Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:.
Trang 1MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT.
Bài 1 : Cho các số dương x, y, z thoa mãn: 1/x + 1/y + 1/z = 4
Tìm max của: P= 1/(2x + y + z) + 1/(x + 2y + z) + 1/(x + y + 2z)
Với a,b > 0 ta có bđt : 1/(a + b) ≤ 1/4.(1/a + 1/b) (*)
Áp dụng bđt (*) với a = (x + y) > 0 ; b = (x + z) > 0 ta có :
1/(2x + y + z) = 1/ [ (x + y) + (x + z) ] ≤ 1/4.[ 1/(x + y) + 1/(x + z) ]
Lại áp dụng bđt (*) ta có :
1/(x + y) ≤ 1/4(1/x + 1/y)
1/(x + z) ≤ 1/4(1/x + 1/z)
> 1/(2x + y + z) ≤ 1/16.(2/x + 1/y + 1/z)
Tương tự ta có :
1/(x + 2y + z) ≤ 1/16.(1/x + 2/y + 1/z)
1/(x + y + 2z) ≤ 1/16.(1/x + 1/y + 2/z)
> 1/(2x + y + z) + 1/(x + 2y + z) + 1/(x + y + 2z) ≤ 1/16.(4/x + 4/y + 4/z)
> P ≤ 1/4.(1/x + 1/y + 1/z) = 1 (do 1/x + 1/y + 1/z = 4)
> đ.p c.m Dấu " = " xảy ra <=> x = y = z = 3/4
- - -
CM (*) , ta có (*) <=> 1/(a + b) ≤ (a + b)/4ab <=> 4ab ≤ (a + b)²
<=> 4ab ≤ a² + 2ab + b² <=> 0 ≤ a² - 2ab + b²
<=> 0 ≤ (a - b)² > luôn đúng > (*) được CM
Dấu " = " xảy ra <=> a = b
Cach kh¸c: giả sử u và v là hai số dương ta có: (u+v)(1/u + 1/v) >=4
<=> 4/(u+v) <= 1/u + 1/v
có 1/(2x+y+z) = 1/[(x+y)+(x+z)] <=(1/4)*(1/(x+y) + 1/(x+z))
<=(1/16)*(2/x+1/y+1/z)
làm tương tự cho hai biểu thức còn lại và cộng các vế của 3 BĐT ta được
VT<=(1/16)*(4/x + 4/y + 4/z) = 1
Bài 2:Cho tam giác ABC cố định vuông tại A, đường cao AD Vẽ đường tròn tâm (O1) ngoại tiếp tam giác ABD và đường tròn (O2) ngoại tiếp tam giác ACD Qua A kẻ đường thẳng d bất kì không cắt đoạn thẳng BC Gọi giao điểm của d với (O1) là E, với (O2) là F Gọi giao điểm của DE với AB
là M, giao điểm của DF với AC là N Hãy xác định vị trí của EF để chu vi của tứ giác BEFC đạt giá trị lớn nhất?
@ 3 câu hỏi trước cho biết khi d quay quanh A tỉ số (BE+EA)/(AF+FC) luôn không đổi và MN//EF
BC cố định nên chỉ cần xác định vị trí EF sao cho : BE+EA+AF+FC lớn nhất Gọi góc EAB = α, AB=c, AC=b khi đó BE+EA = c(sinα+cosα), (1)
∡ BAC vuông nên ∡ ACF = α => AF+FC = b(sinα+cosα) (2)
BE+EA+AF+FC = (sinα+cosα)(b+c) = (b+c) √2.cos(45-α) => α =45 độ BE+EA+AF+FC lớn nhất
Từ (1)&(2) => (BE+EA)/(AF+FC) = c/b ( const.)
∡BAD =∡AFD, tứ giác AMDN nội tiếp đường tròn do ∡MAN =∡MDN =90 độ nên ∡BAD
=∡MND => ∡AFD = ∡MND => MN//EF
4 3
5 2 1 6
2 )
2 2
− +
+
− + +
=
=
x x
x x
x x f y
1/ Tìm tập xác định của hàm số : y= f (x).
2/ Chứng minh y≤3 Chỉ rõ dấu bằng xảy ra khi x bằng bao nhiêu?
( Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên ngoại ngữ
Trường Đại học ngoại ngữ - ĐHQG Hà Nội Năm học 2003- 2004 )
Hướng dẫn:
Trang 21/ Tìm tập xác định của hàm số: y = f (x).
0 ) 2 ).(
1
(x2 + x− ≥ và x2 +3x−4≠0 Vậy TXĐ :x≥2 ; x≠4
2/ Chứng minh y≤3 Chỉ rõ dấu bằng xảy ra khi x bằng bao nhiêu ?
( ) ( )
4 3
5 2 1 6
2 )
2 2
− +
+
− + +
=
=
x x
x x
x x f
y
4 3
5 ) 2 ).(
1 ( 6 12 12 9 9 3
2
2 2
2
− +
+
− + +
− +
− +
−
=
x x
x x
x x x x
4 3
) 17 9 ) 2 ).(
1 ( 6 ( ) 4 3 (
3
2
2 2
2
− +
− +
− +
−
−
− +
=
x x
x x
x x
x x
3 )
4 ).(
1 (
) 2 3 1 (
3
2 2
≤ +
−
−
− +
−
=
x x
x x
Vì với x≥2 ; x≠4 thì 0
) 4 ).(
1 (
) 2 3 1
≥ +
−
−
− +
x x
x x
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : x2 +1=3. x−2
⇔ x2 +1=9x−18 ( Bình phương hai vế không âm)
⇔ x2 −9x+19=0 ⇔
2
5 9 1
−
=
2
5 9 2
+
=
x
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : y= x 1 x− 2 .
Hướng dẫn:
Ta có TXĐ : x∀ \ x ≤1
Xét y = x 1 x− 2
2
1 2
2
=
− +
2
1
≤
y suy ra :
2
1 2
1 ≤ ≤
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi x2 =1 x− 2 ( hay
2
2
±
=
Min y =
2
1
− khi và chỉ khi
2
2
−
=
x Max =
2
1 khi và chỉ khi
2
2
=
Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất : P =
1 x
2 x 2
2
+
+
? Hướng dẫn:
TXĐ ∀x∈R
P =
1 x
2 x
2
2 +
+
=
1 x
1 1 x 2
2
+
+ +
=
1 x
1 1
x
2
2
+ + +
Có :
1 x
1 1
x
2
2
+ +
1 x
1 1 x 2
2
2
+
⋅ + ≥2 1⋅ ≥ 2
Vậy
1 x
2 x 2
2
+
+
≥ 2 Min P = 2 khi và chỉ khi x2 +1=
1 x
1
2 + Min P = 2 khi và chỉ khi x= 0
Bài 6: Cho ba số dương a ; b ; c thoả mãn a + b + c = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của :
c
ab b
ca a
bc
Hướng dẫn:
Ta có
ab a bc b
ca a
2
≥
b
ca a
bc + ≥ 2
Trang 3
ac ca b c
ab a
2
≥
c
ab a
bc
2
≥ +
bc
bca c
ab b
2
≥
c
ab b
ca
2
≥ +
c
ab b
ca a
bc
+ +
≥
c
ab b
ca a
c
ab b
ca a
bc
+ + ≥ 1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
3
1
=
=
=b c a
Vậy với
3
1
=
=
=b c
c
ab b
ca a
bc
A= + + đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1
Bài 7: Cho a ;;b c≥0 và thoả mãn: a.b.c=1 Tìm giá trị nhỏ nhất của:
P= +(a b b c c a).( + ).( + )
Hướng dẫn:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :
a+b≥2 ab b+c≥2 bc c+a≥2 ca
Suy ra : (a+b).(b+c).(c+a)≥2 ab.2 bc.2 ca
(a+b).(b+c).(c+a)≥8 a 2 b 2 c 2
(a+b).(b+c).(c+a)≥8
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : a=b=c=1 Vậy với a=b=c=1 thì minP = 8
Bài 8: Cho ba số dương thoả mãn a + b + c = 1 Tìm giá trị lớn nhất của:
P = [ ( a + b ) ( + b + c ) ( + c + a ) ] abc
Hướng dẫn:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm a, b, c ta có:
3
3 abc
c b
a+ + ≥ ⇒1≥3 3 abc ⇒ 3
3
1
abc
27
Ta có :(a+b) (+ b+c) (+ c+a)≥3.3 (a+b) (.b+c) (.c+a)
⇒ 2(a+b+c)≥3.3 (a+b) (.b+c) (.c+a) ⇒ 2 ≥ 3 3 ( a + b ) ( b + c ) ( c + a )
⇒ 3 ( ) ( ) ( )
3
2
a c c b b
≥ ⇒ ≥(a+b).(b+c).(c+a)
27
Nhân vế với vế của (1) và (2) ta được : ⋅ ≥(a+b).(b+c).(c+a).abc
27
8 27 1
Suy ra :
729
8
≤ + +
3
1
Vậy maxP=
729
8 ⇔ a=b=c=
3
1
Bài 9: Cho ba số dương a ; b; c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M (a b c) 1 1 1
a b c
Hướng dẫn:
Vì a ; b; c là ba số dương áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: a+b+c≥3 abc 3 (1)
Vì
a
1
;
b
1
;
c
1
là ba số dơng áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: 3 1
3 1 1 1
abc c
b
a + + ≥ (2)
Từ (1) và (2) suy ra :
a+b+c≥3 abc 3 Suy ra : 1 1 1≥9
+ +
c b a c b
3 1 1 1
abc c
b
a+ + ≥
Trang 4Bài 10: Cho ba số dương a; b; c có a + b + c =1 Tìm giá trị nhỏ nhất của:
A 1 1 1 1 1 1
Hướng dẫn:
Ta có:
+
a
1
a
c b a
a
c a
+ +1
2
4
a bc
+
b
1
a
c b a
b
c b
+ +1
2
4
b ac
+
c
1
a
c b a
c
b c
a
+ + +1
2
4
c ab
+
+
+
c b
a
1 1
1 1
1
2 2 2
2 2 2
64
c b a
c b a
+
+
+
c b
a
1 1
1
1
1
1 ≥64 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi :
3
1
=
=
=b c
Vậy Min A= 64 khi và chỉ khi
3
1
=
=
=b c
Bài 11: Cho x ; y là hai số dương thoả mãn điều kiện x 2 + y 2 =2
Tìm giá trị nhỏ nhất của:
y x
1 1
+ ?
Hướng dẫn:
3 1
1 2
x x x
x x x
x
x+ = + + ≥ ⋅ ⋅ Suy ra :2+x 2 ≥3
3 1
1 2
y y y
y y y
y
y + = + + ≥ ⋅ ⋅ Suy ra :2+ y 2 ≥3
Vậy từ (1) và (2) suy ra :x 2 +y 2 +2.1 x+ 1 y≥6 Suy ra : 2
1
1+ ≥
y
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi :1 1 x 2
x
x = = ; 1 1 y 2
y
y = = và x 2 + y 2 =2
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y=1 Với x=y=1 thì
y x
1
1+ đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2.
Bài 12: Cho a+b≥1 Tìm giá trị nhỏ nhất của : a 3 +b 3
Hướng dẫn:
Ta có : a+b≥1⇒ b≥1−a⇒b 3 ≥1−3 a+3 a 2 −a 3
⇒a 3 +b 3 ≥1−3 a+3 a 2 ⇒a 3 +b 3 ≥1−3 a+3 a 2 ⇒
4
1 4
1
3 2 3
≥
⇒
4
1 2
1 3
2 3
−
≥
a Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi :
2
1
=
Bài 13: Cho a ;;b c>0 Tìm giá trị nhỏ nhất của:
P
= + ÷ + ÷ + ÷
Hướng dẫn:
Vì a; b; c là ba số dương Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
Trang 5
b
a b
a
2
1+ ≥
c
b c
b
2
1+ ≥
a
c a
c
2
1+ ≥ Suy ra :
a
c c
b b
a a
c c
b
b
a
2 1
1
+
+
abc
abc a
c c
b
b
a
8 1
1
+
+
+
8 1
1
+
+
+
a
c c
b
b
a
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:a=b=c=1
Vậy với a=b=c=1 thì P 1 a 1 b 1 c
= + ÷ + ÷ + ÷
giá trị nhỏ nhất bằng 8.
Bài 14:
Cho biểu thức
+
−
+
− +
+
−
−
+ +
+
+
1 1
1 1
1 1
1
ab
a ab ab
a ab
a ab ab
a
a) Rút gọn biểu thức M ?
b) Cho a+b=1 hãy tính giá trị nhỏ nhất của M ?
Hướng dẫn:
a) Rút gọn biểu thức M
TXĐ : a≥0 b≥0 ab≠1
+
−
+
− +
+
−
−
+ +
+
+
1 1
1 1
1 1
1
ab
a ab ab
a ab
a ab ab
a
( 1 )( 1 )
1 1
1 1
1
1 1
1 1
1 1
1
− +
− +
+ + +
−
− +
− +
− +
− + +
+
− +
=
ab ab
ab ab
ab a
ab ab
a
ab ab
ab ab
ab a
ab ab
a
M
.
.
:
.
1
1 2
1
1 2
−
+
−
−
+
=
ab
a ab
a ab
( 1 )
2
1 1
1 2
+
−
−
⋅
−
+
=
a
ab ab
a ab
ab
b) Cho a + b =1 Hãy tính giá trị nhỏ nhất của M
Khi a+b=1 với a ≥ 0 b ≥ 0 Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
ab
b
a
≥
+
1
≤
ab hay
2
1
−
≥
− ab
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi :
2
1
=
= b
2
1
=
= b
a thì giá trị nhỏ nhất của M bằng
2 1
−