Ứng dụng đường tròn lượng giác giải các bài tập dao động điều hòa

Ứng dụng đường tròn lượng giác giải các bài tập dao động điều hòa

MỤC LỤC Trang

3.2 Xác định khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí

có li độ x1 đến vị trí có li độ x2

7 3.3 Xác định quãng đường đi được trong khoảng thời gian

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.

Dạy học là một công việc đòi hỏi người giáo viên phải sáng tạo, phảiluôn trau dồi và tiếp thu những kiến thức mới, những phương pháp mới chophù hợp với yêu cầu đào tạo nguồn nhân lực mới của xã hội

Với kinh nghiệm giảng dạy của mình tôi nhận thấy: Việc quan trọngnhất trong quá trình dạu học là làm thế nào để học sinh cảm thấy hứng thú,say mê trong học tập Để làm được việc đó ngoài việc giáo viên phải chuẩn bịtốt kiến thức, giáo án, phương tiện, thiết bị dạy học Cần phải thay đổi cáchdạy, cách đặt vấn đề, cách đặt câu hỏi Đặc biệt là tìm ra phương pháp mới,cách giải mới, giúp học sinh dễ tiếp thu kiến thức hơn, giảm bớt áp lực tronghọc tập

Bài tập vật lý với tư cách là một phương pháp dạy học, là cầu nối đểhọc sinh đi từ tư duy trừu tượng đển trực quan sinh động và ngược lại từ đó

có được thế giới quan khoa học duy vật biện chứng; đồng thời nó là phươngtiện để nghiên cứu tài liệu mới, để ôn tập, rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo, bồidưỡng phương pháp nghiên cứu khoa học Chính vì vậy việc giải tốt các bàitập vật lý sẽ góp phần to lớn trong việc phát triển tư duy của học sinh Đặcbiệt bài tập vật lý giúp học sinh củng cố kiến thức có hệ thống cũng như vậndụng những kiến thức đã học vào việc giải quyết những tình huống cụ thể,làm cho bộ môn trở nên lôi cuốn, hấp dẫn các em hơn

Hiện nay, trắc nghiệm khách quan đang trở thành phương pháp chủ đạotrong kiểm tra, trong các kì thi quốc gia đánh giá chất lượng dạy và học trongnhà trường THPT

Với hình thức thi trắc nghiệm khách quan thì nội dung kiến thức kiểmtra tương đối rộng, đòi hỏi học sinh phải học kĩ, nắm vững toàn bộ kiến thứccủa chương trình Để đạt được kết quả tốt trong việc kiểm tra, thi tuyển họcsinh ngoài việc phải nắm vững kiến thức thì học sinh còn phải có phản ứngnhanh nhạy, xử lí tốt đối với các dạng bài tập

Tôi không phủ nhận những ưu điểm khi dùng phương pháp đại số,dùngcác phương trình lượng giác để giải các bài tập vật lí Song một số dạng toánnếu sử dụng “ Liên hệ giữa chuyển động tròn đều với dao động điều hoà” cho

ta kết quả nhanh hơn, cách giải đơn giản hơn Chính vì vậy trong đề tài nàytôi mạnh dạn trình bày trước các đồng nghiệp một vài kinh nghiệm về việc:

“ Ứng đường tròn lượng giác để giải các bài tập dao động điều hoà ”

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.

Tạo ra sự hứng thú trong học tập đồng thời giúp các em đạt được kếtquả cao trong các kỳ thi

Rèn luyện phương pháp giải bài tập trắc nghiệm cho học sinh

Giúp học sinh củng cố kiến thức, giảm bớt áp lực bộ môn cho học sinh.Rèn luyện khả năng nghiên cứu khoa học

3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU.

Các tiết bài tập, tiết dạy bồi dưỡng, phụ đạo của Chương :

4 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU.

Xác định đối tượng học sinh áp dụng đề tài

Đưa ra phương pháp giải các dạng bài tập liên quan đến ứng dụngđường tròn lượng giác trong phần dao động cơ, dao động điện, dao động điện

từ, từ đó giúp học sinh nhận dạng và áp dụng được trong từng bài tập cụ thể

và đạt kết quả tốt

Đưa ra một số công thức, nhận xét mà khi học chính khoá do giới hạncủa chương trình nên học sinh chưa được tiếp thu nhưng được suy ra khi giảibài tập

Đánh giá, điều chỉnh, bổ sung cho phù hợp

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.

Nghiên cứu lý thuyết Giải các bài tập vận dụng

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

Phần1 CƠ SỞ LÝ LÍ LUẬN

1.1 Liên hệ giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hòa:

Khi nghiên cứu về phương trình của dao

động điều hòa, chúng ta đã biết một vật đang

chuyển động tròn đều trên quĩ đạo thì có hình chiếu

xuống một đường kính của quĩ đạo là dao động

điều hòa Do đó một dao động điều hòa có dạng x

= Acos((  t  ) có thể được biểu diễn tương đương

với một chuyển động tròn đều có:

- Tâm của đường tròn là VTCB 0

- Bán kính của đường tròn bằng với biên độ dao

động: R = A

- Vị trí ban đầu của vật trên đường tròn hợp với

chiều

dương trục ox một góc 

- Tốc độ quay của vật trên đường tròn bằng 

- Bên cạnh cách biểu diễn trên, ta cần chú ý thêm:

+ Thời gian để chất điểm quay hết một vòng (3600) là một chu kỳ T

+ Chiều quay của vật ngược chiều kim đồng hồ

+ Góc mà bán kính nối vật chuyển động quét được trong quá trình vật chuyển

động tròn đều:  = .t

 thời gian để vật dao động điều hòa đi được góc  là:

t =  / = .T/2

1.2 Đối với dao động điều hòa ta có các nhận xét sau:

- Chiều dài quỹ đạo: 2A

- Một chu kì vật đi được quãng đường: 4A

- Một nửa chu kì (T/2) thì vật đi được quãng đường: 2A

- Trong T/4 vật đi được từ VTCB ra các vị trí biên hoặc ngược lại từ các vị trí

biên về VTCB O thì quãng đường: A

- Một chu kỳ T vật qua vị trí bất kỳ 2 lần (riêng với điển biên thì 1 lần)

- Một chu kỳ vật đạt vận tốc v hai lần ở 2 vị trí đối xứng nhau qua vị trí cân

bằng và đạt tốc độ v 4 lần mỗi vị trí 2 lần đi theo chiều dương, 2 lần đi theo

- Chú ý: Nếu t = 0 tính từ vị trí khảo sát thì cả quá trình được cộng thêm mộtlần vật đi qua li độ, vận tốc… đó.

- Một chu kỳ có 4 lần vật qua vị trí Wt = n Wđ Có 4 lần năng lượng điệntrường bằng n lần năng lượng từ trường ( dao động điện từ)

- Khoảng thời gian giữa 2 lần liên tiếp Wt = Wđ (Năng lượng điện trườngbằng năng lượng từ trường): t T/4 (s)

- Đối với dòng điện xoay chiều: E 0 E 2; U 0 U 2; I 0 I 2

Phần2 THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI

2.1 Đối với học sinh các trường miền núi nói chung và trường THPT Bá

Thước nói riêng thì đa số học sinh học môn toán chưa tốt nên việc vận dụngkiến thức toán học ( phần lượng giác) vào giải các bài tập vật lí trong chuyênđề

“ Giải các bài toán dao động” các em thường :

- Hoặc mắc phải sai sót do thực hiện nhiều bước biến đổi toán học

- Hoặc tốn nhiều thời gian do thực hiện nhiều phép tính

2.2 Thời lượng dành cho các tiết bài tập ít đặc biệt là dành cho dạng toán này

càng ít hơn trong khi đó đạng bài tập này thường xuyên xuất hiện trong các đềthi quốc gia

Phần 3 CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN

3.1 VIẾT PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG ĐIỀU HOÀ

3.1.1 Phương pháp:

Bước 1: Xác định các đại lượng , A ( đủ dự kiện)

Bước 2: Xác định vị trí ban đầu của vật trên chục trục ox ( trục),

biểu diễn vectơ vận tốc của vật

Bước 3: Xác định pha ban đầu  dựa vào hệ thức lượng trong tam giácvuông

Bước 4: Viết phương trình dao động.

3.1.2 Các ví dụ

Ví dụ 1 Một vật dao động điều hoà dọc theo trục ox quanh vị trí cân bằng 0.

Có chu kì T =  /5 (s) Đưa vật ra khỏi vị trí cân bằng một đoạn x = + 3

cm rồi chuyền cho vật vận tốc v = + 10 cm/s Chọn gốc thời gian là lúc vật bắtđầu chuyển động, gốc tọa độ của trục tọa độ là vị trí cân bằng Viết phươngtrình dao động của vật

-A

M2

M1

- Ban đầu t = 0 ta có cos = / 2 → =   / 3 rad.

Có hai vị trí trên đường tròn là M1 và M2 mà ở đó đều có vị trí x =

cm Vì vật dao động đi theo chiều dương, nên ta chọn vị trí M1 tức = -  /6

- Vậy phương trình dao động của vật là: x = 2cos(10t - π/6) (cm)

* Chú ý: Nếu cho v = -10 cm/s thì ta chọn vị trí ban đầu là M2 tức là    / 6

- Phương trình dao động của vật là: x = 2cos(10t + π/6) (cm)

Ví dụ 2 Một vật dao động điều hòa với tần số 60Hz, A=5cm Chọn gốc thời

gian lúc vật có li độ x=+2,5cm và đang giảm Phương trình dao động của vậttrong trường hợp này là:

Bài 1 Khi treo quả cầu m vào 1 lò xo thì nó giãn ra 25 cm Từ vị trí cân bằng

kéo quả cầu xuống theo phương thẳng đứng 20 cm rồi buông nhẹ Chọn t0 = 0

là lúc vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương hướng xuống, lấy g = 10 m/

s2 Phương trình dao động của vật có dạng:

A x = 20cos(2t -/2 ) cm B x = 45cos2 t cm

C x= 20cos(2 t) cm D X = 20cos(100 t) cm

Bài 2 Một con lắc lò xo gồm lò xo có khối lượng không đáng kể, có độ cứng

k = 100N/m khối lượng của vật m = 1 kg Kéo vật khỏi vị trí cân bằng x =+3cm , và truyền cho vật vận tốc v = 30cm/s, ngược chiều dương, chọn t = 0

là lúc vật bắt đầu chuyển động Phương trình dao động của vật là:

A x = 3 2cos(10t +3) cm B x = 3 2cos(10t -4) cm

x y

-A

M2

M1

C x = 3 2cos(10t +34 ) cm D x = 3 2cos(10t +4 ) cm

Bài 3 Một con lắc lò xo gồm quả nặng khối lượng 1kg và một lò xo có độ

cứng 1600N/m Khi quả nặng ở vị trí cân bằng, người ta truyền cho nó vậntốc ban đầu bằng 2 m/s theo chiều dương của trục tọa độ Phương trình daođộng của quả nặng là:

cos

Bài 4 Một con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm vật m = 100g, lò xo có độ cứng

k = 100N/m Kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng x = + 2cm và truyền vận tốc v =+ 62, 8cm/s theo phương lò xo Chọn t = 0 lúc vật bắt đầu chuyển động thìphương trình dao động của con lắc là (cho 2 = 10; g = 10m/s2)

A x = 4cos (10t + ) cm B x = 4cos(10t + ) cm

C x = 4cos (10t + ) cm D x = 4cos (10t - ) cm

Bài 5 Một vật dao động điều hoà, khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp vật

qua vị trí cân bằng là 0,5s; quãng đường vật đi được trong 2s là 32cm Gốcthời gian được chọn lúc vật qua li độ x 2 3cm theo chiều dương Phươngtrình dao động của vật là:

*Chú ý: Thời gian ngắn nhất để vật đi

- Từ x = 0 đến x = A/2 (hoặc ngược lại) là T/12

- Từ x = 0 đến x = - A/2 (hoặc ngược lại) là T/12

- Từ x = A/2 đến x = A (hoặc ngược lại) là T/6

- Từ x = - A/2 đến x = - A (hoặc ngược lại) là T/6

3.2.2 Các ví dụ

Ví dụ 1 Vật dao động điều hòa với phương trình x = Acos(t + ) (cm).

Tính:

a Thời gian ngắn nhất vật đi từ - A/2 đến A/2

b Tính tốc độ trung bình của vật trong khoảng thời gian đó

Bài giải

a Khi vật đi từ vị trí -A/2 đến A/2, tương

ứng với vật chuyển động trên đường tròn từ M1

đến M2 được một góc  như hình vẽ bên

A t

S

/

6 6 / 



Ví dụ 2 (ĐH – 2010) Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T Trong

khoảng thời gian ngắn nhất khi đi từ

- Ban đầu vật ở vị trí biên dương

A  M1 Vị trí sau M2 Góc quét được là rad

3

2 6 2

-Thời gian vật đi là: T s

s

2 9 3 2

Bài 3 Một vật dao động điều hoà với tần số 5Hz Thời gian ngắn nhất để vật

đi từ vị trí -0,5a (a là biên độ dao động ) đến vị trí có li độ +0,5a là :

Bài 4 Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox với chu kỳ T Vị trí cân

bằng của chất điểm trùng với gốc tọa độ, khoảng thời gian ngắn nhất để nó đi

từ vị trí có li độ x = A đến vị trí có li độ x= A/2 là

Bài 5 Một vật dao động điều hòa với tần số bằng 5Hz Thời gian ngắn nhất

để vật đi từ vị trí có li độ x1 = - A (A là biên độ dao động) đến vị trí có li độ x2

= + 0,5A là

A 1/10 s B 1 s C 1/20 s D 1/15s

Bài 6 Một con lắc lò xo gồm vật có m = 500 g, lò xo có độ cứng k = 50 N/m

dao động thẳng đứng với biên độ 12 cm Lấy g = 10 m/s2 Khoảng thời gian lò

xo bị giãn trong một chu kì là:

- Nếu t = n.T thì quãng đường vật đi: S = n.4A.

- Nếu t0 = T/4 và ban đầu vật xuất phát từ VTCB hoặc vị trí biên thì

S = n.4A + 2A + A ( Nếu không có số hạng T/2 thì S = n.4A + A)

- Nếu t0 0 ta chuyển sang bước 2

Bước 2:

- Thay t1 vào phương trình li độ x, xác định x1 và dấu của vận tốc v1

- Thay t2 vào phương trình li độ x, xác định x2 và dấu của vận tốc v2

- Biểu diễn x1, x2, v1,v2 trên đường tròn và trên trục ox

- Tính quãng đường vật đi trong khoảng thời gian t0

t t



 với S là quãngđường tính như trên

Chú ý: Nếu  = n.π => s = n.2A

3.3.2 Ví dụ

Ví dụ 1 Một vật dao động điều hòa theo phương trình x = 4,5cos(10πt - π/3)

(cm) Tính quãng đường mà vật đi được sau 1,25s kể từ thời điểm ban đầu

+ Tại thời điểm t1 = 0 thì x1 = 2,25 cm và v1 > 0

+ Tại thời điểm t2 = 1,25s thì x2 = 2,25 3  3,9 cm và v2 < 0

+ Sau 6 chu kì T vật trở về trạng thái ban đầu M0  Trong thời gian còn lạiT/4 vật đi từ M0 đến B  Quãng đường S2 = 2,25 + ( 4,5 - 3,9) = 2,85 cm

- Tổng quãng đường vật đi được là: S = 108 + 2,85 = 110,85 cm Chọn C.

Ví dụ 2 Một vật dao động điều hoà dọc theo trục Ox với phương trình:

-4,5

B

Q 2,25

M0

x

x = 3cos( 4 t - 3 ) ( cm ) Quãng đường vật đi được từ thời điểm t1 = 13/6sđến thời điểm t2 = 17/6s là

6 / 4

+ Sau 1 chu kì T vật trở về trạng thái

ban đầu M0  Trong thời gian còn lại

T/3 vật đi từ M0 đến B  Quãng đường S2 = 4,5 cm

- Tổng quãng đường vật đi được là: S = 12 + 4,5 = 16,5 cm Chọn đáp án C 3.3.3 Bài tập áp dụng

Bài 2 Một vật dao động điều hoà dọc theo trục Ox với phương trình: x =

5cos(2πt - π/3 )cm Quãng đường vật đi được từ thời điểm t1 = 1s đến thờiđiểm t2 = 7/6s là :

A s = 2,5cm B s = 5cm C s = 3,5cm D s = 5cm

Bài 3 Một vật dao động điều hoà với phương trình x = 4cos(4t + /3) Tính

quãng đường lớn nhất mà vật đi được trong khoảng thời gian t = 1/6 (s)

A 3 cm B 3 3 cm C 2 3 cm D 4 3 cm

Bài 4 Vật dao động điều hoà với phương trình x= 5cos(2t)cm Tính quãng

đường vật đi được từ thời điểm ban đầu đến thời điểm t = 7/6 s:

3.4.1 Phương pháp

Bước 1: Xác vị trí ban đầu, vị trí sau và chiều vận tốc của vật trên đường tròn

và trên trục ox

Bước 2: Xác định chu kì T Tính số lần dao động N = T t = n + t0

Chú ý: Sau 1 chu kì vật lặp lại trạng thái ban đầu và vật đi qua vị trí cấn xác

định 2 lần  sau (nT) vật qua vị trí cần xác định (2n) lần

Bước 3: Tính số lần vật qua vị trí cần xác định trong thời gian t0 dựa trênđường tròn  tổng số lần vật qua vị trí cần xác định

3.4.2 Các ví dụ

Ví dụ 1 Một con lắc dao động với phương trình x = 4cos(4t- /3) cm Xác

định số lần vật qua li độ x = 3 cm trong 1,2s đầu

- Sau 2T vật đi qua vị trí có x = 3cm 4

lần và vật trở về trạng thái ban đầu M0

- Trong thời gian 0,4T vật đi từ M0 đến M1 đi qua vị trí x = 3 cm 1 lần nữa

- Vậy tổng số lần vật đi qua vị trí x = 3 cm trong thời gian 1,2s đầu là: 5 lần

Ví dụ 1 Phương trình li độ của một vật là : x = 2cos(4t + 6 )cm kể từ khibắt đầu dao động đến khi t=1,8s thì vật đi qua li độ x =-1cm mấy lần ?

A 6 lần B 8 lần C 7 lần D 5 lần

Bài giải

- Ban đầu t = 0 vật có x = 2 cos(  / 6 ) = 3cm; v < 0 Vật ở vị trí M0

- Cần tìm số lần vật đi qua vị trí x = -1 cm ứng với 2 vị trí M1 và M2 trênđường tròn

- Ta có: N = 3 0 , 3

5 , 0

8 , 1

4

2 2

- Trong khoảng thời gian 0,3s vật

thực hiện được 0,6 dao động vật đi

từ M0 đến vị trí M1 độ lớn cung

M1

3

P -4

M0M1:     t = 4 0 , 3  1 , 2  = 2160 > 2100  vật đi ra biên vòng về đếnM1  Vật qua vị trí x = -1 cm thêm 2 lần nữa.

- Vậy tổng số lần vật đi qua vị trí x = -1 cm trong thời gian 1,8 s là: 8 lần

3.4.3 Bài tập áp dụng

Bài 1 Một vật dao động theo phương trình x = 2cos(5t + /6) + 1 (cm).

Trong giây đầu tiên kể từ lúc vật bắt đầu dao động vật đi qua vị trí có li độ x =2cm theo chiều dương được mấy lần?

Bài 2 Một vật dao động điều hòa trên trục Ox, xung quanh vị trí cân bằng là

gốc tọa độ Gia tốc của vật phụ thuộc vào li độ x theo phương trình: a = -400

2x số dao động toàn phần vật thực hiện được trong mỗi giây là

A 20 B 10 C 40 D 5

Bài 3 Một vật dao động với phương trình x = 4cos3t cm Xác định số lần

vật có tốc độ 6 cm/s trong khoảng (1;2,5) s

Bài 4 Một con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm vật nặng 200g và lò xo có độ

cứng K = 50N/m xác định số lần động năng bằng thế năng trong 1,5s đầu biết

t = 0 khi vật đi qua vị trí cân bằng

Bài 5 Con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm lò xo có độ cứng K = 100N/m Vật

có khối lượng 0,5 kg dao động với biên độ 52cm.t = 0 khi vật ở vị trí thấpnhất Tính số lần lực tác dụng lên điểm treo cực tiểu trong khoản thờigian(0,5;1,25) s

Bài 6 Phương trình li độ của một vật là : x = 4sin(5t -

2

)cm kể từ khi bắtđầu dao động đến khi t=1,5s thì vật đi qua li độ x =2 cm lần nào sau ?

A 6 lần B 8 lần C 7 lần D.5 lần

Bài 7 Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình

x = 2 cos(5t 3 )cm Trong một giây đầu tiên kể từ lúc t = 0 Chất điểm qua