Tham khảo tài liệu ''chuyên đề 2: bất đẳng thức. các bài toán tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất.'', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Bất đẳng thức CHUN ĐỀ 2: Các tốn tìm giá trị lớn , nhỏ Bài 1:Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác CMR: ab + bc + ca a2 +b2 +c2 < 2.(ab + bc + ca) Giải: Ta có: a2 +b2 +c2 - ab + bc + ca (a b) (b c) (c a) Đẳng thức xảy a = b = c Vậy: ab + bc + ca a2 +b2 +c2 Lại có: a < b + c a2 < a.(b + c) (1) Tương tự: b2 < b.(a + c) (2) ,c2 < c.(b + a) (3) Cộng (1),(2),(3) theo vế ta được: a2 +b2 +c2 < a.(b + c) + b.(a + c) + c.(b + a) = 2.(ab + bc + ca) Bài 2:Giả sử x > z ; y > z ; z > 0.CMR: z.( x z ) z.( y z ) xy (1) Giải: x z m y z n Đặt: (m,n,z > 0) Khi (1) trở thành: zm zn ( z m).( z n) m m n 1 .n z z (2) Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có: m m z (n z ) n z z n m m 1 (n z ) n m z Vậy (2) đúng, tức (1) (đpcm) Bài 3:Cho xy > x + y = 1.CMR: 8.x y xy Giải: xy x , y x y Từ giả thiết Ta có: x y xy 1 xy 4(1) xy Lại có: 2 x y 4.(12 12 ).( x y ) 4.( x y ) (12 12 ).( x y ) x y Suy ra: 8.(x4 + y4) (2) Từ (1) (2) suy ra: x y xy Ta có đpcm Bài 4:Cho ba số phân biệt a,b,c.CMR:Có ba số sau số dương: x = (a + b + c)2 - 9ab ; y = (a + b + c)2 - 9cb ; z = (a + b + c)2 - 9ac Giải: Ta có:x + y + z = (a + b + c)2 - 9.(ab + bc + ca) = 3.(a2 + b2 +c2- ab - bc - ca) = = (a b) (b c) (c a) (Do a b c a) Vậy ba số x,y,z ln có số dương a b 1 a b ab Bài 5: Nếu Giải: Hoàn toàn tương tự Bài 6:CMR: x10 y 10 x y x y x y Giải: Ta có: x10 y 10 x y x y x y x 12 y 12 x y x y x 12 y 12 x y x y x y x y x y x y x y x x y x8 y x y x y 2 y x6 y x y x y x x y y Bất đẳng thức cuối ln đúng.Vậy ta có đpcm Bài 7:CMR: Nếu a,b,c số đôi khác a + b + c < : P = a3 + b3 + c3 - 3abc < Giải: Có:P = a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c).(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) < Bài 8:CMR: A 1 với n , n 25 (2n 1) Giải: Dễ dàng biến đổi tương đương chứng minh được: 1 1 2 2n.(2n 1) (2n 1).(2n 2) (2n 1) Áp dụng ta có: 1 1 A 2.3 3.4 4.5 (2n 1).(2n 2) 1 1 1 1 2 3 2n 2n 2n Ta có đpcm p2 q2 Bài 9:CMR: Nếu: p,q > thì: pq pq Giải: Có: p2 q2 pq pq p q p pq pq q Ta có đpcm Bài 10:CMR: 1 1 với số nguyên dương k >1.Từ suy ra: k 1 k k 1 1 n n với n >1 Giải: Ta có: 1 1 (k 1).k k k k Áp dụng cho k = 2,3, ,n ta được: 1 1 1 1 1 1 2 n 1 n n n 1 2 Bài 11:Cho hai số x,y thỏa mãn: x > y xy = 1.CMR: x2 y2 2 x y Giải: Ta có: x2 y2 2 x y ( x y ) 2 x y x y x y Ta có đpcm Bài 12:Cho tam giác ABC có cạnh thỏa mãn: a b c CMR: a b c 2 9bc Giải: Từ giả thiết ta có: 2b b a c 4b c (b c ).(4b c) 4b c 5bc 2b c 9bc (1) Mà: (a + b + c)2 (2b + c)2 (2) Từ (1) (2) suy ra: (a + b + c)2 (2b + c)2 9bc Ta có đpcm Bài 13: Cho < a,b,c < 2.CMR:Ba số a.(2-b) ; b.(2-c) ; c.(2-a) không đồng thời lớn Giải: Ta có: a.(2 b).b(2 c ).c (2 a ) a.(2 a).b.(2 b).c(2 c ) 2 a 2a b 2b c 2c 2 Tích ba số nhỏ chúng khơng thể đồng thời lớn Ta có đpcm Bài 14: Cho ba số a,b,c thỏa mãn: a > b > c > 0.CMR: b ab ab c ac ac Giải: Ta có: b ab ab c ac ac a b a b a c ac a b a b a c a c 2 2a a b 2a a c a b a c b c Bất đẳng thức cuối ln Vậy ta có đpcm Bài 15:Cho số dương x,y,z thỏa mãn: x y z CMR: Giải: x3 x3 Áp dụng BĐT Cô Si: xy xy x (1) y y y3 z3 Tương tự: yz 2y (2) xz 2z (3) z x Cộng (1),(2),(3) theo vế ta có: x3 y3 z3 xy yz zx 2.( x y z ) y z x Suy ra: x3 y3 z3 2.( x y z ) ( xy yz zx ) ( x y z ) y z x Vậy ta có đpcm x3 y3 z3 y z x ... x y 2 y x6 y x y x y x x y y Bất đẳng thức cuối ln đúng.Vậy ta có đpcm Bài 7:CMR: Nếu a,b,c số đôi khác a + b + c < : P = a3 + b3 + c3 - 3abc < Giải: Có:P... 1 (k 1).k k k k Áp dụng cho k = 2,3 , ,n ta được: 1 1 1 1 1 1 2 n 1 n n n 1 2 Bài 11:Cho hai số x,y thỏa mãn: x > y xy = 1.CMR: x2 y2 2 ... 2a b 2b c 2c 2 Tích ba số nhỏ chúng khơng thể đồng thời lớn Ta có đpcm Bài 14: Cho ba số a,b,c thỏa mãn: a > b > c > 0.CMR: b ab ab c ac ac Giải: