Chuyên Đề: SỬ DỤNG NGUYÊN LÍ DIRICHLET TIẾP CẬN CÁCH GIẢI MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC.

Trong quá trình đọc tài liệu về chứng minh bất đẳng thức, tôi tâm đắc vớicách sử dụng nguyên lí Dirichlet và các bất đẳng thức đơn giản để giải quyếtcác bài toán bất đẳng thức khó vừa đơn giản, gọn nhẹ, dễ hiểu, thậm chí là họcsinh giỏi mới bước vào lớp 10 cũng có thể hiểu được.Với sự tìm tòi, học hỏi, tôi viết chuyên đề nhỏ này để góp phần bồi dưỡnghọc sinh giỏi, tôi mong đây là chuyên đề có giá trị tham khảo cho đồng nghiệpvà học sinh. Tôi xin chân thành cảm ơn sự đóng góp quý báu chân thành củaquý thầy cô trong tổ Toán – Tin đã giúp tôi hoàn thành chuyên đề.

SỦ DỤNG NGUYÊN LÍ DIRICHLET TIẾP CẬN CÁCH GIẢI MỘT SỐ BĐT Chuyên Đề: SỬ DỤNG NGUYÊN LÍ DIRICHLET TIẾP CẬN CÁCH GIẢI MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC I LỜI MỞ ĐẦU: Trong trình đọc tài liệu chứng minh bất đẳng thức, tâm đắc với cách sử dụng nguyên lí Dirichlet bất đẳng thức đơn giản để giải toán bất đẳng thức khó vừa đơn giản, gọn nhẹ, dễ hiểu, chí học sinh giỏi bước vào lớp 10 hiểu Với tìm tòi, học hỏi, tơi viết chun đề nhỏ để góp phần bồi dưỡng học sinh giỏi, mong chuyên đề có giá trị tham khảo cho đồng nghiệp học sinh Tơi xin chân thành cảm ơn đóng góp quý báu chân thành quý thầy cô tổ Tốn – Tin giúp tơi hồn thành chun đề Nguyễn Bách Khoa Vinh – THPT Trần Hưng Đạo -1- SỦ DỤNG NGUYÊN LÍ DIRICHLET TIẾP CẬN CÁCH GIẢI MỘT SỐ BĐT II NỘI DUNG: Cơ sở lí thuyết 1.1 Nguyên lí Dirichlet Nguyên lí Dirichlet phát biểu sau: “Nếu nhốt vào n chuồng số thỏ mà số lượng lớn n ta tìm chuồng mà có nhiều thỏ.” Từ ngun lí Dirichlet, ta có mệnh đề 1.2 Mệnh đề Mệnh đề: Trong ba số thực x, y, z ln tìm hai số có tích khơng âm 1.3 Nhận xét Chúng ta sử dụng mệnh đề việc chứng minh số bất đẳng thức, ta chọn “điểm rơi” (tức bất đẳng thức trở thành đẳng thức), chẳng hạn đẳng thức xảy a  b  c  m ta giả sử hai số (a  m),(b  m) có tích (a  m)(b  m)  0; từ kết để suy bất đẳng thức cần chứng minh 1.4 Bất đẳng thức AM – GM a1  a2   an n  a1a2 an n Đẳng thức xảy  a1  a2   an  Ví dụ 2.1 Ví dụ Cho số thực dương a, b, c Chứng minh a2  b2  c2  2abc   2(ab  bc  ca) Giải: Dự đoán điểm rơi a  b  c  Theo mệnh đề hai ba số a  1, b  1, c  có tích khơng âm Khơng tính tổng qt, giả sử (a  1)(b  1)  ta có 2c(a 1)(b 1)   2abc  2bc  2ca  2c Vậy cần chứng minh a2  b2  c2   2(ab  c) Mà a2  b2  c2   2(ab  c)  (a  b)2  (c 1)2  Bất đẳng thức sau ln Ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a  b  c  2.1.1 Nhận xét Hoàn toàn tương tự ta chứng minh bất đẳng thức sau với số thực a, b, c a2  b2  c2  a 2b2c2   2(ab  bc  ca) Thật vậy, theo mệnh đề hai ba số a2  1, b2  1, c  có tích khơng âm Giả sử (a2  1)(b2  1)  ta có c2 (a2  1)(b2  1)   a2b2c2  c2  b2c2  a 2c2 Vậy cần chứng minh a2  b2   b2c2  c2 a2  2(ab  bc  ca)  (a  b)2  (bc  1)2  (ca  1)2  Nguyễn Bách Khoa Vinh – THPT Trần Hưng Đạo -2- SỦ DỤNG NGUYÊN LÍ DIRICHLET TIẾP CẬN CÁCH GIẢI MỘT SỐ BĐT Bất đẳng thức hiển nhiên Đẳng thức xảy a  b  c  1 2.2 Ví dụ Cho số thực dương a, b, c Chứng minh a2  b2  c2  2abc   (a  1)(b  1)(c  1) Giải: Sau nhân hai vế với biến đổi bất đẳng thức tương đương với 2(a2  b2  c2 )  2abc   2(ab  bc  ca)  2(a  b  c) Theo ví dụ 1, ta cần chứng minh a  b2  c   2(a  b  c)  (a  1)2  (b  1)2  (c  1)  Bất đẳng thức Đẳng thức xảy a  b  c  2.3 Ví dụ Cho số thực dương a, b, c Chứng minh (a2  2)(b2  2)(c2  2)  3(a  b  c)2  (abc  1)2 Giải: Bất đẳng thức tương đương với 2(a2b2  b2c2  c2 a )  4(a  b2  c )  2abc   9(ab  bc  ca) Theo bất đẳng thức AM-GM 2(a2b2  1)  2(b2c2  1)  2(c2a2  1)  4(ab  bc  ca) 3(a2  b2  c2 )  3(ab  bc  ca) Kết hợp với kết ví dụ a2  b2  c2  2abc   2(ab  bc  ca) Ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a  b  c  2.4 Ví dụ Cho số thực a, b, c Chứng minh (a2  2)(b2  2)(c2  2)  3(a  b  c)2 Giải: Bất đẳng thức tương đương với 2(a2b2  b2c2  c2 a )  a  b2  c2  a 2b2c   6(ab  bc  ca) Từ nhận xét ví dụ a2  b2  c2  a2b2c2   2(ab  bc  ca), ta cần chứng minh 2(a2b2  b2c2  c2 a2 )   4(ab  bc  ca)  (ab 1)2  (bc 1)2  (ac  1)2  Bất đẳng thức hiển nhiên Đẳng thức xảy a  b  c  1 2.4.1 Nhận xét Từ kết ví dụ cho ta toán sau đề thi Olimpic Châu Á Thái Bình Dương 2004: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh (a2  2)(b2  2)(c2  2)  9(ab  bc  ca) 2.5 Ví dụ Cho số thực dương a, b, c cho abc  Chứng minh a2  b2  c2  a  b  c  2(ab  bc  ca) (Moskva 2000) Giải: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có Nguyễn Bách Khoa Vinh – THPT Trần Hưng Đạo -3- SỦ DỤNG NGUYÊN LÍ DIRICHLET TIẾP CẬN CÁCH GIẢI MỘT SỐ BĐT a  b  c  abc   a  b2  c  a  b  c  a  b  c   a  b  c  2abc  (1) Theo mệnh đề hai ba số a 1, b 1, c 1 có tích khơng âm Khơng tính tổng quát, giả sử (a 1)(b 1)  ta có 2c(a 1)(b 1)   2abc  2bc  2ca  2c (2) Mặt khác a  b2  c   2ab  2c  (a  b)  (c  1)   a  b2  c   2ab  2c (3) Từ (1), (2), (3) suy a  b2  c  a  b  c  a  b2  c   2abc  2bc  2ca  2c  2ab  2c  2(ab  bc  ca) Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a  b  c  2.6 Ví dụ Cho số thực a, b, c thỏa mãn a2  b2  c2  abc  Chứng minh ab  bc  ca  abc  (Đề thi chọn ĐTHSG Hoa Kì 2001) Giải: Theo mệnh đề hai ba số a 1, b 1, c 1 có tích khơng âm Khơng tính tổng qt, giả sử (a 1)(b 1)  ta có c(a 1)(b 1)   abc  bc  ca  c Nên ab  bc  ca  abc  ab  c (1) Mà  a2  b2  c2  abc  2ab  c2  abc   c2  ab(c  2)   c  ab  ab  c  (2) Từ (1) (2) ta suy điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a  b  c  2.6.1 Nhận xét Tương tự ta giải toán sau: Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a2  b2  c2  abc  Chứng minh a  b  c  (HSG Iran 2002) Giải: Theo mệnh đề hai ba số a 1, b 1, c 1 có tích khơng âm Khơng tính tổng qt, giả sử (a 1)(b 1)   a  b   ab (1) Mặt khác, theo ví dụ 6, ta có c   ab (2) Từ (1) (2) ta có a  b  c 1   ab  ab  a  b  c  Đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a  b  c  2.7 Ví dụ Cho số thực dương a, b, c cho a  b  c  Chứng minh (a2  a  1)(b2  b  1)(c  c  1)  Giải: Theo mệnh đề hai ba số a 1, b 1, c 1 có tích khơng âm Khơng tính tổng qt, giả sử (b 1)(c 1)  Khi Nguyễn Bách Khoa Vinh – THPT Trần Hưng Đạo -4- SỦ DỤNG NGUYÊN LÍ DIRICHLET TIẾP CẬN CÁCH GIẢI MỘT SỐ BĐT (b  b  1)(c  c  1)  bc(b  1)(c  1)  b  c  b  c   b2  c  b  c   Do (b  c)  (b  c)   1  (a  a  1)(b  b  1)(c  c  1)  (a  a  1)  (b  c)  (b  c)  1 2   (a  a  1)(a  4a  5) Nên cần chứng minh (a2  a  1)(a2  4a  5)  Xét hàm số f (a)  (a2  a  1)(a2  4a  5),0  a  f '(a)  (2a 1)(a  4a  5)  (a  a  1)(2a  4)  4a3 15a  20a   (a  1)(4a 11a  9) f '(a)   a  f (1)  Hàm số f (a) nghịch biến (0;1) đồng biến (1;3) nên Minf (a)  f (1)  (0;3) Từ ta có (a  a  1)(a  4a  5)  2, điều phải chứng minh 2.7.1 Nhận xét Bất đẳng thức mở rộng cho nhiều biến 2 x1  x2   xn  r  Chứng minh n n  13 ( x12  x1  1)( x22  x2  1) ( xn2  xn  1)  (r n  r  1)2 - Cho x1 , x2 , , xn số thực dương thỏa mãn - Cho số thực dương a, b, c cho a  b  c  Chứng minh (a p  a  1)(b p  b  1)(c p  c  1)  1, p  2.8 Ví dụ Cho số thực dương a, b, c cho abc  Chứng minh 1     (1) 1 a 1 b 1 c 1 a  b  c 1 1     (2) 2 (1  a) (1  b) (1  c)  a  b  c Giải:  ab  bc  ca  2(a  b  c)  a  b  c   ab  bc  ca  a  b  c 1 a  b  c 2  a  b  c  (1)  Theo bất đẳng thức AM-GM abc  a2  b2  c2  3 a2b2c2  Bất đẳng thức (1) chứng minh Theo mệnh đề hai ba số a 1, b 1, c 1 có tích khơng âm Khơng tính tổng qt, giả sử (a  1)(b  1)   c 1  ab   a  b c Ta có Nguyễn Bách Khoa Vinh – THPT Trần Hưng Đạo -5- SỦ DỤNG NGUYÊN LÍ DIRICHLET TIẾP CẬN CÁCH GIẢI MỘT SỐ BĐT  1       0 2 (1  a) (1  b)  ab  a  b  1 a 1 b  c     ab  ab  1  ab c  1 1 c 1 Do        2 2 (1  a) (1  b) (1  c)  a  b  c c  (1  c)  c   c c Bất đẳng thức (2) chứng minh 2.9 Ví dụ Cho số thực dương a, b, c cho abc  Chứng minh a3 b3 c3    (UK TST 2005) 2 (a  1) (b  1) (c  1) Giải: Bất đẳng thức cho tương đương với 1 2       2  a  b  c (a  1) (b  1) (c  1) Theo (1) (2) ví dụ ta có 1 2      2  a  b  c (a  1) (b  1) (c  1) 2 2         2 (a  1) (b  1) (c  1) a  b  c  Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a  b  c  2.10 Ví dụ 10 Cho số thực khơng âm a, b, c Chứng minh abc     (a  1)  (b  1)  (c  1)  a  b  c Giải: Theo mệnh đề hai ba số a 1, b 1, c 1 có tích khơng âm Khơng tính tổng qt, giả sử (a 1)(b 1)   ab  a  b 1 Nên ta cần chứng minh c(a  b  1)     (a  1)  (b  1)  (c  1)  a  b  c hay   (a  1)2  (b  1)  (c  1)  (a  b  2)(1  c) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có (a  b  2)  (c  1) 2  (a  b  2)(1  c)  2(a  b  2)(1  c) (a  1)2  (b  1)  (c  1)  Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a  b  c  2.11 Ví dụ 11 Cho số thực dương a, b, c cho abc  Chứng minh Nguyễn Bách Khoa Vinh – THPT Trần Hưng Đạo -6- SỦ DỤNG NGUYÊN LÍ DIRICHLET TIẾP CẬN CÁCH GIẢI MỘT SỐ BĐT 1     2(a  b  c) (biến thể đề thi HSGQG 2006) a b2 c Giải: 1  x;  y;  z a b c Ta có xyz   Quy chứng minh abc x  y  z   2( xy  yz  zx) Đặt  x  y  z  xyz   2( xy  yz  zx) Theo mệnh đề hai ba số x 1, y  1, z  có tích khơng âm Khơng tính tổng quát, giả sử ( x  1)( y  1)   z ( x  1)( y  1)   xyz  xz  yz  z Vậy cần chứng minh: x  y  z   2( yz  z )  ( x  y )2  ( z  1)  Bất đẳng thức cuối Đẳng thức xảy x  y  z  Bài tập tham khảo 3.1 Bài Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn ab  bc  ca  abc  Chứng minh a  b  c  ab  bc  ca (HSGQG 1996) 3.2 Bài Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn 4abc  a  b  c  Chứng minh a  b  c  ab  bc  ca 3.3 Bài x1  x2   xn  r  Chứng n minh n  13 ( x12  x1  1)( x22  x2  1) ( xn2  xn  1)  (r n  r  1)2 Cho x1 , x2 , , xn số thực dương thỏa mãn 3.4 Bài Cho số thực dương a, b, c cho a  b  c  Chứng minh (a p  a  1)(b p  b  1)(c p  c  1)  1, p  Nguyễn Bách Khoa Vinh – THPT Trần Hưng Đạo -7- SỦ DỤNG NGUYÊN LÍ DIRICHLET TIẾP CẬN CÁCH GIẢI MỘT SỐ BĐT TÀI LIỆU THAM KHẢO Huỳnh Tấn Châu, Nguyễn Đình Thi, Sử dụng ngun lí Dirichlet chứng minh bất đẳng thức, tạp chí Tốn học Tuổi trẻ số 413 Trần Phương (2012), Những viên kim cương bất đẳng thức Nguyễn Bách Khoa Vinh – THPT Trần Hưng Đạo -8- ...SỦ DỤNG NGUYÊN LÍ DIRICHLET TIẾP CẬN CÁCH GIẢI MỘT SỐ BĐT II NỘI DUNG: Cơ sở lí thuyết 1.1 Nguyên lí Dirichlet Nguyên lí Dirichlet phát biểu sau: “Nếu nhốt vào n chuồng số thỏ mà số lượng... DỤNG NGUYÊN LÍ DIRICHLET TIẾP CẬN CÁCH GIẢI MỘT SỐ BĐT TÀI LIỆU THAM KHẢO Huỳnh Tấn Châu, Nguyễn Đình Thi, Sử dụng ngun lí Dirichlet chứng minh bất đẳng thức, tạp chí Tốn học Tuổi trẻ số 413 Trần... Khoa Vinh – THPT Trần Hưng Đạo -2- SỦ DỤNG NGUYÊN LÍ DIRICHLET TIẾP CẬN CÁCH GIẢI MỘT SỐ BĐT Bất đẳng thức hiển nhiên Đẳng thức xảy a  b  c  1 2.2 Ví dụ Cho số thực dương a, b, c Chứng minh a2