Chuyên đề dùng để làm tài liệu ôn thi học sinh giỏi hoặc làm SKKN cho quý thầy cô giáo. Hệ thống lại các kiến thức cơ bản của những dạng toán nâng cao dùng đạo hàm. Phân dạng các loại bài về đạo hàm. Hướng dẫn cho học sinh giải quyết một số bài toán và vận dụng kiến thức vào giải bài toán thi HSG ở mức độ nâng cao.Tổng hợp kiến thức từ các tài liệu bồi dưỡng HSG, đề thi HSG các năm quốc gia, HSG các Tỉnh
ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ Định nghĩa đạo hàm cấp ý nghĩa Xét hàm số y = f(x) có tập xác định D Khi giới hạn lim x x0 f x f x0 tồn x x0 hữu hạn, gọi đạo hàm hàm số f(x) điểm x0 Các cơng thức tính đạo hàm a/ Các quy tắc tính đạo hàm (Ký hiệu U = U(x); V=V(x)) U U.V U.V U V U V UV UV UV V2 V = f 'u Ux {f[U(x)]}/ b/ Các cơng thức tính đạo hàm Hàm số Công thức đạo hàm C = (C = const) x = 1, Các hàm số thường gặp (kx)’=k (k = const ) x = n.xn-1 n (n N, n 2) 1 (x 0) x x ( x ) = (x>0) x / Hàm số lượng giác Hàm lũy thừa Đạo hàm hàm số hợp u = n.un-1.u/ n u/ 1 (u 0) u u u/ (u 0) u u / sin x cos x / cos x sin x sin u cos u.u / / cos u sin u.u / tan x cos x / cot x 1 cot x sin x tan u tanx / (xα)/= α x α -1 u / cos u / cot u u / sin u / (uα)/= α u α -1u/ Khái niệm cực trị Cho hàm số f(x) có tập xác định D + x0 gọi điểm cực đại hàm số f(x) tồn khoảng (a; b) chứa điểm x0 a; b D cho: f x f x ; x, x a; b Khi f(x0) gọi giá trị cực đại hàm số f(x) Trang ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ + x0 gọi điểm cực tiểu hàm số f(x) tồn khoảng (a;b) chứa điểm x0 a; b D cho: f x f x ; x, x a; b Khi f(x0) gọi giá trị cực tiểu hàm số f(x) Điểm cực đại cực tiểu hàm số gọi chung điểm cực trị hàm số Điều kiện cần đủ để hàm số có cực trị: Nếu hàm số f(x) đạt cực trị x0 đồng thời hàm số có đạo hàm x0 đạo hàm hàm số x0 0, nghĩa hàm số f(x) đạt cực trị x0 thoả mản: f/(x0) = BÀI TẬP MINH HỌA Bài 1: Đặt điện áp xoay chiều có giá trị M B hiệu dụng 200 V tần số không thay đổi A vào hai đầu đoạn mạch AB (hình vẽ bên) L R C Cuộn cảm có độ tự cảm L xác định; R = 200 ; tụ điện có điện dung C thay đổi Điều chỉnh điện dung C để điện áp hiệu dụng hai đầu đoạn mạch MB đạt giá trị cực tiểu U1 giá trị cực đại U2 = 400 V Tính giá trị U1 Giải: UMB = U R ZC2 R (ZL ZC ) = U R (ZL ZC )2 R ZC2 = U y R (ZL ZC ) Với y R ZC2 UMB đạt giá trị cực đại đạo hàm cấp y theo biến ZC phải không y 2(ZL ZC )(R ZC2 ) 2ZC [R (ZL ZC ) ] 2ZL (ZC2 ZL ZC R ) = (R ZC2 ) (R ZC2 ) ZL 4R Z2L y’ = → ZC = Khi UMB = UMBmax = R 2 L 4R Z ZL U1 = U R2 R ZL2 UR R Z L 4R Z2L ZL = → (R + ZL)2 = 4R2 + Z2L → ZL = 1,5R (*) UMB = UMBmin ZC = với ZC > UMBmin = 2UR = UR = UR R 2, 25R R ZL2 < R ZC2 R (ZL ZC ) = U1 R ZL2 R2 = U 200 = = 111V 3, 25 3, 25 Trang = U2 ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ Bài 2: Cho mạch điện hình vẽ, biến trở RX Điều chỉnh RX để công suất tiêu thụ đoạn mạch ngồi cực đại, tính giá trị RX RX ξ; r Giải * Theo cách giải thông thường: dùng bất đẳng thức Cauchy: Công suất tiêu thụ đoạn mạch là: P = RX.I2 Áp dụng định luật Ơm cho tồn mạch ta có: I , thay I vào biểu thức tính công RX r 2 2 suất ta được: P R X 2 RX r R X r R X r 2r RX RX Ta nhận thấy: R X r2 2r const RX r2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy RX ta RX r2 r2 r2 RX R X 2r R X 2r 4r RX RX RX 1 2 2 2 P r2 r2 4r 4r 4r RX 2r RX 2r RX RX Do Pmax 2 4r Dấu đẳng thức xảy khi: R X r2 RX r RX Vậy, cơng suất mạch ngồi đạt giá trị cực đại điện trở mạch điện trở nguồn điện * Cách giải dùng ý nghĩa đạo hàm: 2 2 P R X 2 RX r R X r R X r 2r RX RX Trang ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ r2 2r , RX thay đổi Y hàm số với biến số RX Ta nhận Đặt Y R X RX thấy giá trị P cực đại Y cực tiểu, theo ý nghĩa đạo hàm, biểu thức Y đạt giá trị cực tiểu đạo hàm bậc Y theo RX Khi ta có: YR X r2 r2 ;Ymin YR R X r RX RX X Qua hai cách giải, ta thấy ứng dụng đạo hàm đưa đến kết nhanh so với phương pháp giải thông thường Bài 3: Cho mạch điện xoay chiều khơng phân nhánh hình vẽ bên Gồm điện trở R, tụ điện C, cuộn cảm L Đặt vào hai đầu đoạn mạch hiệu điện u = U0cos(ωt) (V) Tần số dòng điện thay đổi Tìm tần số góc dòng điện để điện áp hiệu dụng hai đầu cuộn cảm đạt giá trị cực đại, tính giá trị cực đại Giải Hiệu điện hiệu dụng hai đầu cuộn cảm tính theo cơng thức: U UL U L I.ZL ZL U.L 2 Z 2 R L R L C C Đặt y 2 Khi UL = U.L.y R L C UL đạt giá trị cực đại y đạt cực đại mà y hàm số với biến số ω Theo ý nghĩa đạo hàm y cực đại đạo hàm y theo ω phải không Mà 2 2 R L R L L L C C C C2 y R L C y R L L L 0 C C C2 Thực biến đổi ta 2 2 2L 2L C 2L C2 R2 C2 R2 R2 C C C Điều kiện để tốn có nghiệm là: 2L 2L R2 R2 C C Trang ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ Thay giá trị ω vào biểu thức y, thực tính tốn cuối ta giá trị cực đại hiệu điện hiệu dụng hai đầu cuộn cảm là: 2L U 2UL C U Lmax 4L R 4LC C R R R2 C Bài 4: Từ mặt đất vật ném xiên góc α so với phương nằm ngang, vận tốc ném ban đầu v0 Bỏ qua sức cản khơng khí Tìm thời điểm để vật đạt độ cao cực đại Giải Chọn gốc toạ độ O vị trí ném, hệ trục Oxy hình y vẽ Gốc thời gian lúc ném vật Khi đó, vật chuyển động theo phương: *Theo trục Ox: vật chuyển động thẳng với phương v 0y v0 trình: x = v0x.t = v0cosαt (1) *Theo trục Oy: vật chuyển động chậm dần với với O x v 0x phương trình: 1 y v0 y t gt v sin t gt (2) 2 y hàm số theo biến số t Vật đạt độ cao cực đại y = ymax Theo ý nghĩa đạo hàm, đạo hàm bậc hàm số y theo biến t v sin y t v sin gt t g Bài 5: Một học sinh cầm hai bóng nhỏ tay Lúc đầu em tung qủa bóng thứ nhất, thẳng đứng lên cao với vận tốc v0 Hỏi sau học sinh phải tung bóng v thứ hai thẳng đứng lên cao với vận tốc hai bóng đập vào sau khoảng thời gian ngắn (kể từ lúc đầu) Giải Gọi T khoảng thời gian kể từ lúc tung bóng đến tung bóng 2, t khoảng thời gian kể từ lúc tung bóng đến hai bóng đập vào Chọn gốc toạ độ vị trí tung bóng Quả bóng xét q trình rơi xuống chuyển động nhanh dần ngược chiều dương Quả bóng xét trình bay lên chuyển động chậm dần theo chiều dương Phương trình chuyển động bóng là: v2 g v v g a y1 y01 t12 t , y t T t T 2 2g g v v2 g v g Hai bóng đập vào khi: y1 = y2 hay t T t T t 2 2g g Trang ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ v T gT Ta thấy t hàm số có biến số T t Suy 2Tg v0 Theo ý nghĩa đạo hàm t đạt giá trị cực tiểu đạo hàm bậc t theo biến T 0: t '(T) 2g 2T 2gv0 T v 02 v 2g 2T 2gv0T v02 (1) với T (2gT v ) 2g Khi đó, giải (1) theo biến số T ta T v0 2g Thay giá trị T vào biểu thức t ta t 3v30 1 4g Bài 6: Hai chất điểm M1, M2 lúc đầu cách khoảng ℓ, đồng thời chuyển động hai đường thẳng đồng quy hợp với góc α với vận tốc v1, v2 hình vẽ sau: Tại thời điểm kể từ lúc bắt đầu chuyển động khoảng cách hai chất điểm ngắn nhất? Tìm khoảng cách ngắn Giải Chọn hệ trục hình vẽ Phương trình chất điểm M1 có dạng: x1 = x01 + v1.t = ℓ – v1.t Phương trình chuyển động chất điểm M2 có dạng: x1 = x02 + v2.t Gọi d khoảng cách hai chất điểm thời điểm t Áp dụng định lý cosin ta được: d x12 + x 22 2x1.x cos 2 d v1.t v t v1.t v t cosα O d v12 + v 22 + 2v1v cosα t 2 v1 + v cosα t Biểu thức d2 có dạng tam thức bậc với biến số t, theo ý nghĩa đạo hàm d2 đạt giá trị nhỏ đạo hàm d2 theo biến t Đặt y = d2 Khi đó, ymin y t v12 + v 22 + 2v1v 2cosα t 2 v1 + v 2cosα t Vậy thời v1 + v 2cosα v + v22 + 2v1v2cosα gian t để khoảng cách hai chất điểm v1 + v 2cosα v + v22 + 2v1v 2cosα 2 Thay giá trị t vào biểu thức d ta được: d Trang .v sin α v12 + v 22 + 2v1v 2cosα ngắn là: ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ d .v2 sin α 2 2 v + v + 2v1v 2cosα .v sin α v12 + v 22 + 2v1v 2cosα Bài 7: Một vật nhỏ A bắt đầu trượt từ đỉnh mặt phẳng nghiêng có góc nghiêng α; đáy có chiều dài b Hệ số ma sát trượt vật mặt phẳng nghiêng μt Tìm giá trị góc α mặt phẳng nghiêng để thời gian vật xuống nhỏ Giải Vật chịu tác dụng của: Trọng lực P , phản lực N , lực ma sát trượt Fms Áp dụng định luật II Newton ta có: ma P N Fms * N f ms Chiếu phương trình (*) lên hệ trục Oxy chọn ta ma mg sin t N a g sin c os P t y N mg cos Quãng đường vật sau thời gian t là: S at 2 (S độ dài mặt phẳng nghiêng) Mặt khác, từ hình vẽ ta được: b b 2b S at t 2 cos cos a cos 2b Thay (1) vào (2) ta được: t sin .cos t cos2 g Đặt M sin .cos t cos Khi t Px P α b 2b M.g Để thời gian cực tiểu M đạt cực đại (vì b, g khơng đổi), đó, theo ý nghĩa đạo hàm M cực đại đạo hàm bậc M theo ẩn số α phải Khi đó: M cos 2 t sin 2 cos 2 t sin 2 1 1 arctan t 2 t Bài 8: Vật khối lượng m kéo lên mặt phẳng nghiêng với lực F , F hợp với mặt phẳng nghiêng góc β Mặt phẳng cos 2 t sin 2 tan 2 F nghiêng góc α so với mặt phẳng ngang Hệ số ma sát trượt vật mặt phẳng nghiêng μ a) Tìm biểu thức tính F vật lên theo mặt phẳng nghiêng b) Với m = kg, α = 450; μ = 0,5; lấy g = 10 m/s2 Xét vật lên đều, tìm β để F nhỏ nhất, tìm giá trị lực F nhỏ Trang ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ Giải a Các lực tác dụng lên vật hình vẽ F Vật chuyển động nên: F P Fmst N (*) N Chiếu (*) lên: Ox: Fcos Psin Fmst (2) Oy: Fsin N P cos (3) P O Thay Fmst N P cos Fsin vào (2) ta được: FP y x Fmst sin cos cos sin Vì P = mg, xác định nên F = Fmin mẫu số M cos sin cực đại Lấy đạo hàm M theo biến β vận dụng ý nghĩa đạo hàm caaso ta thấy biểu thức M đạt cực đại đạo hàm cấp M tan = 0,5 26,56o Vậy 26,56o F Fmin P sin cos 2 47, 43N Bài 9: Một khối lượng khí khơng đổi thực q trình giãn P nở từ trạng thái 1 P0 ;V0 sang trạng thái ; 2V0 có đồ 2 thị P – V hình vẽ Tính nhiệt độ cực đại khối khí trình biến đổi trạng thái P P0 P0 V0 2V V Giải Từ đồ thị cho ta thấy biểu thức thể mối liên hệ áp suất thể tích khí P = aV + b - Khi V = V0 P0 = aV0 + b P - Khi V = 2V0 a.2V0 b P0 a.2V0 b Từ ta hệ phương trình: P0 a.V0 b P P Giải hệ phương trình ta được: a ; b P0 Khi ta được: P V P0 2V0 2V0 Áp dụng phương trình Mendeleev – Clapeyron ta được: PV = nRT Trong n số mol khối khí Thay giá trị P vào phương trình PV = nRT ta được: Trang ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ P0 P0 3P V P0 V nRT T V2 V 2V0 2nRV0 2nR Từ biểu thức ta thấy T hàm số với ẩn V Để nhiệt độ T đạt giá trị cực đại có nhiều cách để đưa tới đáp số nhiên áp dụng đạo hàm để giải thuận tiện nhanh Theo ý nghĩa đạo hàm hàm số T đạt giá trị cực đại đạo hàm bậc T theo V Ta dễ dàng tìm đạo hàm nhiệt độ T theo thể tích V P 3P P 3P T V V ; T V V V V0 nRV0 2nR nRV0 2nR 9P V V0 vào biểu thức nhiệt độ ta Tmax 0 8nR Bài 10: Điểm sáng A nằm trục thấu kính mỏng trước thấu kính, phía sau thấu kính đặt ảnh vng góc với trục thấu kính Màn cách điểm sáng A khoảng L Dịch chuyển thấu kính khoảng từ A đến màn, ta thấy thấu kính cách đoạn ℓ thu vệt sáng nhỏ Tính tiêu cự thấu kính theo L ℓ Giải Thay giá trị V Ta có: A ' IK đồng dạng với A 'OM Áp dụng hệ thức tam giác đồng dạng IK AI r d + d - L d.f ;d ta được: OM AM R d df d.f d+ -L d.f r d Ld Lf d L L d f Thay d vào ta được: d.f df R df f f d df Đặt y r d L L y R f d f Ta có: y r r R.y R Giá trị R không đổi, r nhỏ y nhỏ d L L d L Xét biểu thức y , ta thấy y nhỏ nhỏ Theo ý f d f f d nghĩa đạo hàm, y nhỏ đạo hàm y theo biến d Trang ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ d2 L L L y f L L f d f d II Định nghĩa đạo hàm cấp hai ý nghĩa hình học Qua tập minh họa cho thấy, việc vận dụng đạo hàm bậc vào biện luận tập vật lý liên quan đến cực trị để giải thường thuận tiện so với việc sử dụng phương pháp khác để giải Bên cạnh đó, đạo hàm có ý nghĩa quan trọng việc giải tập vật lý Phần tiếp theo, tơi đề cập đến ý nghĩa hình học đạo hàm cấp hai ứng dụng việc giải số toán vật lý Theo định nghĩa đạo hàm cấp hai tính theo công thức: dy d f x x f x d y dx y y x lim dx x dx x 0 Ta biết, Theo ý nghĩa hình học đạo hàm “độ dốc” đồ thị xác định đạo hàm bậc Và để xác định độ cong đồ thị ta dựa vào đạo hàm bậc Xét cung nhỏ P0P có độ dài ds Khi ta có: ds 2 r ;ds dx dy d Ta lại có: tan d d2y dx dy dy arctan dx dx dy 1 dx dx d2 y dx 3/2 r dy dx Như độ cong đồ thị hàm số điểm xác định đạo hàm bậc đạo hàm bậc hai hàm số điểm + Tâm đoạn cong phía đồ thị r > + Tâm đoạn cong phía đồ thị r < Cuối ta được: + Tại cực trị dy d2 y d2 y nên ; Nếu hàm lõm, cực tiểu, ngược r dx dx dx d2 y lại hàm lồi, cực đại dx Trang 10 ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ BÀI TẬP MINH HỌA Bài 1: Một bi nhỏ khối lượng m bắt đầu lăn từ điểm O máng trơn OCB Hãy tính áp lực bi lên máng C, biết hình cắt máng đường xác định x phương trình: y h sin , với h Giải Trước hết ta xác định độ dốc máng C: dy h x cos dx dy 0 ta có dx Chọn mốc C, áp dụng định luật bảo toàn O C ta có: 2g mv mgh v 2gh Phương trình động lực học C ta có: Tại điểm C x v2 r (r bán kính cong quỹ đạo C) Theo ý nghĩa đạo hàm cấp r xác định công thức sau: N mg m d2 y dx 3/2 r dy dx Tại C ta có dy d2 y 2 h 2 x sin dx dx 2 3 Dấu “ – ” có ý nghĩa bề lõm quỹ đạo C quay lên trên, ta lấy độ lớn 3 bán kính cong nên thay vào biểu thức tính r ta giá trị r Khi áp lực lên máng bằng: 2 v2 2g 2 N mg m m g mg 1 r 3 Bài 2: Một cầu sắt (A) có khối lượng m = kg trượt khơng ma sát dọc theo cố định nằm ngang, quyên qua cầu Một cầu (B) khối lượng m, nối với cầu (A) Trang 11 ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ sợi dây mảnh, không dãn, chiều dài L = 1,6 m Ban đầu cầu đứng yên, sợi dây nối căng ngang tổng chiều dài chiều dài Khi thả nhẹ cầu (B) để bắt đầu rơi với vận tốc ban đầu Lấy g = 10 m/s2 a Hãy xác định dạng quỹ đạo chuyển động cầu (B) b Tính áp lực lên cầu (A) lực căng sợi dây cầu (B) vị trí thấp Giải Chọn hệ trục tọa độ Oxy cho, O trung điểm thanh, Ox trùng với hướng sang phải, Oy thẳng đứng hướng xuống Áp dụng định luật bảo toàn động lượng cho hệ hai cầu theo phương ngang ta có: mv A mv Bx v Bx v A Tức xA = - xB thời điểm, ta có: y (2x) L2 x2 y2 1 L2 L 2 Đây phương trình Elip b Áp lực lên cầu (A) Đối với chuyển động hệ quỹ đạo (B) phần elip này, với y ≥ Khi ta có: y L2 4x Lấy đạo hàm cấp hai y ta có: y 4L2 3/2 L 4x Bán kính cong quỹ đạo thấp (B) là: r L y Dấu “ - ” có nghĩa bề lõm quay gốc tọa độ, tức ta lấy r v 4v r L Khi sợi dây thẳng đứng thì: v Bx v B v A v Gia tốc hướng tâm B: a B Bảo toàn cho hệ: mv mgL v gL 4m / s 2 Vậy ta có: aB = 40 m/s Áp dụng định luật II Niu – Tơn cho vật (B) ta có: T – mg = m.aB → T = m.(g + aB) = 100 N Đối với vật A áp lực lên tính : N = m.g + T Trang 12 L ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ Bài 3: Một vật có khối lượng 2m coi chất điểm đặt đỉnh đường trượt (C) có dạng parabol với phương trình hệ tọa độ Oxy (trong mặt phẳng thẳng đứng hình vẽ bên) : y = ax2 (m) ; A = 20 (m-1), x tính m Một viên đạn khối lượng m bay theo phương ngang với vận tốc v0 đến va chạm mềm với chất điểm nói Tìm điều kiện v0 để vật ln trượt đường (C) nói Bỏ qua ma sát Giải: Giả sử sau va chạm, vật trượt đường trượt, tọa độ x, y ta có : N mg ma Tại vị trí, vật trượt mặt cong có bán kính r tính cơng thức : d2 y dx 3/2 r dy dx 2A 1 4A x Chiếu phương trình véc tơ lên trục hướng tâm vị trí ta được: dy v2 2Ax mg.c os N m Trong đó: tan dx r 1 cos tan 4A x 2Av g 4A x 4A x Áp dụng định luật bảo toàn động lượng cho hai vật trước sau va chạm ta được: v mv0 3mv1 v1 1 Áp dụng định luật bảo tồn ta có: 3mv12 3mv 3mgy 2 Thay vào phương trình ta có: N m v2 v Hay v 2gAx v 2Agx 3 Khi áp lực đường trượt lên vật v 02 2 2A 2Agx m g N 2 2 4A x 4A x Trang 13 ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ v 02 2A 2Agx 0 Điều kiện để vật không rời đường trượt là: N > 0, tức g 2 4A x 2Av02 2Av02 8Agx g ; Điều g 0 9 v0 9g 1,5m / s 2A Trang 14 ... Theo ý f d f f d nghĩa đạo hàm, y nhỏ đạo hàm y theo biến d Trang ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ d2 L L L y f L L f d f d II Định nghĩa đạo hàm cấp hai ý nghĩa hình... đập vào khi: y1 = y2 hay t T t T t 2 2g g Trang ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ v T gT Ta thấy t hàm số có biến số T t Suy 2Tg v0 Theo ý nghĩa đạo hàm. .. tiểu hàm số f(x) Điểm cực đại cực tiểu hàm số gọi chung điểm cực trị hàm số Điều kiện cần đủ để hàm số có cực trị: Nếu hàm số f(x) đạt cực trị x0 đồng thời hàm số có đạo hàm x0 đạo hàm hàm số