Bất đẳng thức và bài toán tìm cực trị 1. Định nghĩa: a > b Û a – b > 0 Û b – a < 0 a ³ b Û a – b ³ 0 Û b – a Ê 0 2. Một số tính chất: 1/ A B A C B C 2/ A > B Û A + C > B + C 3/ AC BC,C 0 A B AC BC,C 0 4/ A B A C B C C D 5/ A B 0 AC BD C D 0 6/ A > B > 0, n ẻ N * ị A n > B n 7/ n n A B 0,n N,n 2 A B 8/ 1 1 víi AB 0 A B A B 1 1 víi AB 0 A B 9/ * n,m N n m ị n m n m A A ,A 1 A A ,0 A 1 10/ 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 a b a b n N a b 3. Một số BĐT cơ bản: 2 a b 4ab a a a b a b a b a b 1 1 4 a b a b (với a, b > 0) 1 1 1 9 a b c a b c (với a, b, c > 0) 2 1 2 n 1 2 n 1 1 1 n a a a a a a (Với a 1 , a 2 , …, a n > 0) a b 2 b a (với ab > 0) a) Bất đẳng thức CauChy: Dạng tổng quát: Giả sử a 1 , a 2 , …, a n là các số thực không âm, khi đó ta có: Dạng 1: 1 2 n n 1 2 n a a a a a a n Dạng 2: n 1 2 n 1 2 n a a a a a a n Đẳng thức xảy ra Û a 1 = a 2 = … = a n Hệ quả: * Nếu a 1 + a 2 + + a n = S (const) thì n 1 2 n S Max a a a n xảy ra Û a 1 = a 2 = … = a n = S n * Nếu a 1 a 2 a n = P (const) thì n 1 2 n Min a a a n P xảy ra Û a 1 = a 2 = … = a n = n P Bất đẳng thức CauChy suy rộng: Cho n số dơng a 1 , a 2 , …, a n (n ³ 2) và n số dơng a 1 , a 2 , … a n sao cho a 1 + a 2 + … + a n = 1 thì: 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 n n a .a a a a a Dấu bằng xảy ra Û a 1 = a 2 = … = a n b) Bất đẳng thức: CauChy – Bunhiakowski – Schwarz (CBS) Dạng tổng quát: Cho 2n số thực tuỳ ý a 1 , a 2 , , a n ; b 1 , b 2 , , b n khi đó: 2 2 2 2 2 2 2 1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n a a a b b b a b a b a b Dấu đẳng thức xảy ra Û 1 2 n 1 2 n a a a b b b Hệ quả: * Nếu a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = c (const) thì 2 2 2 2 1 2 n 2 2 2 1 2 n c Min x x x a a a xảy ra Û 1 2 n 1 2 n x x x a a a * Nếu 2 2 2 2 1 2 n x x x c (const) thì 2 2 2 1 1 2 2 n n 1 2 n Max a x a x a x c . a a a 1 2 n 1 2 n x x x 0 a a a 2 2 2 1 1 2 2 n n 1 2 n Min a x a x a x c . a a a 1 2 n 1 2 n x x x 0 a a a Dạng khác của CBS: 2 2 2 2 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n a a a a a a b b b b b b . Bất đẳng thức và bài toán tìm cực trị 1. Định nghĩa: a > b Û a – b > 0 Û b – a < 0 a ³ b Û a – b ³ 0 Û. a a n P xảy ra Û a 1 = a 2 = … = a n = n P Bất đẳng thức CauChy suy rộng: Cho n số dơng a 1 , a 2 , …, a n (n ³ 2) và n số dơng a 1 , a 2 , … a n sao cho a 1 + a 2 + … + a n . a a (Với a 1 , a 2 , …, a n > 0) a b 2 b a (với ab > 0) a) Bất đẳng thức CauChy: Dạng tổng quát: Giả sử a 1 , a 2 , …, a n là các số thực không âm, khi đó ta