SKKN: Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất cho học sinh lớp 10, 11

Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ cho học sinh lớp 10, 11 Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang -MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức tốn khó Trong năm gần tần suất xuất đề thi cao Nhiều số thực khó, cách giải khơng thực tự nhiên, mang nhiều yếu tố cá nhân (người đề nắm cách giải) Tuy nhiên bên cạnh có nhiều dạng, loại mà ta khái quát thành cách giải đặc trưng Với mong muốn góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn học nói riêng chất lượng giáo dục nói chung; chúng tơi tiến hành nghiên cứu tìm hiểu “Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ cho học sinh lớp 10, 11” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu sở lý luận thực tiễn phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Nhiệm vụ nghiên cứu Đề xuất số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Khách thể đối tượng nghiên cứu Khách thể: Cơng tác dạy học mơn Tốn trường phổ thơng Đối tượng: Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Giới hạn phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ giảng dạy trường THPT Văn Giang 02 năm học 2011-2012; 2012-2013 Giả thuyết khoa học Hiện việc tiếp cận phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ số hạn chế (tài liệu tham khảo, giảng dạy) Nếu áp dụng SKKN tác giả cách linh hoạt, phù hợp hiệu giải tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ cao Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý luận Phương pháp nghiên cứu thực tiễn Phương pháp thống kê Toán học Cấu trúc sáng kiến kinh nghiệm Mở đầu Nội dung Kết luận Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang -Tài liệu tham khảo NỘI DUNG I Cơ sở lý luận Trong trình xử lý tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ ta cần sử dụng số kiến thức: định lý dấu tam thức bậc hai, tính chất bất đẳng thức, bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân, bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, đường tròn, elip; đường thẳng; khoảng cách… Định lý thuận dấu tam thức bậc hai Cho tam thức bậc hai f  x   ax  bx  c;  a   Có   b  4ac Nếu   a f  x   x  R Nếu   a f  x   x   b 2a a f  x   x   ; x1    x2 ;   Nếu    ( x1  x2 hai nghiệm tam a f x   x  x ; x      thức bậc hai) Các tính chất Bất đẳng thức Điều kiện Nội dung a  b  ac  bc c0 a  b  ac  bc c0 a  b  ac  bc a  b  ac bd  c  d 0  a  b  ac  bd  0  c  d a  b  a n 1  b n 1 ; n  N *  a  b  a 2n  b 2n ; n  N * 0ab a  b ab a  3b Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân (AM-GM) Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang -a b  ab ; a, b  Đẳng thức xảy a  b Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Cho hàm số f  x  xác định tập D Giá trị M gọi giá trị lớn hàm số  f  x   M x  D   x0  D : f x0  M   f  x  D   ; M  Max f x D Giá trị m gọi giá trị nhỏ hàm số f  x  D  f  x   m x  D  ; m  f x  D  x  D : f x  m  0     Đối với hàm hai biến, ba biến…ta có định nghĩa tương tự II Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Phương pháp phương trình bậc hai Xét tốn: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức A  f  x  ; tập D Lời giải Gọi A0 giá trị biểu thức Chứng tỏ phải tồn x0  D cho f  x0   A0 ; điều chứng tỏ phương trình f  x   A0  có nghiệm D Ta tìm điều kiện để phương trình f  x   A0  có nghiệm D; từ tìm giá trị lớn nhất; nhỏ Trong nhiều tốn phương trình f  x   A0  có dạng phương trình bậc Ở phương pháp ta phải hạn chế phương trình f  x   A0  có dạng phương trình bậc Ta xét số ví dụ sau: Bài Tìm giá trị lớn nhất; nhỏ biểu thức y  x x2  Lời giải Tập xác định D  R Gọi y0 giá trị biểu thức Chứng tỏ phương trình y0 x  x  y0  0, 1 có nghiệm Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang -2 2 Nhận xét: Đối với phương trình ax  bx  c  có điều kiện a  b  phương trình có nghiệm b  ac  Phương trình 1 có nghiệm   y0    Nhận thấy x   y  Vậy y   ; 1  y0  2 1 ; x  1  y   2 Maxy  Với cách làm tương tự ta vận dụng vào số sau; học sinh tự đề cho bạn lớp Bài Tìm min; max y  x2  x  x2  2x  x2  8x  Bài Tìm min; max y  x2   y   2; maxy   2  y  1; maxy   Sử dụng định lý dấu tam thức bậc hai Trong báo Toán học tuổi trẻ số 347 (tháng – 2006) có đề tốn: Bài 4: Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = x  y  x  y  xy Lời giải Giả sử m giá trị nhỏ biểu thức  x  y  x  y  xy  m ( x; y )  R  R  x  ( y  1) x  y  y  m  ( x; y )  R  R Nhìn vế trái tam thức bậc hai với ẩn x thì: x  ( y  1) x  y  y  m  x  R Suy ra:  x  3 y  y   4m  với y  R Suy ra:  'y  12  12m   m  1 Nếu m < -1 thì:  'y  Do  x  Suy A > m Vậy giá trị nhỏ biểu thức A Nếu m = -1 A  1 Dấu xảy x = y =  Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang -Kết luận: minA = -1 x = y = Nhận xét : Từ kết tìm theo lời giải ta đặt câu hỏi: Liệu phân tích biểu thức A = B + (-1)? Trong B  B = x = y = Với suy nghĩ ta có phương pháp thứ sau: Phân tích thành tổng bình phương cộng trừ số Lời giải A = x  x   y  y   x  y  xy   A = (x-1)2 + (y-1)2 +(x-1) –y(x-1) -1 A = (x-1)2 + (y-1)2 – (x-1)(y-1) – y   3( y  1)2  A =  x 1    1     Đẳng thức xảy  x  y  Kết luận: minA = -1 x = y = Với cách làm tương tự ta xử lý thêm tập sau Bài 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: B = x  y  xy  x  y Hướng dẫn: Cách 1: Sử dụng định lý dấu tam thức bậc hai 3y 1  Cách 2: Xét biểu thức B   x    y    3      Khi đó: B   1 x  y  3 Bình luận: Bất đẳng thức a  a  R vận dụng nhiều tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 2 Bài Tìm max P   x  y  xy  x; 2 Bài Tìm P  x  xy  y  12 x  45;  maxP  3 9   P   5  Sử dụng tính tương giao đường thẳng đường trịn ; hình trịn để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức dạng : f  ax + by; x; y thoả mãn điều kiện cho trước a; b số Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang -2 Bài Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ F  x  y với điều kiện x  y  Lời giải Nhận xét: Điều kiện cho đường trịn có tâm trùng gốc toạ độ, bán kính Ký hiệu hình trịn  C  Biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ có dạng phương trình đường thẳng 2 Gọi F0 giá trị biểu thức với x; y thoả mãn: x  y  Khi đường thẳng  có phương trình x  y  F0  đường tròn  C  phải có điểm chung Điều kiện tương đương với: d  O;      F0  5  F0   5  F0  Nhận thấy F0  5; F0  ứng với hai tiếp tuyến đường tròn tiếp điểm  2;1 ;  2; 1 Vậy F  5; MaxF = Bình luận: Như với biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ dạng F=a.x+b.y điều kiện x  y  R ; ta khái quát cách giải Điều kiện 2 tốn điều chỉnh là: x  y  R cách giải tương tự Bài Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức F  x  y với điều kiện 2   x     y    25 3  Lời giải 2  Gọi F0 giá trị biểu thức với x; y thoả mãn  x     y    25 3  Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang -Khi đường thẳng có phương trình x  y  F0  hình trịn 2   x     y    25 phải có điểm chung 3  Điều tương đương với: 10  F0 5  10  F0  25  25  10  F0  25  35   F0  15  15  F0  35 Vậy F  15; MaxF=35 Với tư tương tự học sinh tự nghĩ đề toán để luyện tập; tập dượt khả sáng tạo khía cạnh Khi thân giáo viên học sinh có niềm vui nho nhỏ! Các em thấy cần phải học Cách thay học Cái tạo phương pháp tự học cho em Trong Bài ; Bài điều kiện cho đầu có thay đổi; chẳng hạn điều kiện biến thoả mãn phương trình Elip Như ta lại có loạt tốn tương tự Bài 10 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức F  x  y x; y thoả 2 mãn: x  y  Lời giải Nhận xét: Điều kiện tốn thoả mãn phương trình Elip Tuy nhiên trường hợp trường hợp điều kiện tương tự ta đưa điều kiện điều kiện biến thoả mãn phương trình đường trịn phép đổi biến x2 y Ta có phương trình Elip :  1 1 Đặt x  z  y2  z  z Khi Elip biến thành đường trịn có phương trình: F  z  y Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang -2 Gọi Gọi F0 giá trị biểu thức với z; y thoả mãn: z  y  Chứng tỏ đường thẳng có phương trình z  y  F0  đường trịn có phương trình z  y2  phải có điểm chung  F0  18 Điều tương đương :   F0     F0  Vậy F   2; MaxF= Trong trường hợp tổng quát điều kiện mx  ny  r ;  m, n, r   ta có cách đổi biến : x  2 đường trịn có phương trình y  z  đầu cho : n z biến Elip m r n ;F a z  by n m Với tư tương tự ta có nhiều tốn với số liệu khác Bài 11 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức F  x  y biết x2 y   Bài 12 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức F  x  y biết 3x2  y  Bài 13 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức F  x  y biết  x  2 2   y  3  3 x  y  m Bài 14 Tìm giá trị nhỏ m để hệ  2 x  y  9 có nghiệm? Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang -2 Khi biểu thức cần tìm giá trị lớn giá trị nhỏ có dạng F  x  y điều  x  a kiện x; y thoả mãn: 2   y  b   R Khi cần sử dụng mệnh đề sau: Cho đường tròn (O; R) điểm P khơng trùng với tâm đường trịn Đường thẳng OP cắt đường tròn hai điểm A; B Với điểm M đường trịn ta có:  PA; PB   PM  max  PA; PB  Chứng minh : Giả sử P nằm bán kính OA, ta có : PM  OM  OP  OA  OP  PA PM  OM  OP  OB  OP  PB Vì  PA; PB   PA; PB  max  PA; PB  Vậy  PA; PB   PM  max  PA; PB  Các trường hợp lại chứng minh tương tự 2 Bài 15 Tìm giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ biểu thức F  x  y biết x; y thoả mãn  x  2 2   y  1  Lời giải Đặt  C  đường trịn có tâm I  2;1 ; R  Đường thẳng OI có phương trình là: x  y  Gọi A; B giao điểm đường tròn  C  với đường thẳng OI     A 10  5;5  ; B 10  5;5   Xét M  x; y    C  F  x  y  OM Sử dụng mệnh đề chứng minh  ta có OA ; OB 2   F  max OA ; OB  2 OA2  225  100 OB  225  100 Vậy 10 Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang  5;  x  10   5 F  225  100 5; x  10  5; y   max F  225  100 5; y   Tới ta việc thay điều kiện đường trịn khác có tốn khác Việc giải tốn tương tự Sử dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân (AM-GM) Trong chương trình phổ thông học sinh giới thiệu bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân (AM-GM) Do phương pháp tơi xin giới thiệu việc áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân vào tìm giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ Kỹ thuật Thêm, bớt, tách Trong trình sử dụng bất đẳng thức AM-GM việc sử dụng kỹ thuật thêm, bớt, tách cần linh hoạt, thể vận dụng khéo léo người làm tốn Ta có số biến đổi kỹ thuật sau: a m nm a  at t  b a a  a r a1r  b n n Bài 16 Cho x  0; y  x  y  Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  1   xy x y xy Lời giải Ta viết lại biểu thức     P      xy   2 xy  xy  xy x y  2  x  y  xy x  y    x  y Ví dụ với x  y   x  y 2  2 2 xy xy x  y ;  AM  GM  257 P  Vậy P  11 Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang x  16 Bài 17 Cho x  tìm giá trị nhỏ biểu thức A  x3 Lời giải Ta có A  x  16 x3  A x x x 16 16 x x x  8 x3 x3 Dấu xảy  x  Vậy A  Bài 18 Cho x; y; z  0; x  y  z  P Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: 1   x yz x y z Lời giải Ta viết lại biểu thức:  1 1  1  P    x     y     z   3 x  y  z  x  y   z 2 1 15 4x  y  z       x y z 2 Ví dụ với x  y  z  15 15 ; P  Vậy P  2 Bình luận: Tại ta khơng sử dụng việc ghép cặp: 1  1  1  P x  y z  6 ? x  y  z  Khi dấu xảy  x  y  z  không thỏa mãn điều kiện đầu ! Do phép biến đổi không thoả mãn yêu cầu ! Khi làm toán cực trị cần ý trường hợp dấu xảy 12 Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang -Bài 19 Cho a; b; c  0; a  b  c  Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: P a2 b2 c2   bc ca a b Lời giải Theo bất đẳng thức AM-GM ta có đánh giá sau: a2 bc  a bc b2 ca  b ca c2 ab  c ab Cộng vế với vế ta được: P 1 a  b  c   P 1 Giả sử với a  b  c   P 1 Vậy P  Bài 20 Cho x, y , z  0; x  y  z  Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: x5 y z P   y z x Lời giải Theo bất đẳng thức AM-GM ta có đánh giá sau: x5  y  y  y  y  5 x5  x y y5  z  z  z  z  5 y5  y z z5  x  x  x  x  5 z5  5z x Cộng vế với vế ta được: P  x  y  z  Ví dụ x  y  z   P  Vậy P  13 Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang -Một số tập vận dụng: Bài 21 Cho x, y  0; x  y  Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  Cho 1  x y xy x, y  0; x  y  Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: Bài 22 P   xy x y xy 2 2 Bài 23 Cho a , b, c  0; a  b  c  Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: P a b c   2 b c c a a  b2 Bài 24 Cho tam giác ABC nhọn Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 1   cosA cosB cosC Kỹ thuật Sử dụng nguyên lý cực hạn (làm trội) Nhận xét: Trong tập hữu hạn số tồn số lớn số nhỏ Bài 25 Cho a , b, c   0;1 Tìm giá trị lớn biểu thức: P a b c    1  a 1  b 1  c  b  c 1 c  a 1 a  b 1 Lời giải Giả sử a  max a;b;c Khi ta có đánh giá sau: b b  ; 1 a+c+1 b  c  c c  ;  2 a  b 1 b  c 1 Lại có theo bất đẳng thức AM-GM thì: 1 b 1 c  b  c 1 1  b 1  c  b  c  1    1    1  b 1  c   b  c 1 Do  a  1 a  1  a 1  b 1  c   ;  3 b  c 1 14 Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang -Từ (1); (2) (3) ta có: P  a  b  c 1 a 1 b  c 1 Dấu xảy ví dụ với a  b  c  Một số tập vận dụng: Bài 26 Cho a; b; c   0;2 ; a  b  c  Hãy tìm giá trị lớn biểu thức: P  a  b2  c2 Q  a  b3  c Bài 27 Cho a; b; c  1;3; a  b  c  Hãy tìm giá trị lớn biểu thức: P  a  b2  c2 Phương pháp hình học, vector, toạ độ Trong trình sử dụng phương pháp hình học, vector, toạ độ cần ý sử dụng đánh giá sau: r r r r u  v  u  v ; Dấu xảy hai vector hướng rr r r u.v  u v ; Dấu xảy hai vector phương r2 r r u  ; Dấu xảy u  Ba điểm A, B, C ta ln có: AB  BC  AC Dấu xảy A, B, C thẳng hàng B nằm A C Ba điểm A, B, C ta có AB  AC  BC Dấu xảy A, B, C thẳng hàng B nằm A, C C nằm A B x  x   x  10 x  50 Bài 28 Tìm giá trị lớn f  x   Lời giải Tập xác định D  R Ta có: f  x    x  2 1   x  5 Đặt M  x;0  ; A  2;1 ; B  5;5  Suy f  x   MA  MB  AB  15  25 Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang -Dấu xảy x  Vậy Max f  x   2 Bài 29 Cho x, y , z  : x  xz  z  x  xy  y  y  yz  z ; Tìm giá trị nhỏ P  2  P   Bài 30 Cho a , b, c, d  : a  b  c  d  Tìm giá trị lớn P   a  2b   c  2d   ac  bd Kết vận dụng phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ tác giả sử dụng giảng dạy chuyên đề “Cực trị” cho học sinh lớp 10A, 11M trường THPT Văn Giang năm học 2012-2013 Kết thu thông qua kết đánh giá kiểm tra em, qua vấn Đa số em hỏi có tự tin, có hệ thống phương pháp giải tốn cực trị Điểm 10 Tổng số 10A 6 10 12 44 11M 5 10 0 37 Lớp 16 Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang III KẾT LUẬN Với kết thu nhiệm vụ nghiên cứu đề tài hồn thành Tuy nhiên tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ ln tốn gây khó khăn định cho thầy trị q trình giảng dạy học tập mơn Tốn học Việc tìm hiểu phương pháp giải tốn cực trị địi hỏi ln ln cập nhật đổi Những tìm hiểu cá nhân tơi có lẽ khơng phủ hết dạng loại (ví sử dụng tính tương giao ta mở rộng cho khơng gian để xét tính tương giao mặt phẳng mặt cầu toán cực trị) cần đóng góp đồng chí Tổ Tốn – Tin để báo cáo hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn! Người thực ĐÀO QUANG BÌNH IV TÀI LIỆU THAM KHẢO Báo Toán học tuổi trẻ Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) – Vũ Tuấn: Đại số 10 Nguyễn Văn Mậu: Phương pháp giải phương trình bất phương trình Đỗ Thanh Sơn: Một số chuyên đề Hình học phẳng 17 Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang 18 ... Kết vận dụng phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ tác giả sử dụng giảng dạy chuyên đề “Cực trị? ?? cho học sinh lớp 10A, 11M trường THPT... tượng: Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Giới hạn phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ giảng dạy trường THPT Văn Giang 02 năm học 2 011- 2012;... thực tiễn phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Nhiệm vụ nghiên cứu Đề xuất số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Khách thể đối tượng nghiên cứu Khách thể: Cơng tác dạy học mơn