CHUYÊN ĐỀ 2: Bất đẳng thức. Các bài toán tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất.

Tham khảo tài liệu ''chuyên đề 2: bất đẳng thức. các bài toán tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất.'', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Bất đẳng thức CHUN ĐỀ 2: Các tốn tìm giá trị lớn , nhỏ Bài 1:Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác CMR: ab + bc + ca  a2 +b2 +c2 < 2.(ab + bc + ca) Giải: Ta có: a2 +b2 +c2 - ab + bc + ca  (a  b)  (b  c)  (c  a)   Đẳng thức xảy a = b = c Vậy: ab + bc + ca  a2 +b2 +c2 Lại có: a < b + c  a2 < a.(b + c) (1) Tương tự: b2 < b.(a + c) (2) ,c2 < c.(b + a) (3) Cộng (1),(2),(3) theo vế ta được: a2 +b2 +c2 < a.(b + c) + b.(a + c) + c.(b + a) = 2.(ab + bc + ca) Bài 2:Giả sử x > z ; y > z ; z > 0.CMR: z.( x  z )  z.( y  z )  xy (1) Giải: x  z  m y  z  n Đặt:  (m,n,z > 0) Khi (1) trở thành: zm  zn  ( z  m).( z  n)  m  m  n  1  .n  z  z  (2) Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:  m   m   z  (n  z )   n  z z        n m   m  1   (n  z )  n  m z  Vậy (2) đúng, tức (1) (đpcm) Bài 3:Cho xy > x + y = 1.CMR: 8.x  y    xy Giải:  xy   x , y  x  y   Từ giả thiết  Ta có:  x  y  xy  1  xy   4(1) xy Lại có: 2 x  y  4.(12  12 ).( x  y )  4.( x  y )  (12  12 ).( x  y )    x  y        Suy ra: 8.(x4 + y4)  (2) Từ (1) (2) suy ra:   x  y     xy Ta có đpcm Bài 4:Cho ba số phân biệt a,b,c.CMR:Có ba số sau số dương: x = (a + b + c)2 - 9ab ; y = (a + b + c)2 - 9cb ; z = (a + b + c)2 - 9ac Giải: Ta có:x + y + z = (a + b + c)2 - 9.(ab + bc + ca) = 3.(a2 + b2 +c2- ab - bc - ca) = = (a  b)  (b  c)  (c  a)  (Do a  b  c  a)   Vậy ba số x,y,z ln có số dương a  b  1 a  b  ab  Bài 5: Nếu  Giải: Hoàn toàn tương tự Bài 6:CMR: x10  y 10  x  y   x  y  x  y  Giải: Ta có: x10  y 10  x  y   x  y  x  y          x 12  y 12  x y x  y  x 12  y 12  x y x  y  x y x  y  x y x  y   x y  x   x y x8  y  x y  x y  2        y x6  y   x y x  y x  x y  y  Bất đẳng thức cuối ln đúng.Vậy ta có đpcm  Bài 7:CMR: Nếu a,b,c số đôi khác a + b + c < : P = a3 + b3 + c3 - 3abc < Giải: Có:P = a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c).(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) < Bài 8:CMR: A   1    với n  , n  25 (2n  1) Giải: Dễ dàng biến đổi tương đương chứng minh được:  1  1    2  2n.(2n  1) (2n  1).(2n  2)  (2n  1) Áp dụng ta có:   1 1 A         2.3 3.4 4.5 (2n  1).(2n  2)  1 1 1  1               2 3 2n  2n    2n   Ta có đpcm p2  q2 Bài 9:CMR: Nếu: p,q > thì:  pq pq Giải: Có: p2  q2  pq  pq   p  q p pq pq  q   Ta có đpcm Bài 10:CMR: 1 1   với số nguyên dương k >1.Từ suy ra: k 1 k k 1 1      n n với n >1 Giải: Ta có: 1 1    (k  1).k k  k k Áp dụng cho k = 2,3, ,n ta được: 1 1 1 1 1 1               2 n 1 n  n n 1 2 Bài 11:Cho hai số x,y thỏa mãn: x > y xy = 1.CMR: x2  y2  2  x y Giải: Ta có: x2  y2 2  x y  ( x  y )  2  x y x y x y Ta có đpcm Bài 12:Cho tam giác ABC có cạnh thỏa mãn: a  b  c CMR: a  b  c 2  9bc Giải: Từ giả thiết ta có: 2b  b  a  c  4b  c   (b  c ).(4b  c)   4b  c  5bc  2b  c   9bc (1) Mà: (a + b + c)2  (2b + c)2 (2) Từ (1) (2) suy ra: (a + b + c)2  (2b + c)2  9bc Ta có đpcm Bài 13: Cho < a,b,c < 2.CMR:Ba số a.(2-b) ; b.(2-c) ; c.(2-a) không đồng thời lớn Giải: Ta có: a.(2  b).b(2  c ).c (2  a )  a.(2  a).b.(2  b).c(2  c )  2 a  2a b 2b c  2c        2       Tích ba số nhỏ chúng khơng thể đồng thời lớn Ta có đpcm Bài 14: Cho ba số a,b,c thỏa mãn: a > b > c > 0.CMR: b ab  ab  c ac  ac Giải: Ta có: b ab  ab  c ac  ac  a b  a b a c  ac   a b  a b  a c  a c 2  2a  a  b  2a  a  c  a  b  a  c  b  c Bất đẳng thức cuối ln Vậy ta có đpcm Bài 15:Cho số dương x,y,z thỏa mãn: x  y  z  CMR: Giải: x3 x3 Áp dụng BĐT Cô Si:  xy  xy  x (1) y y y3 z3 Tương tự:  yz  2y (2)  xz  2z (3) z x Cộng (1),(2),(3) theo vế ta có: x3 y3 z3  xy   yz   zx  2.( x  y  z ) y z x Suy ra: x3 y3 z3    2.( x  y  z )  ( xy  yz  zx )  ( x  y  z )  y z x Vậy ta có đpcm x3 y3 z3    y z x ...  x y  2        y x6  y   x y x  y x  x y  y  Bất đẳng thức cuối ln đúng.Vậy ta có đpcm  Bài 7:CMR: Nếu a,b,c số đôi khác a + b + c < : P = a3 + b3 + c3 - 3abc < Giải: Có:P... 1    (k  1).k k  k k Áp dụng cho k = 2,3 , ,n ta được: 1 1 1 1 1 1               2 n 1 n  n n 1 2 Bài 11:Cho hai số x,y thỏa mãn: x > y xy = 1.CMR: x2  y2  2 ... 2a b 2b c  2c        2       Tích ba số nhỏ chúng khơng thể đồng thời lớn Ta có đpcm Bài 14: Cho ba số a,b,c thỏa mãn: a > b > c > 0.CMR: b ab  ab  c ac  ac Giải: