CHUYÊN ĐỀ 2: Bất đẳng thức.. Các bài toán tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất... Ta có đpcm... Ta có đpcm.. Ta có đpcm... Vậy ta có đpcm.
Trang 1CHUYÊN ĐỀ 2: Bất đẳng thức
Các bài toán tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất
Bài 1:Cho a,b,c là độ dài của ba cạnh tam giác
CMR: ab + bc + caa2 +b2 +c2 < 2.(ab + bc + ca)
Giải:
Ta có:
a2 +b2 +c2 - ab + bc + ca .( ) ( ) ( ) 0
2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
Vậy: ab + bc + caa2 +b2 +c2
Lại có:
a < b + c a2 < a.(b + c) (1)
Tương tự: b2 < b.(a + c) (2) ,c2 < c.(b + a) (3)
Cộng (1),(2),(3) theo vế ta được:
a2 +b2 +c2 < a.(b + c) + b.(a + c) + c.(b + a) = 2.(ab + bc + ca)
Bài 2:Giả sử x > z ; y > z ; z > 0.CMR: z.(xz) z.(yz) xy (1)
Giải:
Đặt:
n z
y
m z
x
(m,n,z > 0)
Trang 2Khi đó (1) trở thành: zm zn (zm).(zn)
n z
z
m n
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
2
2
1 m .(n z) n m.z n m 1 m .(n z) n m.
Vậy (2) đúng, tức là (1) cũng đúng (đpcm)
Bài 3:Cho xy > 0 và x + y = 1.CMR:8 4 4 1 5
xy y x
Giải:
0 1
0
y x y
x xy
Ta có:
).
1 ( 4 1 4
1
2
xy xy xy
y
x
Lại có:
8. x y 4.(1 1 ).(x y ) 4.(x y ) (1 1 ).(x y ) xy 1.
Suy ra: 8.(x4 + y4) 1 (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
.
xy
y
x
Ta có đpcm
Trang 3Bài 4:Cho ba số phân biệt a,b,c.CMR:Có ít nhất một trong ba số sau đây là số
dương:
x = (a + b + c)2 - 9ab ; y = (a + b + c)2 - 9cb ; z = (a + b + c)2 - 9ac
Giải:
Ta có:x + y + z = 3 (a + b + c)2 - 9.(ab + bc + ca) = 3.(a2 + b2 +c2- ab - bc - ca) =
= .( ) ( ) ( ) 0
2
Vậy trong ba số x,y,z luôn có ít nhất một số dương
Bài 5: Nếu
0
1
ab
b a
thì
8
1
4 4
b
Giải: Hoàn toàn tương tự bài 3
Bài 6:CMR: 10 10 2 2 8 8 4 4
.
y
Giải:
Ta có: 10 10 2 2 8 8 4 4
.
y
2 2 12
12
.
y x y
.x y x y x y y
. 8 8 6 2 2 6
2
2
x y x y x y x y
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng.Vậy ta có đpcm
Trang 4Bài 7:CMR: Nếu a,b,c là các số đôi một khác nhau và a + b + c < 0 thì :
P = a3 + b3 + c3 - 3abc < 0
Giải:
Có:P = a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c).(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) < 0
Bài 8:CMR:
4
1 ) 1 2 (
1
25
1 9
1
2
n
Giải:
Dễ dàng biến đổi tương đương chứng minh được:
1 )
1 2 (
2
1
2
1
)
1
2
(
1
2
n n
n n n
Áp dụng ta có:
4
1 2 2
1 2
1 2
1 2 2
1 1 2
1
4
1 3
1 3
1
2
1
.
2
1
) 2 2 ).(
1 2 (
1
5 4
1 4 3
1 3
.
2
1
.
2
1
n n
n
n n
A
Ta có đpcm
Bài 9:CMR: Nếu: p,q > 0 thì: pq
q p
q p
2 2
Giải:
Có:
0
2 2
2
q p
q pq p
q p pq
q
p
q
p
Trang 5Ta có đpcm
Bài 10:CMR:
k k
k
1 1
1 1
với mọi số nguyên dương k >1.Từ đó suy ra:
n n
1 2
1
3
1
2
1
1 2 2 2 với n >1
Giải:
Ta có:
k k
k k k
1 1
1 ).
1 (
1 1
Áp dụng cho k = 2,3, ,n ta được:
.
1 2 1 1
1
3
1 2
1 2
1 1
1 1
1
3
1
2
1
n n
n
Bài 11:Cho hai số x,y thỏa mãn: x > y và xy = 1.CMR: 2 2 0
2 2
y x
y x
Giải:
2 2
y x y x y
x y x y
x
y
x
Ta có đpcm
Bài 12:Cho tam giác ABC có các cạnh thỏa mãn: abc.CMR:abc2 9bc.
Giải:
Từ giả thiết bài ra ta có:
Trang 62 9 ( 1 ) 5
4
0 ) 4 ).(
( 0 4
2
2 2
2
bc c
b bc c
b
c b c b c
b c
a
b
b
Mà: (a + b + c)2 (2b + c)2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
(a + b + c)2 (2b + c)2 9bc
Ta có đpcm
Bài 13:
Cho 0 < a,b,c < 2.CMR:Ba số a.(2-b) ; b.(2-c) ; c.(2-a) không đồng thời lớn hơn 1
Giải:
Ta có:
1 2
2 2
2 2
2
) 2 ( ).
2 (
).
2 (
) 2 ( ).
2
(
).
2
.(
2 2
2
c c
b b
a
a
c c b b a a a c c b
b
a
Tích của ba số nhỏ hơn hoặc bằng 1 vì vậy chúng không thể đồng thời lớn hơn 1
Ta có đpcm
Bài 14: Cho ba số a,b,c thỏa mãn: a > b > c > 0.CMR:
c a c a
c b
a
b
a
b
Giải:
Ta có:
c a c a
c b
a b a
b
Trang 72 2 2 2 2 2 2 2 2 2
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng
Vậy ta có đpcm
Bài 15:Cho các số dương x,y,z thỏa mãn:x2 y2 z2 1 CMR: 1
3 3 3
x
z z
y y x
Giải:
3 3
2
y
x xy
y
x
3
2 y
yz z
y
3
2z
xz x
z
Cộng (1),(2),(3) theo vế ta có:
) (
3 3
3
z y x zx x
z yz z
y
xy
y
x
Suy ra:
1 ) (
) (
) (
3
3
3
x
z
z
y
y
x
Vậy ta có đpcm