Phương pháp tọa độ giúp xem xét các quan hệ hình phẳng được rõ rang và nhanh hơn. Tuy nhiên, trong một số bài toán thì việc sử dụng thuần túy phương pháp tọa độ sẽ dẫn đến việc giải các hệ phương trình rất khó, và học sinh thường không thể giải được. Trong đề thi tuyển sinh một số năm gần đây, bài toán hình tọa độ phẳng thường được ra theo hướng này, làm cho một số học sinh học bị mất phương hướng để giải quyết bài toán. Trong chuyên đề này, tôi muốn giúp học sinh một hướng tiếp cận bài toán này, đó là tiếp cận bài toán theo góc độ hình phẳng thuần túy. Muốn làm được tốt điều này các học sinh phải khai thác tốt những giả thiết hình phẳng đã cho trong đề, và phải biết chuyển quan hệ tọa độ về quan hệ hình phẳng. Việc giải quyết tốt vấn đề này sẽ giúp chúng ta đưa bài toán về những bài toán tọa độ nhỏ có thể giải quyết dễ dàng.
LỜI MỞ ĐẦU Trong đề thi tuyển sinh Đại học - Cao đẳng năm gần có toán tọa độ phẳng Tuy nhiên, học sinh thường gặp khó khăn việc giải tốn Qua tìm hiểu đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng số năm gần muốn đề cập đến hướng phân tích để tiếp cận cách giải toán tọa độ phẳng Chuyên đề gồm phần: Phần 1: Hệ thống kiến thức Phần 2: Phương pháp giải Chuyên đề dùng giảng dạy ôn thi Tốt nghiệp THPT ,ĐH, CĐ cho học sinh khối 12 Thời gian giảng dạy chuyên đề cho học sinh khối 12 ôn thi ĐH, CĐ tiết học chuyên đề tiết học nhà Mặc dù cố gắng, thời gian khả có hạn nên viết khó tránh khỏi thiếu sót Tối mong nhận góp ý q thầy cơ, bạn bè đồng nghiệp em học sinh để chuyên đề hoàn thiện trở thành tài liệu có ích giảng dạy học tập Phần I: CÁC KIẾN THỨC HÌNH PHẲNG LIÊN QUAN Một số kiến thức hình học phẳng 1) TAM GIÁC Khái niệm Tổng ba góc tam giác (HH7) Áp dụng vào tam giác vuông (HH7) Góc ngồi tam giác (HH7) Tính chất góc ngồi tam giác (HH7) Nội dung Tổng ba góc tam giác 1800 Trong tam giác vng, hai góc nhọn phụ Định nghĩa: Góc ngồi tam giác góc kề bù với góc tam giác Định lý: Mỗi góc ngồi tam giác tổng hai góc khơng kề với Hai tam giác (HH7) Ba trường hợp hai tam giác (HH7) Định nghĩa: Hai tam giác hai tam giác có cạnh tương ứng nhau, góc tương ứng 1/ Trường hợp thứ tam giác cạnh – cạnh – cạnh (cc-c) Nếu ba cạnh tam giác ba cạnh tam giác hai tam giác 2/ Trường hợp thứ hai tam giác cạnh – góc – cạnh (c-gc) Nếu hai cạnh góc xen tam giác hai cạnh góc xen tam giác hai tam giác 3/ Trường hợp thứ ba tam giác góc – cạnh – góc (g-c-g) Nếu cạnh hai góc kề tam giác cạnh hai góc kề tam giác hai tam giác Đoạn thẳng tỉ lệ Định nghĩa: Hai đoạn thẳng AB CD gọi tỉ lệ với hai đoạn thẳng A’B’ C’D’ có tỉ lệ thức: AB A ' B ' AB CD CD C ' D ' hay A ' B ' C ' D ' Đường thẳng song Định lý Ta-lét: Nếu đường thẳng song song với cạnh tam giác song với cạnh cắt hai cạnh lại định hai cạnh đoạn thẳng tam giác cắt tương ứng tỉ lệ hai cạnh lại Đường thẳng cắt hai Định lý Ta-lét đảo: Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác cạnh tam định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ đường thẳng giác định song song với cạnh lại tam giác hai cạnh đoạn thẳng tương Hệ Định lý Ta-lét: Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam ứng tỉ lệ (HH8) giác song song với cạnh lại tạo thành tam giác có ba Đường thẳng cắt hai cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh tam giác cho cạnh tam giác song song với cạnh lại (HH8) Tam giác đồng dạng Định nghĩa tam giác đồng dạng: (HH8) Tam giác A’B’C’ gọi đồng dạng với tam giác ABC nếu: Aˆ ' Aˆ ; Bˆ ' Bˆ ; Cˆ ' Cˆ A ' B ' B 'C ' A 'C ' AB BC AC Định lý: Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với Đường thẳng cắt hai cạnh tam giác cạnh lại tạo thành tam giác đồng dạng với tam giác song song với cạnh cho lại (HH8) Các trường hợp 1/ Trường hợp đồng dạng thứ đồng dạng hai Định lý: Nếu ba cạnh tam giác tỉ lệ với ba cạnh tam giác hai tam giác đồng dạng tam giác (HH8) 2/ Trường hợp đồng dạng thứ hai Định lý: Nếu hai cạnh tam giác tỉ lệ với hai cạnh tam giác hai góc tạo cặp cạnh nhau, hai tam giác đồng dạng 3/ Trường hợp đồng dạng thứ ba Định lý: Nếu hai góc tam giác hai góc tam giác hai tam giác đồng dạng với Đường trung tuyến Định nghĩa: Đoạn thẳng AM nối đỉnh A tam giác ABC với trung điểm tam giác (HH7) M cạnh BC gọi đường trung tuyến tam giác ABC Mỗi tam giác có đường trung tuyến Tính chất ba đường Định lý: Ba đường trung tuyến tam giác qua điểm trung tuyến tam giác (HH7) Điểm cách đỉnh khoảng độ dài đường trung tuyến qua đỉnh Điểm gọi trọng tâm tam giác Đường phân giác Định nghĩa: Trong tam giác ABC, tia phân giác góc A cắt cạnh BC tam giác (HH7) điểm M, đoạn thẳng AM gọi đường phân giác Mỗi tam giác có đường phân giác Tính chất ba đường Ba đường phân giác tam giác qua điểm Điểm phân giác tam cách ba cạnh tam giác (HH7) tâm đường tròn nội tiếp giác (HH7) tam giác (HH9) Tính chất đường -Tính chất đường phân giác tam giác phân giác tam Định lý: Trong tam giác, đường phân giác góc chia cạnh đối diện giác (HH8) thành hai đoạn thẳng với hai cạnh kề hai đoạn (HH8) Đường trung trực Định nghĩa: Trong tam giác, đường trung trực cạnh gọi tam giác (HH7) đường trung trực tam giác Mỗi tam giác có đường trung trực Tính chất ba đường trung trực tam giác: Định lý: Ba đường trung trực tam giác qua điểm Điểm cách ba đỉnh tam giác tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác (HH7) Đường cao tam Định nghĩa: Trong tam giác, đoạn vng góc kẻ từ đỉnh đến giác (HH7) đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi đường cao tam giác Tính chất ba đường cao tam giác Định lý: Ba đường cao tam giác qua điểm Điểm gọi trực tâm tam giác (HH7) Tỉ số hai đường cao Định lý: Tỉ số hai đường cao tương ứng hai tam giác đồng dạng tỉ tương ứng hai số đồng dạng tam giác đồng dạng (HH8) A' H ' h ' A' B ' k AH h AB Chú ý: Áp dụng vào việc tính độ lớn đường cao cạnh tam giác Đường thẳng qua Định lý 1: Đường thẳng qua trung điểm cạnh tam giác song trung điểm cạnh song với cạnh thứ hai qua trung điểm cạnh thứ ba tam giác song song với cạnh thứ hai (HH8) Đường trung bình Định nghĩa: Đường trung bình tam giác đoạn thẳng nối trung điểm tam giác (HH8) hai cạnh tam giác Định lý 2: Đường trung bình tam giác song song với cạnh thứ ba nửa cạnh Diện tích tam giác Diện tích tam giác nửa tích cạnh với chiều cao tương ứng với (HH8) cạnh đó: 1 S = BC.AH = ah Tỉ số diện tích Định lý: Tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng bình phương tỉ số hai tam giác đồng đồng dạng dạng (HH8) 2) TAM GIÁC CÂN Khái niệm Nội dung Tam giác cân (HH7) Định nghĩa: Tam giác cân tam giác có hai cạnh Tính chất tam giác Tính chất tam giác cân: cân (HH7) Định lý 1: Trong tam giác cân, hai góc đáy Định lý 2: Nếu tam giác có hai góc tam giác tam giác cân Đường phân giác Tính chất: Trong tam giác cân, đường phân giác xuất phát từ đỉnh đối tam giác cân diện với đáy đồng thời đường trung tuyến ứng với cạnh đáy (HH7) Đường trung tuyến Định lý: Trong tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh tam giác cân bên (HH7) Định lý đảo: Nếu tam giác có hai đường trung tuyến tam giác cân Định lý: Nếu tam giác có đường trung tuyến đồng thời đường trung trực ứng với cạnh tam giác tam giác cân Tính chất: Trong tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời đường phân giác, đường trung tuyến, đường cao xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh Đường trung trực Nhận xét: Trong tam giác, hai bốn loại đường (đường trung tam giác cân tuyến, đường phân giác, đường cao xuất phát từ đỉnh đường (HH7) trung trực ứng với cạnh đối diện đỉnh này) trùng tam giác tam giác cân 3)TAM GIÁC VNG Khái niệm Nội dung Tam giác vng Định nghĩa: Tam giác vng tam giác có góc vng (HH7) Định lý: Trong tam giác vng, hai góc nhọn phụ Định lý Py-ta-go: Trong tam giác vng, bình phương cạnh huyền tổng bình phương hai cạnh góc vng Định lý Py-ta-go đảo: Nếu tam giác có bình phương cạnh tổng bình phương hai cạnh tam giác tam giác vng Các trường hợp Từ trường hợp c-g-c hai tam giác, ta có hệ quả: tam Hệ quả: Nếu hai cạnh góc vng tam giác vng hai giác vng (HH7) cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng Từ trường hợp g-c-g hai tam giác, ta có hệ quả: Hệ 1: Nếu cạnh góc vng góc nhọn kề cạnh tam giác vuông cạnh góc vng góc nhọn kề cạnh tam giác vng hai tam giác vng Hệ 2: Nếu cạnh huyền góc nhọn tam giác vng cạnh huyền góc nhọn tam giác vng hai tam giác vng Trường hợp cạnh huyền cạnh góc vng Nếu cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng Các trường hợp 1/ Áp dụng trường hợp đồng dạng tam giác vào tam giác vuông: đồng dạng tam Hai tam giác vuông đồng dạng với nếu: giác vuông (HH8) a) Tam giác vng có góc nhọn góc nhọn tam giác vuông b) Tam giác vuông có hai cạnh góc vng tỉ lệ với hai cạnh góc vng tam giác vng Dấu hiệu đặc biệt 2/ Dấu hiệu đặc biệt nhận biết hai tam giác vuông đồng dạng nhận biết hai tam Định lý: Nếu cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vuông tỉ giác vuông đồng lệ với cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác dạng (HH8) vng đồng dạng Đường trung tuyến 1/Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa tam giác vuông cạnh huyền (HH8) 2/ Nếu tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh nửa cạnh tam giác tam giác vng Diện tích tam giác Diện tích tam giác vng nửa tích hai cạnh góc vng vng (HH8) Hệ thức lượng Định lý: Trong tam giác vng, bình phương cạnh góc vng tam giác vng tích cạnh huyền hình chiếu cạnh góc vng cạnh huyền (HH9) Hệ thức cạnh góc vng hình chiếu cạnh huyền Đường cao ứng với Định lý: Trong tam giác vng, bình phương đường cao ứng với cạnh cạnh huyền huyền tích hai hình chiếu hai cạnh góc vng cạnh huyền Định lý: Trong tam giác vuông, nghịch đảo bình phương đường cao ứng với cạnh huyền tổng nghịch đảo bình phương hai cạnh góc vng Tích hai cạnh góc Định lý: Trong tam giác vng, tích hai cạnh góc vng tích vuông cạnh huyền đường cao tương ứng Tỉ số lượng giác sin : Tỉ số cạnh đối cạnh huyền gọi sin góc , ký hiệu góc nhọn (HH9) sin côsin : Tỉ số cạnh kề cạnh huyền gọi cơsin góc , ký hiệu cos tang : Tỉ số cạnh đối cạnh kề gọi tang góc , ký hiệu tg (hay tan ) côtang : Tỉ số cạnh kề cạnh đối gọi cơtang góc , ký hiệu cotg (hay cot ) Tỉ số lượng giác hai góc phụ (HH9) Một số hệ thức cạnh góc tam giác vng Định lý: Nếu hai góc phụ sin góc cơsin góc kia, tang góc tang góc Định lý: Trong tam giác vng, cạnh góc vng bằng: a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối nhân với cơsin góc kề b) Cạnh góc vng nhân với tang góc đối nhân với cơtang góc kề 3) TỨ GIÁC Khái niệm Tứ giác (HH8) Nội dung Định nghĩa: Tứ giác ABCD hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, hai đoạn thẳng khơng năm đường thẳng Tứ giác lồi (HH8) Tứ giác lồi tứ giác nằm nửa mặt phảng có bờ đường thẳng chứa cạnh tứ giác Tổng góc tứ Định lý: Tổng góc tứ giác 3600 giác (HH8) 4) HÌNH THANG Khái niệm Hình thang (HH8) Nội dung Định nghĩa: Hình thang tứ giác có hai cạnh đối song song Theo hình bên, hình thang ABCD có: Cạnh đáy: AB CD, AB đáy nhỏ, CD đáy lớn O giao điểm hai đường chéo, EF qua O song song với hai đáy Cạnh bên: AD BC Đường cao: AH Định lý 3: Đường thẳng qua trung điểm cạnh bên song song với hai đáy qua trung điểm cạnh bên thứ hai Định nghĩa đường trung bình hình thang: Đường trung bình hình Đường trung bình thang đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên hình thang hình thang Định lý 4: Đường trung bình hình thang song song với hai đáy (HH8) nửa tổng hai đáy Diện tích hình thang Diện tích hình thang nửa tích tổng hai đáy với chiều cao: S = (HH8) (a b).h HÌNH THANG CÂN Khái niệm Hình thang cân (HH8) Hai cạnh bên hình thang cân (HH8) Hai đường chéo hình thang cân (HH8) Trục đối xứng hình thang cân (HH8) Nội dung Định nghĩa: Hình thang cân hình thang có hai góc kề đáy Tính chất: Định lý: Trong hình thang cân, hai cạnh bên Định lý: Trong hình thang cân, hai đường chéo Định lý: Đường thẳng qua trung điểm hai đáy hình thang cân trục đối xứng hình thang cân Dấu hiệu nhận biết hình thang cân Hình thang có hai góc kề đáy hình thang cân Hình thang có đường chéo hình thang cân HÌNH BÌNH HÀNH Khái niệm Nội dung Hình bình hành Định nghĩa: Hình bình hành tứ giác có cạnh đối song song (HH8) Chú ý: Hình bình hành hình thang có hai cạnh bên song song Tính chất: Định lý: hình bình hành: a) Các cạnh đối b) Các góc đối Tâm đối xứng c) Hai đường chéo cắt trung điểm đường hình bình hành Định lý: Giao điểm hai đường chéo hình bình hành tâm đối xứng (HH8) hình bình hành Diện tích hình bình Diện tích hình bình hành tích cạnh với chiều cao tương ứng hành (HH8) với cạnh HÌNH CHỮ NHẬT Khái niệm Hình chữ nhật (HH8) Nội dung Định nghĩa: Hình chữ nhật tứ giác có bốn góc vng Chú ý: -Hình chữ nhật hình bình hành, hình thang cân -Giao điểm hai đường chéo tâm đối xứng hình chữ nhật -Hai đường thẳng qua trung điểm cạnh đối diện hình chữ nhật trục đối xứng hình chữ nhật Tính chất: -Hình chữ nhật có tất tính chất hình bình hành, hình thang cân -Trong hình chữ nhật, hai đường chéo cắt trung điểm đường Diện tích hình chữ Định lý: Diện tích hình chữ nhật tích hai kích thước nhật (HH8) HÌNH THOI Khái niệm Hình thoi (HH8) Nội dung Định nghĩa: Hình thoi tứ giác có bốn cạnh Chú ý: -Hình thoi hình bình hành -O tâm đối xứng hình thoi ABCD -Hai đường chéo trục đối xứng hình thoi Tính chất: -Hình thoi có tất tình chất hình bình hành -Trong hình thoi: a) Hai đường chéo vng góc với Diện tích hình thoi b) Hai đường chéo đường phân giác góc hình thoi (HH8) Diện tích hình thoi nửa tích hai đường chéo HÌNH VNG Khái niệm Hình vng (HH8) Nội dung Định nghĩa: Hình vng tứ giác có bốn góc vng bốn cạnh Chú ý: -Hình vng hình chữ nhật có bốn cạnh -Hình vng hình thoi có bốn góc vng -O tâm đối xứng hình vng ABCD -Hai đường thẳng m, n qua trung điểm cạnh đối diện, hai đường chéo AC, BD trục đối xứng hình vng Tính chất: -Hình thoi có tất tình chất hình bình hành -Trong hình thoi: a) Hai đường chéo vng góc với b) Hai đường chéo đường phân giác góc hình thoi Diện tích hình vng Diện tích hình vng bình phương cạnh nó: S = a.a = a2 (HH8) ĐƯỜNG TRỊN Khái niệm Đường tròn (HH6-9) Cách xác định đường tròn (HH9) Đường kính dây đường tròn (HH9) Đường kính qua điểm cung (HH9) Nội dung -Đường tròn tâm O bán kính R (với R > 0) hình gồm điểm cách O khoảng R Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ đường tròn Định lý: Trong dây đường tròn, dây lớn đường kính Định lý: Trong đường tròn, đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây Định lý: Trong đường tròn, đường kính qua trung điểm dây khơng qua tâm vng góc với dây -Điểm cung điểm chia cung thành hai cung Liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây (HH9) Ba vị trí tương đối đường thẳng đường tròn (HH9) Đường tròn nội tiếp tam giác (HH9) Đường tròn bàng tiếp tam giác (HH9) Ba vị trí tương đối hai đường tròn Định lý: Trong đường tròn, đường kính qua điểm cung qua trung điểm dây căng cung Định lý: Trong đường tròn, đường kính qua điểm cung vng góc với dây căng cung ngược lại (đường kính vng góc với dây căng cung qua điểm cung ấy) Định lý: Trong đường tròn: a) Hai dây cách tâm b) Hai dây cách tâm Định lý:Trong hai dây đường tròn: a) Dây lớn dây gần tâm b) Dây gần tâm dây lớn Xét đường tròn (O ; R) đường thẳng a Gọi H chân đường vng góc kẻ từ O đến đường thẳng a, OH a ; OH = d gọi khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a a) Đường thẳng đường tròn cắt nhau: Đường thẳng đường tròn có hai điểm chung .Đường thẳng cắt đường tròn gọi cát tuyến đường tròn dR Nếu d > R đường thẳng a đường tròn (O) khơng giao Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh tam giác gọi đường tròn nội tiếp tam giác, tam giác gọi ngoại tiếp đường tròn Đường tròn tiếp xúc với cạnh tam giác tiếp xúc với phần kéo dài hai cạnh gọi đường tròn bàng tiếp tam giác Tính chất đường nối tâm hai đường tròn Đường nối tâm trục đối xứng hình gồm hai đường tròn (HH9) Đường nối tâm Hai đường tròn cắt Hai đường tròn tiếp xúc Góc tâm (HH9) Số đo cung (HH9) So sánh hai cung (HH9) Điểm nằm cung (HH9) Liên hệ cung dây (HH9) -Hai đường tròn có hai điểm chung gọi hai đường tròn cắt Hai điểm chung gọi hai giao điểm Đoạn thẳng nối hai điểm gọi dây chung -Hai đường tròn có điểm chung gọi hai đường tròn tiếp xúc Điểm chung gọi tiếp điểm -Hai đường tròn khơng có điểm chung gọi hai đường tròn khơng giao Định nghĩa: Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn gọi góc tâm 1/ Định nghĩa: -Số đo cung nhỏ số đo góc tâm chắn cung -Số đo cung lớn hiệu 3600 số đo cung nhỏ -Số đo nửa đường tròn 1800 Ta so sánh đường tròn hay hai đường tròn .Hai cung gọi chúng có số đo .Trong hai cung, cung có số đo lớn gọi cung lớn � AC + Sđ CB AB = Sđ � 2/ Nếu C điểm nằm cung AB thì: Sđ � Định lý: Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn nhau: a) Hai cung căng hai dây b) Hai dây căng hai cung Định lý: Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn nhau: a) Cung lớn căng dây lớn b) Dây lớn căng cung lớn Định lý: Trong đường tròn, hai cung bị chắn hai dây song song Hai cung bị chắn hai dây song (HH9) Góc nội tiếp (HH9) Định nghĩa: Góc nội tiếp góc có đỉnh nằm đường tròn hai cạnh chứa hai dây cung đường tròn Cung nằm bên góc gọi cung bị chắn Định lý: Trong đường tròn, số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn Hệ quả: Trong đường tròn: a) Các góc nội tiếp chắn cung b) Các góc nội tiếp chắn cung chắn cung c) Góc nội tiếp (nhỏ 90 0) có số đo nửa số đo góc tâm chắn cung d) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn góc vng (và ngược lại, góc vng nội tiếp chắn nửa đường tròn) Góc tạo tia tiếp -Cho xy tiếp tuyến đường tròn (O) A, tiếp điểm A gốc chung tuyến dây cung hai tia đối Mỗi tia tia tiếp tuyến Góc BAx có đỉnh A nằm (HH9) đường tròn, cạnh Ax tia tiếp tuyến, cạnh chứa dây cung AB Ta gọi góc góc tạo tia tiếp tuyến dây cung Định lý: Số đo góc tạo tia tiếp tuyến dây cung nửa số đo cung bị chắn Hệ quả: Trong đường tròn, góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung Góc có đỉnh bên Định lý: Số đo góc có đỉnh bên đường tròn nửa tổng số đo hai đường tròn cung bị chắn 10 (HH9) Góc có đỉnh bên Định lý: Số đo góc có đỉnh bên ngồi đường tròn nửa hiệu đo hai ngồi đường tròn cung bị chắn (HH9) Cung chứa góc Quỹ tích (tập hợp) điểm nhìn đoạn thẳng cho trước góc khơng đổi hai cung chứa góc dựng đoạn thẳng (00 < < 1800) Tứ giác nội tiếp Định nghĩa: Một tứ giác có bốn đỉnh nằm đường tròn gọi tứ (HH9) giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt tứ giác nội tiếp) Định lý: Trong tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện 180 tứ giác nội tiếp đường tròn Đường tròn ngoại Định nghĩa: tiếp (HH9) 1) Đường tròn qua tất đỉnh đa giác gọi đường tròn ngoại tiếp đa giác đa giác gọi đa giác nội tiếp đường tròn 2) Đường tròn tiếp xúc với tất cạnh đa giác gọi đường tròn nội tiếp đa giác đa giác gọi đa giác ngoại tiếp đường tròn Định lý: Bất kỳ đa giác có đường tròn ngoại tiếp, có đường tròn nội tiếp Trong đa giác đều, tâm đường tròn ngoại tiếp trùng với tâm đường tròn nội tiếp gọi tâm đa giác Một số kiến thức phương pháp tọa độ phẳng A( xA ; y A ) B( xB ; yB ) 1) Tọa độ điểm: Cho hai điểm , uuur AB ( xB x A ; y B y A ) AB ( xB x A )2 ( yB y A )2 2) Phương trình đường thẳng: �x x0 at r � y y0 bt A( x0 ; y0 ) u ( a ; b ) Đường thẳng qua điểm có VTCP có PTTS � r A( x0 ; y0 ) a( x x0 ) b( y y0 ) n Đường thẳng qua điểm có VTPT (a; b) có PTTQ x xA y yA A( xA ; y A ), B( xB ; yB ) Đường thẳng qua hai điểm phân biệt có phương trình xB x A yB y A x y 1 Đường thẳng qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) với a, b �0 có phương trình a b Đường thẳng song song trùng với Oy có phương trình ax c 0, (a �0) Đường thẳng song song trùng với Ox có phương trình by c 0, (b �0) 2 Đường thẳng qua gốc tọa độ O có phương trình ax by 0, (a b �0) Nếu (d) vng góc với d': ax by c (d) có phương trình bx ay m 11 Nếu (d) song song với d': ax by c (d) có phương trình ax by m 0, (m �c) Đường thẳng có hệ số góc k có phương trình y kx b Đường thẳng qua A( x0 ; y0 ) , hệ số góc k có phương trình là: y k ( x x0 ) y0 (d): y kx b vng góc với (d'): y k ' x b ' k k ' 1 (d): y kx b song song với (d'): y k ' x b ' k k ', b �b ' 3) Khoảng cách góc: Khoảng cách từ điểm d ( A, ) A( x0 ; y0 ) đến đường thẳng :ax by c tính cơng thức: ax by0 c a2 b2 M, N phía so với đường thẳng :ax by c � ( ax M byM c)( ax N by N c) � ( ax M byM c )( ax N by N c ) M, N khác phía so với đường thẳng :ax by c Cho hai đường thẳng :ax by c ' :a'x b ' y c ' thì: + Góc hai đường thẳng cos = aa ' bb ' a b a '2 b '2 + ' � a a'+bb ' + Phương trình hai đường phân giác góc tạo ' ax by c a b 2 a'x b' y c' =� a '2 b '2 Phần II: PHƯƠNG PHAP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG ĐỀ THI TUYỂ SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NHỮNG NĂM GẦN ĐÂY Phương pháp tọa độ giúp xem xét quan hệ hình phẳng rõ rang nhanh Tuy nhiên, số tốn việc sử dụng túy phương pháp tọa độ dẫn đến việc giải hệ phương trình khó, học sinh thường khơng thể giải Trong đề thi tuyển sinh số năm gần đây, tốn hình tọa độ phẳng thường theo hướng này, làm cho số học sinh học bị phương hướng để giải tốn Trong chun đề này, tơi muốn giúp học sinh hướng tiếp cận tốn này, tiếp cận tốn theo góc độ hình phẳng túy Muốn làm tốt điều học sinh phải khai thác tốt giả thiết hình phẳng cho đề, phải biết chuyển quan hệ tọa độ quan hệ hình phẳng Việc giải tốt vấn đề giúp đưa toán tốn tọa độ nhỏ giải dễ dàng 12 Một số ví dụ Ví dụ 1(Đề thi THPT Quốc gia năm 2015): Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A Gọi H hình chiếu vng góc A cạnh BC, D điểm đối xứng B qua H, K hình chiếu vng góc C AD.Giả sử H(-5;-5), K(9;-3) trung điểm cạnh AC thuộc đường thẳng x – y + 10 = Tìm tọa độ điểm A C K D H *Phân tích Ta có HK = = C, A, K, K thuộc đường tròn đường kính AC A B Gọi I trung điểm AC, I thuộc x – y + 10 = I cách K, H nên suy tọa độ I Suy độ dài IH, IK Suy độ dài IA D B đối xứng qua H nên Mặt khác Suy tam giác AHK cân H Suy AH = HK Vậy biết độ dài AH, AI Từ tìm tọa độ A *Lời giải Ta có HK = = Gọi I(x; x+10) IH = IK (x - 9)2 + (x + 13)2 = (x+5)2 + (x + 15)2 => I(0;10) IA = IH = D B đối xứng qua H nên (tam giác ABD cân A) Mặt khác, tam giác ABC vuông A, nên AB tiếp tuyến đường tròn Do Suy tam giác AHK cân H Suy AH = HK = Gọi A(x,y) Ta có: Vậy A(-15;5) Ví dụ 2(Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2014): 13 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có điểm M trung điểm đoạn AB N điểm thuộc đoạn AC cho AN = 3NC Viết phương trình đường thẳng CD biết M(1;2) N(2;-1) *Phân tích Ta có M(1;2) N(2;-1) Tính MN = 10 ; A B M AN = 3NC Tính cạnh hình vng a=4 AN = 3NC Tính NP, suy tọa độ P AN = 3NC Tính cos Bài tốn quay trở viết phương trình đường thẳng qua điểm hợp với đường thẳng cho trước góc cho trước N Lời giải: Gọi P giao điểm MN, DC Gọi a cạnh hình vuông ABCD D E P 3a AM = a/2; MN = 10 ; AN = 3AC/4 = MN² = AM² + AN² – 2AM.AN cos MAN Do 10 = a²/4 + 9a²/8 – 3a²/4 → a = MP = , EP = => cos Gọi vecto phương CD => Chọn PT CD y+2 = Chọn PT CD 3x – 4y -15 = Ví dụ 3(Đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2014): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD Điểm M(-3;0) trung điểm cạnh AB, điểm H(0;-1) hình chiếu vng góc B AD điểm G( ;3) trọng tâm tam giác BCD Tìm tọa độ điểm B D ĐS: B(2;3), D(2;0) *Phân tích Cho M(-3;0), H(0;-1), G( ;3) => MH = , HG = Gọi E, F giao điểm HG HM với BC Ta có ME = MH => E(-6;1) GF/GH = GC/GA = 1/2 => F(2;5) B thuộc EF BM = MH nên tìm tọa độ B 14 C Tính tọa độ A, I,suy tọa độ D *Lời giải Gọi E, F giao điểm HG HM với BC Suy M trung điểm HE → E(–6; 1) Gọi I tâm hình bình hành ABCD Ta có: GF/GH = GC/GA = 1/2 uuu r uuur E GF HG Nên = (2/3; 2) → F(2; 5) uur Đường thẳng BC qua F(2; 5) nhận EF = (8; 4) làm vector phương, có phương trình x – 2y + = M Gọi B(2y-8;y) Ta có BM = HM => (2y-5)2 + y2 = 10 Suy B(–2; 3) (B(-6;1) loại) A đối xứng với B qua M → A(–4; –3) uur uuur GI GA A = (–4/3; –3/2) → I(0; 3/2) (0,25 đ) D đối xứng với B qua I suy D(2; 0) (0,25 đ) Ví dụ 4(Đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2014): B F I H C G D Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có chân đường phân giác góc A điểm D (1; -1) Đường thẳng AB có phương trình 3x + 2y – = 0, tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình x + 2y – = Viết phương trình đường thẳng BC *Phân tích - Tính cos góc EAB, góc BAD Suy cos góc DAC, BCA Suy cos góc EDA A Đưa tốn viết phương trình đường thẳng qua điểm cho trước tạo với đường thẳng cho trước góc cho trước E *Lời giải B Tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình : 3x 2y � � �x 2y A (1; 3) suy Đường thẳng AD có phương trình x = Ta có cos = suy = cos suy cos Ta có cos =.Gọi vecto chi phương BC Nếu ta chọn a = 22, b = 19 phương trình BC là: 22x + 19y + = Nếu ta chọn a = 22, b = -19 phương trình BC là: 22x – 19 y – 41 =0 Vậy phương trình BC là: 22x + 19y + = 22x – 19 y – 41 =0 15 D C Bài tập luyện tập Bài (ĐH A2013−CB) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng d : 2x y A( 4;8) Gọi M điểm đối xứng B qua C, N hình chiếu vng góc B đường thẳng MD Tìm tọa độ điểm B C, biết N (5;-4) ĐS : B(4; 7); C (1; 7) Bài (ĐH B2013−CB) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có hai đường chéo vng góc với AD = 3BC Đường thẳng BD có phương trình x + 2y – = tam giác ABD có trực tâm làH(-3 ; 2) Tìm tọa độ đỉnh C D ĐS : C (1; 6); D (4;1) C (1;6); D(8;7) Bài (ĐH B2013−NC) 17 ( ; ) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có chân đường cao hạ từ A H 5 , chân đường phân giác góc A D(5 ; 3) trung điểm cạnh AB M (0 ; 1) Tìm tọa độ đỉnh C ĐS : C (9;11) Bài (ĐH D2013−CB) M( ; ) 2 trung điểm cạnh Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm AB , điểm H(2; 4) điểm I(1;1) chân đường cao kẻ từ B tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tìm tọa độ điểm C ĐS : C (4;1); C (1; 6) Bài (ĐH D2013−NC) 2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x 1) (y 1) đường thẳng : y Tam giác MNP có trực tâm trùng với tâm (C) , đỉnh N P thuộc , đỉnh M trung điểm cạnh MN thuộc (C) Tìm tọa độ điểm P ĐS : P(1;3); P(3;3) Bài (ĐH A2012−CB) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD Gọi M trung điểm cạnh BC, N điểm 11 � � M� ; � �2 �và đường thẳng AN có phương trình 2x – y–3=0 cạnh CD cho CN = 2ND Giả sử Tìm tọa độ điểm A ĐS : A(1; 1); A(4;5) 16 Bài (ĐH B2012−CB) 2 2 Trong mặt phẳng có hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C1) : x y , (C2): x y 12 x 18 đường thẳng d: x y Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc (C2), tiếp xúc với d cắt (C1) hai điểm phân biệt A B cho AB vng góc với d 2 ĐS : ( x 3) ( y 3) Bài (ĐH D2012−CB) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD Các đường thẳng AC AD có phương trình x + 3y = x – y + = 0; đường thẳng BD qua điểm M ( ; 1) Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD ĐS : A(3;1); B (1; 3); C (3; 1); D (1;3) Bài (ĐH D2012−NC) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 2x – y + = Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d, cắt trục Ox A B, cắt trục Oy C D cho AB = CD = 2 2 ĐS : (C ) : ( x 1) ( y 1) 2;(C ) : ( x 3) ( y 3) 10 Bài 10 (ĐH A2011−CB) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng ∆: x y 2 đường tròn (C) : x2 y2 4x 2y Gọi I tâm (C), M điểm thuộc ∆ Qua M kẻ tiếp tuyến MA MB đến (C) (A B tiếp điểm) Tìm tọa độ điểm M, biết tứ giác MAIB có diện tích 10 ĐS : M (2; 4); M ( 3;1) Bài 11 (ĐH B2011−CB) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng ∆: x - y - 4 d: 2x - y - 2 Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng d cho đường thẳng ON cắt đường thẳng ∆ điểm M thỏa mãn OM.ON N (0; 2); N ( ; ) 5 ĐS : Bài 12 (ĐH B2011−NC) B ( ;1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB tương ứng điểm D, E, F Cho D(3; 1) đường thẳng EF có phương trình y - 3 Tìm tọa độ đỉnh A, biết A có tung độ dương 13 A(3; ) ĐS : Bài 13 (ĐH D2011−CB) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B(- 4; 1), trọng tâm G(1; 1) đường thẳng chứa phân giác góc A có phương trình x - y - 1 Tìm tọa độ đỉnh A C 17 ĐS : A(4;3); C (3; 1) Bài 14 (ĐH D2011−NC) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(1; 0) đường tròn (C): x2 y2 - 2x 4y - 5 Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt (C) hai điểm M N cho tam giác AMN vuông cân A ĐS : : y 1; : y 3 Bài 15 (ĐH A2010−CB) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d1: x y d2: x y Gọi (T) đường tròn tiếp xúc với d1 A, cắt d2 hai điểm B C cho tam giác ABC vuông B Viết phương trình (T), biết tam giác ABC có diện tích điểm A có hồnh độ dương (T ) : ( x ) ( y )2 2 ĐS : Bài 16 (ĐH A2010−NC) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A có đỉnh A(6; 6), đường thẳng qua trung điểm cạnh AB AC có phương trình x + y = Tìm tọa độ đỉnh B C, biết điểm E(1; 3) nằm đường cao qua đỉnh C tam giác cho ĐS : B(0; 4); C (4;0) B(6; 2); (2; 6) Bài 17 (ĐH B2010−CB) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vng A, có đỉnh C(-4; 1), phân giác góc A có phương trình x + y – = Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC 24 đỉnh A có hồnh độ dương ĐS : BC : 3x y 16 Bài 18 (ĐH D2010−CB) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3;-7), trực tâm H(3;-1), tâm đường tròn ngoại tiếp I(-2;0) Xác định toạ độ đỉnh C, biết C có hồnh độ dương ĐS : C (2 65;3) Bài 19 (ĐH B2009−NC) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân A có đỉnh A(-1;4) đỉnh B, C thuộc đường thẳng : x – y – = Xác định toạ độ điểm B C , biết diện tích tam giác ABC 18 11 3 5 11 B( ; ); C ( ; ) B( ; ); ( ; ) 2 2 2 2 ĐS : 18 Bài 20 (ĐH B2008−CB) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, xác định tọa độ đỉnh C tam giác ABC biết hình chiếu vng góc C đường thẳng AB điểm H(−1;−1), đường phân giác góc A có phương trình x − y+ = đường cao kẻ từ B có phương trình 4x +3y−1= 10 C ( ; ) ĐS : Bài 21 (ĐH A2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng: d1: x y d2: x y Tìm tọa độ đỉnh hình vng ABCD biết đỉnh A thuộc d1, C thuộc d2, đỉnh B, D thuộc trục hoành ĐS : A 1;1 ; B 0;0 ; C 1; 1 ; D 2;0 Bài 22 A 1;1 ; B 2;0 ; C 1; 1 ; D 0;0 (ĐH B2003) � Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vng góc Oxy cho tam giác ABC có AB = AC , BAD 900 Biết �2 � � ;0� M(1; -1) trung điểm cạnh BC G �3 �là trọng tâm tam giác ABC Tìm tọa độ đỉnh A, B, C ĐS : A 0; ; B 4;0 ; C 2; 2 Bài 23 (ĐH A2002) Trong mặt phẳng tọa độ Đềcac vng góc Oxy, xét tam giác ABC vng A, phương trình đường thẳng BC x y , đỉnh A B thuộc trục hoành bán kính đường tròn nội tiếp tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC �7 � �1 6 � G� ;G � ; � � ; � � � � � � � � ĐS : Bài 24 (ĐH B2002) �1 � � ;0� Trong mặt phẳng tọa độ Đêcac vng góc Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm �2 �, phương trình đường thẳng AB x – 2y + = AB = 2AD Tìm tọa độ đỉnh A,B,C,D biết A có hồnh độ âm ĐS : A 2;0 ; B 2; ; C 3;0 ; D 1; 2 19 ... hình tọa độ phẳng thường theo hướng này, làm cho số học sinh học bị phương hướng để giải toán Trong chuyên đề này, muốn giúp học sinh hướng tiếp cận tốn này, tiếp cận tốn theo góc độ hình phẳng. .. Muốn làm tốt điều học sinh phải khai thác tốt giả thiết hình phẳng cho đề, phải biết chuyển quan hệ tọa độ quan hệ hình phẳng Việc giải tốt vấn đề giúp đưa toán toán tọa độ nhỏ giải dễ dàng 12... tiếp tuyến MA MB đến (C) (A B tiếp điểm) Tìm tọa độ điểm M, biết tứ giác MAIB có diện tích 10 ĐS : M (2; 4); M ( 3;1) Bài 11 (ĐH B2011−CB) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng ∆: