Nguyên lý Dirichlet (The Dirichlet principle) mang tên nhà toán học người Đức: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805 – 1859). Nguyên lý này còn có tên gọi là nguyên lý chuồng chim bồ câu (The Pigeonhole principle) hay nguyên lý sắp xếp đồ vật vào ngăn kéo (The Drawer principle hay The Boxprinciple) .Nguyên lý chứa đựng nội dung dễ hiểu nhưng có ứng dụng sâu sắc và hiệu quả trong nhiều bài toán, đặc biệt là trong các chứng minh về sự tồn tại của một đối tượng thỏa mãn tính chất nào đó
SỞ GD & ĐT ĐĂK NÔNG TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN CHÍ THANH Ứng dụng ngun lí Dirichlet tốn học Người thực : PHẠM THỊ HỜNG GIA NGHĨA – 2015 NGUYÊN LÝ DIRICHLET Nguyên lý Dirichlet (The Dirichlet principle) mang tên nhà toán học người Đức: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805 – 1859) Nguyên lý có tên gọi ngun lý chuồng chim bồ câu (The Pigeonhole principle) hay nguyên lý xếp đồ vật vào ngăn kéo (The Drawer principle hay The Boxprinciple) Nguyên lý chứa đựng nội dung dễ hiểu có ứng dụng sâu sắc hiệu nhiều toán, đặc biệt chứng minh tồn đối tượng thỏa mãn tính chất NGUN LÍ DIRICHLET 1.1 Ngun lý Dirichlet dạng đơn giản Nếu nhốt hết n+1 (n số nguyên dương) thỏ vào n chuồng có chuồng có từ trở lên Ví dụ 1.1 Trong tập hợp 13 người bất kỳ, ln tồn người có tháng sinh Ví dụ 1.2 Một triệu thơng trồng cánh rừng Biết khơng thơng có nhiều 600000 Vậy cánh rừng có hai thơng có số (Bởi có triệu “chú thỏ” thơng có 600001 chuồng bồ câu đánh số từ đến 600000 tương ứng với số có thông) 1.2 Nguyên lý Dirichlet dạng tổng quát Nếu nhốt hết n m + r (m, n, r số nguyên dương) thỏ vào n chuồng phải có chuồng chứa từ m +1 trở lên Ví dụ 1.3 Trong tập hợp 30 người bất kì, có người trùng tháng sinh Ví dụ 1.4 Cho X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, S tập X có phần tử Chứng minh tồn hai phần tử S mà tổng chúng 10 Giải: Những tập H1 0;10 ; H 1;9 ; H 2;8 ; H 3;7 ; H 4;6 ; H 5 coi chuồng thỏ phần tử S coi thỏ Theo ngun lý Dirichlet ta có điều phải chứng minh Ví dụ 1.5 Cho X tập hợp gồm số nguyên phân biệt Hãy có hai số nguyên x, y thuộc X thỏa mãn x + y x - y chia hết cho 10 Giải: Giải sử X x1; x2 ; x3 ; x4 ; x5 ; x6 ; x7 tập hợp gồm số nguyên phân biệt Gọi ri số dư chia xi cho 10 Ta xét tập X H1 xi / ri 0 H xi / ri ri 9 H xi / ri 5 H xi / ri ri 8 H xi / ri ri 7 H xi / ri ri 6 Vậy có chuồng cho thỏ Nếu x y thuộc H1 H x + y x - y chia hết cho 10 Nếu x y thuộc tập lại x + y x - y chia hết cho 10 không xảy x + y x - y chia hết cho 10 Ví dụ 1.6 Cho điểm nằm hình vng đơn vị Chứng minh tồn 3điểm điểm cho tạo thành tam giác có diện tích khơng vượt q Giải Chia hình vng cho thành hình vng nhỏ Khi hình vng chuồng Chín điểm thỏ Vậy có điểm nằm hình vng nhỏ diện tích tạo thành tam giác Cắt hình vng nhỏ thành hình chữ nhật đường thẳng qua đỉnh tam giác song song với cạnh hình vng (xem hình vẽ) Trong phần, dễ thấy diện tích tam giác khơng vượt q nửa diện tích hình chữ nhật Từ ta có điều phải chứng minh Chú ý: Trong toán này, ta coi ba điểm thẳng hàng tam giác có diện tích Nhận xét 1.1: Qua ví dụ thấy có cách xây dựng chuồng thỏ chia nhỏ đối tượng ban đầu thành n – chuồng Sau xét đến ví dụ mà xây dựng dãy số thỏ Ví dụ 1.7 Cho tập hợp X gồm n số nguyên Chứng minh X có tập mà tổng số nguyên có tập hợp chia hết cho n Giải: Giả sử X a1; a2 ; ; an Xét dãy S1; S2 ; Sn (1) với S1 a1 , S2 a1 a2 , , Sn a1 a2 an Nếu dãy (1) có tổng chia hết cho n u cầu tốn thỏa mãn Ngược lại, xét n “thỏ” n số hạng dãy (1) Các “chuồng” (n-1) số dư 1, 2, ,…, n-1 chia số nguyên cho n Theo nguyên lí Dirichlet có hai số Si , S J với i1 Xét hình tròn O2 ( B,1) tâm B, bán kính Lấy C điểm số 25 điểm cho cho C A, C B Theo giả thiết( dựa vào AB>1), ta có Min{CA, CB}