Bất đẳng thức là một trong những phần rất quan trọng trong chương trình toán phổ thông. Nó có mặt trong tất cả các bộ môn Số học, Hình học, Đại số, Lượng giác và Giải tích. Các bài toán về bất đẳng thức tỏ ra có sức hấp dẫn mạnh mẽ từ tính độc đáo của các phương pháp giải chúng. Chính vì thế bất đẳng thức là chuyên đề được mọi người quan tâm đến rất nhiều. Tuy nhiên, việc giải quyết một bài toán về chứng minh bất đẳng thức không hề đơn giản, yêu cầu không chỉ nắm vững các kiến thức cơ bản, mà còn phải biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo các phương pháp đã học kết hợp với kỹ năng biến đổi, suy luận, dự đoán, ...
Sáng kiến kinh nghiệm: “Ứng dụng của BĐT Schwartz (Svácxơ) trong chứng minh bất đẳng thức và bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức” PHẦN 1: MỞ ĐẦU I. Lý do thực hiện đề tài: 1, Cơ sở lý luận: Bất đẳng thức là một trong những phần rất quan trọng trong chương trình toán phổ thông. Nó có mặt trong tất cả các bộ môn Số học, Hình học, Đại số, Lượng giác và Giải tích. Các bài toán về bất đẳng thức tỏ ra có sức hấp dẫn mạnh mẽ từ tính độc đáo của các phương pháp giải chúng. Chính vì thế bất đẳng thức là chuyên đề được mọi người quan tâm đến rất nhiều. Tuy nhiên, việc giải quyết một bài toán về chứng minh bất đẳng thức không hề đơn giản, yêu cầu không chỉ nắm vững các kiến thức cơ bản, mà còn phải biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo các phương pháp đã học kết hợp với kỹ năng biến đổi, suy luận, dự đoán, 2, Cơ sở thực tiễn: Khi học toán, học sinh thường thấy “sợ” khi nhắc đến bất đẳng thức, cho rằng bất đẳng thức là một phần rất khó không thể giải được. Nguyên nhân là học sinh không biết cách lựa chọn phương pháp thích hợp để giải. Vì vậy một bài toán đơn giản cũng trở nên “vô cùng khó” đối với các em. Với mong muốn đóng góp vào việc nâng cao chất lượng dạy và học về bất đẳng thức, đem lại cho học sinh cách nhìn mới về bất đẳng thức, tôi nghiên cứu đề tài: “Ứng dụng của BĐT Schwartz (Svácxơ) trong chứng minh bất đẳng thức và bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức”. II. Phương pháp nghiên cứu: 1. Phương pháp nghiên cứu lý luận; 2. Phương pháp điều tra thực tiễn; 3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm; 4. Phương pháp thông kê. III. Đối tượng nghiên cứu: Các bài toán chứng minh bất đẳng thức và bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức sử dụng bất đẳng thức Schwartz (Svácxơ) Phạm Thị Ánh Tuyết - THPT Sông Công 1 Sáng kiến kinh nghiệm: “Ứng dụng của BĐT Schwartz (Svácxơ) trong chứng minh bất đẳng thức và bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức” PHẦN 2: NỘI DUNG A. Bất đẳng thức Schwartz (Svácxơ): Với 1 2 3 , , , , n x x x x là các số thực, 1 2 3 , , , , n a a a a , là các số dương, * n N ∈ thì 2 2 2 2 1 21 2 1 2 1 2 ( ) n n n n x x x x x x a a a a a a + + + + + + ≥ + + + Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 2 1 2 n n x x x a a a = = = B. Ứng dụng của BĐT Schwartz (Svácxơ) trong chứng minh BĐT và bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Bài toán 1: Với a, b, c là ba số dương, CMR: 2 2 2 2 a b c a b c b c c a a b + + + + ≥ + + + Lời giải: Vì a, b, c là các số dương, áp dụng BĐT Schwartz ta có: 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2( ) 2 a b c a b c a b c a b c b c c a a b b c c a a b a b c + + + + + + + + ≥ = = + + + + + + + + + + Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Phân tích: Bài toán 1 có thể áp dụng BĐT Bunhiacốpxki như sau: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) . . . ( ) ( ). ( ) 2( ). 2 a b c a b c b c c a a b b c c a a b a b c a b c b c c a a b b c c a a b a b c a b c a b c b c c a a b a b c a b c b c c a a b + + = + + + + + ÷ + + + ⇒ + + ≤ + + + + + + + ÷ + + + ⇒ + + ≤ + + + + ÷ + + + + + ⇒ + + ≥ ÷ + + + Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Với lời giải bằng BĐT Bunhiacốpxki như trên đã sử dụng kỹ thuật tách biểu thức (a + b+ c) 2 do đó lời giải dài và không dễ hiểu bằng lời giải áp dụng BĐT Schwartz. Phạm Thị Ánh Tuyết - THPT Sông Công 2 Sáng kiến kinh nghiệm: “Ứng dụng của BĐT Schwartz (Svácxơ) trong chứng minh bất đẳng thức và bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức” Bài toán 2: Cho x, y dương thoả mãn: x + y =1. Tìm GTNN của: 2 2 1 2 P xy x y = + + Lời giải: Do x, y dương thoả mãn: x + y =1, áp dụng BĐT Schwartz ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 8 2 2 2 ( ) P xy x y xy x y xy x y x y + = + = + ≥ = = + + + + + Dấu “= ” xảy ra khi và chỉ khi 1 2 x y = = Vậy: giá trị nhỏ nhất của P là P= 8 khi 1 2 x y = = . Phân tích: Bài toán 2 có thể giải bằng việc áp dụng BĐT Côsi như sau: Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương 2 2 2 ,xy x y + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 ( ) 1 4.2 ( ) 2 1 2 2 4.2 ( ) 8 8 ( ) xy x y xy x y xy x y xy x y xy x y xy x y P xy x y xy x y = + + ≥ + ⇒ ≥ + + + ⇒ + + ≥ + ⇒ ≥ ⇒ = + ≥ + + Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 2 x y = = Vậy: giá trị nhỏ nhất của P là P= 8 khi 1 2 x y = = . Lời giải sử dụng BĐT Côsi như trên không dễ áp dụng vì ở đó cần vận dụng linh hoạt quan hệ 2 2 2 2 2 1 2 (2 )xy x y xy x y = + + = + + , lời giải sử dụng BĐT Schwartz ngắn gọn, dễ hiểu và dễ áp dụng hơn. Với một số bài toán chứng minh Bất đẳng thức, BĐT Schwartz tỏ rõ ưu điểm ở việc dễ áp dụng, linh hoạt trong biến đổi, dễ hiểu và cho ta lời giải ngắn gọn, súc tích. Sau đây là một số bài toán: 1/ Ứng dụng BĐT Schwartz trong chứng minh BĐT. Bài toán 3: Cho a, b là các số thực. CMR: 4 4 4 ( ) 8 a b a b + + ≥ . Phạm Thị Ánh Tuyết - THPT Sông Công 3 Sáng kiến kinh nghiệm: “Ứng dụng của BĐT Schwartz (Svácxơ) trong chứng minh bất đẳng thức và bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức” Giải: Áp dụng BĐT Schwartz 2 lần ta có: 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 4 ( ) 1 1 ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 8 a b a b a b a b a b + + + + ≥ = + ≥ = ÷ Dấu “=” xảy ra khi a = b = c. Bài toán 4: Cho x, y, z dương thoả mãn: x + y + z =1 . CMR: 2 2 2 3 2 14 xy yz zx x y z + > + + + + Giải: Áp dụng BĐT Schwartz ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 2 3 2 2( ) 6 2 8 4 3 8 4 3 14 2( ) ( ) VT xy yz zx x y z xy yz zx x y z VT xy yz zx x y z x y z = + = + + + + + + + + + + + ≥ = = + > + + + + + + + Bài toán 5 (ĐH A-2005): Cho x, y, z dương thoả mãn: 1 1 1 4 x y z + + = . CMR: 1 1 1 1 2 2 2x y z x y z x y z + + ≤ + + + + + + Phân tích: để vận dụng giả thiết 1 1 1 4 x y z + + = ta cần so sánh các biểu thức 1 1 1 , , 2 2 2x y z x y z x y z+ + + + + + với 1 1 1 , , x y z Giải: Áp dụng BĐT Schwartz 2 lần ta có: 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 4 4 4 4 2 2 16x y z x y z x y x z x y x z x y x z + + + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ = ≤ + = + ≤ + + + ÷ + + + + + + + + => 1 1 2 1 1 2 16x y z x y z ≤ + + ÷ + + . Tương tự ta có: 1 1 1 2 1 2 16x y z x y z ≤ + + ÷ + + . 1 1 1 1 2 2 16x y z x y z ≤ + + ÷ + + Phạm Thị Ánh Tuyết - THPT Sông Công 4 Sáng kiến kinh nghiệm: “Ứng dụng của BĐT Schwartz (Svácxơ) trong chứng minh bất đẳng thức và bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức” => 1 4 4 4 1 .4 1 16 4 VT x y z ≤ + + = = ÷ (đpcm). Dấu “=” xảy ra khi 3 4 x y z = = = . Bài toán 6(BĐT Nasơbit): Cho 3 số dương a, b, c. CMR: 3 2 a b c b c c a a b + + ≥ + + + Giải: Ta có: 2 2 2 ( ) ( ) ( ) a b c a b c VT b c c a a b a b c b c a c a b = + + = + + + + + + + + Áp dụng BĐT Schwartz, ta có: 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) a b c a b c VT a b c b c a c a b ab bc ca + + + + ≥ = + + + + + + + . Ta phải chứng minh: 2 2 2 2 ( ) 3 2( 2 2 2 ) 6 6 6 2( ) 2 a b c a b c ab bc ca ab bc ca ab bc ca + + ≥ ⇔ + + + + + ≥ + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 ( ) ( ) ( ) 0a b c ab bc ca a b b c c a ⇔ + + − − − ≥ ⇔ − + − + − ≥ (luôn đúng). Dấu “=” xảy ra khi a = b = c. Phân tích: BĐT Nasơbit có thể còn được chứng minh bằng việc sử dụng BĐT Côsi, tuy nhiên lời giải sử dụng BĐT Schwartz hay ở sự biến đổi 2 ( ) a a b c a b c = + + , sự biến đổi này còn phát huy hiệu quả trong các bài toán phức tạp hơn sau đây. Bài toán 7 (HSG Thái Nguyên-lớp 11-2007): Cho 4 số dương a, b, c. CMR: 2 a b c d b c c d d a a b + + + ≥ + + + + (1) Giải: Ta có: 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) a b c d VT a b c b c d c d a d a b = + + + + + + + Áp dụng BĐT Schwartz, ta có: Phạm Thị Ánh Tuyết - THPT Sông Công 5 Sáng kiến kinh nghiệm: “Ứng dụng của BĐT Schwartz (Svácxơ) trong chứng minh bất đẳng thức và bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức” 2 (a+b + c +d) VT³= ab + a c +bc +bd + ca + cd +da +db . Để chứng minh BĐT (1), ta phải chứng minh: 2 ( ) 2 a b c d ab ac bc bd ca cd da db + + + ≥ + + + + + + + 2 2 2 2 2( ) 2( )a b c d ab ac bc db dc da ab ac bc db dc ca da bd ⇔ + + + + + + + + + ≥ + + + + + + + 2 2 2 2 2 2 ( 2 ) ( 2 ) 0 ( ) ( ) 0a c ca b d bd a c b d ⇔ + − + + − ≥ ⇔ − + − ≥ (luôn đúng) Dấu “=” xảy ra khi a = b= c = d =1. Bài toán 8 (Olimpic 30/04): Cho 3 số dương a, b, c. CMR: 4 4 4 3 3 3 2 a b c a b c b c c a a b + + + + ≥ + + + (2). Giải: Ta có: 6 6 6 2 2 2 ( ) ( ) ( ) a b c VT a b c b c a c a b = + + + + + Áp dụng BĐT Schwartz, ta có:. 3 3 3 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) a b c VT a b c b c a c a b + + ≥ + + + + + . Để chứng minh BĐT (2), ta phải chứng minh: 3 3 3 2 3 3 3 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 a b c a b c a b c b c a c a b + + + + ≥ + + + + + 3 3 3 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )a b c a b c b c a c a b ⇔ + + ≥ + + + + + 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 ( ) ( ) ( ) 0a b a b b a b c b c bc a c a c ac ⇔ + − − + + − − + + − − ≥ 2 2 2 ( ) .( ) ( ) .( ) ( ) .( ) 0a b a b b c b c c a c a⇔ − + + − + + − + ≥ (luôn đúng). Dấu “=” xảy ra khi a = b= c. Bài toán 9: Cho 3 số dương a, b, c thoả mãn: a.b.c=1 CMR: 3 3 3 1 1 1 3 ( ) ( ) ( ) 2a b c b a c c a b + + ≥ + + + (3) Giải: Vì 2 2 2 . . 1a b c = nên 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a b c a b c a b c b c a c a b VT a b c b a c c a b a b c b a c c a b = + + = + + + + + + + + Phạm Thị Ánh Tuyết - THPT Sông Công 6 Sáng kiến kinh nghiệm: “Ứng dụng của BĐT Schwartz (Svácxơ) trong chứng minh bất đẳng thức và bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức” Áp dụng BĐT Schwartz, ta có: 2 ( ) 1 ( ) 2( ) 2 ab bc ca VT ab bc ca ab bc ca + + ≥ = + + + + Để chứng minh (3) ta phải chứng minh ( ) 3ab bc ca + + ≥ (luôn đúng vì theo BĐT Côsi có: 3 2 2 2 ( ) 3 3ab bc ca a b c + + ≥ = ). Dấu “=” xảy ra khi a= b= c= 1. 2/ Ứng dụng của BĐT Schwartz tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Bài toán 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 2 1 2 Q x x = + − với 1 0 2 x < < . Giải: Vì 0 1 0 1 2 0 2 x x x > < < ⇒ − > , Áp dụng BĐT Schwartz, ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 2 1 2 2 1 2 2 1 2 Q x x x x x x + = + = + ≥ = − − + − , 8Q = khi 1 2 1 2 4 x x x = − ⇔ = . Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 8 khi 1 4 x = . Bài toán 11: Cho 4 số dương a, b, c. Tìm giá trị nhỏ nhất của a c b d c a b d R a b b c c d d a + + + + = + + + + + + + Giải: Ta có: 1 1 1 1 ( ) ( )R a c b d a b c d b c d a = + + + + + ÷ ÷ + + + + Có: 0, 0, 0, 0a b c d b c d a + > + > + > + > ,Áp dụng BĐT Schwartz, ta có: 2 2 (1 1) (1 1) ( ) ( ) 4 4 4 ( ) ( ) ( ) 4 R a c b d a b c d b c d a R a c b d a c b d a b c d b c d a a b c d + + ≥ + + + ÷ ÷ + + + + + + ⇒ ≥ + + + = + + + = + + + + + + + + + 4R = khi a= b = c = d =1.Vậy: giá trị nhỏ nhất của R là 4 khi a=b = c = d=1. Bài toán 12: Cho các số thực dương a, b, c. Phạm Thị Ánh Tuyết - THPT Sông Công 7 Sáng kiến kinh nghiệm: “Ứng dụng của BĐT Schwartz (Svácxơ) trong chứng minh bất đẳng thức và bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức” Tìm giá trị lớn nhất của: 2 2 2 2 2 2 bc ca ab B a bc b ca c ab = + + + + + Giải: Áp dụng BĐT Schwartz với các số thực dương a, b, c có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 2 2 2 2 ( ) 1 1 (*) ( ) a b c a b c A a bc b ca c ab a b c bc ca ab a b c A A a b c + + = + + ≥ + + + + + + + + + + ⇒ ≥ = ⇒ ≥ + + Mà 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c bc ca ab A B a bc b ca c ab a bc b ca c ab + = + + + + + + + + + + + 2 3A B⇔ + = (**) Kết hợp (*) và (**) ta được 1B ≤ . 1B = khi a = b = c =1. Vậy giá trị lớn nhất của B là 1 khi a = b = c =1. Bài toán 13: Cho tam giác ABC có ba cạnh có độ dài là a, b, c thỏa mãn điều kiện: 30ab + 4bc + 1977ca = 2012.abc Tìm giá trị nhỏ nhất của: 2007 34 1981 Q p a p b p c = + + − − − Với 2 a b c p + + = Giải: Ta có: 1 1 1 1 1 1 30 4 1977Q p a p b p b p c p c p a ÷ ÷ ÷ = + + + + + − − − − − − Áp dụng BĐT Schwartz ta có: 1 1 4 30 30 2p a p b p a b ÷ + ≥ − − − − (1) 1 1 4 4 4 2p b p c p b c ÷ + ≥ − − − − (2) 1 1 4 1977 1977 2p c p a p c a ÷ + ≥ − − − − (3) Từ (1), (2), (3) ta có: 30 4 1977 30 4 1977 2012 4 4 4 8048 ab bc ca abc Q c a b abc abc ÷ + + ≥ + + = = = Phạm Thị Ánh Tuyết - THPT Sông Công 8 Sáng kiến kinh nghiệm: “Ứng dụng của BĐT Schwartz (Svácxơ) trong chứng minh bất đẳng thức và bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức” Vậy min Q = 8048 đạt được khi và chỉ khi: 2011 2012 a b c= = = Bài toán 14: Cho ∆ ABC. Điểm M nằm trong ∆ ABC. Kẻ 1 MA BC⊥ , 1 MB CA⊥ , 1 MC AB⊥ . Tìm vị trí của điểm M để biểu thức: 1 1 1 BC CA AB MA MB MC + + có giá trị nhỏ nhất. Giải: Ta có: MA 1 .BC = 2S MBC , MB 1 .CA = 2S MAC , MC 1 .AB = 2S MAB . Do đó: MA 1 .BC + MB 1 .CA + MC 1 .AB = 2S MBC + 2S MAC + 2S MAB = 2S ABC Mặt khác: 1 1 1 BC CA AB MA MB MC + + = 2 2 2 1 1 1 . . . BC CA AB MA BC MB CA MC AB + + Áp dụng BĐT Schwartz ta có: ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 1 1 . . . 2 ABC BC CA AB BC CA AB BC CA AB Const MA MB MC MA BC MB CA MC AB S ∆ + + + + + + ≥ = = + + Suy ra: 1 1 1 BC CA AB MA MB MC + + đạt giá trị nhỏ nhất bằng ( ) 2 2 ABC BC CA AB S ∆ + + khi và chỉ khi: MA 1 = MB 1 = MC 1 ⇔ M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Bài toán 15: Cho a, b, c là các số dương và thoả mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 8 8 8 a b c T a bc b ca c ab = + + + + + Giải: Ta có: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 8 8 24 a b c a b c T a abc b abc c abc a b c abc + + = + + ≥ + + + + + + (a + b + c) 3 ≥ a 3 + b 3 + c 3 + 3(a + b + c)(ab + bc + ca) - 3abc ≥ a 3 + b 3 + c 3 + ( ) 2 3 3 27 abc abc - 3abc = a 3 + b 3 + c 3 + 24abc Từ đó suy ra: 1 T a b c ≥ + + = 1 Phạm Thị Ánh Tuyết - THPT Sông Công 9 A M A 1 CB C 1 B 1 Sáng kiến kinh nghiệm: “Ứng dụng của BĐT Schwartz (Svácxơ) trong chứng minh bất đẳng thức và bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức” Vậy giá trị nhỏ nhất của T bằng 1 khi: a = b = c = 1 2 C. Một số bài tập tương tự: Bài toán 16: (HSG Thái Nguyên-lớp 10-2010): Cho 3 số dương a, b, c thoả mãn: 3 2 1 1 a b c + + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = a + b + c . Bài toán 17: Cho a, b, c dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của: 2006 2007 2006 2007 2006 2007 a b c M b c c a a b = + + + + + Bài toán 18: Cho 2 số dương a, b thoả mãn: a + b = 1. Tìm GTLN của: 1 2 1 2 a b N a b = + + + Bài toán 19: Cho x, y, z, t dương thoả mãn: x + y + z + t =1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 1 1 1 K x y z t = + + + . Bài toán 20: Một tam giác có độ dài 3 cạnh là a, b, c và p là nửa chu vi. CMR: 1 1 1 1 1 1 2 p a p b p c a b c + + ≥ + + ÷ − − − . Khi đẳng thức xảy ra thì tam giác có đặc điểm gì? Bài toán 21: Một tam giác có diện tích S và độ dài 3 cạnh là a, b, c. Gọi , , a b c h h h lần lượt là độ dài các đường cao tương ứng với các cạnh a, b, c. CMR: 1 1 1 4 a b b c c a a b c h h h h h h S + + + + ≤ + + + . Bài toán 22: Gọi a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có p là nửa chu vi và S là diện tích. CMR: 3 3 3 2 2 2 ( ) 1 1 1 1 a b b c c a abc a b c ab bc ca abc + + + + ≥ + + + + . Bài toán 23(Olimpic 30/04): Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Phạm Thị Ánh Tuyết - THPT Sông Công 10 [...]...Sỏng kin kinh nghim: ng dng ca BT Schwartz (Svỏcx) trong chng minh bt ng thc v bi toỏn tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca biu thc a 2b(a b) + b 2 c(b c ) + c 2 a (c a ) 0 CMR: Bi toỏn 24: Cho cỏc s dng a, b, c, , , CMR: a2 b2 c2 a +b + c + + a + b + c b + c + a c + a + b + + PHN 3: KT LUN I Kt qu ng dng: ng dng ca BT Schwartz (Svỏcx) trong chng minh BT v bi toỏn tỡm giỏ tr ln nht,... úng gúp ca cỏc bn ng nghip Xin chõn thnh cm n! Đánh giá, xếp loại của tổ chuyên môn Sông Công, ngày 15 tháng 05 năm 2012 Ngời viết Phạm Thị ánh Tuyết Phm Th nh Tuyt - THPT Sụng Cụng 11 Sỏng kin kinh nghim: ng dng ca BT Schwartz (Svỏcx) trong chng minh bt ng thc v bi toỏn tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca biu thc TI LIU THAM KHO 1 Các trang Web toán học: http://diendantoanhoc.net, http://mathlinks.ro... xut bn Giỏo dc 2006 4 Phan Huy Khi, 500 bi toỏn chn lc v bt ng thc, Nh xut bn H Ni 1997 5 Phan Huy Khi, Toỏn nõng cao cho hc sinh i s 10, Nh xut bn i hc Quc gia H Ni 1998 6 S giỏo dc v o to TP H Chớ Minh, trng THPT chuyờn Lờ Hng Phong, Tuyn tp thi Olympic 30-4 Toỏn 10 ln th VIII - 2002, Nh xut bn Giỏo dc 2002 Phm Th nh Tuyt - THPT Sụng Cụng 12