất. Từ (1)&(2) => (BE+EA)/(AF+FC) = c/b ( const.) ∡BAD =∡AFD, tứ giác AMDN nội tiếp đường tròn do ∡MAN =∡MDN =90 độ nên ∡BAD =∡MND => ∡AFD = ∡MND => MN//EF. Bài 3: Cho hàm số : ( ) ( ) 43 52.162 )( 2 22 −+ +−++ == xx xxx xfy 1/ Tìm tập xác định của hàm số : )(xfy = . 2/ Chứng minh 3≤y . Chỉ rõ dấu bằng xảy ra khi x bằng bao nhiêu? ( Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên ngoại ngữ Trường Đại học ngoại ngữ - ĐHQG Hà Nội Năm học 2003- 2004 )  Hướng dẫn: 1 1/ Tìm tập xác định của hàm số: )(xfy = . 0)2).(1( 2 ≥−+ xx và 043 2 ≠−+ xx Vậy TXĐ : 2≥x ; 4≠x 2/ Chứng minh 3≤y . Chỉ rõ dấu bằng xảy ra khi x bằng bao nhiêu ? ( ) ( ) 43 52.162 )( 2 22 −+ +−++ == xx xxx xfy 43 5)2).(1(61212993 2 222 −+ +−++−+−+− = xx xxxxxx 43 )179)2).(1(6()43.(3 2 222 −+ −+−+−−−+ = xx xxxxxx 3 )4).(1( )231( 3 22 ≤ +− −−+ −= xx xx Vì với 2≥x ; 4≠x thì 0 )4).(1( )231( 22 ≥ +− −−+ xx xx Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : 2.31 2 −=+ xx ⇔ 1891 2 −=+ xx ( Bình phương hai vế không âm) ⇔ 0199 2 =+− xx ⇔ 2 59 1 − =x ; 2 59 2 + =x Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : 2 1 xxy −= .  Hướng dẫn: Ta có TXĐ : x∀ \ 1≤x . Xét 2 1 xxy −= 2 1 2 1 22 = −+ ≤ xx . Vậy 2 1 ≤y suy ra : 2 1 2 1 ≤≤− y Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi 22 1 xx −= ( hay 2 2 ±=x ) Min y = 2 1 − khi và chỉ khi 2 2 −=x Max = 2 1 khi và chỉ khi 2 2 =x . Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất : P = 1x 2x 2 2 + + ?  Hướng dẫn: TXĐ x ∀ ∈ R . P = 1x 2x 2 2 + + = 1x 11x 2 2 + ++ = 1x 1 1x 2 2 + ++ Có : 1x 1 1x 2 2 + ++ ≥ 1x 1 1x2 2 2 + ⋅+ ≥ 2 1⋅ ≥ 2 . Vậy 1x 2x 2 2 + + ≥ 2 . Min P = 2 khi và chỉ khi 1x 2 + = 1x 1 2 + Min P = 2 khi và chỉ khi x= 0. Bài 6: Cho ba số dương a ; b ; c thoả mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của : c ab b ca a bc A ++=  Hướng dẫn: Ta có ab abc b ca a bc 2 2 ≥+ ⇔ c b ca a bc 2 ≥+ 2 ac cab c ab a bc 2 2 ≥+ ⇔ b c ab a bc 2 ≥+ bc bca c ab b ca 2 2 ≥+ ⇔ a c ab b ca 2 ≥+ Suy ra : ).(. cba c ab b ca a bc ++≥       ++ 22 cba c ab b ca a bc ++≥++ c ab b ca a bc ++ ≥ 1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 3 1 === cba Vậy với 3 1 === cba thì c ab b ca a bc A ++= đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1. Bài 7: Cho 0 ≥ cba ;; và thoả mãn: a.b.c=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của: ( ).( ).( )P a b b c c a = + + +  Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có : abba .2 ≥+ bccb .2≥+ caac .2≥+ . Suy ra : cabcabaccbba )).().(( 222 ≥+++ . 222 8 cbaaccbba ≥+++ )).().(( . 8 ≥+++ )).().(( accbba Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : 1 === cba Vậy với 1 === cba thì minP = 8 Bài 8: Cho ba số dương thoả mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của: ( ) ( ) ( ) [ ] abcaccbbaP . +++++=  Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm a, b, c ta có: 3 3 abccba ≥++ ⇒ 3 31 abc≥ ⇒ 3 3 1 abc≥ ⇒ abc≥ 27 1 . (1) Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 accbbaaccbba +++≥+++++ ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) 3 32 accbbacba +++≥++ ⇒ ( ) ( ) ( ) 3 32 accbba +++≥ ⇒ ( ) ( ) ( ) 3 3 2 accbba +++≥ ⇒ )).().(( accbba +++≥ 27 8 (2) Nhân vế với vế của (1) và (2) ta được : abcaccbba ).).().(( +++≥⋅ 27 8 27 1 Suy ra : 729 8 ≤+++ )).().(.( accbbaabc Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=b=c= 3 1 . Vậy maxP= 729 8 ⇔ a=b=c= 3 1 . Bài 9: Cho ba số dương a ; b; c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 1 ( ).M a b c a b c   = + + + +  ÷    Hướng dẫn: Vì a ; b; c là ba số dương. áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: 3 3 abccba ≥++ (1) Vì a 1 ; b 1 ; c 1 là ba số dơng. áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: 3 1 3 111 abccba ≥++ (2) Từ (1) và (2) suy ra : 3 3 abccba ≥++ Suy ra : 9 111 ≥       ++++ cba cba ).( . 3 1 3 111 abccba ≥++ Vậy min M = 9. 3 Bài 10: Cho ba số dương a; b; c có a + b + c =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của: 1 1 1 1 1 1A a b c     = + + +  ÷ ÷ ÷      Hướng dẫn: Ta có:       + a 1 1 =       ++ + a cba 1 = a c a b +++ 11 ≥ 4 2 4 a bc       + b 1 1 =       ++ + a cba 1 = b c b a +++ 11 ≥ 4 2 4 b ac       + c 1 1 =       ++ + a cba 1 = c b c a +++ 11 ≥ 4 2 4 c ab Suy ra :       +       +       + cba 1 1 1 1 1 1 ≥ 4 222 222 64 cba cba       +       +       + cba 1 1 1 1 1 1 ≥ 64. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : 3 1 === cba . Vậy Min A= 64 khi và chỉ khi 3 1 === cba . Bài 11: Cho x ; y là hai số dương thoả mãn điều kiện 2 22 =+ yx . Tìm giá trị nhỏ nhất của: yx 11 + ?  Hướng dẫn: Ta có : 3 222 11 3 112 x xx x xx x x ⋅⋅≥++=+ Suy ra : 3 2 2 ≥+ x x (1) 3 222 11 3 112 y yy y yy y y ⋅⋅≥++=+ Suy ra : 3 2 2 ≥+ y y (2) Vậy từ (1) và (2) suy ra : 6 11 2 22 ≥         +++ yx yx . Suy ra : 2 11 ≥+ yx Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : 2 11 x xx == ; 2 11 y yy == và 2 22 =+ yx Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y=1. Với x=y=1 thì yx 11 + đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2. Bài 12: Cho 1 ≥+ ba . Tìm giá trị nhỏ nhất của : 33 ba + .  Hướng dẫn: Ta có : 1 ≥+ ba ⇒ ab −≥ 1 ⇒ 323 331 aaab −+−≥ ⇒ 233 331 aaba +−≥+ ⇒ 233 331 aaba +−≥+ ⇒ 4 1 4 1 3 233 +       +−≥+ aaba . ⇒ 4 1 2 1 3 2 33 +       −≥+ aba . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : 2 1 =a . Bài 13: Cho 0>cba ;; . Tìm giá trị nhỏ nhất của: 1 1 1 a b c P b c a     = + + +  ÷ ÷ ÷      Hướng dẫn: Vì a; b; c là ba số dương. Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: 4 b a b a 21 ≥+ . c b c b .21 ≥+ . a c a c .21 ≥+ Suy ra : a c c b b a a c c b b a 222111 ≥       +       +       + abc abc a c c b b a 8111 ≥       +       +       + 8111 ≥       +       +       + a c c b b a Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: 1 === cba Vậy với 1 === cba thì 1 1 1 a b c P b c a     = + + +  ÷ ÷ ÷     giá trị nhỏ nhất bằng 8. Bài 14: Cho biểu thức         + − + − + +         − − + + + + = 1 11 1 1 11 1 ab aab ab a ab aab ab a M : a) Rút gọn biểu thức M ? b) Cho a+b=1 hãy tính giá trị nhỏ nhất của M ?  Hướng dẫn: a) Rút gọn biểu thức M TXĐ : 0≥a 0≥b 1≠ab .         + − + − + +         − − + + + + = 1 11 1 1 11 1 ab aab ab a ab aab ab a M : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 11 11111 11 11111 −+ −++++−−+ −+ −+−+++−+ = abab abababaababa abab abababaababa M : ( ) ( ) 1 12 1 12 − +− − + = ab a ab aab M : . ( ) ( ) 12 1 1 12 +− − ⋅ − + = a ab ab aab M . abM −= b) Cho a + b =1. Hãy tính giá trị nhỏ nhất của M Khi a+b=1 với 0 ≥ a 0 ≥ b . Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: ab ba ≥ + 2 suy ra : 2 1 ≤ab hay 2 1 −≥− ab Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : 2 1 == ba . Vậy với 2 1 == ba thì giá trị nhỏ nhất của M bằng 2 1 − 5 . MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT. Bài 1 : Cho các số dương x, y, z thoa mãn: 1/x + 1/y + 1/z = 4 Tìm max của: P= 1/(2x + y + z) + 1/(x +. 3 1 === cba Vậy với 3 1 === cba thì c ab b ca a bc A ++= đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1. Bài 7: Cho 0 ≥ cba ;; và thoả mãn: a.b.c=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của: ( ).( ).( )P a b b c c a = + + +  Hướng. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y=1. Với x=y=1 thì yx 11 + đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2. Bài 12: Cho 1 ≥+ ba . Tìm giá trị nhỏ nhất của : 33 ba + .  Hướng dẫn: Ta có : 1 ≥+ ba ⇒ ab −≥ 1 ⇒ 323 331