Trong chương trình Toán học ở trường THCS hiện nay, có những bài toán tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất của một biểu thức khi học sinh gặp phải thì rất bỡ ngỡ và lúng túng vì trong chương trình Toán THCS sách giáo khoa chưa đề cập nhiều về cách giải. Tài liệu đưa ra một số phương pháp thường gặp để tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức.
PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT NHỎ NHẤT CỦA MỘT SỐ BIỂU THỨC CƠ BẢN Đa thức dạng f(x)=ax2 + bx + c (a ≠ 0) Biến đổi f(x) = ax2 + bx + c = a.G(x)2 + d (d số) Nếu a >0 f(x) tồn GTNN d Dấu xảy G(x)=0 Nếu a f(x) tồn giá trị nhỏ là: c 4a b Nếu a < f(x) tồn giá trị lớn là: c 4a Ví dụ Tìm giá trị lớn (nhỏ nhất) biểu thức sau: a) x2 + 3x + b) 2x2 – 2x – c) – 2x2 + 3x + Giải a) f(x) = x2 + 2.x 3 1 3 + + = x+ ÷ + ≥ 4 2 4 Dấu “=” xảy x = −1 x = Vậy GTNN biểu thức c) = −2 x − −1 2 17 17 1 2 – 2x + 3x + = −2 x − x − ÷ = −2 x − 2.x + − ÷ = −2 x − ÷ − 2 16 16 16 17 17 Dấu “=” xảy x = ÷ + ≤ 4 8 3 Vậy Giá trị lớn là: 17 Dạng Bậc a) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 12 b)(x – 1)(x + 1)(x + 6)(x + 8) + 25 c) x(x + 6)(x + 8)(x + 14) – 22 d) –x(x – 3)(x – 9)(x – 6) + 30 2 Đa thức dạng f(x,y) = ax + bxy + cy + dx + ey + m (a.c >0) a) Dạng khuyết bxy: f(x,y) = ax + cy + dx + ey + m Ví dụ1 Tìm giá trị lớn (nhỏ nhất) x2 + y2 – 2x + 4y + Giải a) x2 + y2 – 2x + 4y + = (x2 – 2x + 1) + (y2 + 4y + 4) – = (x – 1)2 + (y + 2)2 – ≥ (dấu “=” xảy x = 1; y = -2) 2 Vậy GTNN x + y – 2x + 4y + -2 x = 1; y = - b) – x2 + 2x – 4y2 + 4y + Ta có – x2 + 2x – 4y2 + 4y + = –(x2 – 2x + 1) – (y2 – 4y + 4) + = – (x – 1)2 – (y – 2)2 + ≤ (Dấu “ = “ xảy x = 1; y = 2) 2 Vậy GTLN - x + 2x – 4y + 4y + x = 1; y = b f(x,y) = ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + m (a.c >0; 4ac > b2) Phương pháp: biến đổi f(x,y) thành hai dạng Dạng Chia thành nhóm Một nhóm gồm hạng tử chứa biến y nhóm cịn lại chứa biến x f(x,y) = ±(kx + ty + r)2 ± (hx – g)2 + p Dạng Chia thành nhóm Một nhóm gồm hạng tử chứa biến x nhóm cịn lại chứa biến y f(x,y) = ±(kx + ty + r)2 ± (hy – g)2 + p Ví dụ Tìm Giá trị nhỏ ( lớn ) 5x2 + 4xy + y2 – 2x + 2y + 13 Giải 2 Dạng 1: 5x + 4xy + y – 2x + 2y + 13 = [y + 4xy +2y] + 5x2 – 2x + 13 = [y2 + 2y(2x + 1)] + 4x2 – 6x + = [y2 + 2y(2x + 1) + (2x + 1)2] + 5x2 – 2x + 13 – (2x + 1)2 = (y + 2x + 1)2 + x2 – 6x + 12 = (y + 2x + 1)2 + (x – 3)2 + ≥ Dấu “=” xảy x = 3; y = -7 Vậy GTNN biểu thức Dạng 2: 5x2 + 4xy + y2 – 2x + 2y + 13 = [5x2 + 4xy – 2x] + y2 + 2y + 13 = [5x2 + 2x(2y – 1)] + y2 + 2y + 13 2y − 2y -1 2y -1) ( =5[x + 2.x + ÷ ] + y + 2y + 13 2 2 2y − 1 (y + 7)2 + 15 y + 14y + 64 2y − = 5 x+ + = + x + ÷ ÷ 5 (y + 7)2 2y − 1 = x + + +3≥3 ÷ 5 Dấu “ = ” xảy y= -7; x =3 Vậy GTNN biểu thức Bài tập áp dụng Tìm giá trị nhỏ (lớn nhất) có a)x2 + 4xy + 6y2 – 4x + 6y + 2000 b) 2x2 - 6xy + 4y2 + 2x + 3y + 2012 c)- x2 - 4xy - 6y2 – 4x + 6y + 2013 d) - 2x2 + 6xy - 4y2 + 2x + 3y + 2011 Tìm x, y biết a) 5x2 + y2 – 2xy – 6x + 2y + = b) 2x2 – 4xy + 4y2 – 4x – 4y + 10 = c) 4x2 + 2y2 – 16y + 12x – 4xy + 34 = d) x2 – 2xy + 2y2 + 2x – 6y + = ax2 + by + c Đa thức dạng (trong a, d không đồng thời dx2 + ex + f đa thức dạng lớn dx2 + ex + f không) Trước tiên ta giải tốn sau: Tìm điều kiện hệ số a, b, c để đa thức bậc 2: ax + bx + c viết dạng m(x + n)2 Giải 2 Ta có ax + bx + c = mx + 2mnx + mn + Nếu n = => b = c = + Nếu n Khác => a=m b = 2mn c = mn2 => b = 2an c = an2 => b2 = 4a2 n2 c = an2 => b2.an2 = 4a2n2.c => b2 = 4ac Ví dụ Tìm điều kiên k để (k + 1)x2 – (2 + k)x + viết dạng m(x + n)2 Giải a = k + ; b = -(2 + k); c = Điều kiện: b2 = 4ac => (2 + k)2 = 4(k + 1).1 => k2 = => k = Bài tập áp dụng Tìm điều kiện h để biểu thức sau viết dạng m(x + n)2 a) hx2 - 2x + b) x2 – 4hx + c) - 5x2 + 6x + h d) (h + 3)x2 – (2h + 2)x + – 2h Dạng Dạng Tổng quát ax2 + bx + c (Phương phápsử dụng cho học sinh lớp 8) dx2 + ex + f Phương pháp: Biến đổi biểu thức ax2 + bx + c α(x + β)2 = +λ dx2 + ex + f dx2 + ex + f ax2 + bx + c Bước Ta thêm bớt vào số µ dx2 + ex + f ax2 + bx + c ax2 + bx + c (a + dµ)x2 + (b + eµ)x + c + fµ = + µ − µ = −µ dx2 + ex + f dx2 + ex + f dx2 + ex + f Bước Tìm số µ cho (a+ dµ)x2 + (b + eµ)x + c + fµ Viết dạng m(x+n)2 Hay (b+e µ )2 = 4(a+d µ )(c+f µ ) Ví dụ Tìm giá trị nhỏ (lớn nhất) 12x2 + 12x + 18 x2 − 2x + 2 12x + 12x + 18 ( 12 + µ ) x + (12 − 2µ )x + 18 + 3µ = −µ 2 x − 2x + x − 2x + ( 12 + µ ) x2 + (12 − 2µ)x + 18 + 3µ Viết dạng m(x+n)2 Khi ( 12 − 2µ ) 2 2 = 4( 12 + µ ) ( 18 + 3µ ) ⇔ 36 − 12µ + µ = 3µ + 54µ + 216 ⇔ 2µ + 66µ + 180 = ⇔ µ + 33µ + 90 = (µ + 3)(µ + 30) = => µ = 3; Hoặ cà = 30 Gii 2 12x + 12x + 18 12x + 12x + 18 = 2 x − 2x + x − 2x + -3+3= 2 9x + 18x + 9(x + 1) + = + 3≥ 2 x − 2x + (x − 1) + Dấu “=” xảy x = -1 Vầy Giá trị nhỏ x = -1; 12x + 12x + 18 -30+30 x − 2x + = 2 −18x + 72x − 72 −18(x − 4x + 4) −18(x − 2) + 30 = + 30 = + 30 ≤ 30 2 x − 2x + (x − 1) + (x − 1) + Dấu xảy x =2 Vậy giá trị lớn biểu thức 30 x = Bài tập áp dụng P= 3x + x +5 Q= x − 5x + T= x − 2x + C= x 2 x − 3x + U = x − 6x + x +1 2x + x + 22 D= 2 x +y Y = 27 − 12 x x +9 x + 512 S= x +8 ax2 + bx + c (với a/d = b/e) dx2 + ex + f Ví dụ Tìm giá trị nhỏ (lớn nhất) Ta có 8x + 4x + x + 27 R= x − 3x + x − x + 2 x + xy + y Dạng Dạng đơn giản hố X= -2x2 + 6x + 13 4x2 − 12x + 2 37 -2x + 6x + 13 −2(−2x + 6x + 13) (4x − 12x + 11) − 37 −1 = = + = 2 2 2(2x − 3)2 + −2(4x − 12x + 11) 4x − 12x + 11 −2(4x − 12x + 11) Vì 2(2x-3)2 + ≥ => 37 −1 37 37 −1 37 35 + ≤ ≤ + = => 2 2(2x − 3) + 4 2(2x − 3) + 4 (Dấu xảy x = 3/2) Vậy giá trị lớn 35/4 x = 3/2 Bài tập áp dụng Tìm giá trị lớn (nhỏ nhất) có: x − xy + y T = x + xy + y a) A = 3x − 6x + 17 x − 2x + b) B = −1 x − x+1 e) D = d) D = 2 2x − 16x + 41 x − 8x + 22 21 4x − 4x + c) B = 3x2 + 2x + 10 9x2 + 6x + f) D = 21 x − 4x + ... + ≤ ≤ + = => 2 2(2x − 3) + 4 2(2x − 3) + 4 (Dấu xảy x = 3/2) Vậy giá trị lớn 35/4 x = 3/2 Bài tập áp dụng Tìm giá trị lớn (nhỏ nhất) có: x − xy + y T = x + xy + y a) A = 3x − 6x + 17 x − 2x +... + f dx2 + ex + f dx2 + ex + f Bước Tìm số µ cho (a+ dµ)x2 + (b + eµ)x + c + fµ Viết dạng m(x+n)2 Hay (b+e µ )2 = 4(a+d µ )(c+f µ ) Ví dụ Tìm giá trị nhỏ (lớn nhất) 12x2 + 12x + 18 x2 − 2x + 2... Vầy Giá trị nhỏ x = -1; 12x + 12x + 18 -30+30 x − 2x + = 2 −18x + 72x − 72 −18(x − 4x + 4) −18(x − 2) + 30 = + 30 = + 30 ≤ 30 2 x − 2x + (x − 1) + (x − 1) + Dấu xảy x =2 Vậy giá trị lớn biểu thức